Vježbe iz predmeta Uvod u čvrstoću konstrukcija

Fakultet strojarstva i brodogradnje U v o d u č v r s t o ć u k o n s t r u k c i j a

dr. sc. Ivica Skozrit, dipl. ing. strojarstva

1. Vježbe

UVIJANJE ŠTAPA NEOKRUGLOG PRESJEKA

dr. sc. Ivica Skozrit, dipl. ing. strojarstva

Zagreb, 2011


dr. sc. Ivica Skozrit, dipl. ing. strojarstva 1

1. Zadatak

Štap eliptičnog poprečnog presjeka, 2 2a b× , opterećen je momentom uvijanja tM . Potrebno je odrediti relativni kut zakreta ϑ , maksimalno naprezanje maxτ , minimalno naprezanje minτ i deplanaciju presjeka u . Dobivene izraze prikazati i za poseban slučaj: kružni poprečni presjek štapa. Zadano: a , b i tM .

Slika 1. Štap eliptičnog poprečnog presjeka

Rješavanje Poisson-ov diferencijalne jednadžbe za eliptični poprečni presjek: 2 2ψ ψ∇ = Δ = − . (1)

Potrebno je pretpostaviti torzijsku funkciju naprezanja ψ : ( , ) ( , )y z c f y zψ = . (2) Rubni uvjet za St. Venant-ovu (torzijsku) funkciju naprezanja: 0ψ = tj. ( , ) 0f y z = . (3)

Funkcija ( , )f y z koja je na rubu eliptičnog poprečnog presjeka jednaka nuli je jednadžba elipse, torzijska funkcija naprezanja:

2 2

2 2 1y zca b

ψ⎛ ⎞

= + −⎜ ⎟⎝ ⎠

. (4)

Parcijalne derivacije torzijske funkcije naprezanja:

22 ycy aψ∂

=∂

, 2

2 2

2cy aψ∂

=∂

, 22 zcz bψ∂

=∂

i 2

2 2

2cz bψ∂

=∂

. (5)

Konstanta c:

2 2ψ∇ = − ⇒ 2 2

2 2

a bca b

= −+

. (6)

Torzijska funkcija naprezanja ψ :

2 2 2 2

2 2 2 2 1a b y za b a b

ψ⎛ ⎞

= − + −⎜ ⎟+ ⎝ ⎠. (7)

Torzijski moment tromosti tI :

2 ( , )dtA

I y z Aψ= ∫ ⇒ 2 2

2 22 2 2 2

1 12 d d dtA A A

a bI y A z A Aa b a b

⎛ ⎞= − + −⎜ ⎟+ ⎝ ⎠

∫ ∫ ∫ . (8)



U izrazu (8) prvi integral je moment tromosti zI , drugi integral je moment tromosti yI i treći integral je površina A poprečnog presjeka:

3

2d4z

A

a bI y A π= =∫ ,

32d

4yA

abI z A π= =∫ i d

A

A A abπ= =∫ . (9)


3 3

2 2ta bI

a bπ=

+. (10)

Relativni kut uvijanja ϑ :

t

t

MG I

ϑ =⋅

tj. 2 2

3 3

( )tM a bG a b

ϑπ+

=⋅

. (11)

Posmično naprezanje xyτ :

xy Gzψτ ϑ∂

= ⋅∂

tj. 2

txy

y

M zI

τ = − . (12)

Posmično naprezanje xzτ :

xz Gyψτ ϑ∂

= − ⋅∂

tj. 2

txz

z

M yI

τ = . (13)

Parcijalne derivacije deplanacijske funkcije φ :

zz yψ φ∂ ∂

= −∂ ∂

⇒ zy zφ ψ∂ ∂= +

∂ ∂, (14)

yy zψ φ∂ ∂

= − −∂ ∂

⇒ yz yφ ψ⎛ ⎞∂ ∂= − +⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

. (15)

Deplanacija presjeka u : u φ ϑ= ⋅ . (16)

Parcijalna derivacija deplanacije po y i z :

uy y

φ ϑ∂ ∂= ⋅

∂ ∂ tj.

2 2

2 2

u a b zy a b

ϑ∂ −= − ⋅

∂ +, (17)

uz z

φ ϑ∂ ∂= ⋅

∂ ∂ tj.

