Elementos de Trigonometria (1) -...

63
Elementos de Trigonometria (1) Américo Bento DEP . DE MATEMÁTICA ESCOLA DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA UNIV. DE TRÁS- OS- MONTES E ALTO DOURO Primavera, 2012

Transcript of Elementos de Trigonometria (1) -...

Page 1: Elementos de Trigonometria (1) - home.utad.pthome.utad.pt/~abento/docencia/1semestre12_13/slides_trigonometria... · cateto adjacente hipotenusa LB hipotenusa LA hipotenusa Estes

Elementos de Trigonometria (1)

Américo Bento

DEP. DE MATEMÁTICA

ESCOLA DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA

UNIV. DE TRÁS-OS-MONTES E ALTO DOURO

Primavera, 2012

Page 2: Elementos de Trigonometria (1) - home.utad.pthome.utad.pt/~abento/docencia/1semestre12_13/slides_trigonometria... · cateto adjacente hipotenusa LB hipotenusa LA hipotenusa Estes

O que é a Trigonometria?

Trigonometria = trigono(três ângulos) + metria = triângulo + medir.

A Trigonometria é o ramo da Matemática que trata dos processosque permitem calcular medidas de lados, ou ângulos, num triânguloa partir das medidas de outros lados, ou ângulos, no mesmotriângulo.É a «caixa de ferramentas» adequada para resolver muitosproblemas.Alguns exemplos (elementares):

identificar a largura de um rio sem ter de o atravessar;identificar a altura de um monumento ou de uma árvore (sem a elessubir!);identificar a altura de uma montanha; a inclinação de uma encosta; ainclinação da rua onde moramos;fazer o levantamento topográfico de terrenos;

...

Page 3: Elementos de Trigonometria (1) - home.utad.pthome.utad.pt/~abento/docencia/1semestre12_13/slides_trigonometria... · cateto adjacente hipotenusa LB hipotenusa LA hipotenusa Estes

Triângulos rectângulos semelhantes

1 ∆[ABE ] e ∆[ACD] são triângulos rectângulos semelhantes;2 os pares de lados correspondentes (lados homólogos) são:

([BE ], [CD]) , ([AB], [AC]) , ([AE ], [AD]) .

3 em triângulos semelhantes, os pares de lados homólogos sãoproporcionais, isto é, o quociente entre dois lados homólogos éinvariante, desde que tomados pela mesma ordem.

Page 4: Elementos de Trigonometria (1) - home.utad.pthome.utad.pt/~abento/docencia/1semestre12_13/slides_trigonometria... · cateto adjacente hipotenusa LB hipotenusa LA hipotenusa Estes

Triângulos rectângulos semelhantes

Formalmente, tem-se: |BE||CD| =

|AB||AC| =

|AE||AD| , isto é,

|BE ||CD| =

|AB||AC| e

|BE ||CD| =

|AE ||AD|

[

⇔ |BE ||AE | =

|CD||AD|

]

. (1)

Ora, relativamente ao ângulo com vértice em A, temos

(cateto opostohipotenusa

)

∆[ABE]

=BE

AE=

︸︷︷︸

por (1)

CD

AD=

(cateto opostohipotenusa

)

∆[ACD]

. (2)

Justificámos, assim, o facto:

Proposição

Nos pares de ângulos homólogos (agudos) de dois quaisquer triângulosrectângulos semelhantes, o quociente entre o cateto oposto e ahipotenusa, respectivos, é invariante.

Page 5: Elementos de Trigonometria (1) - home.utad.pthome.utad.pt/~abento/docencia/1semestre12_13/slides_trigonometria... · cateto adjacente hipotenusa LB hipotenusa LA hipotenusa Estes

Seno de um ângulo agudo

Este quociente depende, portanto, unicamente do ângulo; é, assim, umnúmero que podemos associar a cada ângulo agudo. Tal número foinomeado por SENO do ângulo.Se o ângulo é α, usamos a abreviatura sin(α) [ou sen(α)] para denotar oseno do ângulo α.

Definição

Sendo α um ângulo de um triângulo rectângulo, define-se o seno de α

pelo quociente entre o cateto oposto a α e a hipotenusa, isto é,

sin(α) =cateto opostohipotenusa

.

Exemplo. Considere o triângulo rectângulo cujos lados medem três,quatro e cinco unidades de comprimento.Calcule o seno dos ângulos agudos do triângulo.

Proposição

Se α é um ângulo (agudo) num triângulo rectângulo, então sin(α) 6 1.

Page 6: Elementos de Trigonometria (1) - home.utad.pthome.utad.pt/~abento/docencia/1semestre12_13/slides_trigonometria... · cateto adjacente hipotenusa LB hipotenusa LA hipotenusa Estes

Um outro invariante... nos triângulos rectângulos

No quociente cateto opostohipotenusa , se substituirmos cateto oposto por cateto

adjacente temos uma outra invariância. Assim,

Proposição

Nos pares de ângulos homólogos (agudos) de dois quaisquer triângulosrectângulos semelhantes, o quociente entre o cateto adjacente e ahipotenusa, respectivos, é invariante. Isto é, é invariante o quociente

(cateto adjacente

hipotenusa

)

α

.

Demonstração. O caminho para justificar esta Proposição é idêntico aoque desenvolvemos para o seno de um ângulo. �Que nome atribuir a este número?Consideremos o seguinte: seja ∆[ABC] um triângulo rectângulo em C edenotemos por α e β os ângulos agudos opostos aos lados LA e LB,respectivamente.

Page 7: Elementos de Trigonometria (1) - home.utad.pthome.utad.pt/~abento/docencia/1semestre12_13/slides_trigonometria... · cateto adjacente hipotenusa LB hipotenusa LA hipotenusa Estes

Um outro invariante... nos triângulos rectângulos

Consideremos a informação contidana seguinte tabela:

α β

sin(·) LAhipotenusa

LBhipotenusa

cateto adjacentehipotenusa

LBhipotenusa

LAhipotenusa

Estes resultados e o facto de os ângu-los α e β serem complementares, istoé:

α+ β = 90o,

induziram a designação CO-SENO de um ângulo. Dizemosque LB

hipotenusa é o co-seno doângulo α por ser igual ao seno doseu complementar.• Se o ângulo é α, usamos a abre-viatura cos(α) para denotar o co-seno do ângulo α.

Definição

Sendo α um ângulo agudo de umtriângulo rectângulo, define-se oco-seno de α pelo quocienteentre o cateto adjacente a α e ahipotenusa, isto é,

cos(α) =cateto adjacente

hipotenusa.

Page 8: Elementos de Trigonometria (1) - home.utad.pthome.utad.pt/~abento/docencia/1semestre12_13/slides_trigonometria... · cateto adjacente hipotenusa LB hipotenusa LA hipotenusa Estes

Um outro invariante... o co-seno

Exemplo. Considere o triângulo rectângulo cujos lados medem três,quatro e cinco unidades de comprimento.Calcule o co-seno dos ângulos agudos do triângulo.

Proposição

Se α é um ângulo (agudo) num triângulo rectângulo, então cos(α) 6 1.

