Elementos de Trigonometria (1) -...

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Elementos de Trigonometria (1) Américo Bento DEP . DE MATEMÁTICA ESCOLA DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA UNIV. DE TRÁS- OS- MONTES E ALTO DOURO Primavera, 2012

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  • Elementos de Trigonometria (1)

    Amrico Bento

    DEP. DE MATEMTICAESCOLA DE CINCIAS E TECNOLOGIA

    UNIV. DE TRS-OS-MONTES E ALTO DOURO

    Primavera, 2012

  • O que a Trigonometria?

    Trigonometria = trigono(trs ngulos) + metria = tringulo + medir.

    A Trigonometria o ramo da Matemtica que trata dos processosque permitem calcular medidas de lados, ou ngulos, num tringuloa partir das medidas de outros lados, ou ngulos, no mesmotringulo. a caixa de ferramentas adequada para resolver muitosproblemas.Alguns exemplos (elementares):

    identificar a largura de um rio sem ter de o atravessar;identificar a altura de um monumento ou de uma rvore (sem a elessubir!);identificar a altura de uma montanha; a inclinao de uma encosta; ainclinao da rua onde moramos;fazer o levantamento topogrfico de terrenos;

    ...

  • Tringulos rectngulos semelhantes

    1 [ABE ] e [ACD] so tringulos rectngulos semelhantes;2 os pares de lados correspondentes (lados homlogos) so:

    ([BE ], [CD]) , ([AB], [AC]) , ([AE ], [AD]) .

    3 em tringulos semelhantes, os pares de lados homlogos soproporcionais, isto , o quociente entre dois lados homlogos invariante, desde que tomados pela mesma ordem.

  • Tringulos rectngulos semelhantes

    Formalmente, tem-se: |BE||CD| =|AB||AC| =

    |AE||AD| , isto ,

    |BE ||CD| =

    |AB||AC| e

    |BE ||CD| =

    |AE ||AD|

    [

    |BE ||AE | =|CD||AD|

    ]

    . (1)

    Ora, relativamente ao ngulo com vrtice em A, temos

    (cateto opostohipotenusa

    )

    [ABE]=

    BE

    AE=

    por (1)

    CD

    AD=

    (cateto opostohipotenusa

    )

    [ACD]. (2)

    Justificmos, assim, o facto:

    Proposio

    Nos pares de ngulos homlogos (agudos) de dois quaisquer tringulosrectngulos semelhantes, o quociente entre o cateto oposto e ahipotenusa, respectivos, invariante.

  • Seno de um ngulo agudo

    Este quociente depende, portanto, unicamente do ngulo; , assim, umnmero que podemos associar a cada ngulo agudo. Tal nmero foinomeado por SENO do ngulo.Se o ngulo , usamos a abreviatura sin() [ou sen()] para denotar oseno do ngulo .

    Definio

    Sendo um ngulo de um tringulo rectngulo, define-se o seno de pelo quociente entre o cateto oposto a e a hipotenusa, isto ,

    sin() =cateto opostohipotenusa

    .

    Exemplo. Considere o tringulo rectngulo cujos lados medem trs,quatro e cinco unidades de comprimento.Calcule o seno dos ngulos agudos do tringulo.

    Proposio

    Se um ngulo (agudo) num tringulo rectngulo, ento sin() 6 1.

  • Um outro invariante... nos tringulos rectngulos

    No quociente cateto opostohipotenusa , se substituirmos cateto oposto por catetoadjacente temos uma outra invarincia. Assim,

    Proposio

    Nos pares de ngulos homlogos (agudos) de dois quaisquer tringulosrectngulos semelhantes, o quociente entre o cateto adjacente e ahipotenusa, respectivos, invariante. Isto , invariante o quociente

    (cateto adjacente

    hipotenusa

    )

    .

    Demonstrao. O caminho para justificar esta Proposio idntico aoque desenvolvemos para o seno de um ngulo. Que nome atribuir a este nmero?Consideremos o seguinte: seja [ABC] um tringulo rectngulo em C edenotemos por e os ngulos agudos opostos aos lados LA e LB,respectivamente.

