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Elementos de Trigonometria (1)
Amrico Bento
DEP. DE MATEMTICAESCOLA DE CINCIAS E TECNOLOGIA
UNIV. DE TRS-OS-MONTES E ALTO DOURO
Primavera, 2012
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O que a Trigonometria?
Trigonometria = trigono(trs ngulos) + metria = tringulo + medir.
A Trigonometria o ramo da Matemtica que trata dos processosque permitem calcular medidas de lados, ou ngulos, num tringuloa partir das medidas de outros lados, ou ngulos, no mesmotringulo. a caixa de ferramentas adequada para resolver muitosproblemas.Alguns exemplos (elementares):
identificar a largura de um rio sem ter de o atravessar;identificar a altura de um monumento ou de uma rvore (sem a elessubir!);identificar a altura de uma montanha; a inclinao de uma encosta; ainclinao da rua onde moramos;fazer o levantamento topogrfico de terrenos;
...
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Tringulos rectngulos semelhantes
1 [ABE ] e [ACD] so tringulos rectngulos semelhantes;2 os pares de lados correspondentes (lados homlogos) so:
([BE ], [CD]) , ([AB], [AC]) , ([AE ], [AD]) .
3 em tringulos semelhantes, os pares de lados homlogos soproporcionais, isto , o quociente entre dois lados homlogos invariante, desde que tomados pela mesma ordem.
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Tringulos rectngulos semelhantes
Formalmente, tem-se: |BE||CD| =|AB||AC| =
|AE||AD| , isto ,
|BE ||CD| =
|AB||AC| e
|BE ||CD| =
|AE ||AD|
[
|BE ||AE | =|CD||AD|
]
. (1)
Ora, relativamente ao ngulo com vrtice em A, temos
(cateto opostohipotenusa
)
[ABE]=
BE
AE=
por (1)
CD
AD=
(cateto opostohipotenusa
)
[ACD]. (2)
Justificmos, assim, o facto:
Proposio
Nos pares de ngulos homlogos (agudos) de dois quaisquer tringulosrectngulos semelhantes, o quociente entre o cateto oposto e ahipotenusa, respectivos, invariante.
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Seno de um ngulo agudo
Este quociente depende, portanto, unicamente do ngulo; , assim, umnmero que podemos associar a cada ngulo agudo. Tal nmero foinomeado por SENO do ngulo.Se o ngulo , usamos a abreviatura sin() [ou sen()] para denotar oseno do ngulo .
Definio
Sendo um ngulo de um tringulo rectngulo, define-se o seno de pelo quociente entre o cateto oposto a e a hipotenusa, isto ,
sin() =cateto opostohipotenusa
.
Exemplo. Considere o tringulo rectngulo cujos lados medem trs,quatro e cinco unidades de comprimento.Calcule o seno dos ngulos agudos do tringulo.
Proposio
Se um ngulo (agudo) num tringulo rectngulo, ento sin() 6 1.
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Um outro invariante... nos tringulos rectngulos
No quociente cateto opostohipotenusa , se substituirmos cateto oposto por catetoadjacente temos uma outra invarincia. Assim,
Proposio
Nos pares de ngulos homlogos (agudos) de dois quaisquer tringulosrectngulos semelhantes, o quociente entre o cateto adjacente e ahipotenusa, respectivos, invariante. Isto , invariante o quociente
(cateto adjacente
hipotenusa
)
.
Demonstrao. O caminho para justificar esta Proposio idntico aoque desenvolvemos para o seno de um ngulo. Que nome atribuir a este nmero?Consideremos o seguinte: seja [ABC] um tringulo rectngulo em C edenotemos por e os ngulos agudos opostos aos lados LA e LB,respectivamente.
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Um outro invariante... nos tringulos rectngulos
Consideremos a informao contidana seguinte tabela:
sin() LAhipotenusaLB
hipotenusacateto adjacente
hipotenusaLB
hipotenusaLA
hipotenusa
Estes resultados e o facto de os ngu-los e serem complementares, isto:
+ = 90o,
induziram a designao CO-SENO de um ngulo. Dizemosque LBhipotenusa o co-seno dongulo por ser igual ao seno doseu complementar. Se o ngulo , usamos a abre-viatura cos() para denotar o co-seno do ngulo .