Demonstração. ... �Para não esquecermos:

Proposição

Se α é um ângulo (agudo) num triângulo rectângulo, então:

cos(90o − α) = sin(α);

sin(90o − α) = cos(α).

Page 9: Elementos de Trigonometria (1) - home.utad.pthome.utad.pt/~abento/docencia/1semestre12_13/slides_trigonometria... · cateto adjacente hipotenusa LB hipotenusa LA hipotenusa Estes

A fórmula fundamental da trigonometria

Temos:

sin(α) =|BC||AC| ;

cos(α) =|AB||AC| .

Logo:

sin2(α) =

( |BC||AC|

)2

=(|BC|)2

(|AC|)2 ; cos2(α) =

( |AB||AC|

)2

=(|AB|)2

(|AC|)2 .

Portanto,

sin2(α) + cos2(α) =(|BC|)2

(|AC|)2+(|AB|)2

(|AC|)2 =(|BC|)2 + (|AB|)2

(|AC|)2 =(|AC|)2

(|AC|)2 = 1.

Page 10: Elementos de Trigonometria (1) - home.utad.pthome.utad.pt/~abento/docencia/1semestre12_13/slides_trigonometria... · cateto adjacente hipotenusa LB hipotenusa LA hipotenusa Estes

A tangente de um ângulo (tangente trigonométrica)

Em triângulos rectângulos se-melhantes, foi mostrado quesão invariantes, os quocientes

(cat . op.)αhip.

,(cat . adj .)α

hip..

De modo semelhante, se mostra que o quociente (cateto oposto)α(cateto adjacente)α

éinvariante. Este invariante designa-se por tangente do ângulo α;denota-se por tan(α).

Definição

Sendo α um ângulo agudo de um triângulo rectângulo, tem-se:

tan(α) =(cateto oposto)α

(cateto adjacente)α.

Page 11: Elementos de Trigonometria (1) - home.utad.pthome.utad.pt/~abento/docencia/1semestre12_13/slides_trigonometria... · cateto adjacente hipotenusa LB hipotenusa LA hipotenusa Estes

Valores possíveis para tan(·) de um ângulo agudo

Relativamente a um ângulo agudo α de umtriângulo rectângulo, se o cateto oposto émaior do que o adjacente, temostan(α) = (cat. op.)α

(cat. adj .)α)

> 1.

Se o cateto oposto é igual ao adjacente,temos tan(α) = (cat. op.)α

(cat. adj .)α)

= 1.

Se o cateto oposto é menor do que oadjacente, temos tan(α) = (cat. op.)α

(cat. adj .)α)

< 1.

Portanto:

Proposição

Se α é um ângulo cuja amplitude pertence aointervalo ]0o, 90o[, então

tan(α) ∈ ]0, +∞[.

Page 12: Elementos de Trigonometria (1) - home.utad.pthome.utad.pt/~abento/docencia/1semestre12_13/slides_trigonometria... · cateto adjacente hipotenusa LB hipotenusa LA hipotenusa Estes

A co-tangente de um ângulo agudo

Uma vez que (cateto oposto)α(cateto adjacente)α

é invariante, o seu inverso tam-bém o é. Isto é, é invariante oquociente (cateto adjacente)α

(cateto oposto)α.

Este invariante é a tangentedo complementar de α. Portal facto, designa-se por co-tangente do ângulo α; denota-se por cot(α).

Definição

Sendo α um ângulo agudo de um triângulo rectângulo, tem-se:

cot(α) =(cateto adjacente)α(cateto oposto)α

.

Page 13: Elementos de Trigonometria (1) - home.utad.pthome.utad.pt/~abento/docencia/1semestre12_13/slides_trigonometria... · cateto adjacente hipotenusa LB hipotenusa LA hipotenusa Estes

Valores possíveis para cot(·) de um ângulo agudo

Relativamente a um ângulo agudo α de umtriângulo rectângulo, se o cateto oposto émaior do que o adjacente, temoscot(α) = (cat. adj .)α

(cat. op.)α)

< 1.

Se o cateto oposto é igual ao adjacente,temos cot(α) = (cat. adj .)α

(cat. op.)α)

= 1.

Se o cateto oposto é menor do que oadjacente, temos cot(α) = (cat. adj .)α

(cat. op.)α)

> 1.

Portanto:

Proposição

Se α é um ângulo cuja amplitude pertence aointervalo ]0o, 90o[, então

cot(α) ∈ ]0, +∞[.

Page 14: Elementos de Trigonometria (1) - home.utad.pthome.utad.pt/~abento/docencia/1semestre12_13/slides_trigonometria... · cateto adjacente hipotenusa LB hipotenusa LA hipotenusa Estes

Tangente versus co-tangente

Proposição

Sendo α um ângulo agudo:

tan(α) =sin(α)cos(α)

; cot(α) =cos(α)sin(α)

; tan(α) =1

cot(α).

Demonstração. Temos:

tan(α) =cat .op.cat .adj .

=cat .op.cat .adj .

hip.hip.

=

cat.op.hip.

cat.adj .hip.

=sin(α)cos(α)

; (...) �

Proposição

Sendo α um ângulo agudo:

tan(90o − α) = cot(α); cot(90o − α) = tan(α).

Demonstração. Temos: tan(90o − α) = sin(90o−α)cos(90o−α)

=︸︷︷︸

porque?

cos(α)sin(α) = cot(α).

(...) �

Page 15: Elementos de Trigonometria (1) - home.utad.pthome.utad.pt/~abento/docencia/1semestre12_13/slides_trigonometria... · cateto adjacente hipotenusa LB hipotenusa LA hipotenusa Estes

Razões trigonométricas do ângulo de 30o

sin(30o) =?1 O triângulo ∆[ABC] é rectângulo em B

e BAC = 30o.2 O triângulo ∆[ADB] é a reflexão do

∆[ABC] relativamente ao eixo AB.Logo, o triângulo ∆[ADC] é equilátero.

3 Assim: |BC| = 12 |DC| e

|AC| = |DC| = |AD|.4 Ora: sin(30o) = op.

hip. =|BC||AC| =(3)

12 |DC||AC| =(3)

12 |DC||DC| = 1

2 .

cos(30o) =? Pela FFT, cos2(30o) + sin2(30o) = 1. Portanto,...

tan(30o) =? tan(30o) = sin(30o)cos(30o)? cot(30o) =? cot(30o) = cos(30o)

sin(30o) ?

Proposição

sin(30o) = 12 ; cos(30o) =

√3

2 ; tan(30o) =√

33 ; cot(30o) =

√3.

Page 16: Elementos de Trigonometria (1) - home.utad.pthome.utad.pt/~abento/docencia/1semestre12_13/slides_trigonometria... · cateto adjacente hipotenusa LB hipotenusa LA hipotenusa Estes

Razões trigonométricas do ângulo de 60o

Comecemos por recordar que 60o + 30o = 90o, isto é, 60o e 30o sãocomplementares.Pelo que já vimos atrás, podemos escrever:

sin(60o) = cos(90o − 60o) = cos(30o) =√

32 .

cos(60o) = sin(90o − 60o) = sin(30o) = 12 .

tan(60o) = cot(90o − 60o) = cot(30o) =√

3.

cot(60o) = tan(90o − 60o) = tan(30o) =√

33 .