  • Um outro invariante... nos tringulos rectngulos

    Consideremos a informao contidana seguinte tabela:

    sin() LAhipotenusaLB

    hipotenusacateto adjacente

    hipotenusaLB

    hipotenusaLA

    hipotenusa

    Estes resultados e o facto de os ngu-los e serem complementares, isto:

    + = 90o,

    induziram a designao CO-SENO de um ngulo. Dizemosque LBhipotenusa o co-seno dongulo por ser igual ao seno doseu complementar. Se o ngulo , usamos a abre-viatura cos() para denotar o co-seno do ngulo .

    Definio

    Sendo um ngulo agudo de umtringulo rectngulo, define-se oco-seno de pelo quocienteentre o cateto adjacente a e ahipotenusa, isto ,

    cos() =cateto adjacente

    hipotenusa.

  • Um outro invariante... o co-seno

    Exemplo. Considere o tringulo rectngulo cujos lados medem trs,quatro e cinco unidades de comprimento.Calcule o co-seno dos ngulos agudos do tringulo.

    Proposio

    Se um ngulo (agudo) num tringulo rectngulo, ento cos() 6 1.

    Demonstrao. ... Para no esquecermos:

    Proposio

    Se um ngulo (agudo) num tringulo rectngulo, ento:

    cos(90o ) = sin();

    sin(90o ) = cos().

  • A frmula fundamental da trigonometria

    Temos:

    sin() =|BC||AC| ;

    cos() =|AB||AC| .

    Logo:

    sin2() =( |BC||AC|

    )2

    =(|BC|)2

    (|AC|)2; cos2() =

    ( |AB||AC|

    )2

    =(|AB|)2

    (|AC|)2.

    Portanto,

    sin2() + cos2() =(|BC|)2

    (|AC|)2+(|AB|)2

    (|AC|)2=

    (|BC|)2 + (|AB|)2

    (|AC|)2=

    (|AC|)2

    (|AC|)2= 1.

  • A tangente de um ngulo (tangente trigonomtrica)

    Em tringulos rectngulos se-melhantes, foi mostrado queso invariantes, os quocientes

    (cat . op.)hip.

    ,(cat . adj .)

    hip..

    De modo semelhante, se mostra que o quociente (cateto oposto)(cateto adjacente) invariante. Este invariante designa-se por tangente do ngulo ;denota-se por tan().

    Definio

    Sendo um ngulo agudo de um tringulo rectngulo, tem-se:

    tan() =(cateto oposto)

    (cateto adjacente).

  • Valores possveis para tan() de um ngulo agudo

    Relativamente a um ngulo agudo de umtringulo rectngulo, se o cateto oposto maior do que o adjacente, temostan() = (cat. op.)(cat. adj .)

    )> 1.

    Se o cateto oposto igual ao adjacente,temos tan() = (cat. op.)(cat. adj .)

    )= 1.

    Se o cateto oposto menor do que oadjacente, temos tan() = (cat. op.)(cat. adj .)

    )< 1.

    Portanto:

    Proposio

    Se um ngulo cuja amplitude pertence aointervalo ]0o, 90o[, ento

    tan() ]0, +[.

  • A co-tangente de um ngulo agudo

    Uma vez que (cateto oposto)(cateto adjacente) invariante, o seu inverso tam-bm o . Isto , invariante oquociente (cateto adjacente)(cateto oposto) .Este invariante a tangentedo complementar de . Portal facto, designa-se por co-tangente do ngulo ; denota-se por cot().

    Definio

    Sendo um ngulo agudo de um tringulo rectngulo, tem-se:

    cot() =(cateto adjacente)(cateto oposto)

    .

  • Valores possveis para cot() de um ngulo agudo

    Relativamente a um ngulo agudo de umtringulo rectngulo, se o cateto oposto maior do que o adjacente, temoscot() = (cat. adj .)(cat. op.)

    )< 1.

    Se o cateto oposto igual ao adjacente,temos cot() = (cat. adj .)(cat. op.)

    )= 1.

    Se o cateto oposto menor do que oadjacente, temos cot() = (cat. adj .)(cat. op.)

    )> 1.

    Portanto:

    Proposio

    Se um ngulo cuja amplitude pertence aointervalo ]0o, 90o[, ento

    cot() ]0, +[.

  • Tangente versus co-tangente

    Proposio

    Sendo um ngulo agudo:

    tan() =sin()cos()

    ; cot() =cos()sin()

    ; tan() =1

    cot().

    Demonstrao. Temos:

    tan() =cat .op.cat .adj .

    =cat .op.cat .adj .

    hip.hip.

    =

    cat.op.hip.

    cat.adj .hip.

