Cours 2 : Les relations fondamentales de la mécanique des...

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Master 2 – Dynamique des fluides et énergétique Reynald Bur [email protected] Cours 2 : Les relations fondamentales de la mécanique des fluides et les équations de Navier-Stokes Classification des écoulements Paramètres de similitude

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Master 2 – Dynamique des fluideset énergétique

Reynald [email protected]

Cours 2 : Les relations fondamentales de la mécanique des fluideset les équations de Navier-StokesClassification des écoulementsParamètres de similitude

Modélisation des écoulements

hypothèse de milieu continu 0vquandvm →→→→δδδδρρρρ→→→→

δδδδδδδδ

fausse à la limite car le gaz est constitué de molécul es

effet caractérisé par le nombre de Knudsen

LKn

λλλλ====

L longueur du véhicule

λλλλ libre parcours moléculaire moyen

Les équations générales de conservation

Modélisation des écoulements

nombre de KnudsenL

Kn

λλλλ====

régime continu et régime moléculaire

entre les deux régime transitionnel

1Kn <<<<<<<< régime continu

équations de Navier-Stokes

)1(OKn régime moléculaire

simulation directe type Monte-Carlo (DSMC)

Les équations générales de conservation

Modélisation des écoulements

libre parcours moléculaire moyen

2pD2KT

ππππ====λλλλ

K : constante de Boltzmann T : température p : p ression D : diamètre des molécules

Altitude (km) λλλλ (m)20 10-6

70 10-3

110 1150 10

Les équations générales de conservation

Les équations générales de conservation

Les équations de Navier-Stokes

Henri Navier (1785-1836)

Lois de l'équilibre et du mouvement descorps solides élastiques, 1821

Sir Georges Gabriel Stokes (1819-1903)

Les équations générales de conservation

Volume de contrôle pour l'application du principede conservation de la masse

On considère la masse fluide contenue dans le volume (υυυυ) fixe délimitépar la surface (S). Le volume ( υυυυ) ne contient aucun obstacle

normale unitaire(((( ))))S

(((( ))))V

dS

V�

ρρρρn�

Conservation de la masse

La variation de la masse contenue dans le volume ( υυυυ) fixe est égale au flux de masse à travers la surface (S) limitant ( υυυυ) :

dSnVdt S

.)()( ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ ρρρρ−−−−====

υυυυρρρρ

∂∂∂∂∂∂∂∂

υυυυ

0dSnVdt S

====ρρρρ++++υυυυ∂∂∂∂ρρρρ∂∂∂∂

∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ υυυυ

.)()(

application du théorème de la divergence

(((( )))) 0dVdivt

====υυυυ

ρρρρ++++∂∂∂∂ρρρρ∂∂∂∂

∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ υυυυ

)(

en notations tensorielles et en système de coordonnée s orthonormé

(((( ))))0

xu

t i

i ====∂∂∂∂ρρρρ∂∂∂∂++++

∂∂∂∂ρρρρ∂∂∂∂

pour un écoulement incompressible

0Vdiv ====�

0xu

i

i ====∂∂∂∂∂∂∂∂

le champ de vitesse est dit solénoïdal

vrai quel que soit le volume ( υυυυ) fixe équation locale

(((( )))) 0Vdivt

====ρρρρ++++∂∂∂∂ρρρρ∂∂∂∂ �

Conservation de la masse

(convention de l’indice répété pour indiquer la sommat ion)

Les équations générales de conservation

Volume de contrôle pour l'application de l'équationfondamentale de la mécanique

normale unitaire

tensionvecteurP�

VnV�

).(ρρρρ

(((( ))))S

(((( ))))V

dS

n�

On considère la masse fluide contenue dans le volume (υυυυ) fixe délimitépar la surface (S). Le volume ( υυυυ) ne contient aucun obstacle

Les équations générales de conservation

Équation fondamentale de la mécanique

pour un système à masse variable

(((( ))))VMdtd

F��

====

terme de quantité de mouvement

(((( )))) dsVn.VdvVt

dvVdtd

)S()v()v( ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ ρρρρ++++

ρρρρ

∂∂∂∂∂∂∂∂====

ρρρρ

���

γγγγ====�

MFLoi de Newton

Équation fondamentale de la mécanique

Bilan des forces appliquées au système

P�

est le vecteur tension exprimant les actions de conta ctau sein d'un fluide

actions à distance ou forces massiques (pesanteur, fo rcesélectromagnétiques)

∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ ρρρρ)V(

dvf�

forces de contact s'exerçant sur la frontière (S)

∫∫∫∫∫∫∫∫−−−−)(S

dsP�

(((( )))) ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ υυυυυυυυυυυυρρρρ++++−−−−====ρρρρ++++