Definio
Sendo um ngulo agudo de umtringulo rectngulo, define-se oco-seno de pelo quocienteentre o cateto adjacente a e ahipotenusa, isto ,
cos() =cateto adjacente
hipotenusa.
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Um outro invariante... o co-seno
Exemplo. Considere o tringulo rectngulo cujos lados medem trs,quatro e cinco unidades de comprimento.Calcule o co-seno dos ngulos agudos do tringulo.
Proposio
Se um ngulo (agudo) num tringulo rectngulo, ento cos() 6 1.
Demonstrao. ... Para no esquecermos:
Proposio
Se um ngulo (agudo) num tringulo rectngulo, ento:
cos(90o ) = sin();
sin(90o ) = cos().
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A frmula fundamental da trigonometria
Temos:
sin() =|BC||AC| ;
cos() =|AB||AC| .
Logo:
sin2() =( |BC||AC|
)2
=(|BC|)2
(|AC|)2; cos2() =
( |AB||AC|
)2
=(|AB|)2
(|AC|)2.
Portanto,
sin2() + cos2() =(|BC|)2
(|AC|)2+(|AB|)2
(|AC|)2=
(|BC|)2 + (|AB|)2
(|AC|)2=
(|AC|)2
(|AC|)2= 1.
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A tangente de um ngulo (tangente trigonomtrica)
Em tringulos rectngulos se-melhantes, foi mostrado queso invariantes, os quocientes
(cat . op.)hip.
,(cat . adj .)
hip..
De modo semelhante, se mostra que o quociente (cateto oposto)(cateto adjacente) invariante. Este invariante designa-se por tangente do ngulo ;denota-se por tan().
Definio
Sendo um ngulo agudo de um tringulo rectngulo, tem-se:
tan() =(cateto oposto)
(cateto adjacente).
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Valores possveis para tan() de um ngulo agudo
Relativamente a um ngulo agudo de umtringulo rectngulo, se o cateto oposto maior do que o adjacente, temostan() = (cat. op.)(cat. adj .)
)> 1.
Se o cateto oposto igual ao adjacente,temos tan() = (cat. op.)(cat. adj .)
)= 1.
Se o cateto oposto menor do que oadjacente, temos tan() = (cat. op.)(cat. adj .)
)< 1.
Portanto:
Proposio
Se um ngulo cuja amplitude pertence aointervalo ]0o, 90o[, ento
tan() ]0, +[.
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A co-tangente de um ngulo agudo
Uma vez que (cateto oposto)(cateto adjacente) invariante, o seu inverso tam-bm o . Isto , invariante oquociente (cateto adjacente)(cateto oposto) .Este invariante a tangentedo complementar de . Portal facto, designa-se por co-tangente do ngulo ; denota-se por cot().
Definio
Sendo um ngulo agudo de um tringulo rectngulo, tem-se:
cot() =(cateto adjacente)(cateto oposto)
.
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Valores possveis para cot() de um ngulo agudo
Relativamente a um ngulo agudo de umtringulo rectngulo, se o cateto oposto maior do que o adjacente, temoscot() = (cat. adj .)(cat. op.)
)< 1.
Se o cateto oposto igual ao adjacente,temos cot() = (cat. adj .)(cat. op.)
)= 1.
Se o cateto oposto menor do que oadjacente, temos cot() = (cat. adj .)(cat. op.)
)> 1.
Portanto:
Proposio
Se um ngulo cuja amplitude pertence aointervalo ]0o, 90o[, ento
cot() ]0, +[.
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Tangente versus co-tangente
Proposio
Sendo um ngulo agudo:
tan() =sin()cos()
; cot() =cos()sin()
; tan() =1
cot().
Demonstrao. Temos:
tan() =cat .op.cat .adj .
=cat .op.cat .adj .
hip.hip.
=
cat.op.hip.
cat.adj .hip.
=sin()cos()
; (...)
Proposio
Sendo um ngulo agudo:
tan(90o ) = cot(); cot(90o ) = tan().
Demonstrao. Temos: tan(90o ) = sin(90o)cos(90o) =porque?
cos()sin() = cot().