    =sin()cos()

    ; (...)

    Proposio

    Sendo um ngulo agudo:

    tan(90o ) = cot(); cot(90o ) = tan().

    Demonstrao. Temos: tan(90o ) = sin(90o)cos(90o) =porque?

    cos()sin() = cot().

    (...)

  • Razes trigonomtricas do ngulo de 30o

    sin(30o) =?1 O tringulo [ABC] rectngulo em B

    e BAC = 30o.2 O tringulo [ADB] a reflexo do

    [ABC] relativamente ao eixo AB.Logo, o tringulo [ADC] equiltero.

    3 Assim: |BC| = 12 |DC| e|AC| = |DC| = |AD|.

    4 Ora: sin(30o) = op.hip. =|BC||AC| =(3)

    12 |DC||AC| =(3)

    12 |DC||DC| =

    12 .

    cos(30o) =? Pela FFT, cos2(30o) + sin2(30o) = 1. Portanto,...

    tan(30o) =? tan(30o) = sin(30o)

    cos(30o)? cot(30o) =? cot(30o) = cos(30

    o)sin(30o) ?

    Proposio

    sin(30o) = 12 ; cos(30o) =

    3

    2 ; tan(30o) =

    3

    3 ; cot(30o) =

    3.

  • Razes trigonomtricas do ngulo de 60o

    Comecemos por recordar que 60o + 30o = 90o, isto , 60o e 30o socomplementares.Pelo que j vimos atrs, podemos escrever:

    sin(60o) = cos(90o 60o) = cos(30o) =

    32 .

    cos(60o) = sin(90o 60o) = sin(30o) = 12 .

    tan(60o) = cot(90o 60o) = cot(30o) =

    3.

    cot(60o) = tan(90o 60o) = tan(30o) =

    33 .

    Proposio

    sin(60o) =

    32 ; cos(60

    o) = 12 ; tan(60o) =

    3; cot(60o) =

    3

    3 .

  • Razes trigonomtricas do ngulo de 45o

    sin(45o) =?1 O tringulo [ABC] issceles e

    rectngulo em B.2 Logo, os ngulos adjacentes ao lado

    [AC] so geometricamente iguais. Umavez que so ngulos complementares,decorre que a sua amplitude de 45o.

    3 Por serem complementares, o seno deum coincide com o co-seno do outro.Assim, sin(45o) = cos(45o).

    4 Imediatamente, temos:tan(45o) = cot(45o) = 1.

    Usando (3) na FFT, temos: 2 sin2(45o) = 1 ...Consequentemente: cos(45o) = ...;

    Proposio

    sin(45o) = cos(45o) =

    22 ; tan(45

    o) = cot(45o) = 1.

  • Elementos de Trigonometria (2)

    Amrico Bento

    DEP. DE MATEMTICAESCOLA DE CINCIAS E TECNOLOGIA

    UNIV. DE TRS-OS-MONTES E ALTO DOURO

    Primavera, 2012

  • Funes trigonomtricas

    Sentido POSITIVO de leitura

    Semi-recta OP o lado origem.

    Semi-recta OQ o lado final.

  • Funes trigonomtricas

    Sentido NEGATIVO de leitura

    Semi-recta OP o lado origem.

    Semi-recta OQ o lado final.

  • Funes trigonomtricas

    ngulo GENERALIZADO

    Amplitude ou... mais uma volta?A cada par ordenado de semi-rectas corresponde uma famlia deamplitudes da forma + k 360o, k Z.

  • Funes trigonomtricas Arco GENERALIZADO

    A cada par ordenado de pontos sobre uma circunfernciacorresponde uma famlia de amplitudes de arco da forma + k 360o, k Z.Ao arco(PQ) corresponde a famlia da forma + m 360o, m Z.Ao arco(QP) corresponde a famlia da forma + n 360o, n Z.

  • Funes trigonomtricas Quadrantes

    Diz-se um ngulo pertence ao 1o, 2o, 3o ou 4o quadrantes se o ladoorigem Ox+ e tem lado final no 1o, 2o, 3o ou 4o quadrantes,respectivamente.

  • Funes trigonomtricas Funo seno

    No esquema precedente, o ngulo tem lado origem na semi-rectaOx+ e lado final na semi-recta OP.

    A definio sin() := ordenada de Pdis(P,O)preserva a definio construdacom base num tringulorectngulo.