υυυυρρρρ

∂∂∂∂∂∂∂∂

)()()()(. dfdSPdSVnVdV

t SS

���

��

Le vecteur est le produit contracté du tenseur des contraintespar le vecteur unitaire normal à l'élément de surface d S

P�

T

théorème de la divergence et notations tensorielles équation locale

(((( )))) (((( )))) ij

ijji

j

i fx

Tuu

xtu ρρρρ++++

∂∂∂∂∂∂∂∂

====ρρρρ∂∂∂∂∂∂∂∂++++

∂∂∂∂ρρρρ∂∂∂∂

expression du vecteur tension

pour un fluide Newtonien nTP�

.−−−−====

Équation fondamentale de la mécanique

calculer ou nécessite une loi de comporte ment pour le fluideconsidéré

P�

T

expression pour le tenseur des contraintes en variables tensorielles

ijijij pT ττττ++++δδδδ−−−−====

ijp δδδδ−−−− tenseur sphérique - p : pression, δδδδij tenseur unité

tenseur symé trique : tenseur des contraintes visqueuses ijττττ

l'action de contact se décompose en :dSP�

une force normale à dS ou force de pression

une force tangente à dS ou force de frottement

Équation fondamentale de la mécanique

expression pour le tenseur des contraintes visqueuses

∂∂∂∂∂∂∂∂

++++∂∂∂∂∂∂∂∂µµµµ++++δδδδ

∂∂∂∂∂∂∂∂λλλλ====ττττ

i

j

j

iij

k

kij x

u

xu

xu

λλλλ et µµµµ : coefficients de viscosité de Lamé

hypothèse de Stokes : 3 λλλλ + 2µµµµ = 0

k

k

xu

∂∂∂∂∂∂∂∂

divergence de la vitesse

∂∂∂∂∂∂∂∂

++++∂∂∂∂∂∂∂∂

i

j

j

i

x

u

xu

tenseur des déformations

Équation fondamentale de la mécanique

∂∂∂∂∂∂∂∂δδδδ−−−−

∂∂∂∂∂∂∂∂

++++∂∂∂∂∂∂∂∂µµµµ====ττττ

k

kij

i

j

j

iij x

u32

x

u

xu

expression pour le tenseur des contraintes visqueuses

µµµµ : viscosité moléculaire, donnée par la formule deSutherland dans le cas de l'air

)MKSsystème()s/m/kg(4,110T

T10454,1

2/36

++++××××====µµµµ −−−−

Équation fondamentale de la mécanique

Loi de viscosité moléculaire pour l'air

viscosité (système MKS)

formule de Sutherland

température (K)

Équation fondamentale de la mécanique

Les équations générales de conservation

Équation de l'énergie ou premier principe

expression de la variation de l'énergie totale de la m asse contenuedans le volume ( υυυυ)

la variation de E T résulte de processus thermodynamiques interneset de variations de la vitesse V ainsi que du flux d 'énergie à travers lasurface (S) délimitant ( υυυυ)

où eT est l'énergie totale spécifique (par unité de masse)

2V

ee2

T ++++====

variation de E T pendant le temps δδδδt

tt

EE T

T δδδδ∂∂∂∂

∂∂∂∂====δδδδ

énergie totale ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ υυυυυυυυ

++++ρρρρ====

)(d

2V

eE2

T

td2V

et

E2

1T δδδδ

υυυυ

++++ρρρρ

∂∂∂∂∂∂∂∂====δδδδ ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫υυυυ)(

)(terme de volume

tdSnV2V

eES

2

2T δδδδ

++++ρρρρ====δδδδ ∫∫∫∫∫∫∫∫

.)()(

terme de flux

(((( ))))2T1TT E)E(E δδδδ++++δδδδ====δδδδ

tdSn.V2V

ed2V

et )S(

2

)(

2

δδδδ

++++ρρρρ++++υυυυ

++++ρρρρ

∂∂∂∂∂∂∂∂

∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫υυυυ

Équation de l'énergie ou premier principe

premier principe de la thermodynamique

QWET δδδδ++++δδδδ====δδδδ

δδδδW et δδδδQ : travail et chaleur reçus par le système pendant l e temps δδδδt

Évaluation de la chaleur reçue

tdSn.qQ)S(

δδδδ

−−−−====δδδδ ∫∫∫∫∫∫∫∫

��

flux de chaleur : énergie reçue par unité de

temps et de surface (W/m 2)

q�

Équation de l'énergie ou premier principe

Évaluation du travail reçu

travail des forces de contact sur (S)

tdSV.PW)S(1 δδδδ

−−−−====δδδδ ∫∫∫∫∫∫∫∫

��

travail des forces de masse dans ( υυυυ)

tdVfW2 δδδδ

υυυυρρρρ====δδδδ ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ υυυυ

��

.)(

Équation de l'énergie ou premier principe

puissance/unité de surface

dSnqdVfdSVP

dSnV2V

ed2V

et

SS

S

22

��

���

...