(...)
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Razes trigonomtricas do ngulo de 30o
sin(30o) =?1 O tringulo [ABC] rectngulo em B
e BAC = 30o.2 O tringulo [ADB] a reflexo do
[ABC] relativamente ao eixo AB.Logo, o tringulo [ADC] equiltero.
3 Assim: |BC| = 12 |DC| e|AC| = |DC| = |AD|.
4 Ora: sin(30o) = op.hip. =|BC||AC| =(3)
12 |DC||AC| =(3)
12 |DC||DC| =
12 .
cos(30o) =? Pela FFT, cos2(30o) + sin2(30o) = 1. Portanto,...
tan(30o) =? tan(30o) = sin(30o)
cos(30o)? cot(30o) =? cot(30o) = cos(30
o)sin(30o) ?
Proposio
sin(30o) = 12 ; cos(30o) =
3
2 ; tan(30o) =
3
3 ; cot(30o) =
3.
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Razes trigonomtricas do ngulo de 60o
Comecemos por recordar que 60o + 30o = 90o, isto , 60o e 30o socomplementares.Pelo que j vimos atrs, podemos escrever:
sin(60o) = cos(90o 60o) = cos(30o) =
32 .
cos(60o) = sin(90o 60o) = sin(30o) = 12 .
tan(60o) = cot(90o 60o) = cot(30o) =
3.
cot(60o) = tan(90o 60o) = tan(30o) =
33 .
Proposio
sin(60o) =
32 ; cos(60
o) = 12 ; tan(60o) =
3; cot(60o) =
3
3 .
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Razes trigonomtricas do ngulo de 45o
sin(45o) =?1 O tringulo [ABC] issceles e
rectngulo em B.2 Logo, os ngulos adjacentes ao lado
[AC] so geometricamente iguais. Umavez que so ngulos complementares,decorre que a sua amplitude de 45o.
3 Por serem complementares, o seno deum coincide com o co-seno do outro.Assim, sin(45o) = cos(45o).
4 Imediatamente, temos:tan(45o) = cot(45o) = 1.
Usando (3) na FFT, temos: 2 sin2(45o) = 1 ...Consequentemente: cos(45o) = ...;
Proposio
sin(45o) = cos(45o) =
22 ; tan(45
o) = cot(45o) = 1.
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Elementos de Trigonometria (2)
Amrico Bento
DEP. DE MATEMTICAESCOLA DE CINCIAS E TECNOLOGIA
UNIV. DE TRS-OS-MONTES E ALTO DOURO
Primavera, 2012
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Funes trigonomtricas
Sentido POSITIVO de leitura
Semi-recta OP o lado origem.
Semi-recta OQ o lado final.
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Funes trigonomtricas
Sentido NEGATIVO de leitura
Semi-recta OP o lado origem.
Semi-recta OQ o lado final.
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Funes trigonomtricas
ngulo GENERALIZADO
Amplitude ou... mais uma volta?A cada par ordenado de semi-rectas corresponde uma famlia deamplitudes da forma + k 360o, k Z.
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Funes trigonomtricas Arco GENERALIZADO
A cada par ordenado de pontos sobre uma circunfernciacorresponde uma famlia de amplitudes de arco da forma + k 360o, k Z.Ao arco(PQ) corresponde a famlia da forma + m 360o, m Z.Ao arco(QP) corresponde a famlia da forma + n 360o, n Z.
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Funes trigonomtricas Quadrantes
Diz-se um ngulo pertence ao 1o, 2o, 3o ou 4o quadrantes se o ladoorigem Ox+ e tem lado final no 1o, 2o, 3o ou 4o quadrantes,respectivamente.
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Funes trigonomtricas Funo seno
No esquema precedente, o ngulo tem lado origem na semi-rectaOx+ e lado final na semi-recta OP.
A definio sin() := ordenada de Pdis(P,O)preserva a definio construdacom base num tringulorectngulo.
Qualquer ponto na semi-rectaOP pode ser tomado; de facto,dados P,Q no lado final dongulo, os tringulos rectngulos[OBP] e [OEQ] sosemelhantes.