2 2

2 2

u a b yy a b

ϑ∂ −= − ⋅

∂ +. (18)

Diferencijal deplanacije presjeka:

d d du uu y zy z∂ ∂

= +∂ ∂

tj. 2 2

2 2( , ) a bu y z y za b

ϑ−= − ⋅ ⋅

+. (19)

Deplanacijska funkcija φ :

2 2

2 2

a b y za b

φ −= − ⋅

+. (20)



Veličina posmičnog naprezanja τ :

2 2xy xzτ τ τ= + tj. 4 2 4 2

3 3

2 tM a z b ya b

τπ

= + . (21)

Za 0y = i z b= izraz (21) iznosi:

4 2 23 3 3 3 2

2 2 2t t tM M Ma b a ba b a b ab

τπ π π

= = = . (22)

Za y a= i 0z = izraz (21) iznosi:

4 2 23 3 3 3 2

2 2 2t t tM M Mb a b aa b a b a b

τπ π π

= = = . (23)

Slika 2. Raspodjela naprezanja i deplanacijska funkcija na eliptičnom poprečnom presjeku

Posebni slučaj: KRUŽNI PRESJEK Za kružnicu vrijedi: a b r= = . (24)

Momenti tromosti yI i zI :

4 4

ili4 64y zr dI I π π

= = . (25)


4 4

ili2 32t pr dI I π π

= = . (26)

Posmično naprezanje xyτ i xzτ :

4

22

t txy

y

M Mz zI r

τπ

= − = − i 4

22

t txz

z

M My yI r

τπ

= = . (27)

Veličina posmičnog naprezanja τ :

2 24

2 tM z yr

τπ

= + , 2 2z yρ = + ⇒ 44

2

2

t t t

p

M M Mrr I

τ ρ ρ ρππ

= = = . (28)

Deplanacijska funkcija φ tj. deplanacija presjeka u : ( , ) 0y zφ = ⇒ ( , ) 0u y z = . (29)



2. Zadatak

Zadana su tri štapa jednakih površina poprečnog presjeka pri čemu prvi ima puni kružni presjek polumjera a , drugi štap ima poprečni presjek u obliku kružnog vijenca unutarnjeg polumjera a i vanjskog polumjera b , a treći štap je pravokutnog poprečnog presjeka sa stranicama a i c . Za zadani moment uvijanja tM potrebno je izračunati:

a) relativne kutove uvijanja ϑ i b) maksimalna posmična naprezanja maxτ .

Zadano: a , b , c i tM . Iz uvjeta jednakih površina poprečnih presjeka, površina punog kružnog presjeka jednaka je površini šupljeg kružnog presjeka: 2b a= . (1) Iz uvjeta jednakih površina poprečnih presjeka, površina punog kružnog presjeka jednaka je površini pravokutnog presjeka: c aπ= . (2)

a) RELATIVNI KUTEVI UVIJANJA Puni kružni poprečni presjek:


4 4 4

2 32 2t pr d aI I π π π⋅ ⋅ ⋅

= = = = . (3) Relativni kut uvijanja ϑ :

40,637t t

t

M MG I G a

ϑ = =⋅ ⋅

. (4)

Šuplji kružni poprečni presjek:


( )4 4 432 2t pI I b a aπ π

= = − = . (5) Relativni kut uvijanja ϑ :

40, 212t t

t

M MG I G a

ϑ = =⋅ ⋅

. (6)

Pravokutni poprečni presjek:


3 41 0,21 0,83663t

aI a c ac

⎛ ⎞= ⋅ − =⎜ ⎟⎝ ⎠

. (7)




41,195t t

t

M MG I G a

ϑ = =⋅ ⋅

. (8)

a) MAKSIMALNA POSMIČNA NAPREZANJA Puni kružni poprečni presjek:

Maksimalna posmična naprezanja maxτ :

max max 30,637t t

t

M MrI a

τ = = . (9)

Šuplji kružni poprečni presjek:


max max 30,300t t

t

M MrI a

τ = = . (10)

Pravokutni poprečni presjek:


max 2 33 1,8 1,138t tM Mbh b h a

τ ⎛ ⎞= + =⎜ ⎟⋅ ⎝ ⎠. (11)

USPOREDBA REZULTATA

4

t

G aM

ϑ⋅ ⋅ 3

max

t

aMτ⋅

Puni kružni presjek 0,637 0,637

Šuplji kružni presjek 0,212 0,300

Pravokutni presjek 1,195 1,138



3. Zadatak

Čelični štap pravokutnog poprečnog presjeka opterećen je momentom uvijanja tM . Potrebno je odrediti dimenzije presjeka ako je odnos stranica /h b i dopušteno tangencijalno naprezanje dopτ . Zadano: 210GPaE = , / 2,5h b = , 1kNmtM = , 0,3ν = i dop 40MPaτ = .