.

)()( )(

)()(

∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫

∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫

−−−−υυυυρρρρ++++−−−−

====

++++ρρρρ++++υυυυ

++++ρρρρ

∂∂∂∂∂∂∂∂

υυυυ

υυυυ

Équation de l'énergie ou premier principe

(((( )))) (((( ))))iijjii

iii

2

ii

2

quxx

puuf

2V

eux2

Ve

t

−−−−ττττ∂∂∂∂∂∂∂∂++++

∂∂∂∂∂∂∂∂−−−−ρρρρ

====

++++ρρρρ

∂∂∂∂∂∂∂∂++++

++++ρρρρ

∂∂∂∂∂∂∂∂

en exprimant le tenseur T ij

théorème de la divergence et notations tensorielles équation locale

(((( ))))iijji

ii

2

ii

2

qTux

uf2V

eux2

Ve

t−−−−

∂∂∂∂∂∂∂∂++++ρρρρ====

++++ρρρρ

∂∂∂∂∂∂∂∂++++

++++ρρρρ

∂∂∂∂∂∂∂∂

Équation de l'énergie ou premier principe

dans un écoulement stationnaire, sans forces de masse ,non visqueux et adiabatique, l'enthalpie totale se conserve

enthalpie totale spécifique :

enthalpie spécifique :ρρρρ

++++==== peh

2Vp

eh2

T ++++ρρρρ

++++====

(((( )))) (((( )))) (((( )))) iiiijji

Tii

T ufquxt

phu

xh

tρρρρ++++−−−−ττττ

∂∂∂∂∂∂∂∂++++

∂∂∂∂∂∂∂∂====ρρρρ

∂∂∂∂∂∂∂∂++++ρρρρ

∂∂∂∂∂∂∂∂équation écrite avec l'enthalpie totale

(((( )))) iiiijji

T ufquxt

pdt

dh ρρρρ++++−−−−ττττ∂∂∂∂∂∂∂∂++++

∂∂∂∂∂∂∂∂====ρρρρ 0

dtdhT ====

Équation de l'énergie ou premier principe

iii

iji

i

iii uf

xu

xpu

dtdu

udtVd

V ++++∂∂∂∂ττττ∂∂∂∂

ρρρρ++++

∂∂∂∂∂∂∂∂

ρρρρ−−−−====≡≡≡≡

.

équation du mouvement

2

(((( )))) iiiijji

T ufquxt

pdt

dh ρρρρ++++−−−−ττττ∂∂∂∂∂∂∂∂++++

∂∂∂∂∂∂∂∂====

équation pour l'enthalpie totale

3

1

dtVd

Vdtdp1

dtdh

dtds

T T

.−−−−ρρρρ

−−−−====

thermodynamique

ρρρρ++++==== dp

TdsdhdtVd

Vdtdp1

dtds

Tdt

dh T

.++++ρρρρ

++++====

Équation de l'énergie ou premier principe

équation écrite avec l'entropie

∂∂∂∂∂∂∂∂−−−−

∂∂∂∂∂∂∂∂

ττττρρρρ

====i

i

i

jij x

qx

u1dtds

T

facteurs de production d'entropie :viscosité, flux de chaleur

combinaison simple de 1 2 3

Équation de l'énergie ou premier principe

Les équations générales de conservation

Récapitulation : les équations de Navier-Stokes

continuité

mouvement

énergie

(((( ))))0

xu

t i

i ====∂∂∂∂ρρρρ∂∂∂∂++++

∂∂∂∂ρρρρ∂∂∂∂

(((( )))) (((( )))) ij

ij

iji

j

i fxx

puu

xtu ρρρρ++++

∂∂∂∂ττττ∂∂∂∂

++++∂∂∂∂∂∂∂∂−−−−====ρρρρ

∂∂∂∂∂∂∂∂++++

∂∂∂∂ρρρρ∂∂∂∂

(((( )))) (((( )))) (((( )))) iiiijji

Tii

T ufquxt

phu

xh

tρρρρ++++−−−−ττττ

∂∂∂∂∂∂∂∂++++

∂∂∂∂∂∂∂∂====ρρρρ

∂∂∂∂∂∂∂∂++++ρρρρ

∂∂∂∂∂∂∂∂

continuité une équation scalaire

mouvement trois équations scalaires

énergie une équation scalaire

Les équations de Navier-Stokes

les équations de Navier-Stokes doivent être complété es pardes lois de comportement pour le fluide

∂∂∂∂∂∂∂∂δδδδ−−−−

∂∂∂∂∂∂∂∂

++++∂∂∂∂∂∂∂∂µµµµ====ττττ

k

kij

i

j

j

iij x

u32

x

u

xucontraintes visqueuses

ii x

Tq

∂∂∂∂∂∂∂∂λλλλ−−−−====

flux de chaleur(loi de Fourier)