Proposição

sin(60o) =√

32 ; cos(60o) = 1

2 ; tan(60o) =√

3; cot(60o) =√

33 .

Page 17: Elementos de Trigonometria (1) - home.utad.pthome.utad.pt/~abento/docencia/1semestre12_13/slides_trigonometria... · cateto adjacente hipotenusa LB hipotenusa LA hipotenusa Estes

Razões trigonométricas do ângulo de 45o

sin(45o) =?1 O triângulo ∆[ABC] é isósceles e

rectângulo em B.2 Logo, os ângulos adjacentes ao lado

[AC] são geometricamente iguais. Umavez que são ângulos complementares,decorre que a sua amplitude é de 45o.

3 Por serem complementares, o seno deum coincide com o co-seno do outro.Assim, sin(45o) = cos(45o).

4 Imediatamente, temos:tan(45o) = cot(45o) = 1.

Usando (3) na FFT, temos: 2 sin2(45o) = 1 ⇔ ...

Consequentemente: cos(45o) = ...;

Proposição

sin(45o) = cos(45o) =√

22 ; tan(45o) = cot(45o) = 1.

Page 18: Elementos de Trigonometria (1) - home.utad.pthome.utad.pt/~abento/docencia/1semestre12_13/slides_trigonometria... · cateto adjacente hipotenusa LB hipotenusa LA hipotenusa Estes

Elementos de Trigonometria (2)

Américo Bento

DEP. DE MATEMÁTICA

ESCOLA DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA

UNIV. DE TRÁS-OS-MONTES E ALTO DOURO

Primavera, 2012

Page 19: Elementos de Trigonometria (1) - home.utad.pthome.utad.pt/~abento/docencia/1semestre12_13/slides_trigonometria... · cateto adjacente hipotenusa LB hipotenusa LA hipotenusa Estes

Funções trigonométricas

Sentido POSITIVO de leitura

Semi-recta OP é o lado origem.

Semi-recta OQ é o lado final.

Page 20: Elementos de Trigonometria (1) - home.utad.pthome.utad.pt/~abento/docencia/1semestre12_13/slides_trigonometria... · cateto adjacente hipotenusa LB hipotenusa LA hipotenusa Estes

Funções trigonométricas

Sentido NEGATIVO de leitura

Semi-recta OP é o lado origem.

Semi-recta OQ é o lado final.

Page 21: Elementos de Trigonometria (1) - home.utad.pthome.utad.pt/~abento/docencia/1semestre12_13/slides_trigonometria... · cateto adjacente hipotenusa LB hipotenusa LA hipotenusa Estes

Funções trigonométricas

Ângulo GENERALIZADO

Amplitude α ou... α mais uma volta?A cada par ordenado de semi-rectas corresponde uma família deamplitudes da forma α + k × 360o, k ∈ Z.

Page 22: Elementos de Trigonometria (1) - home.utad.pthome.utad.pt/~abento/docencia/1semestre12_13/slides_trigonometria... · cateto adjacente hipotenusa LB hipotenusa LA hipotenusa Estes

Funções trigonométricas — Arco GENERALIZADO

A cada par ordenado de pontos sobre uma circunferênciacorresponde uma família de amplitudes de arco da formaα + k × 360o, k ∈ Z.Ao arco(PQ) corresponde a família da forma α + m × 360o, m ∈ Z.Ao arco(QP) corresponde a família da forma β + n × 360o, n ∈ Z.

Page 23: Elementos de Trigonometria (1) - home.utad.pthome.utad.pt/~abento/docencia/1semestre12_13/slides_trigonometria... · cateto adjacente hipotenusa LB hipotenusa LA hipotenusa Estes

Funções trigonométricas — Quadrantes

Diz-se um ângulo pertence ao 1o, 2o, 3o ou 4o quadrantes se o ladoorigem é Ox+ e tem lado final no 1o, 2o, 3o ou 4o quadrantes,respectivamente.

Page 24: Elementos de Trigonometria (1) - home.utad.pthome.utad.pt/~abento/docencia/1semestre12_13/slides_trigonometria... · cateto adjacente hipotenusa LB hipotenusa LA hipotenusa Estes

Funções trigonométricas — Função seno

No esquema precedente, o ânguloα tem lado origem na semi-rectaOx+ e lado final na semi-recta OP.

A definição sin(α) := ordenada de Pdis(P,O)

preserva a definição construídacom base num triângulorectângulo.

Qualquer ponto na semi-rectaOP pode ser tomado; de facto,dados P,Q no lado final doângulo, os triângulos rectângulos∆[OBP] e ∆[OEQ] sãosemelhantes.

Assim, o ponto a considerar podeser escolhido à distância de umaunidade da origem: dis(P,O) = 1

Definição (Nova definição de seno de um ângulo)

Sendo P(x , y) um ponto do lado final de um ângulo α com lado origem

Ox+, define-se seno de α pela relação sin(α) =y

dis(P,O).

Page 25: Elementos de Trigonometria (1) - home.utad.pthome.utad.pt/~abento/docencia/1semestre12_13/slides_trigonometria... · cateto adjacente hipotenusa LB hipotenusa LA hipotenusa Estes

Funções trigonométricas —— sin(180o − α) = sin(α)

A semi-recta OP é o lado final do ângulo α.A semi-recta OP ′ é a reflexão de OP relativamente ao eixo Oy .Portanto, a cada ponto P(x , y) em OP corresponde um ponto P ′ nasemi-recta OP ′ de tal modo que P e P ′ têm uma mesma ordenada edis(P,O) = dis(P ′,O). Consequentemente:

sin(180 − α) =ordenada de P ′

dis(P ′,O)=

ydis(P ′,O)

=y

dis(P,O)= sin(α).

Page 26: Elementos de Trigonometria (1) - home.utad.pthome.utad.pt/~abento/docencia/1semestre12_13/slides_trigonometria... · cateto adjacente hipotenusa LB hipotenusa LA hipotenusa Estes

O seno de um ângulo e o círculo trigonométricoPara cada ponto Bsobre a fronteira docírculo, o seno doângulo com lado origemOx+ e lado final OB é aordenada do ponto B.

Sinal da função seno:1o e 2o quadrantes:positivo;3o e 4o quadrantes:negativo.

Proposição (Variação)

∀α, −1 6 sin(α) 6 1.

Proposição (Paridade)

∀α, sin(−α) = − sin(α).

Page 27: Elementos de Trigonometria (1) - home.utad.pthome.utad.pt/~abento/docencia/1semestre12_13/slides_trigonometria... · cateto adjacente hipotenusa LB hipotenusa LA hipotenusa Estes

Variação monótona e periodicidade do seno

A partir do que foi exposto, três factos são de conclusão imediata:

ângulos que diferem de múltiplos inteiros de 360o têm igual seno;

nos 1o e 4o quadrantes, se aumenta o ângulo então aumenta o seno;

nos 2o e 3o quadrantes, se aumenta o ângulo então diminui o seno.

Estas três asserções merecem registo formal. Assim:

Proposição (Periodicidade do seno)

Qualquer que seja α e qualquer que seja o inteiro relativo k, tem-se:sin(α+ k × 360o) = sin(α).