Assim, o ponto a considerar podeser escolhido distncia de umaunidade da origem: dis(P,O) = 1
Definio (Nova definio de seno de um ngulo)
Sendo P(x , y) um ponto do lado final de um ngulo com lado origem
Ox+, define-se seno de pela relao sin() =y
dis(P,O).
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Funes trigonomtricas sin(180o ) = sin()
A semi-recta OP o lado final do ngulo .A semi-recta OP a reflexo de OP relativamente ao eixo Oy .Portanto, a cada ponto P(x , y) em OP corresponde um ponto P nasemi-recta OP de tal modo que P e P tm uma mesma ordenada edis(P,O) = dis(P ,O). Consequentemente:
sin(180 ) =ordenada de P
dis(P ,O)=
ydis(P ,O)
=y
dis(P,O)= sin().
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O seno de um ngulo e o crculo trigonomtricoPara cada ponto Bsobre a fronteira docrculo, o seno dongulo com lado origemOx+ e lado final OB aordenada do ponto B.
Sinal da funo seno:1o e 2o quadrantes:positivo;3o e 4o quadrantes:negativo.
Proposio (Variao)
, 1 6 sin() 6 1.
Proposio (Paridade)
, sin() = sin().
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Variao montona e periodicidade do seno
A partir do que foi exposto, trs factos so de concluso imediata:
ngulos que diferem de mltiplos inteiros de 360o tm igual seno;
nos 1o e 4o quadrantes, se aumenta o ngulo ento aumenta o seno;
nos 2o e 3o quadrantes, se aumenta o ngulo ento diminui o seno.
Estas trs asseres merecem registo formal. Assim:
Proposio (Periodicidade do seno)
Qualquer que seja e qualquer que seja o inteiro relativo k, tem-se:sin(+ k 360o) = sin().
Proposio (Variao montona do seno: 1o e 4o quadrantes)
Sejam , [90o, 90o]. Se
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Funes trigonomtricas ::: Funo co-seno
No esquema precedente, o ngulo tem lado origem na semi-rectaOx+ e lado final na semi-recta OP.
A definio cos() := abcissa de Pdis(P,O)preserva a definio construdacom base num tringulorectngulo.
Qualquer ponto na semi-rectaOP pode ser tomado; de facto,dados P,Q no lado final dongulo, os tringulos rectngulos[OBP] e [OEQ] sosemelhantes.
Assim, o ponto a considerar podeser escolhido distncia de umaunidade da origem: dis(P,O) = 1
Definio (Nova definio de co-seno de um ngulo)
Sendo P(x , y) um ponto do lado final de um ngulo com lado origem
Ox+, define-se co-seno de pela relao cos() =x
dis(P,O).
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Funes trigonomtricas ::: cos(180o ) = cos()
A semi-recta OP o lado final do ngulo .A semi-recta OP a reflexo de OP relativamente ao eixo Oy .Portanto, a cada ponto P(x , y) em OP corresponde um ponto P nasemi-recta OP de tal modo que P e P tm abcissas simtricas edis(P,O) = dis(P ,O). Consequentemente:
cos(180 ) =abci . de P
dis(P ,O)=
xdis(P ,O)
= x
dis(P,O)= cos().
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O co-seno de um ngulo e o crculo trigonomtrico
Para cada ponto Bsobre a fronteira docrculo, o co-seno dongulo com lado origemOx+ e lado final OB aabcissa do ponto B.
Sinal do co-seno:1oQ e 4oQ: positivo;2oQ e 3oQ: negativo.
Proposio (Variao)
, 1 6 cos() 6 1.
Proposio (Paridade)
, cos() = cos().
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Variao montona e periodicidade do co-seno
A partir do que foi exposto, trs factos so de concluso imediata:ngulos que diferem de mltiplos inteiros de 360o tm igual co-seno;nos 1o e 2o quadrantes, se aumenta o ngulo ento diminui oco-seno;nos 3o e 4o quadrantes, se aumenta o ngulo ento aumenta oco-seno.
Estas trs asseres merecem registo formal. Assim:
Proposio (Periodicidade do co-seno)
Qualquer que seja e qualquer que seja o inteiro relativo k, tem-se:cos(+ k 360o) = cos().