Slika 3. Čelični štap pravokutnog poprečnog presjeka Maksimalno posmično naprezanje mora biti manje od dopuštenog:

max 21

tMk h b

τ =⋅ ⋅

⇒ max dop312,5

tMk b

τ τ= ≤⋅

. (1)

Nepoznanica u izrazu (1) je duljina stranice b:

3

1 dop2,5tMb

k τ≥

⋅. (2)

Vrijednost faktora 1k potrebno je očitati iz Tablice 6.1, str. 138, Linearna analiza konstrukcija, Alfirević, I., Zagreb, 2003. U Tablici 6.1 ne postoje podaci za zadani odnos stranica / 2,5h b = , nego samo za / 2h b = i / 3h b = , pa je potrebno provesti linearnu interpolaciju podataka. Jednadžba za linearnu interpolaciju podataka tj. jednadžba pravca:

( )2 11 1

2 1

y yy y x xx x−

− = −−

. (3)

Potrebni podaci očitani iz Tablice 6.1: 1 2x = ; 2 3x = ; 1 0, 246y = ; 2 0, 267y = i 2,5x = . (4)

Vrijednost faktora 1k za odnos stranica / 2,5h b = : 0, 2565y = ⇒ 1 0, 2565k = . (5) Izračunata duljina stranice b: 34mmb = . (6) Duljina stranice h: 85mmh = . (7)

Stvarno maksimalno naprezanje maxτ :

max dop31

39,68MPa 40MPa2,5

tMk b

τ τ= = ≤ =⋅

. (8)

b

h



Naprezanje na sredini kraće stranice max'τ : max 3 max' kτ τ= ⋅ . (9)

U Tablici 6.1 ne postoje podaci za 3k zadani odnos stranica / 2,5h b = , nego samo za / 2h b = i / 3h b = , pa je potrebno provesti linearnu interpolaciju podataka.

Potrebni podaci očitani iz Tablice 6.1: 1 2x = ; 2 3x = ; 1 0,796y = ; 2 0,753y = i 2,5x = . (10)

Vrijednost faktora 3k za odnos stranica / 2,5h b = : 0,7745y = ⇒ 3 0,7745k = . (11)

Naprezanje na sredini kraće stranice max'τ : max' 30,73MPaτ = . (12) Raspodjela naprezanja po presjeku je prikazana na slici 6.

Slika 4. Raspodjela naprezanja po presjeku štapa


32

tMk h b G

ϑ =⋅ ⋅ ⋅

. (13)

U Tablici 6.1 ne postoje podaci za 2k zadani odnos stranica / 2,5h b = , nego samo za / 2h b = i / 3h b = , pa je potrebno provesti linearnu interpolaciju podataka.

Potrebni podaci očitani iz Tablice 6.1: 1 2x = ; 2 3x = ; 1 0, 229y = ; 2 0, 263y = i 2,5x = . (14)

Vrijednost faktora 2k za odnos stranica / 2,5h b = : 0, 246y = ⇒ 2 0, 246k = . (15) Modul smicanja G :

210 80,77GPa2(1 ) 2(1 0,3)

EGν

= = =+ +

. (16)

Relativni kut uvijanja ϑ : 10,015065mϑ −= . (17)



4. Zadatak

Za otvoreni tankostjeni profil prema slici opterećen momentima uvijanja tM potrebno je odrediti maksimalno posmično naprezanje maxτ i relativni kut uvijanja ϑ . Zadano: G i tM .

Slika 5. Otvoreni profil

Torzijski moment tromosti cijelog presjeka tI :

3

1 1

13

n n

t ti i ii i

I I s t= =

= =∑ ∑ ⇒ 45803tI t= . (1)

Maksimalna debljina stjenke maxt : max 2t t= . (2)

Maksimalno posmično naprezanje maxτ :

max maxt

t

M tI

τ = ⋅ ⇒ max 30,01034 tMt

τ = . (3)


t

t

MG I

ϑ =⋅

⇒ 40,005172 tMG t

ϑ =⋅

. (4)



5. Zadatak

Za otvoreni tankostjeni profil prema slici opterećen momentima uvijanja tM potrebno je odrediti maksimalno posmično naprezanje maxτ i relativni kut uvijanja ϑ . Zadano: G i tM .

