1

Da bi se bi ipak stekao potpuniji uvid u odnos između normalne i tangencijalne komponente vektora jačine električnog polja E unutar električnog kruga koji je grafički predstavljen na slici broj 6.15 (d), isti primjer će se sagledati i kvantitativno, uz uvažavanje slijedećih parametara predmetnog sistema: Neka su provodne elektrode od bakra (σP = 5,8· 107 S m-1) i formirane od dva komada okrugle žice prečnika 2 mm i dužine 1 cm, pri čemu je razmak između tih paralelno postavljenih elektroda takođe 1 cm. Neka potrošač aktivne električne otpornosti RL ima vrijednost 1 Ω, a naponski izvor generiše stalni jednosmjerni napon od 1 V. Stalna jednosmjerna struja I, određena je tada relacijom I = ( Vo / RL ), pošto je vrijednost električnog otpora upotrebljenih elektroda oko (54 +54)10-6 Ω, te se može zanemariti u odnosu na vrijednost aktivnog električnog otpora RL. I Intenzitet vektora gustine električne struje J određuje se prema relaciji: J = ——— , pa je J = 3,2 ·105 Am-2 . 10-6 π Tangencijalna komponenta vektora jačine električnog polja, računa se na osnovu relacije: Et = ( J / σP ) i iznosi Et ≈ 5,5 ·10-3 Vm-1 Da bi se izračunala i normalna komponenta vektora jačine elektrostatskog polja En , potrebno je prema relaciji: Q’

Er = ————— , r ≥ 1 mm 2 · π · εo · r odrediti iznos podužne gustine električnog naboja Q’ . Ta vrijednost je u analiziranom sistemu definisana izrazom Q’ = (C’ · Vo), u kojoj je sa C’ izražena podužna kapacitivnost razmatranog sistema od dvije paralelne elektrode, čije su geometrijske karakteristika ranije definisane: π · εo C’= ———— = 12 · 10-12 F · m-1 → Q’ = 1,2 · 10-11 C m-1 ln (d / a) Pri vrijednosti r = 5 mm, uz izračunati iznos za Q’, dobija se da je Er = En ≈ 43 Vm-1

Odnos: (En / Et ) ≈ ( 43/(5,5 ·10-3)) ≈ 7818, jasno pokazuje koliko je dominantna normalna komponenta vektora jačine električnog polja En u analiziranom primjeru, u odnosu na njegovu tangencijalnu komponentu Et. Ugao θ, koji zaklapa vektor jačine elektrostatskog polja E, u odnosu na normalu povučenu na dodirnu površinu bakarne elektrode i okolnog vazdušnog prostora tada je: θ = arctan (Et / En ) = arctan ( 0,000128) , odnosno ugao θ iznosi oko 0,007° . 6.10 Dvojnost vektora gustine stalne jednosmjerne električne struje J i vektora

elektrostatske indukcije D; kapacitivno - otpornička analogija

U mnogim materijalima, koji nalaze svoju primjenu unutar raznorodnih elektrotehničkih aplikacija, vektor gustine stalne jednosmjerne električne struje J i vektora elektrostatske indukcije D, direktno su proporcionalni sa vektorom jačine električnog polja E . Ovakva povezanost vektora J i D postoji u onim područijima koja su karakteristična po konzervativnosti električnog polja (takva područja su linearni električni krugovi

