1

1. De um ângulo agudo x sabe-se que 5

2cos =x . Determina o valor exato de xtgxsen 2+ .

2. Sendo α um ângulo agudo, determina o valor de cada uma das seguintes expressões:

2.1. ( ) 3451222cos7 αα +× sen

2.2. ( ) ααα 22coscos +×tg

2.3. ααα 222cos3cos21 =+− sen

3. O André desenhou no seu caderno o retângulo ao lado. Sabendo que o comprimento do retângulo é o dobro da sua largura, determina o valor da amplitude do ângulo indicado, apresentando um valor arredondado às décimas.

4. Mostra que ( ) 1cos2cos2

+=+ ββββ snsen .

5. Considera o triângulo retângulo da figura. Determina o valor exato de θθ tgsen −2 .

6. O João pretende determinar a altura de uma árvore. Para tal efetuou algumas medições e registou-as no esquema seguinte.

6.1. Determina a altura da árvore. (Sempre que nos cálculos intermédios procederes a arredondamentos,

conserva três casas decimais.) Apresenta o resultado arredondado às décimas.

7. Sabendo que o 2

2cos =α , determina ( )2

2+αtg .

8. Observa a figura. 8.1. Determina o valor de x , em dm, arredondado às décimas. (Nos cálculos

intermédios, conserva quatro casas decimais.)

9. Simplifica a expressão ( )2cosαα −sen

Escola Secundária de Lousada Matemática do 9º ano – FT 8 Data: ___ / ___ / 2012

Assunto: Trigonometria II

2

10. Na figura estão representados, num referencial cartesiano: ♦♦♦♦ um quarto de círculo, de centro na origem e raio 1;

♦♦♦♦ uma semirreta paralela ao eixo das ordenadas, com origem no ponto ( )0,1 ;

♦♦♦♦ um ponto A pertencente à semirreta; ♦♦♦♦ um ângulo α .

10.1. Qual das expressões seguintes representa a área da região

sombreada?

(A) 24

απ tg+ (B)

α

π

tg

2

4+ (C)

2

απ

tg+ (D)

απ

tg

2+

11. Mostra que ( ) xxsenx cos22cos122

−=+− .

12. A figura representa a planta de uma cozinha. Quando os arquitetos idealizam uma cozinha têm em conta as distâncias entre os três locais com maior número de

acessos: ♦♦♦♦ O frigorífico, indicado pela letra R ; ♦♦♦♦ A banca, indicada pela letra S ;

♦♦♦♦ O fogão, indicado pela letra C .

Quando estes três pontos são unidos, forma-se um triângulo conhecido como o “triângulo de trabalho”.

12.1. Calcula d e h , apresentando os resultados em

metros, arredondados às unidades. 12.2. Determina a área do “triângulo de trabalho”.

13. Prova que ( ) ( ) 1cossincoscossinsin =−−+ xxxxxx .

14. Na figura seguinte pode observar-se um candeeiro a iluminar uma rua. O foco produzido pelo candeeiro é cónico (cone reto) e a sua projeção na via pública tem a forma de um círculo.

14.1. Qual das seguintes opções representa a área do círculo de diâmetro

[ ]AB ?

(A) 21,5 dm (B) 2

0,5 m (C) 29,2 m (D) 2

0,3 m

14.2. Calcula o volume do cone, apresentando o resultados arredondado às

unidades.

15. Mostra que, sendo x a amplitude de um ângulo agudo, tem-se que ( )

tgxx

xsenx=

−+2

2

cos2

1cos.

16. A altura de um triângulo equilátero é cm3 . Qual é o perímetro desse triângulo?

(A) cm2 (B) cm4 (C) cm6 (D) cm8

3

17. O ângulo de elevação do topo de uma montanha foi medido no ponto A. Após se ter percorrido 2000 metros sobre uma região plana e em direção à montanha, o ângulo de elevação do topo da montanha

voltou a ser medido no ponto B, tal como mostra a figura seguinte.

17.1. Determina a altura da montanha, apresentando o resultado arredondado às unidades.

18. Um praticante de parapente lançou-se de uma colina. Efetuou o percurso entre A e D, representado na figura, passando pelos pontos B e C. Sabe-se que HDBC // ,

mAB 200___

= e que mCD 600___

= .

18.1. Determina o valor aproximado às centésimas de ___

HA .

19. Mostra que:

19.1. β

βββcos

1cos =×+ sentg

19.2. ( )( ) ααα 2cos11 =+− sensen

20. Considera a figura que representa um mosaico com a forma quadrangular de área igual a 2

144cm . Sabendo que 1

M e 2

M são os pontos médios de dois

dos lados do mosaico, determina um valor aproximado às unidades da amplitude do ângulo α .

21. Sabendo que xxsen cos3

2= , podemos concluir que a xtg é igual

a:

(A) 3

2 (B)

2

3 (C) 6,1 (D) 1,6

22. Na figura ao lado está representado o triângulo [ ]UVA , retângulo

em V . Sendo 2

5sin

−=

mα e

16

2cos

+=

mβ , determina o valor de

m .

23. Seja α a amplitude de um ângulo agudo. Sabe-se que 3=αtg .

23.1. Determina αα

α sentg 32

cos2 −− .

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24. Na figura estão representados, em referencial o.n. xOy :

• o círculo trigonométrico • o raio [ ]OB deste círculo

• o arco de circunferência , AB de centro no ponto O .

Tal como a figura sugere, o ponto B pertence ao primeiro quadrante, os pontos A e C pertencem ao eixo Ox e a recta BC é perpendicular a este

eixo.

24.1. Seja θ a amplitude do ângulo AOB , qual é a abcissa do ponto A?

25. Relativamente à figura apresentada ao lado, sabe-se que:

o triângulo [ ]ABD é rectângulo;

o ponto C pertence ao cateto [ ]BD

x designa a amplitude, em graus do ângulo BAD ;

2___

=AB e 1____

=BC

25.1. Mostra que a área do triângulo é dada por 12 −tgx .

25.2. Determina o valor de x para o qual a área do triângulo é 1.

26. Observa a figura seguinte. Sabendo que º15=∧

Q

e que o raio da circunferência é de 1 cm, determina:

26.1. a altura do triângulo [ ]OPQ ;

26.2. a amplitude do ângulo x ;

26.3. a área pintada a vermelho.