Proposio ( co-seno: 1o e 2o quadrantes = DECRESCENTE )
Sejam , [0o, 180o]. Se cos().
Proposio ( co-seno: 3o e 4o quadrantes = CRESCENTE)
Sejam , [180o, 360o]. Se
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Funes trigonomtricas ::: Funo tangente
No esquema precedente, o ngulo tem lado origem na semi-rectaOx+ e lado final na semi-recta OP.
1 Para cada ponto P(x , y), x 6= 0,definio tan() := ordenada de Pabcissa de Ppreserva a definio construdacom base num tringulorectngulo.
2 Qualquer ponto na semi-rectaOP pode ser tomado; de facto,dados P,Q no lado final dongulo, o [OBP] e o [OEQ]so semelhantes.
3 Assim, o ponto a considerar podeser escolhido distncia de umaunidade da origem: dis(P,O) = 1
Definio (Nova definio de tangente de um ngulo)
Sendo P(x , y), x 6= 0, um ponto do lado final de um ngulo com lado
origem Ox+, define-se tangente de pela relao tan() =yx.
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Periodicidade e paridade da funo tangente
No esquema precedente, o ngulo tem lado origem na semi-rectaOx+ e lado final na semi-recta OP.
O ngulo (180o + ) tem lado ori-gem na semi-recta Ox+ e lado finalna semi-recta OP , sendo P o sim-trico de P relativamente origem O.Consequentemente, as coordenadasde P so simtricas das coordenadasde P. Temos, portanto:
Proposio (Peridica...)
Se existe tan() ento k Z, tan(+ k 180o) = tan().
Proposio (Par ou mpar?)
Se existe tan() entotan() = tan().
Exemplos. Exerccios 20(d),(f).
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Funo tangente como funo de seno e do co-seno
Para cada ngulo 6= 90o + k 180o, k Z, cujolado final seja a semi-recta OP,
podemos tomar um ponto qualquernesta semi-recta [excepto (0,0)] paraescrever a tangente de .Assim, podemos tomar o ponto de in-terseco da semi-recta OP com afronteira do crculo trigonomtrico.As coordenadas de tal ponto so(x , y) = (cos(), sin()). Logo,
Proposio
Se cos() 6= 0 ento tan() = sin()cos() .
Exerccio. Usando a caracterizaoprecedente para tan(), mostre que:
1 tan(+ 180o) = tan();2 a funo tangente mpar;3 tan(180o ) = tan().
-
Crculo trigonomtrico e o eixo das tangentes Para identificar relaes entre as tan-gentes de diferentes ngulos usa-se arecta paralela ao eixo das ordenadas naabcissa x = 1. Assim, tal recta a tan-gente geomtrica fronteira do crculotrigonomtrico no ponto (1,0). O ponto P tem abcissa cos() e orde-nada sin(). Logo, tan() = sin()cos() . Por outro lado, [OBP] e [OET ] sosemelhantes; portanto,tan() = ET
OE= ET1 =
y1 = y .
Justificmos, por conseguinte, o facto:
Seja = (
Ox+, OP)
. Se existir,
tan() a ordenada do ponto deinterseco da semi-recta OP coma recta de abcissa constante x = 1[eixo das tangentes].
-
Sinal e monotonia da tangente
Resumo: se = 90o + k 180o, k Z, tan() no existe; no 1oQ eno 3oQ, a tangente positiva; no 2oQ e no 4oQ, a tangente negativa.
no 2oQ e no 3oQ, se aumenta o ngulo ento aumenta a tangente;nos 1oQ e 4oQ, se aumenta o ngulo ento aumenta a tangente.
Formalmente, as duas ltimas asseres so, respectivamente:
Proposio ( tangente: 2oQ e 3oQ ::: montona CRESCENTE )
Sejam , ]90o, 270o[. Se
-
Variao da tangente
Podemos concluir que quando per-corre o conjunto ]90o; 90o[, tan()passa por todas as ordenadas do eixodas tangentes. Portanto, tan() per-corre todos os valores de a +,isto , o intervalo ]; +[. Este facto e a periodicidade da tan-gente justificam a seguinte assero:
Proposio
Para cada k Z, se percorre oconjunto] 90o + k 180o; 90o + k 180o[ento tan() percorre o intervalo]; +[.