2

stacionarnih struja i napona, izuzev same unutrašnjosti električnih izvora, te linearni električni krugovi u kojim ne egzistiraju vremenski promjenljiva električna polja). Kao što će biti pokazano u nastavku teksta, pomenute osobine omogućavaju da se, na osnovu sličnosti odnosa u elektrostatskom polju i strujnom polju stalnih jednosmjernih električnih struja, uspostavi i veza između električne kapacitivnosti i aktivne električne otpornosti, koje su pridružene takvim sistemima, u okviru njihovih proučavanja. U linearnim električnim krugovima stacionarnih struja, izuzev unutrašnjosti električnih izvora (tamo djeluju i neelektrične sile), vektor gustine stacionarne električne struje mora da zadovolji i Ohmov zakon i prvi Kirchhoffov zakon, što znači da mora važiti: J = σP· E ; div J = 0 Uzimajući u obzir da je električno polje stacionarnih električnih struja, bezvrtložno vektorsko polje (rot E = 0, E = - grad V ), opravdano je uspostaviti i relaciju: div (σP· grad V) = 0 (6.46) Kako je kod homogenih provodnih materijala σP ≈ konst., relacija (6.46) se može pisati i kao (6.47): σP · div (grad V) = 0 (6.47) Posljednja relacija potvrđuje da u stacionarnom strujnom polju, unutar kojeg nema djelovanja stranih neelektričnih sila, potencijalna funkcija V(x,y.z) zadovoljava jednačinu Laplacea (dakle slično kao što u elektrostatskom polju, unutar kojeg nema slobodnih električnih naboja, potencijalna funkcija V(x,y.z) takođe zadovoljava jednačinu Laplacea). Pri istim graničnim uslovima, saglasno teoremi o jedinstvenosti rješenja Laplaceove jednačine, njena rješenja će biti ista i za elektrostatsko polje i za električno polje stacionarnih struja. Ovaj zaključak ima i stanovitu praktičnu vrijednost, jer omogućava da se pomoću sagledavanja ponašanja jedne veličine, formira ispravan sud i o ponašanje njoj homologne veličine (u tom smislu, recimo pomoću analize strujnog polja stacionarne električne struje, može se doći i do informacija o ponašanju elektrostaskog polja, jasno ukoliko su ispunjena i navedena ograničenja). Analizirajući granične uslove na dodiru dva linearna, homogena i izotropna dielektrika, okarakterisane dielektričnim konstantama ε1 i ε2, utvrđeno je da se ponašanje karakterističnih vektora E i D mora uskladiti sa sljedećim graničnim uslovima: D1n = D2n i E1t = E2t , ili pak E1n · ε1 = E2n · ε2 i (D1t / ε1) = (D2t / ε2 ) Ako se sa α1 i α2, označe uglovi, koje vektori E i D zaklapaju sa normalom na graničnu površ dodira dva analizirana dielektrika, tada se vrlo jednostavno dolazi i do odnosa:

3

tgα1 ε1

——— = —— tgα2 ε2

Slično tome, analizirajući i granične uslove na dodiru dvije homogene provodne sredine, okarakterisane specifičnim električnim provodnostima σP1 i σP2, utvrđeno je da se ponašanje karakterističnih vektora E i J i tada mora uskladiti sa određenim graničnim uslovima, odnosno da mora važiti: J1n = J2n i E1t = E2t , ili pak E1n · σP1 = E2n · σP2 i (J1t / σP1) = (J2t / σP2 )

Ako se sa Ө1 i Ө2 označe uglovi, koje vektori E i J zaklapaju sa normalom na graničnu površ dodira dvije homogene provodne sredine, tada se jednostavno dolazi i do odnosa: tg Ө1 σP1

——— = —— tg Ө2 σP2

Vršeći eksperimentalnu provjeru prethodno provedenih razmatranja, može se primjetiti da, ukoliko se cilindrične elektrode od bakra, zarone u elektrolitički rastvor, pri čemu je odnos specifične električne provodnosti bakra oko 106 puta veći od specifične električne provodnosti odabranog elektrolitičkog rastvora, položaj vektora E i J je takav, da oni sa strane elektrolitičkog rastvora ulaze na bakarne elektrode pod uglom od gotovo (π /2) radijana. Površina bakarnih elektroda je pri tome i ekvipotencijalna površ. Zahvaljujući svim navedenim činjenicama i činjenici da je i strujno polje stacionarnih struja konzervativno vektorsko polje, otvoren je prostor da se pomoću analognih metoda, po osnovu sagledavanja karakteristika ponašanja relevantnih veličina stacionarnog strujnog polja, izvedu i zaključci o ponašanju homolognih veličina u elektrostatskom polju. Opisani slučaj, može biti osnova da se definiše i veza između električne kapacitivnosti i aktivne električne otpornosti, koje su pridružene sličnim sistemima, tokom njihovih razmatranja. S obzirom da je električna kapacitivnost sistema elektroda, uronjenih u savršeni dielektrik dielektrične konstante ε i opterećenih električnim nabojem Q i – Q, definisana relacijom C = (Q/U), te da je, u skladu sa Maxwellovim postulatom, naboj Q određen relacijom:

∫ D ds = Q = ε ∫ E ds

S S ta ista električna kapacitivnost se može izraziti i u obliku:

4

ε ∫ E ds

S C = ————— (6.48) U Iste te relacije, mogu se koristiti i u slučajevima nesavršenog dielektrika, kojem je svojstvena specifična električna provodnost σP , kada će očigledno iz elektrode koja raspolaže električnim nabojem Q, odnosno koja se nalazi na većem potencijalu V, isticati struja I, čiji je intenzitet određen relacijom:

I = ∫ J ds = σP · ∫ E ds (6.49)

S1 S1

Posljednja relacija (6.49), uz uvažavanje relacije R = ( U/I ), omogućava da se aktivni električni otpor sredine između elektroda-R, iskaže i u formi (6.50) U R = ————— (6.50)

σP · ∫ E ds

S1 Fizikalne karakteristike razmatranog sistema dozvoljavaju da se razlika između površi s i s1, učini zanemarljivo malom, zbog čega je opravdano na osnovu relacija (6.48) i (6.50) formirati i relaciju (6.51) ε R = ——— (6.51) σP · C Na osnovu relacije (6.51), očigledno je moguće na osnovu poznavanja električne kapacitivnosti analiziranog sistema i karakteristika dielektrične ( provodne ) sredine, odrediti i aktivni električni otpor te sredine, kojim se ona suprostavlja uspostavljanju stalne jednosmjerne struje, u uslovima postojanja električnog napona U između elektroda, koje su vezane za naponski izvor. Ista relacija omogućava da se proizvod RC, u slučaju homogenih, linearnih, izotropnih i vremenski invarijantnih materijala, definiše i u obliku, ε RC = —— = τ (6.52) σP

pri čemu parametar τ označava vrijeme unutar kojeg se dešava proces redidistribucije slobodnih električnih opterećenja, pri prelasku sistema iz stanja kada je električno polje koje djeluje na analiziranu sredinu imalo vrijednost nula, u stanje kada je to isto električno polje, skokovito doseglo vrijednost E.

5

Za dobre provodnike poput elektrolitičkog bakra, karakteristični parametar τCu ≈ 10 -19 s, za destilovanu vodu on je τvode ≈ 10 -5 s, dok je za dobre dielektrike poput ćilibara τćilibara ≈ 10 3 s. Za kvarc je međutim τkvarca čak ≈ 50 dana. U tabeli koja slijedi, dakle u tabeli broj 6.1, date su uporedno karakteristike dvojnosti električnih i dielektričnih karakteristika, u skladu sa prethodnim razmatranjima i slikom 6.16 Tabela 6.1

Relacije sa stanovišta specifične električne provodnosti sredine ( σP )

Relacije sa stanovišta dielektričnosti sredine ( ε )

∫L

E dl = 0

∫L

E dl = 0

J = σP E

D = ε E

div J = 0

div D = 0

J = σP E = - σP grad V

D = ε E = - ε grad V

J1n = J2n

D1n = D2n

(J1t / σP1) = (J2t / σP2 )

(D1t / ε 1) = (D2t / ε 2 )

U R = —————

σP · ∫1s

E ds

ε ∫s

E ds

C = ————— U

6

Slika broj 6.16 Dvojnost vektora gustine stalne jednosmjerne električne struje J i vektora

elektrostatske indukcije D 7. Magnetne pojave u stacionarnom strujnom polju U ovom poglavlju će se razmatrati magnetne pojave u stacionarnom strujnom polju. Nakon što bude uveden pojam magnetnog polja stacionarnih struja u vazduhu i sagledaju mehaničke manifestacije što se dešavaju u tom prostoru, pobrojat će se i nekoliko aplikativnih rješenja, zasnovanih upravo na manifestacijama takvog tipa. 7.1 Magnetno polje stacionarnih struja