Slika 6. Otvoreni profil

Torzijski moment tromosti cijelog presjeka tI :

3

1 1

13

n n

t ti i ii i

I I s t= =

= =∑ ∑ ⇒ 435303tI t= . (1)

Maksimalna debljina stjenke maxt : max 4t t= . (2)

Maksimalno posmično naprezanje maxτ :

max maxt

t

M tI

τ = ⋅ ⇒ max 30,00339943 tMt

τ = . (3)


t

t

MG I

ϑ =⋅

⇒ 40,000849858 tMG t

ϑ =⋅

. (4)



6. Zadatak

Za zatvoreni i otvoreni šuplji kružni poprečni presjek prema slici opterećen momentima uvijanja tM potrebno je odrediti i usporediti, torzijski moment tromosti tI , torzijski moment otpora tW , maksimalno posmično naprezanje maxτ i relativni kut uvijanja ϑ . Zadano: G , 10R t= , tM i t .

Slika 7. Zatvoreni i otvoreni šuplji kružni poprečni presjek

Torzijski moment tromosti tI za zatvoreni i otvoreni šuplji kružni poprečni presjek:

( )20 4

,z

42000t

AI tds

t

π= =

∫ i 3 4

,o1

1 203 3

n

t i ii

I s t tπ=

= =∑ . (1)

Usporedba:

,z

,o

300t

t

II

= . (2)

Torzijski moment otpora tW za zatvoreni i otvoreni šuplji kružni poprečni presjek:

3,z 0 min2 200tW A t tπ= ⋅ = i ,o 3

,o203

tt

IW t

tπ= = . (3)

Usporedba:

,z

,o

30t

t

WW

= . (4)

Maksimalno posmično naprezanje maxτ za zatvoreni i otvoreni šuplji kružni poprečni presjek:

max ,z 30 min2 200

t tM MA t t

τπ

= =⋅

i max ,o 3

320

t t

t

M MtI t

τπ

= = . (5)

Usporedba:

max,z

max ,o

130

ττ

= . (6)

Relativni kut uvijanja ϑ za zatvoreni i otvoreni šuplji kružni poprečni presjek:

z 42000t t

t

M MG I G t

ϑπ

= =⋅ ⋅

i o 4

320

t t

t

M MG I G t

ϑπ

= =⋅ ⋅

. (7)

Usporedba:

z

o

1300

ϑϑ

= . (8)



Deplanacija presjeka ( )u s

Slika 8. Zatvoreni i otvoreni šuplji kružni poprečni presjek

Deplanacija presjeka ( )u s :

0

1( ) ( )d ( )s

u s s s sG

τ ϑ ω= − ⋅∫ . (13)

Deplanacija presjeka ( )u s za zatvoreni šuplji kružni poprečni presjek:

2 3

1( ) ( ) ( )2 2

t tM Mu s s s s sG G R t G R tτ ϑ ω ω

π π= − ⋅ = −

⋅ ⋅. (14)

Točka O: 0s = i ( ) 0sω = ⇒ 0Ou = . (15) Točka A: / 4As Rπ= i 2 / 4A Rω π= ⇒ 0Au = . (16) Točka B: / 2Bs Rπ= i 2 / 2B Rω π= ⇒ 0Bu = . (17) Deplanacija presjeka ( )u s za otvoreni šuplji kružni poprečni presjek:

3

( ) ( ) ( )23

tMu s s sG R t

ϑ ω ωπ

= − ⋅ = −⋅ ⋅

. (18)

Točka O: ( ) 0sω = ⇒ 0Ou = . (19) Točka A:

2 / 4A Rω π= ⇒ 3

38

tA

M RuGt

= − . (20)

Točka B:

2 / 2B Rω π= ⇒ 3

32

tB

M RuGt

= − . (21)

Točka C:

23 / 4C Rω π= ⇒ 3

98

tC

M RuGt

= − . (22)

Točka D:

2D Rω π= ⇒ 3

32

tD

M RuGt

= − . (23)

Vježbe iz predmeta Uvod u čvrstoću konstrukcija

Documents

Transcript of Vježbe iz predmeta Uvod u čvrstoću konstrukcija