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Vérification de la normalité

Les points essentiels :

1/ Les étapes d’un test statistique

2/ Le test de χ2 (khi-deux)

Vérification de la normalité …

Vérification de la normalité … Vérification de la normalité

d’une distribution …

François LouvetEcole Nationale Supérieure de Céramique Industrielle

47 – 73 Avenue Albert Thomas

87065 Limoges Cedex

[email protected]

© François LOUVETVérification de la normalité …


• Test statistique :

– Procédure statistique pour décider si l'hypothèse nulle doit être rejetée en faveur de l'hypothèse alternative ou non.

– La décision sur l'hypothèse nulle est prise selon les valeurs d'un test statistique ou statistiques appropriées.

Définition …Vérification de la normalité …


d'un test statistique ou statistiques appropriées.

– Le test statistique étant une variable aléatoire, la prise de décision comprend certains risques d'erreur.

– D'une façon générale, un test statistique suppose a priorique certaines hypothèses soient vérifiées (par exemple hypothèse d'indépendance des observations, hypothèse de normalité, etc.).

(NF ISO 3534-1)



• Test de chi carré ; test χ2 :

– Test statistique pour lequel, sous l’hypothèse nulle, la statistique utilisée est supposée suivre une loi de χ2.

– Cela est appliqué par exemple, dans les problèmes suivants :



– Test d’égalité entre la variance d’une population normale et une valeur spécifiée, la statistique du test étant fondée sur la variance de l’échantillon.

– Comparaison entre les effectifs théoriques et observés

(NF ISO 3534-1)



La masse volumique apparente du sable secVérification de la normalité …


Histogramme des effectifs observés

14

16

18

20



0

2

4

6

8

10

12

14

Classe1

Classe2

Classe3

Classe4

Classe5

Classe6

Classe7

Classe8

Classe9

Classe10

Effectif observé





Classes centrales





Classe 1





Classe 10



Histogramme des effectifs théoriques

14.00

16.00

18.00

20.00

Effectif théorique



0.00

2.00

4.00

6.00

8.00

10.00

12.00

14.00

Classe1

Classe2

Classe3

Classe4

Classe5

Classe6

Classe7

Classe8

Classe9

Classe10

Effectif théorique



Effectifs théoriques et observés

14

16

18

20



0

2

4

6

8

10

12

14

Classe 1

Classe 2

Classe 3

Classe 4

Classe 5

Classe 6

Classe 7

Classe 8

Classe 9

Classe 10

Effectif

Eff. obs.

Eff. théo.

• Distance entre effectif théorique et effectif observé :

– Pour la classe i, on définit la distance entre l’effectif théorique et l’effectif observé à partir de la relation :





( )2observé théorique

i i

i théorique

i

n nd

n

−=

• Statistique du test :

– On définit la statistique du test à partir de la relation suivante :





2

obs i

Classes

dχ = ∑



Fonction de densité de probabilité (ν=7)

0.10

0.12

0.14

Densité de probabilité



0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0 5 10 15 20 25 30

Valeur de χ2


• Valeur critique :

– Valeur limite d’une région critique.

(NF ISO 3534-1)








0.10

0.12

0.14


Valeur critique



0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0 5 10 15 20 25 30

Valeur de χ2


• Région critique :

– Ensemble des valeurs de la statistique d'un test pour lesquelles l'hypothèse nulle est rejetée.

– Les régions critiques sont déterminées de façon que, si l'hypothèse nulle est vraie, la probabilité de rejet de cette



l'hypothèse nulle est vraie, la probabilité de rejet de cette hypothèse nulle soit au plus égale à une valeur donnée α, généralement faible (par exemple 5% ou 1%).

(NF ISO 3534-1)






0.10

0.12

0.14


Valeur critique



0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0 5 10 15 20 25 30

Valeur de χ2


Région critique

Zone d’acceptation de l’hypothèse nulle (H0)

• Niveau de signification (d’un test) ; seuil de signification :

– Valeur donnée correspondant à la limite supérieure de la probabilité d'erreur de première espèce.

– Le niveau de signification est généralement noté α.



– Le niveau de signification est généralement noté α.

(NF ISO 3534-1)






0.10

0.12

0.14


Valeur critique



0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0 5 10 15 20 25 30

Valeur de χ2


Région critique

α=5%Zone d’acceptation de l’hypothèse nulle (H0)




0.10

0.12

0.14




0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0 5 10 15 20 25 30

Valeur de χ2


α=5%

• Loi du χ2 :

Autres fonctions …Vérification de la normalité …







25

30



0

5

10

15

20

Classe1

Classe2

Classe3

Classe4

Classe5

Classe6

Classe7

Classe8

Classe9

Classe10

Effectif observé




14

16

18

20



0

2

4

6

8

10

12

14

Classe1

Classe2

Classe3

Classe4

Classe5

Classe6

Classe7

Classe8

Classe9

Classe10

Effectif observé



Effectifs théoriques et observés

20

25



0

5

10

15

Classe 1

Classe 2

Classe 3

Classe 4

Classe 5

Classe 6

Classe 7

Classe 8

Classe 9

Classe 10

Effectif

Eff. obs.

Eff. théo.

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