Les changements de numéraire dans la tarification d’options
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Les changements de numéraire dans la tarification d’options. Promoteur Pierre Devolder. Benjamin Pajot Juin 2010. De nombreuses options existent sur le marché. Une option ESOP est destinée aux employés d’une entreprise. Achat au prix minimum en T 0 ou en T 1 Ristourne de (1- ρ ) % - PowerPoint PPT Presentation
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Les changements de numéraire dans la tarification d’options
Benjamin PajotJuin 2010
PromoteurPierre Devolder
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De nombreuses options existent sur le marché
Achat au prix minimum en T0 ou en T1
Ristourne de (1-ρ) %
Pay-off :
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Une option ESOP est destinée aux employés d’une entreprise
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La tarification d’une telle option n’est pas toujours simple, à priori
Rapidité et facilité d’implémentation
Calcul explicite de la sensibilité
Evaluation de l’influence des paramètres
5
Une solution analytique du prix est toujours préférable
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La tarification par changements de numéraire présente de nombreux avantages
Simplification des calculs
Obtention de certaines formules analytiques
Théorie moderne de l’arbitrage
Changements de numéraire
Tarification d’options ESOP
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Les changements de numéraire dans la tarification d’options
Benjamin PajotJuin 2010
PromoteurPierre Devolder
Théorie moderne de l’arbitrage
Changements de numéraire
Tarification d’options ESOP
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Les changements de numéraire dans la tarification d’options
Benjamin PajotJuin 2010
PromoteurPierre Devolder
Espace de probabilité
Intervalle de temps
Actifs S0, S1, … SN
Sous P :
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Le marché peut se modéliser mathématiquement
Terme detendance
Terme de diffusion
Bien matériel / virtuel de référence(monnaie, action, indice, … )
Actif négociable
Processus numéraire S0
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Un numéraire est un étalon de valeurs
Exemple
Numéraire S1 :
Numéraire S2 :
Marché normalisé
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Le prix de chaque produit est exprimé dans un numéraire particulier
Modèle sans opportunité d’arbitrage (A.O.A.)si et seulement si Il existe une mesure martingale Q0
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La théorie de l’arbitrage est gouvernée par le premier théorème fondamental
Martingales sous Q0
Pay-off stochastique
Marché A.O.A.
Numéraire S0
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Une option doit être tarifée grâce à la formule de tarification générale
Numéraire S1
Numéraire
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Un changement de numéraire n’influence pas le prix de l’option
Théorie moderne de l’arbitrage
Changements de numéraire
Tarification d’options ESOP
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Les changements de numéraire dans la tarification d’options
Benjamin PajotJuin 2010
PromoteurPierre Devolder
Espace de probabilité
Théorème de Radon-Nikodyn
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Les changements de mesure sont gouvernés par le théorème de Radon-Nikodyn
Hypothèses :
Filtration
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Le théorème de Girsanov donne la nouvelle dynamique
Noyau de Girsanov
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Seul le terme de tendance est modifié par changements de mesure
Terme detendance
Terme de diffusion
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La mesure martingale risque-neutre est un cas particulier de changements de mesure
= 0
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Les mesures martingales Si-neutres sont également envisageables
= 0
Théorie moderne de l’arbitrage
Changements de numéraire
Tarification d’options ESOP
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Les changements de numéraire dans la tarification d’options
Benjamin PajotJuin 2010
PromoteurPierre Devolder
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La technique de changements de numéraires va permettre la tarification de l’option
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S(T0) n’est pas un actif négociable en T1
S0(t) est un actif négociable en T1
Pay-off
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Le numéraire choisi doit être un actif négociable strictement positif
Dynamique de S sous Q
Dynamique de S0 sous Q
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La dynamique des deux actifs sous-jacents est connue sous la mesure risque-neutre
Prix de l’option
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L’actif S0 est choisit comme numéraire pour effectuer la tarification
Dynamique de S/S0 sous Q0
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La mesure Q0 est une mesure martingale pour le choix S0 de numéraire
Prix de l’option ESOP
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Le prix de l’option est obtenu sous cette mesure par application de la formule de B & S
28
Tant que S(T0) n’est pas connu la volatilité du prix de l’option est faible
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Tant que S(T0) n’est pas connu la volatilité du prix de l’option est faible
Prix de l’option ESOP
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Pour les temps supérieurs à T0 un changement de mesure est inutile
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Comme la valeur S(T0) est connue la volatilité de l’option devient plus forte
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Couverture (delta-hedging) extrêmement facile à mettre en œuvre avant la date T0
Simplification des calculs
Obtention de certaines formules analytiques
Restent méconnus à l’heure actuelle
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Les changements de numéraire comme solution adéquate de nombreux problèmes de tarification
![^i Ùl AY cmcdH]qffJkqf sur les îles des cycladessea.org.gr/files/AEKYK 1 Programme.pdfΑρχαιολογικό Έργο στις Κυκλάδες Travaux archéologiques dans les](https://static.fdocument.org/doc/165x107/5f7534ce7271c576135fb1c6/i-l-ay-cmcdhqffjkqf-sur-les-les-des-1-programmepdf-oe.jpg?t=1685467551)