Tokom istorijskog razvoja elektrotehnike, dugo vremena su se električne i magnetne pojave posmatrale odvojeno. Naime još od 1600 godine, kada je William Gilbert u Londonu ( u to vrijeme, on je bio lični fizičar kraljice Elizabete I (1533-1603)), u svom epohalnom djelu «De Magnete», istraživao moguću povezanost električnih i magnetnih pojava i pri tome zaključio da te dvije oblasti ipak nemaju zajedničkih elemenata, takvo se stanje zadržalo skoro dvije stotine godina. Čak je i danski fizičar Hans Christian Oersted (1777-1851, koji je jedna od nezaobilaznih ličnost tokom sagledavanja procesa izučavanja magnetnih pojava), držeći studentima predavanja iz predmeta «Elektricitet, galvanizam i magnetizam», na Univerzitetu u Kopenhagenu, dugo vremena u okviru elektriciteta prezentirao dotadašnja znanja iz elektrostatike, u okviru galvanizma pratio i komentarisao rezultate istraživanja Luigia Galvania (1737-1798) i njegovog kolege Alessandra Volte (1745- 1827, 1800 – Voltin element) vezane za izvore stalne jednosmjerne struje i rezultate djelovanja stalnih jednosmjernih struja, a u okviru magnetizma komentarisao osobine magnetita, magnetskih igala i zemaljskog magnetnog polja.

7

Oersted je ipak, sa aspekta današnjeg gledanja na tok razvoja magnetizma i načina njegovog višegodišnjeg eksperimentalnog rada u njemu, imao u početku neku maglovitu zamisao, da je magnetizam, kao i galvanska struja, neka vrsta prikrivenog oblika elektriciteta. Tokom svojih predavanja, u zimu 1819/1820, on je ipitivao uticaj prolaska galvanske struje kroz žicu, na magnetnu iglu koja je bila u blizini te žice. Slučaj je htjeo, da je pri prvom eksperimentu prostorni položaj magnetne igle bio upravo takav, (normalan na položaj ose provodnika) da se nije manifestovalo djelovanje bilo kakve mehaničke sile, uzrokovane magnetnim poljem nastalim od usmjeravane struje, na magnetnu iglu. Međutim pri novom eksperimentalnom pokušaju, magnetna igla je bila očigledno sticajem sretnih okolnosti u nekom drugačijem položaju (provodnik sa strujom i magnetna igla su tada bili paralelni), pa se iskazalo i djelovanje mehaničke sile na nju, kada je uspostavljena električna struja kroz žicu. Potom, kada je promjenio smjer struje u provodniku, Oersted je primjetio da se i magnetena igla otklonila na suprotnu stranu. Ubrzo zatim, potaknuti opisanim eksperimentima i rezultatima registrovanim u okviru istih, André - Marie Ampère (francuski fizičar i matematičar 1775-1836); Michael Faraday ( engleski fizičar i hemičar;1791-1867) i drugi istraživači elektromagnetnih pojava, vrlo su uspješno detaljno razradili i objasnili efekte magnetnog djelovanja stalne jednosmjerne struje. Ipak kao vrhunac tih zaključaka i otkrića, smatra se Faradayev zakon elektromagnetne indukcije, te Ampèrov zakon za magnetna kola u uopštenom obliku i u njemu sadržano objašnjenje nastanka magnećenja materije koje je potvrđeno kao ispravno tek nakon punih stotinu godina razvoja nauke i elektrotehnike. Na slici broj 7.1 (a) prikazan je ogled koji je provodio Oersted, pri čemu promjena smjera struje dovodi i do promjene orijentacije magnetne igle.

Slika broj 7.1 (a) Prikaz Oerstedova eksperimenta

Isto djelovanje kao i na magnetnu iglu, provodnik sa jednosmjernom strujom I ima i na zavojnicu, koja se električni napaja preko izvora jednosmjernog napona - baterije i visi o

8

tankom koncu, tako da se može prostorno pomjerati pod uticajem sila magnetnog polja kada se one pojave –što je prikazano na slici broj 7.1 (b)

Slika broj 7.1 (b) Prikaz Oerstedova eksperimenta, pri čemu je magnetnu iglu zamjenila

lako pokretna zavojnica, sa jednosmjernom strujom Mehanička djelovanja predstavljena slikama 7.1 (a) i 7.1 (b) mnogo se jasnije iskazuju u slučaju dva tanka paralelna provodnika, kroz koje se usmjeravaju stalne jednosmjerne struje, na način prikazan na slici broj 7.2