λλλλ : conductibilitéthermique

TMRp ====

ρρρρéquation d'état pourun gaz parfait

R : constante des gaz parfait

M : masse molaire du gaz

Les conditions aux limites sur un obstacle

conditions sur la température

adhérence vitesse/obstacle nulle

Vp = 0 ou u = v = w = 0 ou (u i)p=0

conditions sur la vitesse

soit, température imposée : T = T p

soit, flux de chaleur nul (paroi adiabatique) : 0nT

p

====

∂∂∂∂∂∂∂∂

Les équations de Navier-Stokes

flux de chaleur à la paroi en résulte

ppp n

Tq

∂∂∂∂∂∂∂∂λλλλ−−−−==== refroidissement

chauffage

flux de chaleur nul

pT

Les conditions aux limites sur un obstacle

en résulte

nV T

pT

0nT

p

====

∂∂∂∂∂∂∂∂

nn

T

vitesse température

adhérence températureimposée

flux nul : casadiabatique

Les équations générales de conservation

Équations de Navier-Stokes sous forme intrinsèque

(((( ))))

∇∇∇∇++++∇∇∇∇µµµµ++++

∇∇∇∇µµµµ++++−−−−====T

VVIV32

pT���

. Tq ∇∇∇∇λλλλ−−−−====�

lois de comportement

(((( )))) 0V.t

====ρρρρ∇∇∇∇++++∂∂∂∂ρρρρ∂∂∂∂ �

continuité

(((( )))) (((( ))))[[[[ ]]]] 0TVVtV ====∇∇∇∇−−−−⊗⊗⊗⊗ρρρρ∇∇∇∇++++

∂∂∂∂ρρρρ∂∂∂∂

..��

mouvement

(((( )))) (((( )))) (((( )))) 0TVqVete

TT ====∇∇∇∇−−−−∇∇∇∇++++ρρρρ∇∇∇∇++++

∂∂∂∂ρρρρ∂∂∂∂

....�

énergie

Boeing 747- 400

Classification des écoulements

Classification des écoulements

Écoulement incompressible et écoulement compressible

si nombre de Mach et variations de vitesse modérés, la masse volumique peut être considérée comme constante, même si le fluide est en fait compressible !

nombre de Mach M

variation de la masse volumiqueMM

M2 δδδδ−−−−====ρρρρδρδρδρδρ

si nombre de Mach pas trop élevéVV

MM δδδδ≈≈≈≈δδδδ

VV

M2 δδδδ−−−−≈≈≈≈ρρρρδρδρδρδρ

limite 5,03,0M −−−−≈≈≈≈

Les équations générales de conservation

Classification des écoulements

à grands nombres de Reynolds, les effets de la viscosi té sont confinés dans des régions de faible dimension relat ive sauf en cas de décollement massif

hypothèse du fluide non visqueux ou parfait

écoulement non visqueux

écoulement visqueux∞∞∞∞V�

∞∞∞∞V�

Écoulement non visqueux et écoulement visqueux

Classification des écoulements

Effets visqueux sur un profil transsonique

incidence : 0° incidence : 9°

résolution des équations de Navier-Stokes par code Onera elsA

Classification des écoulements

Effets visqueux sur un profil transsonique

mise en incidence du profil (Mach amont égal à 0,7)résolution des équations de Navier-Stokes par code Onera elsA

∂∂∂∂∂∂∂∂δδδδ−−−−

∂∂∂∂∂∂∂∂

++++∂∂∂∂∂∂∂∂µµµµ====ττττ

k

kij

i

j

j

iij x

u32

x

u

xu

tenseur de viscosité ou termes visqueux

si µµµµ (viscosité) faible et dérivées petites j

i

xu

∂∂∂∂∂∂∂∂

les termes visqueux peuvent être négligés

approximation dite du fluide parfait (terme impropre)