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Funes trigonomtricas ::: Funo co-tangente
No esquema precedente, o ngulo tem lado origem na semi-rectaOx+ e lado final na semi-recta OP.
1 Para cada ponto P(x , y), y 6= 0,definio cot() := abcissa de Pordenada de Ppreserva a definio construdacom base num tringulorectngulo.
2 Qualquer ponto na semi-rectaOP pode ser tomado; de facto,dados P,Q no lado final dongulo, o [OBP] e o [OEQ]so semelhantes.
3 Assim, o ponto a considerar podeser escolhido distncia de umaunidade da origem: dis(P,O) = 1
Definio (Nova definio de co-tangente de um ngulo)
Sendo P(x , y), y 6= 0, um ponto do lado final de um ngulo com lado
origem Ox+, define-se co-tangente de pela relao cot() =xy.
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Periodicidade e paridade da funo co-tangente
No esquema precedente, o ngulo tem lado origem na semi-rectaOx+ e lado final na semi-recta OP.
O ngulo (180o + ) tem lado ori-gem na semi-recta Ox+ e lado finalna semi-recta OP , sendo P o sim-trico de P relativamente origem O.Consequentemente, as coordenadasde P so simtricas das coordenadasde P. Temos, portanto:
Proposio (Peridica...)
Se existe cot() ento k Z, cot(+ k 180o) = cot().
Proposio (Par ou mpar?)
Se existe cot() entocot() = cot().
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Funo co-tangente: funo de co-seno e do seno
Para cada ngulo 6= 0o +k 180o, k Z, cujo ladofinal seja a semi-recta OP,
podemos tomar um ponto qualquernesta semi-recta [excepto (0,0)] paraescrever a co-tangente de .Assim, podemos tomar o ponto de in-terseco da semi-recta OP com afronteira do crculo trigonomtrico.As coordenadas de tal ponto so(x , y) = (cos(), sin()). Logo,
Proposio
Se sin() 6= 0 ento cot() = cos()sin() .
Exerccio. Usando a caracterizaoprecedente para cot(), mostre que:
1 cot(+ 180o) = cot();2 a funo co-tangente mpar;3 cot(180o ) = cot().
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Crculo trigonomtrico e o eixo das co-tangentesyx1 +1
Eixo das o-tangentesb
b x1ot() = x1 = xot() = os()sin() os()Para identificar relaesentre as co-tangentesde diferentes ngulosusa-se a recta paralelaao eixo das abcissas naordenada y = 1. Assim,tal recta a tangentegeomtrica fronteira docrculo trigonomtrico no
ponto (0,1). O ponto P tem abcissa cos() e ordenada sin(). Logo,cot() = cos()sin() . Por outro lado, [OQP] e [OSR] so semelhantes;
portanto, cot() = ??= ?1 =
x1 = x . Justificmos, por conseguinte, o
facto: Seja = (
Ox+, OP)
. Se existir, cot() a abcissa do ponto
de interseco da semi-recta OP com a recta de ordenada constantey = 1 [eixo das co-tangentes].
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Sinal e monotonia da co-tangente
Resumo: se = 0o + k 180o, k Z, cot() no existe; no 1oQ e no3oQ, a co-tangente positiva; no 2oQ e no 4oQ, a co-tangente negativa.
no 1oQ e no 2oQ, se aumenta o ngulo ento diminui a co-tangente;nos 3oQ e 4oQ, se aumenta o ngulo ento diminui a co-tangente.
Formalmente, as duas ltimas asseres so, respectivamente:
Proposio ( co-tangente: 1oQ e 2oQ ::: montona DECRESCENTE )
Sejam , ]0o, 180o[. Se cot().
Proposio ( tangente: 3oQ e 4oQ ::: montona DECRESCENTE)
Sejam , ]180o, 360o[. Se cot().
Este factos e a periodicidade da co-tangente permitem escrever:
Proposio
Em cada intervalo da forma ]0o + k 180o; 180o + k 180o[, k Z, atangente decrescente. ?? sinal da derivada ??
