Les changements de numéraire dans la tarification d’options

Les changements de numéraire dans la tarification d’options

Benjamin PajotJuin 2010

PromoteurPierre Devolder

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De nombreuses options existent sur le marché

Achat au prix minimum en T0 ou en T1

Ristourne de (1-ρ) %

Pay-off :

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Une option ESOP est destinée aux employés d’une entreprise

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La tarification d’une telle option n’est pas toujours simple, à priori

Rapidité et facilité d’implémentation

Calcul explicite de la sensibilité

Evaluation de l’influence des paramètres

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Une solution analytique du prix est toujours préférable

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La tarification par changements de numéraire présente de nombreux avantages

Simplification des calculs

Obtention de certaines formules analytiques

Théorie moderne de l’arbitrage

Changements de numéraire

Tarification d’options ESOP

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Espace de probabilité

Intervalle de temps

Actifs S0, S1, … SN

Sous P :

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Le marché peut se modéliser mathématiquement

Terme detendance

Terme de diffusion

Bien matériel / virtuel de référence(monnaie, action, indice, … )

Actif négociable

Processus numéraire S0

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Un numéraire est un étalon de valeurs

Exemple

Numéraire S1 :

Numéraire S2 :

Marché normalisé

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Le prix de chaque produit est exprimé dans un numéraire particulier

Modèle sans opportunité d’arbitrage (A.O.A.)si et seulement si Il existe une mesure martingale Q0

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La théorie de l’arbitrage est gouvernée par le premier théorème fondamental

Martingales sous Q0

Pay-off stochastique

Marché A.O.A.

Numéraire S0

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Une option doit être tarifée grâce à la formule de tarification générale

Numéraire S1

Numéraire

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Un changement de numéraire n’influence pas le prix de l’option




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Espace de probabilité

Théorème de Radon-Nikodyn

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Les changements de mesure sont gouvernés par le théorème de Radon-Nikodyn

Hypothèses :

Filtration

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Le théorème de Girsanov donne la nouvelle dynamique

Noyau de Girsanov

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Seul le terme de tendance est modifié par changements de mesure

Terme detendance

Terme de diffusion

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La mesure martingale risque-neutre est un cas particulier de changements de mesure

= 0

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Les mesures martingales Si-neutres sont également envisageables

= 0




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La technique de changements de numéraires va permettre la tarification de l’option

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S(T0) n’est pas un actif négociable en T1

S0(t) est un actif négociable en T1

Pay-off

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Le numéraire choisi doit être un actif négociable strictement positif

Dynamique de S sous Q

Dynamique de S0 sous Q

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La dynamique des deux actifs sous-jacents est connue sous la mesure risque-neutre

Prix de l’option

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L’actif S0 est choisit comme numéraire pour effectuer la tarification

Dynamique de S/S0 sous Q0

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La mesure Q0 est une mesure martingale pour le choix S0 de numéraire

Prix de l’option ESOP

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Le prix de l’option est obtenu sous cette mesure par application de la formule de B & S

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Tant que S(T0) n’est pas connu la volatilité du prix de l’option est faible

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Tant que S(T0) n’est pas connu la volatilité du prix de l’option est faible

Prix de l’option ESOP

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Pour les temps supérieurs à T0 un changement de mesure est inutile

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Comme la valeur S(T0) est connue la volatilité de l’option devient plus forte

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Couverture (delta-hedging) extrêmement facile à mettre en œuvre avant la date T0

Simplification des calculs

Obtention de certaines formules analytiques

Restent méconnus à l’heure actuelle

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Les changements de numéraire comme solution adéquate de nombreux problèmes de tarification

Les changements de numéraire dans la tarification d’options

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