équations de Navier-Stokes équations d'Euler

Classification des écoulements

Écoulement non visqueux et écoulement visqueux

Les équations d'Euler

(((( ))))0

xu

t i

i ====∂∂∂∂ρρρρ∂∂∂∂++++

∂∂∂∂ρρρρ∂∂∂∂

continuité

(((( )))) (((( ))))i

jij

i

xp

uuxt

u∂∂∂∂∂∂∂∂−−−−====ρρρρ

∂∂∂∂∂∂∂∂++++

∂∂∂∂ρρρρ∂∂∂∂

mouvement

(((( )))) (((( ))))tp

hux

ht Ti

iT ∂∂∂∂

∂∂∂∂====ρρρρ∂∂∂∂∂∂∂∂++++ρρρρ

∂∂∂∂∂∂∂∂

énergie

système différentiel hyperbolique pseudo-linéaire

ordre abaissé à un perte de conditions aux limites

Écoulement non visqueux et écoulement visqueux

glissement à la paroi pas de condition

0V.n ====�

n

vitesse température

n

Navier-Stokes

Euler

Navier-Stokes

Les équations d'Euler

Écoulement non visqueux et écoulement visqueux

Rotationnel ou vecteur tourbillon

expression de l'accélération

rotationnel ou vecteur tourbillon ou vorticité

Vrotω�

====

kyu

xv

jxw

zu

izv

yw

ωVrot���

∂∂∂∂∂∂∂∂−−−−

∂∂∂∂∂∂∂∂++++

∂∂∂∂∂∂∂∂−−−−

∂∂∂∂∂∂∂∂++++

∂∂∂∂∂∂∂∂−−−−

∂∂∂∂∂∂∂∂====≡≡≡≡

en coordonnées cartésiennes

VrotVV

gradtV

dtVd ��

��

⊗⊗⊗⊗−−−−++++∂∂∂∂∂∂∂∂====

2

2

1

Relation importante entre rotationnel et entropie

Rotationnel ou vecteur tourbillon

kyu

xv

z

∂∂∂∂∂∂∂∂−−−−

∂∂∂∂∂∂∂∂====ωωωω

en écoulement plan le rotationnel a une seule compos ante

il est perpendiculaire au plan de l'écoulement

cette propriété est :

écoulement irrotationnel rotationnel nu l

soit locale (dans une région)

soit globale (partout)

Relation importante entre rotationnel et entropie

Relation de Crocco

2

2VhhT ++++====enthalpie totale spécifique

thermodynamique

mouvement (non visqueux)

2

2Vgradhgradhgrad T ++++====2

pgradρ

sgradThgrad1++++====3

pgradρdt

Vd 1−−−−====�

4

Relation importante entre rotationnel et entropie

Relation de Crocco

si entropie constante dans un écoulement

vecteur rotationnel aligné avec vecteur vitesse

vecteur rotationnel nul

combinaison des relations

VrotVsgradThgrad T

��

⊗⊗⊗⊗++++====

1 2 3 4

écoulement isenthalpique

Relation importante entre rotationnel et entropie

0====⊗⊗⊗⊗++++ VrotVsgradT��

Relation de Crocco

sources d'entropie dans un écoulement

∂∂∂∂∂∂∂∂−−−−

∂∂∂∂∂∂∂∂

ττττρρρρ

====i

i

i

jij x

qx

u1dtds

T

effets visqueux (couches limites, ondes de choc)

il existe de larges domaines où ces termes sont nulsou négligeables

les écoulements irrotationnels ne sont pas rares

échanges thermiques

Relation importante entre rotationnel et entropie

écoulement amont uniforme isentropique

seule source d’entropie : les couches limites

l’écoulement est presque partout isentropique,

donc irrotationnel justiciable d’une modéli sation

plus simple (équation du potentiel)

profil subsonique

n’est plus vrai en cas de décollement massif

la couche limite crée de l’entropie

Régions rotationnelles et irrotationnelles

Régions rotationnelles et irrotationnelles

onde de choc courbe

poche supersoniqueécoulement nonvisqueuxmais rotationnel

couche limite

écoulement visqueux, donc rotationnel sillage

M∞∞∞∞

M > 1

profil transsonique écoulement irrotatio nnel sauf couches limites, sillage, aval du choc courbe

le choc crée de l’entropie

la couche limite crée de l’entropie

le véhicule immobile P émet des perturbations qui sepropagent à la vitesse du son a 0

P

0V ====∞∞∞∞

P

Classification des écoulements

Écoulement subsonique et écoulement supersonique

le véhicule immobile P émet des perturbations qui sepropagent à la vitesse du son a 0