Proposição (Variação monótona do seno: 1o e 4o quadrantes)

Sejam α, β ∈ [−90o, 90o]. Se α<β então sin(α)< sin(β).

Proposição (Variação monótona do seno: 2o e 3o quadrantes)

Sejam α, β ∈ [90o, 270o]. Se α<β então sin(α)> sin(β).

Page 28: Elementos de Trigonometria (1) - home.utad.pthome.utad.pt/~abento/docencia/1semestre12_13/slides_trigonometria... · cateto adjacente hipotenusa LB hipotenusa LA hipotenusa Estes

Funções trigonométricas ::: Função co-seno

No esquema precedente, o ânguloα tem lado origem na semi-rectaOx+ e lado final na semi-recta OP.

A definição cos(α) := abcissa de Pdis(P,O)

preserva a definição construídacom base num triângulorectângulo.

Qualquer ponto na semi-rectaOP pode ser tomado; de facto,dados P,Q no lado final doângulo, os triângulos rectângulos∆[OBP] e ∆[OEQ] sãosemelhantes.

Assim, o ponto a considerar podeser escolhido à distância de umaunidade da origem: dis(P,O) = 1

Definição (Nova definição de co-seno de um ângulo)

Sendo P(x , y) um ponto do lado final de um ângulo α com lado origem

Ox+, define-se co-seno de α pela relação cos(α) =x

dis(P,O).

Page 29: Elementos de Trigonometria (1) - home.utad.pthome.utad.pt/~abento/docencia/1semestre12_13/slides_trigonometria... · cateto adjacente hipotenusa LB hipotenusa LA hipotenusa Estes

Funções trigonométricas ::: cos(180o − α) = − cos(α)

A semi-recta OP é o lado final do ângulo α.A semi-recta OP ′ é a reflexão de OP relativamente ao eixo Oy .Portanto, a cada ponto P(x , y) em OP corresponde um ponto P ′ nasemi-recta OP ′ de tal modo que P e P ′ têm abcissas simétricas edis(P,O) = dis(P ′,O). Consequentemente:

cos(180 − α) =abci . de P ′

dis(P ′,O)=

−xdis(P ′,O)

= −x

dis(P,O)= − cos(α).

Page 30: Elementos de Trigonometria (1) - home.utad.pthome.utad.pt/~abento/docencia/1semestre12_13/slides_trigonometria... · cateto adjacente hipotenusa LB hipotenusa LA hipotenusa Estes

O co-seno de um ângulo e o círculo trigonométrico

Para cada ponto Bsobre a fronteira docírculo, o co-seno doângulo com lado origemOx+ e lado final OB é aabcissa do ponto B.

Sinal do co-seno:1oQ e 4oQ: positivo;2oQ e 3oQ: negativo.

Proposição (Variação)

∀α, −1 6 cos(α) 6 1.

Proposição (Paridade)

∀α, cos(−α) = cos(α).

Page 31: Elementos de Trigonometria (1) - home.utad.pthome.utad.pt/~abento/docencia/1semestre12_13/slides_trigonometria... · cateto adjacente hipotenusa LB hipotenusa LA hipotenusa Estes

Variação monótona e periodicidade do co-seno

A partir do que foi exposto, três factos são de conclusão imediata:ângulos que diferem de múltiplos inteiros de 360o têm igual co-seno;nos 1o e 2o quadrantes, se aumenta o ângulo então diminui oco-seno;nos 3o e 4o quadrantes, se aumenta o ângulo então aumenta oco-seno.

Estas três asserções merecem registo formal. Assim:

Proposição (Periodicidade do co-seno)

Qualquer que seja α e qualquer que seja o inteiro relativo k, tem-se:cos(α+ k × 360o) = cos(α).

Proposição ( co-seno: 1o e 2o quadrantes = DECRESCENTE )

Sejam α, β ∈ [0o, 180o]. Se α<β então cos(α)> cos(β).

Proposição ( co-seno: 3o e 4o quadrantes = CRESCENTE)

Sejam α, β ∈ [180o, 360o]. Se α<β então cos(α)< cos(β).

Page 32: Elementos de Trigonometria (1) - home.utad.pthome.utad.pt/~abento/docencia/1semestre12_13/slides_trigonometria... · cateto adjacente hipotenusa LB hipotenusa LA hipotenusa Estes

Funções trigonométricas ::: Função tangente

No esquema precedente, o ânguloα tem lado origem na semi-rectaOx+ e lado final na semi-recta OP.

1 Para cada ponto P(x , y), x 6= 0,definição tan(α) := ordenada de P

abcissa de Ppreserva a definição construídacom base num triângulorectângulo.

2 Qualquer ponto na semi-rectaOP pode ser tomado; de facto,dados P,Q no lado final doângulo, o ∆[OBP] e o ∆[OEQ]são semelhantes.

3 Assim, o ponto a considerar podeser escolhido à distância de umaunidade da origem: dis(P,O) = 1

Definição (Nova definição de tangente de um ângulo)

Sendo P(x , y), x 6= 0, um ponto do lado final de um ângulo α com lado

origem Ox+, define-se tangente de α pela relação tan(α) =yx.

Page 33: Elementos de Trigonometria (1) - home.utad.pthome.utad.pt/~abento/docencia/1semestre12_13/slides_trigonometria... · cateto adjacente hipotenusa LB hipotenusa LA hipotenusa Estes

Periodicidade e paridade da função tangente

No esquema precedente, o ânguloα tem lado origem na semi-rectaOx+ e lado final na semi-recta OP.

O ângulo (180o + α) tem lado ori-gem na semi-recta Ox+ e lado finalna semi-recta OP ′, sendo P ′ o simé-trico de P relativamente à origem O.Consequentemente, as coordenadasde P ′ são simétricas das coordenadasde P. Temos, portanto:

Proposição (Periódica...)

Se existe tan(α) então∀ k ∈ Z, tan(α+ k ×180o) = tan(α).

Proposição (Par ou ímpar?)

Se existe tan(α) entãotan(−α) = − tan(α).

Exemplos. Exercícios 20(d),(f).

Page 34: Elementos de Trigonometria (1) - home.utad.pthome.utad.pt/~abento/docencia/1semestre12_13/slides_trigonometria... · cateto adjacente hipotenusa LB hipotenusa LA hipotenusa Estes

Função tangente como função de seno e do co-seno

Para cada ânguloα 6= 90o + k × 180o, k ∈ Z, cujolado final seja a semi-recta OP,

podemos tomar um ponto qualquernesta semi-recta [excepto (0,0)] paraescrever a tangente de α.Assim, podemos tomar o ponto de in-tersecção da semi-recta OP com afronteira do círculo trigonométrico.As coordenadas de tal ponto são(x , y) = (cos(α), sin(α)). Logo,

Proposição

Se cos(α) 6= 0 então tan(α) = sin(α)cos(α) .

Exercício. Usando a caracterizaçãoprecedente para tan(α), mostre que:

1 tan(α+ 180o) = tan(α);2 a função tangente é ímpar;3 tan(180o − α) = − tan(α).