    Qualquer ponto na semi-rectaOP pode ser tomado; de facto,dados P,Q no lado final dongulo, os tringulos rectngulos[OBP] e [OEQ] sosemelhantes.

    Assim, o ponto a considerar podeser escolhido distncia de umaunidade da origem: dis(P,O) = 1

    Definio (Nova definio de seno de um ngulo)

    Sendo P(x , y) um ponto do lado final de um ngulo com lado origem

    Ox+, define-se seno de pela relao sin() =y

    dis(P,O).

  • Funes trigonomtricas sin(180o ) = sin()

    A semi-recta OP o lado final do ngulo .A semi-recta OP a reflexo de OP relativamente ao eixo Oy .Portanto, a cada ponto P(x , y) em OP corresponde um ponto P nasemi-recta OP de tal modo que P e P tm uma mesma ordenada edis(P,O) = dis(P ,O). Consequentemente:

    sin(180 ) =ordenada de P

    dis(P ,O)=

    ydis(P ,O)

    =y

    dis(P,O)= sin().

  • O seno de um ngulo e o crculo trigonomtricoPara cada ponto Bsobre a fronteira docrculo, o seno dongulo com lado origemOx+ e lado final OB aordenada do ponto B.

    Sinal da funo seno:1o e 2o quadrantes:positivo;3o e 4o quadrantes:negativo.

    Proposio (Variao)

    , 1 6 sin() 6 1.

    Proposio (Paridade)

    , sin() = sin().

  • Variao montona e periodicidade do seno

    A partir do que foi exposto, trs factos so de concluso imediata:

    ngulos que diferem de mltiplos inteiros de 360o tm igual seno;

    nos 1o e 4o quadrantes, se aumenta o ngulo ento aumenta o seno;

    nos 2o e 3o quadrantes, se aumenta o ngulo ento diminui o seno.

    Estas trs asseres merecem registo formal. Assim:

    Proposio (Periodicidade do seno)

    Qualquer que seja e qualquer que seja o inteiro relativo k, tem-se:sin(+ k 360o) = sin().

    Proposio (Variao montona do seno: 1o e 4o quadrantes)

    Sejam , [90o, 90o]. Se

  • Funes trigonomtricas ::: Funo co-seno

    No esquema precedente, o ngulo tem lado origem na semi-rectaOx+ e lado final na semi-recta OP.

    A definio cos() := abcissa de Pdis(P,O)preserva a definio construdacom base num tringulorectngulo.

    Qualquer ponto na semi-rectaOP pode ser tomado; de facto,dados P,Q no lado final dongulo, os tringulos rectngulos[OBP] e [OEQ] sosemelhantes.

    Assim, o ponto a considerar podeser escolhido distncia de umaunidade da origem: dis(P,O) = 1

    Definio (Nova definio de co-seno de um ngulo)

    Sendo P(x , y) um ponto do lado final de um ngulo com lado origem

    Ox+, define-se co-seno de pela relao cos() =x

    dis(P,O).

  • Funes trigonomtricas ::: cos(180o ) = cos()

    A semi-recta OP o lado final do ngulo .A semi-recta OP a reflexo de OP relativamente ao eixo Oy .Portanto, a cada ponto P(x , y) em OP corresponde um ponto P nasemi-recta OP de tal modo que P e P tm abcissas simtricas edis(P,O) = dis(P ,O). Consequentemente:

    cos(180 ) =abci . de P

    dis(P ,O)=

    xdis(P ,O)

    = x

    dis(P,O)= cos().

  • O co-seno de um ngulo e o crculo trigonomtrico

    Para cada ponto Bsobre a fronteira docrculo, o co-seno dongulo com lado origemOx+ e lado final OB aabcissa do ponto B.

    Sinal do co-seno:1oQ e 4oQ: positivo;2oQ e 3oQ: negativo.

    Proposio (Variao)

    , 1 6 cos() 6 1.

    Proposio (Paridade)

    , cos() = cos().

  • Variao montona e periodicidade do co-seno

    A partir do que foi exposto, trs factos so de concluso imediata:ngulos que diferem de mltiplos inteiros de 360o tm igual co-seno;nos 1o e 2o quadrantes, se aumenta o ngulo ento diminui oco-seno;nos 3o e 4o quadrantes, se aumenta o ngulo ento aumenta oco-seno.