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Variao da co-tangenteyx1 +1
Eixo das o-tangentesb
b x1ot() = x1 = xot() = os()sin() os() Podemos concluirque quando percorreo conjunto ]0o; 180o[,cot() passa portodas as abcissas doeixo das co-tangentes.Portanto, cot()percorre todos osvalores de + a ,
isto , o intervalo ]; +[. Este facto e a periodicidade da co-tangente justificam a seguinteassero:
Proposio
Para cada k Z, se percorre o conjunto]0o + k 180o; 180o + k 180o[, ento cot() percorre o intervalo]; +[.
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Elementos de Trigonometria (3)
Amrico Bento
DEP. DE MATEMTICAESCOLA DE CINCIAS E TECNOLOGIA
UNIV. DE TRS-OS-MONTES E ALTO DOURO
Primavera, 2012
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Conservao da FFT
O ngulo tem lado origem na semirretaOx+ e lado final na semirreta OP.(1) Seja d = dis(P,O). De acordocom as definies de seno e de co-seno,temos sin() = yd , cos() =
xd .
(2) Logo, sin2() = y2
d2 , cos2() = x
2
d2 .(3) Consequentemente:sin2() + cos2() = y
2
d2 +x2
d2 =y2+x2
d2 .(4) Podemos interpretar d comoa hipotenusa do [OPE ]. Assim, pelo
teorema de Pitgoras, d2 = (PE)2 + (EO)2 = |x |2 + |y |2 = x2 + y2.(5) De (3) e (4):
sin2() + cos2() = 1 .
Considere os casos: (i) OP coincide com Ox+; (ii) OP coincide comOy+; (iii) OP coincide com Ox; (iv) OP coincide com Oy.Verifique que a frmula fundamental da trigonometria continua vlida.
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A unidade de medida: RADIANO
RADIANO o menor ngulo (aocentro) determinando por um arcode circunferncia de comprimentoigual ao raio.
1 Quantos RADIANOS cabem naamplitude de umacircunferncia?... ou, de outromodo: quantas vezes cabe o raiode uma circunferncia nelaprpria?
2 Ora, saber quantas vezes cabe rem 2r dividir esta quantidadepor aquela. Assim, 2rr = 2; isto, o raio r cabe 2 vezes nacircunferncia de comprimento2r .Logo, uma vez que a cada rcorresponde 1rad , de esperarque na amplitude dacircunferncia caibam 2 vezes1rad , isto , 2rad .
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A unidade de medida: RADIANO
RADIANO o menor ngulo (aocentro) determinando por um arcode circunferncia de comprimentoigual ao raio.
De facto, se ao raio r corresponde 1radiano (1rad) ento ao comprimento2r corresponde x radianos. Resol-vendo a equao que traduz esta re-lao de proporcionalidade:
1radr
=x
2r x = 2r
1radr
x = 2rad .
Consequentemente, temos:
360o 2rad
180o rad
90o (/2)rad
60o (/3)rad
45o (/4)rad
30o (/6)rad .
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Amplitude de ngulo em radianos e a recta real
Qualquer amplitude de ngulo em graus pode ser expressa em radianos. De facto, sendo uma amplitude de ngulo (em graus) e x a mesmaamplitude em radianos, a relao de proporcionalidade
x est para , assim como rad est para 180o
permite escrever
xrad
=
180o x =
180rad .
Esta unidade de medida radianos permite tratar cada amplitudede ngulo como uma grandeza escalar de natureza igual natureza docomprimento do raio. Escrevemos cos
(
3 rad)
no lugar de cos(60o); na forma simplificada:cos
(
3
)
. Escrevemos sin
(
4 rad)
no lugar de sin(45o); na forma simplificada:sin
(
4
)
. As expresses cos(2), sin(3), tan(5) so interpretadas comocos(2rad), sin(3rad), tan(5rad).
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Seno ::: co-seno ::: tangente ::: co-tangente
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lim sin xx , quando x 0
Notemos que x , sin x ,tan x so grandezas da mesma natureza(estamos a usar a unidade radianos).Portanto, podemos escrever: se x 0+ ento
sin x < x < tanx . (1)
Dividindo (1) por sin x[notar que sinx > 0, se x 0+], obtemos
1