Page 35: Elementos de Trigonometria (1) - home.utad.pthome.utad.pt/~abento/docencia/1semestre12_13/slides_trigonometria... · cateto adjacente hipotenusa LB hipotenusa LA hipotenusa Estes

Círculo trigonométrico e o eixo das tangentes• Para identificar relações entre as tan-gentes de diferentes ângulos usa-se arecta paralela ao eixo das ordenadas naabcissa x = 1. Assim, tal recta é a tan-gente geométrica à fronteira do círculotrigonométrico no ponto (1,0).• O ponto P tem abcissa cos(α) e orde-nada sin(α). Logo, tan(α) = sin(α)

cos(α) .

• Por outro lado, ∆[OBP] e ∆[OET ] sãosemelhantes; portanto,tan(α) = ET

OE= ET

1 = y1 = y .

Justificámos, por conseguinte, o facto:

Seja α = ∢

(

Ox+, OP)

. Se existir,

tan(α) é a ordenada do ponto deintersecção da semi-recta OP coma recta de abcissa constante x = 1[eixo das tangentes].

Page 36: Elementos de Trigonometria (1) - home.utad.pthome.utad.pt/~abento/docencia/1semestre12_13/slides_trigonometria... · cateto adjacente hipotenusa LB hipotenusa LA hipotenusa Estes

Sinal e monotonia da tangente

Resumo: • se α = 90o + k × 180o, k ∈ Z, tan(α) não existe; • no 1oQ eno 3oQ, a tangente é positiva; • no 2oQ e no 4oQ, a tangente é negativa.

no 2oQ e no 3oQ, se aumenta o ângulo então aumenta a tangente;nos 1oQ e 4oQ, se aumenta o ângulo então aumenta a tangente.

Formalmente, as duas últimas asserções são, respectivamente:

Proposição ( tangente: 2oQ e 3oQ ::: monótona CRESCENTE )

Sejam α, β ∈]90o, 270o[. Se α<β então tan(α)< tan(β).

Proposição ( tangente: 1oQ e 4oQ ::: monótona CRESCENTE)

Sejam α, β ∈]− 90o, 90o[. Se α<β então tan(α)< tan(β).

Este factos e a periodicidade da tangente permitem escrever:

Proposição

Em cada intervalo da forma ]− 90o + k × 180o; 90o + k × 180o[, k ∈ Z, atangente é crescente. ?? sinal da derivada ??

Page 37: Elementos de Trigonometria (1) - home.utad.pthome.utad.pt/~abento/docencia/1semestre12_13/slides_trigonometria... · cateto adjacente hipotenusa LB hipotenusa LA hipotenusa Estes

Variação da tangente

• Podemos concluir que quando α per-corre o conjunto ]−90o; 90o[, tan(α)“passa” por todas as ordenadas do eixodas tangentes. Portanto, tan(α) per-corre todos os valores de −∞ a +∞,isto é, o intervalo ]−∞; +∞[.• Este facto e a periodicidade da tan-gente justificam a seguinte asserção:

Proposição

Para cada k ∈ Z, se α percorre oconjunto]− 90o + k × 180o; 90o + k × 180o[então tan(α) percorre o intervalo]−∞; +∞[.

Page 38: Elementos de Trigonometria (1) - home.utad.pthome.utad.pt/~abento/docencia/1semestre12_13/slides_trigonometria... · cateto adjacente hipotenusa LB hipotenusa LA hipotenusa Estes

Funções trigonométricas ::: Função co-tangente

No esquema precedente, o ânguloα tem lado origem na semi-rectaOx+ e lado final na semi-recta OP.

1 Para cada ponto P(x , y), y 6= 0,definição cot(α) := abcissa de P

ordenada de Ppreserva a definição construídacom base num triângulorectângulo.

2 Qualquer ponto na semi-rectaOP pode ser tomado; de facto,dados P,Q no lado final doângulo, o ∆[OBP] e o ∆[OEQ]são semelhantes.

3 Assim, o ponto a considerar podeser escolhido à distância de umaunidade da origem: dis(P,O) = 1

Definição (Nova definição de co-tangente de um ângulo)

Sendo P(x , y), y 6= 0, um ponto do lado final de um ângulo α com lado

origem Ox+, define-se co-tangente de α pela relação cot(α) =xy.

Page 39: Elementos de Trigonometria (1) - home.utad.pthome.utad.pt/~abento/docencia/1semestre12_13/slides_trigonometria... · cateto adjacente hipotenusa LB hipotenusa LA hipotenusa Estes

Periodicidade e paridade da função co-tangente

No esquema precedente, o ânguloα tem lado origem na semi-rectaOx+ e lado final na semi-recta OP.

O ângulo (180o + α) tem lado ori-gem na semi-recta Ox+ e lado finalna semi-recta OP ′, sendo P ′ o simé-trico de P relativamente à origem O.Consequentemente, as coordenadasde P ′ são simétricas das coordenadasde P. Temos, portanto:

Proposição (Periódica...)

Se existe cot(α) então∀ k ∈ Z, cot(α+ k × 180o) = cot(α).

Proposição (Par ou ímpar?)

Se existe cot(α) entãocot(−α) = − cot(α).

Page 40: Elementos de Trigonometria (1) - home.utad.pthome.utad.pt/~abento/docencia/1semestre12_13/slides_trigonometria... · cateto adjacente hipotenusa LB hipotenusa LA hipotenusa Estes

Função co-tangente: função de co-seno e do seno

Para cada ânguloα 6= 0o +k ×180o, k ∈ Z, cujo ladofinal seja a semi-recta OP,

podemos tomar um ponto qualquernesta semi-recta [excepto (0,0)] paraescrever a co-tangente de α.Assim, podemos tomar o ponto de in-tersecção da semi-recta OP com afronteira do círculo trigonométrico.As coordenadas de tal ponto são(x , y) = (cos(α), sin(α)). Logo,

Proposição

Se sin(α) 6= 0 então cot(α) = cos(α)sin(α) .

Exercício. Usando a caracterizaçãoprecedente para cot(α), mostre que:

1 cot(α+ 180o) = cot(α);2 a função co-tangente é ímpar;3 cot(180o − α) = − cot(α).

Page 41: Elementos de Trigonometria (1) - home.utad.pthome.utad.pt/~abento/docencia/1semestre12_13/slides_trigonometria... · cateto adjacente hipotenusa LB hipotenusa LA hipotenusa Estes

Círculo trigonométrico e o eixo das co-tangentesyx�1 +1Eixo das o-tangentes

b

b x1 ot(�) = x1 = x ot(�) = os(�)sin(�) os(�)�Para identificar relaçõesentre as co-tangentesde diferentes ângulosusa-se a recta paralelaao eixo das abcissas naordenada y = 1. Assim,tal recta é a tangentegeométrica à fronteira docírculo trigonométrico no

ponto (0,1). O ponto P tem abcissa cos(α) e ordenada sin(α). Logo,cot(α) = cos(α)

sin(α) . Por outro lado, ∆[OQP] e ∆[OSR] são semelhantes;

portanto, cot(α) = ??= ?