0V ====∞∞∞∞

ta0 ∆∆∆∆

Écoulement subsonique et écoulement supersonique

source immobile 0V ====∞∞∞∞

Écoulement subsonique et écoulement supersonique

écoulement subsonique 0aV <<<<∞∞∞∞

∞∞∞∞V�

1tV ∆∆∆∆∞∞∞∞

2tV ∆∆∆∆∞∞∞∞

P

Écoulement subsonique et écoulement supersonique

source subsonique 0aV <<<<∞∞∞∞

Écoulement subsonique et écoulement supersonique

source subsonique 0aV <<<<∞∞∞∞

Écoulement subsonique et écoulement supersonique

∞∞∞∞V�

écoulement supersonique 0aV >>>>∞∞∞∞

angle de Mach

∞∞∞∞

====ααααVa

sin 0

1tV ∆∆∆∆∞∞∞∞

2tV ∆∆∆∆∞∞∞∞

αααααααα

P

cone de Mach

Écoulement subsonique et écoulement supersonique

source supersonique 0aV >>>>∞∞∞∞

αααα

Écoulement subsonique et écoulement supersonique

source supersonique 0aV >>>>∞∞∞∞

Écoulement subsonique et écoulement supersonique

M 1,5∞ =

source supersonique 0aV >>>>∞∞∞∞

Écoulement subsonique et écoulement supersonique

∞ =M 3

source sonique 0aV ====∞∞∞∞

Écoulement subsonique et écoulement supersonique

source sonique 0aV ====∞∞∞∞

Écoulement subsonique et écoulement supersonique

source sonique (zoom) 0aV ====∞∞∞∞

Écoulement subsonique et écoulement supersonique

Classification des écoulements

écoulement subsonique

écoulement supersoniqueécoulement transsonique

2,1M1 <<<<<<<< ∞∞∞∞

1M <<<<écoulement transsonique

8,07,0M −−−−≈≈≈≈∞∞∞∞

1M >>>>

Les équations générales de conservation

Classification des écoulements

Profil transsonique

variation du nombre de Mach amontrésolution des équations de Navier-Stokes par code Onera elsA

Classification physique des écoulements

fluide réel visqueuxéquations de Navier-Stokes

simulation directe

régime moléculaire régime continu

fluide non visqueuxéquations d'Euler

fluide incompressible

fluide compressible

Classification mathématique des écoulements

écoulement instationnaire écoulement stationnaire

(X,Y,Z,t) tridimensionnel (X,Y,Z)

(X,Y,t) bidimensionnel (X,Y)

(X,t) monodimensionnel (X)

complète linéarisée stationnaire

frottement, flux de chaleur

Equations moyennées (RANS)

instationnaire

théorie des profils minces et de la ligne

portante

Simulation des grosses structures (LES)

Simulation numérique directe (DNS)

Les méthodes de prévision en aérodynamique classiqu e

LES EQUATIONS GENERALES DU MOUVEMENT

APPROXIMATION DU FLUIDE NON VISQUEUX

Cas général : Equations d'Euler

Ecoulement irrotationnel

Equation du potentielMonodimensionnel Bidimensionnel

Supersonique : Méthode des caractéristiques

Transsonique, Supersonique : Méthodes numériques

Tridimensionnel : Méthodes numériques

Ecoulement incompressibleEquation de Laplace

Solutions analytiquesMéthode des singularités

PRISE EN COMPTE DES EFFETS VISQUEUX

L'approximation de couche limite

Problème completRésolution numérique des

équations de Navier -StokesEquations d'Euler :modèles non

visqueux

Méthode de couplage :fluide parfait - fluide

visqueux

ESSAIS EN SOUFFLERIE

EQUATIONS DE NAVIER-STOKES

Dassault Aviation Falcon 7X

Paramètres de similitude

Paramètres de similitude

Équations de Navier-Stokes (sans forces massiques)

continuité

mouvement

énergie

continuité une équation scalaire

mouvement trois équations scalaires

énergie une équation scalaire

( )i

i

u0

t x

∂ ρ∂ρ + =∂ ∂

( ) ( )i j iji

j j

uuu pxt x xi

∂ ρ ∂τ∂ ρ ∂+ = − +∂∂ ∂ ∂

( ) ( ) ( ) ( )T i T ij ij i

i i i

e u e puu q

t x x x

∂ ρ ∂ ρ ∂∂+ = τ − −∂ ∂ ∂ ∂

Paramètres de similitude

Équations de Navier-Stokes sans dimensions

continuité

mouvement

énergie

( ) ( ) ( ) ( )2 2

T i T j ij T ii i i i i

1 Ve u e u e p u

t x Re x RePr x x 2 x

∂ ∂ ∂ µ ∂ ∂ρ + ρ = τ + γ − − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

( ) ( ) ( )i i j ijj i j

p 1u u u

t x x Re x∂ ∂ ∂ ∂ρ + ρ = − + τ

∂ ∂ ∂ ∂

( )∂ρ ∂+ ρ =∂ ∂ i

i

u 0t x

V LRe ∞ ∞

ρ=µ

pCPr

µ=

λ

nombre de Reynolds

nombre de Prandtl

1883 : définition du nombre de Reynolds publié dans

« An Experimental Investigation of the Circumstances W hichDetermine Whether the Motion of Water in Parallel Chan nelsShall Be Direct or Sinuous and of the Law of Resistan ce in Parallel Channels »

étude sur les écoulementsdans les rivières

Osborne Reynolds (1842 – 1912)

Paramètres de similitude

A quoi servent les souffleries ?

Selon certains : c'est un moyen coûteux, bruyant et dangereuxde résoudre les équations de Navier-Stokes !

Certes ! Mais sait-on résoudre les équations de Navier-Stokes ?