    Estas trs asseres merecem registo formal. Assim:

    Proposio (Periodicidade do co-seno)

    Qualquer que seja e qualquer que seja o inteiro relativo k, tem-se:cos(+ k 360o) = cos().

    Proposio ( co-seno: 1o e 2o quadrantes = DECRESCENTE )

    Sejam , [0o, 180o]. Se cos().

    Proposio ( co-seno: 3o e 4o quadrantes = CRESCENTE)

    Sejam , [180o, 360o]. Se

  • Funes trigonomtricas ::: Funo tangente

    No esquema precedente, o ngulo tem lado origem na semi-rectaOx+ e lado final na semi-recta OP.

    1 Para cada ponto P(x , y), x 6= 0,definio tan() := ordenada de Pabcissa de Ppreserva a definio construdacom base num tringulorectngulo.

    2 Qualquer ponto na semi-rectaOP pode ser tomado; de facto,dados P,Q no lado final dongulo, o [OBP] e o [OEQ]so semelhantes.

    3 Assim, o ponto a considerar podeser escolhido distncia de umaunidade da origem: dis(P,O) = 1

    Definio (Nova definio de tangente de um ngulo)

    Sendo P(x , y), x 6= 0, um ponto do lado final de um ngulo com lado

    origem Ox+, define-se tangente de pela relao tan() =yx.

  • Periodicidade e paridade da funo tangente

    No esquema precedente, o ngulo tem lado origem na semi-rectaOx+ e lado final na semi-recta OP.

    O ngulo (180o + ) tem lado ori-gem na semi-recta Ox+ e lado finalna semi-recta OP , sendo P o sim-trico de P relativamente origem O.Consequentemente, as coordenadasde P so simtricas das coordenadasde P. Temos, portanto:

    Proposio (Peridica...)

    Se existe tan() ento k Z, tan(+ k 180o) = tan().

    Proposio (Par ou mpar?)

    Se existe tan() entotan() = tan().

    Exemplos. Exerccios 20(d),(f).

  • Funo tangente como funo de seno e do co-seno

    Para cada ngulo 6= 90o + k 180o, k Z, cujolado final seja a semi-recta OP,

    podemos tomar um ponto qualquernesta semi-recta [excepto (0,0)] paraescrever a tangente de .Assim, podemos tomar o ponto de in-terseco da semi-recta OP com afronteira do crculo trigonomtrico.As coordenadas de tal ponto so(x , y) = (cos(), sin()). Logo,

    Proposio

    Se cos() 6= 0 ento tan() = sin()cos() .

    Exerccio. Usando a caracterizaoprecedente para tan(), mostre que:

    1 tan(+ 180o) = tan();2 a funo tangente mpar;3 tan(180o ) = tan().

  • Crculo trigonomtrico e o eixo das tangentes Para identificar relaes entre as tan-gentes de diferentes ngulos usa-se arecta paralela ao eixo das ordenadas naabcissa x = 1. Assim, tal recta a tan-gente geomtrica fronteira do crculotrigonomtrico no ponto (1,0). O ponto P tem abcissa cos() e orde-nada sin(). Logo, tan() = sin()cos() . Por outro lado, [OBP] e [OET ] sosemelhantes; portanto,tan() = ET

    OE= ET1 =

    y1 = y .

    Justificmos, por conseguinte, o facto:

    Seja = (

    Ox+, OP)

    . Se existir,

    tan() a ordenada do ponto deinterseco da semi-recta OP coma recta de abcissa constante x = 1[eixo das tangentes].

  • Sinal e monotonia da tangente

    Resumo: se = 90o + k 180o, k Z, tan() no existe; no 1oQ eno 3oQ, a tangente positiva; no 2oQ e no 4oQ, a tangente negativa.

    no 2oQ e no 3oQ, se aumenta o ngulo ento aumenta a tangente;nos 1oQ e 4oQ, se aumenta o ngulo ento aumenta a tangente.

    Formalmente, as duas ltimas asseres so, respectivamente:

    Proposio ( tangente: 2oQ e 3oQ ::: montona CRESCENTE )

    Sejam , ]90o, 270o[. Se

  • Variao da tangente

    Podemos concluir que quando per-corre o conjunto ]90o; 90o[, tan()passa por todas as ordenadas do eixodas tangentes. Portanto, tan() per-corre todos os valores de a +,isto , o intervalo ]; +[. Este facto e a periodicidade da tan-gente justificam a seguinte assero:

    Proposio

    Para cada k Z, se percorre oconjunto] 90o + k 180o; 90o + k 180o[ento tan() percorre o intervalo]; +[.