1 = x1 = x . Justificámos, por conseguinte, o

facto: Seja α = ∢

(

Ox+, OP)

. Se existir, cot(α) é a abcissa do ponto

de intersecção da semi-recta OP com a recta de ordenada constantey = 1 [eixo das co-tangentes].

Page 42: Elementos de Trigonometria (1) - home.utad.pthome.utad.pt/~abento/docencia/1semestre12_13/slides_trigonometria... · cateto adjacente hipotenusa LB hipotenusa LA hipotenusa Estes

Sinal e monotonia da co-tangente

Resumo: • se α = 0o + k × 180o, k ∈ Z, cot(α) não existe; • no 1oQ e no3oQ, a co-tangente é positiva; • no 2oQ e no 4oQ, a co-tangente énegativa.

no 1oQ e no 2oQ, se aumenta o ângulo então diminui a co-tangente;nos 3oQ e 4oQ, se aumenta o ângulo então diminui a co-tangente.

Formalmente, as duas últimas asserções são, respectivamente:

Proposição ( co-tangente: 1oQ e 2oQ ::: monótona DECRESCENTE )

Sejam α, β ∈]0o, 180o[. Se α<β então cot(α)> cot(β).

Proposição ( tangente: 3oQ e 4oQ ::: monótona DECRESCENTE)

Sejam α, β ∈]180o, 360o[. Se α<β então cot(α)> cot(β).

Este factos e a periodicidade da co-tangente permitem escrever:

Proposição

Em cada intervalo da forma ]0o + k × 180o; 180o + k × 180o[, k ∈ Z, atangente é decrescente. ?? sinal da derivada ??

Page 43: Elementos de Trigonometria (1) - home.utad.pthome.utad.pt/~abento/docencia/1semestre12_13/slides_trigonometria... · cateto adjacente hipotenusa LB hipotenusa LA hipotenusa Estes

Variação da co-tangenteyx�1 +1Eixo das o-tangentes

b

b x1 ot(�) = x1 = x ot(�) = os(�)sin(�) os(�)�• Podemos concluirque quando α percorreo conjunto ]0o; 180o[,cot(α) “passa” portodas as abcissas doeixo das co-tangentes.Portanto, cot(α)percorre todos osvalores de +∞ a −∞,

isto é, o intervalo ]−∞; +∞[.• Este facto e a periodicidade da co-tangente justificam a seguinteasserção:

Proposição

Para cada k ∈ Z, se α percorre o conjunto]0o + k × 180o; 180o + k × 180o[, então cot(α) percorre o intervalo]−∞; +∞[.

Page 44: Elementos de Trigonometria (1) - home.utad.pthome.utad.pt/~abento/docencia/1semestre12_13/slides_trigonometria... · cateto adjacente hipotenusa LB hipotenusa LA hipotenusa Estes

Elementos de Trigonometria (3)

Américo Bento

DEP. DE MATEMÁTICA

ESCOLA DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA

UNIV. DE TRÁS-OS-MONTES E ALTO DOURO

Primavera, 2012

Page 45: Elementos de Trigonometria (1) - home.utad.pthome.utad.pt/~abento/docencia/1semestre12_13/slides_trigonometria... · cateto adjacente hipotenusa LB hipotenusa LA hipotenusa Estes

Conservação da FFT

O ângulo α tem lado origem na semirretaOx+ e lado final na semirreta OP.(1) Seja d = dis(P,O). De acordocom as definições de seno e de co-seno,temos sin(α) = y

d , cos(α) = xd .

(2) Logo, sin2(α) = y2

d2 , cos2(α) = x2

d2 .(3) Consequentemente:sin2(α) + cos2(α) = y2

d2 + x2

d2 = y2+x2

d2 .(4) Podemos interpretar d comoa hipotenusa do ∆[OPE ]. Assim, pelo

teorema de Pitágoras, d2 = (PE)2 + (EO)2 = |x |2 + |y |2 = x2 + y2.(5) De (3) e (4):

sin2(α) + cos2(α) = 1 .

Considere os casos: (i) OP coincide com Ox+; (ii) OP coincide comOy+; (iii) OP coincide com Ox−; (iv) OP coincide com Oy−.Verifique que a fórmula fundamental da trigonometria continua válida.

Page 46: Elementos de Trigonometria (1) - home.utad.pthome.utad.pt/~abento/docencia/1semestre12_13/slides_trigonometria... · cateto adjacente hipotenusa LB hipotenusa LA hipotenusa Estes

A unidade de medida: RADIANO

RADIANO é o menor ângulo (aocentro) determinando por um arcode circunferência de comprimentoigual ao raio.

1 Quantos RADIANOS cabem naamplitude de umacircunferência?... ou, de outromodo: quantas vezes cabe o raiode uma circunferência nelaprópria?

2 Ora, saber quantas vezes cabe rem 2πr é dividir esta quantidadepor aquela. Assim, 2πr

r = 2π; istoé, o raio r cabe 2π vezes nacircunferência de comprimento2πr .Logo, uma vez que a cada rcorresponde 1rad , é de esperarque na amplitude dacircunferência caibam 2π vezes1rad , isto é, 2πrad .

Page 47: Elementos de Trigonometria (1) - home.utad.pthome.utad.pt/~abento/docencia/1semestre12_13/slides_trigonometria... · cateto adjacente hipotenusa LB hipotenusa LA hipotenusa Estes

A unidade de medida: RADIANO

RADIANO é o menor ângulo (aocentro) determinando por um arcode circunferência de comprimentoigual ao raio.

• De facto, se ao raio r corresponde 1radiano (1rad) então ao comprimento2πr corresponde x radianos. Resol-vendo a equação que traduz esta re-lação de proporcionalidade:

1radr

=x

2πr⇔ x = 2πr

1radr

⇔ x = 2πrad .

• Consequentemente, temos:

360o ←→ 2πrad

180o ←→ πrad

90o ←→ (π/2)rad

60o ←→ (π/3)rad

45o ←→ (π/4)rad

30o ←→ (π/6)rad .

Page 48: Elementos de Trigonometria (1) - home.utad.pthome.utad.pt/~abento/docencia/1semestre12_13/slides_trigonometria... · cateto adjacente hipotenusa LB hipotenusa LA hipotenusa Estes

Amplitude de ângulo em radianos e a recta real

Qualquer amplitude de ângulo em graus pode ser expressa em radianos.• De facto, sendo α uma amplitude de ângulo (em graus) e x a mesmaamplitude em radianos, a relação de proporcionalidade

x está para α, assim como πrad está para 180o

permite escrever

xπrad

180o ⇐⇒ x =α

180πrad .

• Esta unidade de medida — radianos — permite tratar cada amplitudede ângulo como uma grandeza escalar de natureza igual à natureza docomprimento do raio.• Escrevemos cos

(

π

3 rad)

no lugar de cos(60o); na forma simplificada:cos

(

π

3

)

.• Escrevemos sin

(

π

4 rad)

no lugar de sin(45o); na forma simplificada:sin

(

π

4

)

.• As expressões cos(2), sin(3), tan(5) são interpretadas comocos(2rad), sin(3rad), tan(5rad).