Toutefois, la résolution des équations de Navier-S tokes complètesest encore hors de portée sur une forme aussi complexe qu'un avion

Il faut simplifier ces équations, en particulier, en modélisantla turbulence

D'où un manque de précision faisant que la confiance dans lescalculs est encore limitée

Oui, dans un certain nombre de cas grâce à la puissance descalculateurs et aux progrès des méthodes numériques

A quoi servent les souffleries ?

La soufflerie est un moyen de prévision du comporteme nt d'unvéhicule en réalisant une simulation expérimentale sur unemaquette en général à échelle réduite

L'expérience fournira les performances (portance, traînée ,moments…) transposables au véhicule réel si des règles desimilitude sont satisfaites

La soufflerie permet aussi de constituer des cas tests pour valider(ou invalider !) les calculs : les conditions de sim ilitude sont alorssecondaires

L’expérimentation en soufflerie permet d’analyser cert ainsphénomènes dangereux survenant dans des conditionsextrêmes : décollement massif, instabilités, tremblement…

Que réalise une soufflerie ?

Les essais sont exécutés dans une enceinte - ou vein e d'essais -constituant un espace confiné effets des parois

Les mesures sont exécutées sur une maquette tenue par unsupport risque de perturbations

L'écoulement arrivant sur la maquette doit être représentatif dela réalité absence de perturbations ou tourbillons,faible niveau de bruit…

Un essai en soufflerie est beaucoup moins coûteux et moinsdangereux (!) qu'un essai en vol. Il permet en outre d'effectuerun grand nombre de mesures autour de la maquette

Les véhicules - aussi bien aériens que terrestres - font l'objetde très nombreux essais en soufflerie avant leur mise en service

Principales conditions de similitude en aérodynamique classique

mêmes propriétésthermodynamiques

effets de compressibilité

similitude de la géométrieconditions aux limitessur les parois

phénomènes d’ondes(choc, compression,détente)

identité des nombresde Mach

effets visqueux (couchelimites, sillages…)

égalité des nombresde Reynolds

+ bien d’autres conditions en hypersonique, en aéroth ermique…

Classification des souffleries

Subsoniques : de 0 à 200 m/s - écoulement incompressib le

Transsoniques : 0,7 < Mach < 1,3

Supersoniques : 1,6 < Mach < 4

Hypersoniques : Mach > 5

véhicules terrestres, avions en phase de décollageou d'atterrissage, génie civil, énergétique…

avions de transport civils (Boeing, Airbus, Dassault …),avions de combat : secteur stratégique

avions de transport supersoniques, avions de combat,missiles

véhicules hypersoniques (Navette Spatiale), corpsde rentrée dans l’atmosphère, sondes

Souffleries transsoniques

objectif

produire des écoulements dont le nombre de Mach est pro che de 1pour étudier des dispositifs fonctionnant dans le dom ainetranssonique où des régions supersoniques se forment sur l'avion

difficultés techniques

l'effet de confinement dû aux parois de la veine devi entdéterminant la diminution de section produ ite par lamaquette fait col sonique : effet de blocage

les perturbations supersoniques se propagent selon desdirections presque normales à la maquette (angle de Ma chproche de 90°) elles se réfléchissent sur les paroiset retombent sur la maquette

Sources des écarts avec la réalité

qualité de l'écoulement amont

respect du nombre de Mach

respect du nombre de Reynolds

interactions avec les parois

interactions avec les supports

Effet de blocage sonique produit par la maquette

subsonique supersonique

ligne sonique

1M0 ≈≈≈≈

1002,1009,1021,1038,1A/A

195,09,085,08,0M

c

loi des aires minimum très plat près de M = 1

transsonique

εεεε++++==== 1M0

Interactions avec les parois en bas supersonique

les réflexions sur les parois retombent sur la maquett e

inclinaison des perturbations °°°°≈≈≈≈

≅≅≅≅αααα 90

M1

sinArc0

Solutions pour les souffleries transsoniques

le déblocage de l'écoulement est assuré en agissant sur les parois(haute et basse) de la veine augmenter le débit passant auniveau de la maquette pour éviter la formation d'un co l sonique

parois perforées comportant des trous d'aspiration

parois à fentes (même action)

parois adaptables leur forme est ajustéepour reproduire la ligne de courant de l'écoulementen atmosphère infinie

Parois ventilés (perforées ou à fentes)

modélisation difficile des conditions aux limites

principe : une partie du débit de la soufflerie cont ourne la veine d'essais

suppression du blocage sonique au niveau de la maque tte

reconstitution naturelle des lignes de courant

inconvénients corrections résiduelles à eff ectuer

Parois adaptables

principe donner aux parois une forme telle q u'elles soientdes lignes de courant pour un écoulement tendant vers un étatuniforme à l'infini