  • Funes trigonomtricas ::: Funo co-tangente

    No esquema precedente, o ngulo tem lado origem na semi-rectaOx+ e lado final na semi-recta OP.

    1 Para cada ponto P(x , y), y 6= 0,definio cot() := abcissa de Pordenada de Ppreserva a definio construdacom base num tringulorectngulo.

    2 Qualquer ponto na semi-rectaOP pode ser tomado; de facto,dados P,Q no lado final dongulo, o [OBP] e o [OEQ]so semelhantes.

    3 Assim, o ponto a considerar podeser escolhido distncia de umaunidade da origem: dis(P,O) = 1

    Definio (Nova definio de co-tangente de um ngulo)

    Sendo P(x , y), y 6= 0, um ponto do lado final de um ngulo com lado

    origem Ox+, define-se co-tangente de pela relao cot() =xy.

  • Periodicidade e paridade da funo co-tangente

    No esquema precedente, o ngulo tem lado origem na semi-rectaOx+ e lado final na semi-recta OP.

    O ngulo (180o + ) tem lado ori-gem na semi-recta Ox+ e lado finalna semi-recta OP , sendo P o sim-trico de P relativamente origem O.Consequentemente, as coordenadasde P so simtricas das coordenadasde P. Temos, portanto:

    Proposio (Peridica...)

    Se existe cot() ento k Z, cot(+ k 180o) = cot().

    Proposio (Par ou mpar?)

    Se existe cot() entocot() = cot().

  • Funo co-tangente: funo de co-seno e do seno

    Para cada ngulo 6= 0o +k 180o, k Z, cujo ladofinal seja a semi-recta OP,

    podemos tomar um ponto qualquernesta semi-recta [excepto (0,0)] paraescrever a co-tangente de .Assim, podemos tomar o ponto de in-terseco da semi-recta OP com afronteira do crculo trigonomtrico.As coordenadas de tal ponto so(x , y) = (cos(), sin()). Logo,

    Proposio

    Se sin() 6= 0 ento cot() = cos()sin() .

    Exerccio. Usando a caracterizaoprecedente para cot(), mostre que:

    1 cot(+ 180o) = cot();2 a funo co-tangente mpar;3 cot(180o ) = cot().

  • Crculo trigonomtrico e o eixo das co-tangentesyx1 +1

    Eixo das o-tangentesb

    b x1ot() = x1 = xot() = os()sin() os()Para identificar relaesentre as co-tangentesde diferentes ngulosusa-se a recta paralelaao eixo das abcissas naordenada y = 1. Assim,tal recta a tangentegeomtrica fronteira docrculo trigonomtrico no

    ponto (0,1). O ponto P tem abcissa cos() e ordenada sin(). Logo,cot() = cos()sin() . Por outro lado, [OQP] e [OSR] so semelhantes;

    portanto, cot() = ??= ?1 =

    x1 = x . Justificmos, por conseguinte, o

    facto: Seja = (

    Ox+, OP)

    . Se existir, cot() a abcissa do ponto

    de interseco da semi-recta OP com a recta de ordenada constantey = 1 [eixo das co-tangentes].

  • Sinal e monotonia da co-tangente

    Resumo: se = 0o + k 180o, k Z, cot() no existe; no 1oQ e no3oQ, a co-tangente positiva; no 2oQ e no 4oQ, a co-tangente negativa.

    no 1oQ e no 2oQ, se aumenta o ngulo ento diminui a co-tangente;nos 3oQ e 4oQ, se aumenta o ngulo ento diminui a co-tangente.

    Formalmente, as duas ltimas asseres so, respectivamente:

    Proposio ( co-tangente: 1oQ e 2oQ ::: montona DECRESCENTE )

    Sejam , ]0o, 180o[. Se cot().

    Proposio ( tangente: 3oQ e 4oQ ::: montona DECRESCENTE)

    Sejam , ]180o, 360o[. Se cot().

    Este factos e a periodicidade da co-tangente permitem escrever:

    Proposio

    Em cada intervalo da forma ]0o + k 180o; 180o + k 180o[, k Z, atangente decrescente. ?? sinal da derivada ??