Page 49: Elementos de Trigonometria (1) - home.utad.pthome.utad.pt/~abento/docencia/1semestre12_13/slides_trigonometria... · cateto adjacente hipotenusa LB hipotenusa LA hipotenusa Estes

Seno ::: co-seno ::: tangente ::: co-tangente

Page 50: Elementos de Trigonometria (1) - home.utad.pthome.utad.pt/~abento/docencia/1semestre12_13/slides_trigonometria... · cateto adjacente hipotenusa LB hipotenusa LA hipotenusa Estes

lim sin xx , quando x → 0

Notemos que x , sin x ,tan x são grandezas da mesma natureza(estamos a usar a unidade radianos).Portanto, podemos escrever:• se x → 0+ então

sin x < x < tanx . (1)

• Dividindo (1) por sin x[notar que sinx > 0, se x → 0+], obtemos

1 <x

sin x<

1cos x

. (2)

• Aplicando lim, resulta

1 6 limx→0+

xsin x

6 limx→0+

1cos x

.

Uma vez que limx→0+1

cos x = 1, decorre que limx→0+x

sin x = 1.

• Logo: limx→0+

sin xx

= 1. (*)

Page 51: Elementos de Trigonometria (1) - home.utad.pthome.utad.pt/~abento/docencia/1semestre12_13/slides_trigonometria... · cateto adjacente hipotenusa LB hipotenusa LA hipotenusa Estes

lim sin xx , quando x → 0

? x → 0− ?

• Ora: x → 0− se, e só se, −x → 0+. Assim, por (*): lim−x→0+

sin(−x)−x

= 1.

• Mas, por outro lado,

lim−x→0+

sin(−x)−x

= limx→0−

− sin x−x

= limx→0−

sin xx

.

• Por conseguinte: limx→0−

sin xx = 1. Daqui e de (*), resulta:

limx→0

sin xx

= 1 .

Ex. Calcule: • (a) limx→0

sin(2x)3x

; • (b) limx→0

sin(3x)sin(5x)

; • (c) limx→0

sin(3x)tan x

.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Page 52: Elementos de Trigonometria (1) - home.utad.pthome.utad.pt/~abento/docencia/1semestre12_13/slides_trigonometria... · cateto adjacente hipotenusa LB hipotenusa LA hipotenusa Estes

A função real, de variável real, sin(·)

sin : R→ R, x 7→ sin(x) 1-1 1 2 3 4 5 6-1-2-3-4-5-6 y xFigura: Gráfico da função sin(x)

• Pela periodicidade, conhecido o gráfico em qualquer intervalo deamplitude 2π, ficamos a conhecer todo o gráfico.• No intervalo

]

−π

2 ,π

2

[

, sin(x) é monótona crescente. Logo, nesteintervalo, a sua derivada tem sinal positivo (= declive da tangentegeométrica ao gráfico).• O contradomínio é a projecção do gráfico no eixo das ordenadas; é ointervalo [−1,1].• Os zeros da função ocorrem nos valores da forma kπ, k ∈ Z;(intersecção do gráfico com o eixo Ox).

Page 53: Elementos de Trigonometria (1) - home.utad.pthome.utad.pt/~abento/docencia/1semestre12_13/slides_trigonometria... · cateto adjacente hipotenusa LB hipotenusa LA hipotenusa Estes

A função real, de variável real, sin(·); derivada

Proposição

Sendo a e b dois ângulos, tem-se: sin a− sin b = 2 sina− b

2cos

a + b2

.

Exercício. Deduza a fórmula para sin a + sin b.Exercício. Deduza a fórmula para cos a + cos b.

Exercício. Deduza a fórmula para cos a − cos b.

Teorema (Derivada de sin(x))

A derivada de sin(x) é cos(x), isto é, sin′(x) = cos(x).

Demonstração. Usando a definição de derivada, temos:

(sin x)′ = limh→0

sin(x + h)− sin(x)h

= limh→0

2 sin x+h−x2 cos x+h+x

2

h

= limh→0

2 sin h2 cos

(

x + h2

)

h= lim

h→0

sin h2

h2

limx→0

cos(

x +h2

)

= 1 · cos(x) = cos(x). �

Page 54: Elementos de Trigonometria (1) - home.utad.pthome.utad.pt/~abento/docencia/1semestre12_13/slides_trigonometria... · cateto adjacente hipotenusa LB hipotenusa LA hipotenusa Estes

A função real, de variável real, sin(·); derivada

Teorema (Derivada de sin(u(x)))

Se u é uma função real, de variável real x, com derivada finita, então aderivada da função sin(u(x)) é u′(x) cos(u(x)), isto é,(sin(u(x)))′ = u′(x) cos(u(x)).

Demonstração. Recordemos: sin(u(x)) = (sin ◦u)(x). Portanto,

(sin(u(x)))′ = (sin ◦u)′(x) = (sin)′(u(x)) · u′(x) = u′(x) cos(u(x)). �

Exemplos

Page 55: Elementos de Trigonometria (1) - home.utad.pthome.utad.pt/~abento/docencia/1semestre12_13/slides_trigonometria... · cateto adjacente hipotenusa LB hipotenusa LA hipotenusa Estes

A função real, de variável real, cos(·)

cos : R→ R, x 7→ cos(x) 1-1 1 2 3 4 5 6-1-2-3-4-5-6 y xFigura: Gráfico da função cos(x)

• Pela periodicidade, conhecido o gráfico em qualquer intervalo deamplitude 2π, ficamos a conhecer todo o gráfico.• No intervalo ]0, π[, cos(x) é monótona decrescente. Logo, nesteintervalo, a sua derivada tem sinal negativo (= declive da tangentegeométrica ao gráfico).• O contradomínio é a projecção do gráfico no eixo das ordenadas; é ointervalo [−1,1].• Os zeros da função ocorrem nos valores da forma π

2 + kπ, k ∈ Z;(intersecção do gráfico com o eixo Ox).

Page 56: Elementos de Trigonometria (1) - home.utad.pthome.utad.pt/~abento/docencia/1semestre12_13/slides_trigonometria... · cateto adjacente hipotenusa LB hipotenusa LA hipotenusa Estes

A função real, de variável real, cos(·); derivada

Teorema (Derivada de cos(x))

A derivada de cos(x) é − sin(x), isto é, cos′(x) = − sin(x).

Demonstração. Usando a fórmula fundamental da trigonometria e aderivada de uma potência, temos:

1 sin2 x + cos2 x = 1⇐⇒ sin2 x = 1− cos2 x , (pela FFT);2 (sin2 x)′ = 2(sin x)′(sin x) = 2 cos x sin x , (derivada de uma

potência e derivada do sin(x));3 (1 − cos2 x)′ = 0− (cos2 x)′ = −2(cos x)′ cos x , (derivada da

diferença; derivada de uma potência);4 Por (1), (2) e (3), temos: 2 cos x sin x = −2(cos x)′ cos x .

Logo: (cos x)′ = − sin x . �

Page 57: Elementos de Trigonometria (1) - home.utad.pthome.utad.pt/~abento/docencia/1semestre12_13/slides_trigonometria... · cateto adjacente hipotenusa LB hipotenusa LA hipotenusa Estes

A função real, de variável real, cos(·); derivada

Teorema (Derivada de cos(u(x)))

Se u é uma função real, de variável real x, com derivada finita, então aderivada da função cos(u(x)) é −u′(x) sin(u(x)), isto é,(cos(u(x)))′ = −u′(x) sin(u(x)).