écoulement intérieur : essai

aux parois :pression mesurée = pression calculée

écoulement extérieur : calcul

potentiel , Euler

processus itératif

déformation des parois jusqu’à ceque cette condition soit satisfaite

Veine à parois adaptables de la soufflerie S3Ch de l'On era-Meudon

vérins

parois déformables mm800≈≈≈≈

capteurs de déplacement

section : 0,76 m x 0,80 m, longueur : 2,20 mparois rigides pleines, perforées ou auto-adaptablesparois latérales équipées de hublots

nombre de Mach : 0,6 < M < 1,35 pression génératrice : pression atmosphériquetempérature génératrice : 290 K < T i0 < 330 K

Une soufflerie transsonique typique : la soufflerie S3 Ch de l’Onera

installation continue à retour

veine guidée à parois interchangeables

réglage précis du nombre de Mach par col aval sonique réglable

0M

0AcA

(((( ))))0c

0 MAA ΣΣΣΣ====

1M >>>>

choc

1M <<<<

La soufflerie S3Ch du Centre Onera de Meudon

diamètre 3m diamètre 2m

section 4,2 ××××4,2m2

section 0,8 ××××0,8m2

24 mètres

5 mètres

moteur3500 kW

réfrigérant

veine d'essais

collecteur diffuseur

filtres

ventilateur àpas variable

veine d’essais

La soufflerie S3Ch du Centre Onera de Meudon

Veine de la soufflerie S3Ch avec maquette motorisée d'aile d'A340

montage entre parois

balance pourmesure dela traînée

profil d'aile

Veine de la soufflerie S3Ch avec maquette de profil supercritique

paroi latérale gauche démontée

mât support et alimentation du jet arrière-corps

tuyère propulsive

support de sondes

sondes

Veine de la soufflerie S3Ch avec maquette d'arrière-co rpsd'avion de combat et simulation du jet du réacteur

Une très grande soufflerie transsonique : la soufflerie S1MAdu Centre Onera de Modane-Avrieux (Haute-Savoie)

Centre Onera de Modane-Avrieux

soufflerie S1MA

Maquette d'Airbus A340 dans la veine de la soufflerie S1MA

montage sur dard arrière

Comment restituer le nombre de Reynoldssur des maquettes à échelle réduite ?

∞∞∞∞

∞∞∞∞∞∞∞∞

µµµµρρρρ==== LV

R

entraîne aussi une augmentation de la pression dynam ique

22 Mp2

V21

q ∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞γγγγ====ρρρρ====

donc des efforts aérodynamiques sur la maquette

problèmes de tenue mécanique, risques de déformation :il y a une limite à l'augmentation de la pression

augmenter la pression soufflerie pressurisée

augmenter la masse volumiquerTp====ρρρρ

Effort de portance sur une maquette

Conditions de la soufflerie S1Ma de l’Onera

Nombre de Mach 1M0 ====

Pression génératrice Pa10p 5i ====

Surface de l’aile de la maquette 2m2S ====

Coefficient de portance 5,0Cz ====

Force de portancez

200z CSMp

2F

γγγγ====

tonnes7,3N37000Fz ====≅≅≅≅

Comment restituer le nombre de Reynoldssur des maquettes à échelle réduite ?

entraîne aussi une diminution de la viscosité de l'a ir

la pression dynamique ne dépend pas de la température

les efforts aérodynamiques sont constants

diminuer la température soufflerie cryogénique

on gagne sur deux tableaux

22 Mp2

V21

q ∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞γγγγ====ρρρρ====

4,110TT 2/3

++++∝∝∝∝µµµµ∞∞∞∞

augmenter la masse volumique rTp====ρρρρ

European Transonic Wind tunnel (ETW) à Cologne

compresseur

injection LN 2

veine d'essais

veine d'essais : 2,4 m ×××× 2m pression : 1,25 à 4,5 bars

nombre de Mach : 0,15 à 1,3 température : 90 à 313 K

nombre de Reynolds max. : 230 ×××× 106 /m

nombre de Reynolds

efforts

température, K

valeurs relativement àla température ambiante

puissance

origine : soufflerie ETW - Cologne

Soufflerie transsonique cryogénique ETW

Evolution du nombre de Reynolds

Soufflerie transsonique cryogénique ETW

Enveloppe nombre de Mach - nombre de Reynolds

n

Full Models

Half Models

90

80

70

0

60

10

20

30

40

50

Cruise Range of current and future Transport Aircraft

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2

Take-off and Landing

nombre de Mach

Other European Wind Tunnels

nombredeReynolds

610−−−−××××(1/2 cordemoyenne)

origine : soufflerie ETW - Cologne

European Transonic Wind tunnel (ETW) à Cologne

montage sur dard arrière

European Transonic Windtunnel (ETW) à Cologne

Veine d'essais vue de l'aval

parois à fentes

L’Éole de Clément Ader

Fin du cours