  • Variao da co-tangenteyx1 +1

    Eixo das o-tangentesb

    b x1ot() = x1 = xot() = os()sin() os() Podemos concluirque quando percorreo conjunto ]0o; 180o[,cot() passa portodas as abcissas doeixo das co-tangentes.Portanto, cot()percorre todos osvalores de + a ,

    isto , o intervalo ]; +[. Este facto e a periodicidade da co-tangente justificam a seguinteassero:

    Proposio

    Para cada k Z, se percorre o conjunto]0o + k 180o; 180o + k 180o[, ento cot() percorre o intervalo]; +[.

  • Elementos de Trigonometria (3)

    Amrico Bento

    DEP. DE MATEMTICAESCOLA DE CINCIAS E TECNOLOGIA

    UNIV. DE TRS-OS-MONTES E ALTO DOURO

    Primavera, 2012

  • Conservao da FFT

    O ngulo tem lado origem na semirretaOx+ e lado final na semirreta OP.(1) Seja d = dis(P,O). De acordocom as definies de seno e de co-seno,temos sin() = yd , cos() =

    xd .

    (2) Logo, sin2() = y2

    d2 , cos2() = x

    2

    d2 .(3) Consequentemente:sin2() + cos2() = y

    2

    d2 +x2

    d2 =y2+x2

    d2 .(4) Podemos interpretar d comoa hipotenusa do [OPE ]. Assim, pelo

    teorema de Pitgoras, d2 = (PE)2 + (EO)2 = |x |2 + |y |2 = x2 + y2.(5) De (3) e (4):

    sin2() + cos2() = 1 .

    Considere os casos: (i) OP coincide com Ox+; (ii) OP coincide comOy+; (iii) OP coincide com Ox; (iv) OP coincide com Oy.Verifique que a frmula fundamental da trigonometria continua vlida.

  • A unidade de medida: RADIANO

    RADIANO o menor ngulo (aocentro) determinando por um arcode circunferncia de comprimentoigual ao raio.

    1 Quantos RADIANOS cabem naamplitude de umacircunferncia?... ou, de outromodo: quantas vezes cabe o raiode uma circunferncia nelaprpria?

    2 Ora, saber quantas vezes cabe rem 2r dividir esta quantidadepor aquela. Assim, 2rr = 2; isto, o raio r cabe 2 vezes nacircunferncia de comprimento2r .Logo, uma vez que a cada rcorresponde 1rad , de esperarque na amplitude dacircunferncia caibam 2 vezes1rad , isto , 2rad .

  • A unidade de medida: RADIANO

    RADIANO o menor ngulo (aocentro) determinando por um arcode circunferncia de comprimentoigual ao raio.

    De facto, se ao raio r corresponde 1radiano (1rad) ento ao comprimento2r corresponde x radianos. Resol-vendo a equao que traduz esta re-lao de proporcionalidade:

    1radr

    =x

    2r x = 2r

    1radr

    x = 2rad .

    Consequentemente, temos:

    360o 2rad

    180o rad

    90o (/2)rad

    60o (/3)rad

    45o (/4)rad

    30o (/6)rad .

  • Amplitude de ngulo em radianos e a recta real

    Qualquer amplitude de ngulo em graus pode ser expressa em radianos. De facto, sendo uma amplitude de ngulo (em graus) e x a mesmaamplitude em radianos, a relao de proporcionalidade

    x est para , assim como rad est para 180o

    permite escrever

    xrad

    =

    180o x =

    180rad .

    Esta unidade de medida radianos permite tratar cada amplitudede ngulo como uma grandeza escalar de natureza igual natureza docomprimento do raio. Escrevemos cos

    (

    3 rad)

    no lugar de cos(60o); na forma simplificada:cos

    (

    3

    )

    . Escrevemos sin

    (

    4 rad)

    no lugar de sin(45o); na forma simplificada:sin

    (

    4

    )

    . As expresses cos(2), sin(3), tan(5) so interpretadas comocos(2rad), sin(3rad), tan(5rad).

  • Seno ::: co-seno ::: tangente ::: co-tangente

  • lim sin xx , quando x 0

    Notemos que x , sin x ,tan x so grandezas da mesma natureza(estamos a usar a unidade radianos).Portanto, podemos escrever: se x 0+ ento

    sin x < x < tanx . (1)

    Dividindo (1) por sin x[notar que sinx > 0, se x 0+], obtemos

    1