Demonstração. Recordemos: cos(u(x)) = (cos ◦u)(x). Portanto,(cos(u(x)))′ = (cos ◦u)′(x) e

(cos ◦u)′(x) = (cos)′(u(x))·u′(x) = − sin(u(x))·u′(x) = −u′(x) sin(u(x)).

Exemplos

Page 58: Elementos de Trigonometria (1) - home.utad.pthome.utad.pt/~abento/docencia/1semestre12_13/slides_trigonometria... · cateto adjacente hipotenusa LB hipotenusa LA hipotenusa Estes

A função real, de variável real, tan(·)

Não existe tan(x) se x = π

2 + kπ, k ∈ Z. Portanto, tan(·) está definida emintervalos da forma

]

−π

2 + kπ, π

2 + kπ[

, k ∈ Z. Assim, para cada k ∈ Z:

tan :]

−π

2+ kπ,

π

2+ kπ

[

−→ R, x 7→ tan(x)

12345-1-2-3-4-51 2 3 4 5 6-1-2-3-4-5-6

yxy = tan(x) Pela

periodicidade,conhecidoográficoem qualquerintervaloda forma

]

−π

2 + kπ, π

2 + kπ[

, k ∈ Z, ficamos a conhecer todo o gráfico.• No intervalo

]

−π

2 ,π

2

[

, tan(x) é monótona crescente. Logo, a suaderivada tem sinal positivo (= declive da tangente geométrica ao gráfico).

Page 59: Elementos de Trigonometria (1) - home.utad.pthome.utad.pt/~abento/docencia/1semestre12_13/slides_trigonometria... · cateto adjacente hipotenusa LB hipotenusa LA hipotenusa Estes

A função real, de variável real, tan(·) ::: derivada

Teorema

Se x 6= π

2 + kπ, k ∈ Z, então (tan x)′ = 1cos2 x .

Demonstração. Temos:

(tan x)′ =(

sin xcos x

)

=(sin x)′ cos x − sin x(cos x)′

cos2 x= · · · =

1cos2 x

. �

Teorema

Se u é uma função real, de variável real x, com derivada finita, então:nos pontos x onde existe u′(x) e u(x) 6= π

2 + kπ, k ∈ Z, tem-se

(tan(u(x)))′ = u′(x)cos2(u(x)) .

Demonstração. Recordemos que tan(u(x)) é a expressão designatóriada composta da função u(·) com a função tan(·); isto é:(tan(u(x)))′ = (tan ◦u)′(x). Ora,

(tan ◦u)′(x) = (tan)′(u(x))·u′(x) =1

cos2(u(x))·u′(x) =

u′(x)cos2(u(x))

. (...) �

Page 60: Elementos de Trigonometria (1) - home.utad.pthome.utad.pt/~abento/docencia/1semestre12_13/slides_trigonometria... · cateto adjacente hipotenusa LB hipotenusa LA hipotenusa Estes

A função real, de variável real, tan(·) ::: derivada

ExemplosSendo f (x) = tan(2x3 − 2x + 1), temos:

f ′(x) =(2x3 − 2x + 1)′

cos2(2x3 − 2x + 1)=

6x2 − 2cos2(2x3 − 2x + 1)

.

Sendo g(x) = tan(sin x), temos:

g′(x) =(sin x)′

cos2(sin x)=

cos xcos2(sin x)

.

Sendo h(x) = tan(cos x), temos:

h′(x) =(cos x)′

cos2(cos x)=

− sin xcos2(cos x)

.

Sendo i(x) = tan(tan x), temos:

i ′(x) =(tan x)′

cos2(tan x)=

1cos2 x

cos2(tan x)=

1(cos2 x) cos2(tan x)

.

Page 61: Elementos de Trigonometria (1) - home.utad.pthome.utad.pt/~abento/docencia/1semestre12_13/slides_trigonometria... · cateto adjacente hipotenusa LB hipotenusa LA hipotenusa Estes

A função real, de variável real, cot(·)

Não existe cot(x) se x = 0 + kπ, k ∈ Z. Portanto, cot(·) está definida emintervalos da forma ]0 + kπ, π + kπ[, k ∈ Z. Assim, para cada k ∈ Z:

cot : ]0 + kπ, π + kπ[ −→ R, x 7→ cot(x).

12345-1-2-3-4-51 2 3 4 5 6-1-2-3-4-5-6

yxy = ot(x) • Pela periodicidade,

conhecido o gráfico emqualquer intervalo daforma ]0 + kπ, π + kπ[,k ∈ Z, ficamos aconhecer todo o gráfico.• No intervalo]0 + kπ, π + kπ[, cot(x)

é monótona decrescente. Logo, a sua derivada tem sinal negativo (=declive da tangente geométrica ao gráfico).

Page 62: Elementos de Trigonometria (1) - home.utad.pthome.utad.pt/~abento/docencia/1semestre12_13/slides_trigonometria... · cateto adjacente hipotenusa LB hipotenusa LA hipotenusa Estes

A função real, de variável real, cot(·) ::: derivada

Teorema

Se x 6= kπ, k ∈ Z, então (cot x)′ = −1sin2 x

.

Demonstração. Temos:

(cot x)′ =(cos x

sin x

)′

=(cos x)′ sin x − cos x(sin x)′

sin2 x= · · · =

−1

sin2 x. �

Teorema

Se u é uma função real, de variável real x, com derivada finita, então:nos pontos x onde existe u′(x) e u(x) 6= kπ, k ∈ Z, tem-se(cot(u(x)))′ = −u′(x)

sin2(u(x)).

Demonstração. Recordemos que cot(u(x)) é a expressão designatóriada composta da função u(·) com a função cot(·); isto é:(cot(u(x)))′ = (cot ◦u)′(x). Ora,

(cot ◦u)′(x) = (cot)′(u(x))·u′(x) =−1

sin2(u(x))·u′(x) =

−u′(x)

sin2(u(x)). (...) �

Page 63: Elementos de Trigonometria (1) - home.utad.pthome.utad.pt/~abento/docencia/1semestre12_13/slides_trigonometria... · cateto adjacente hipotenusa LB hipotenusa LA hipotenusa Estes

A função real, de variável real, cot(·) ::: derivada

ExemplosSendo f (x) = cot(2x3 − x + 1), temos:

f ′(x) =−(2x3 − x + 1)′

sin2(2x3 − x + 1)=

−6x2 + 1

sin2(2x3 − x + 1).

Sendo g(x) = cot(sin x), temos:

g′(x) =−(sin x)′

sin2(sin x)=− cos x

sin2(sin x).

Sendo h(x) = cot(cos x), temos:

h′(x) =−(cos x)′

sin2(cos x)=−(− sin x)

sin2(cos x)=

sin x

sin2(cos x).

Sendo i(x) = cot(tan x), temos:

i ′(x) =−(tan x)′

sin2(tan x)=− 1

cos2 x

sin2(tan x)=

−1

(cos2 x) sin2(tan x).