Slika broj 7.2 Prikaz sila magnetnog polja, koje se javljaju kod dva paralelna tanka

linijska provodnika, opterećena stalnim jednosmjernim strujama Pojave iskazane u opisanim eksperimentima, manifestuju se i u mnogim drugim situacijama, kao što su: međudjelovanje dva permanentna magneta, djelovanje zemljinog magnetnog polja na magnetnu iglu i slično. Sve te pojave imaju očigledno zajedničku karakteristiku u tome, da je evidentno prisutna modifikacija osobina tog prostora, zbog pojave djelovanja mehaničkom silom, na provodnike sa električnom strujom, ili na

9

permanentne magnete. U tom kontekstu se tom prostoru i pridružuje naziv magnetno polje. Za grafičko predočavanje karakteristika magnetnog polja, danas se uobičajno koristi vektor magnetne indukcije B , čije vektorske linije iskazuju neke osnovne osobine tog prostora. Linije vektora B su neprekidne usmjerene linije, zatvorene same u sebe, čija gustoća naglašava intenzitet vektora magnetne indukcije u pojedinim dijelovima analiziranog prostora. Na osnovu predočenih grafičkih prikaza eksperimentalne osnove, za utvrđivanje mehaničkog djelovanja između dva provodnika sa stalnim jednosmjernim strujama, ili pak između provodnika sa stalnom jednosmjernom strujom i permanentnog magneta (magnetna igla) (Ampère je pokazao da se djelovanje permanentnog magneta može uspješno ekvivalentirati i zbirnim djelovanjem velikog broja elementarnih strujnih kontura), proizilazi da se u bilo kojoj od tih varijanti pojavljuje i električni naboj u kretanju. U tom smislu, za pravilno integralnu analitičko interpretiranje pojava u magnetnom polju, korisno je prvo pokušati uspostaviti vezu između registrovanih mehaničkih sila i električnog naboja u kretanju. 7.1.1 Sila u magnetnom polju, okarakterisanom magnetnom indukcijom B, na

elementarni električni naboj q koji je u kretanju

Na osnovu opisanih eksperimenata, stalna jednosmjerna električna struja ima uticaj i na prostor, u okolini provodnika kroz koji ona protiče. Ona stvara magnetno polje, koje prožima ( ispunjava) prostor oko provodnika sa tom strujom. Ukoliko se u tom prostoru pojavi neko električno opterećenje q, koje se pri tome kreće srednjom brzinom v, tada će na to električno opterećenje djelovati sila Fq = q E + q v x B (7.1) koja je rezultat zbirnog djelovanja električnog polja E i magnetnog polja izraženog preko vektora B. Ovu relaciju je prvi postavio Lorentz (H.A. Lorentz (1853-1928)) pa se ona često spominje u literaturi kao Lorentzov izraz za silu. Sila definisana relacijom (7.1) ima očigledno dvije komponente. Prva njena komponenta je neovisna o brzini kojom se kreće naboj q, ukoliko su svi drugi naboji koji generišu električno polje E nepomični. Druga komponenta u rezultantnoj sili ovisi o brzini pomjeranja električnog naboja q, dakle o vektoru vrzine v, ali i o karakteristikama magnetnog polja izraženim preko vektora B. Ta komponenta sile je prostorno postavljena normalno na ravninu, koju određuju vektori v i B, pa se može zaključiti da uslijed te komponente sile ne dolazi do promjene intenziteta brzine kretanja električnog naboja q, nego samo do korekcija u putanji njegovog kretanja (otklanjanje na gore, ili pak na dole u odnosu na pravac vektora brzine v )

10

7.1.2 Magnetne sile na provodnik kroz koji protiče stalna jednosmjerna struja

Relacija (7.1) je osnova da se izvede i izraz za određivanje magnetne sile na provodnik, koji je smješten u magnetnom polju, okarakterisanom vektorom magnetne indukcije B , u uslovima kada kroz taj provodnik postoji stalna jednosmjerna struja I. U ranijim poglavljima je pokazano , relacija (6.10), da vektor gustine stalne jednosmjerne električne struje J , može biti izračunat pomoću izraza: J = N*· vs · e u kojem je sa N* označena zapreminska gustina pokretljivih električnih naboja, sa vs makroskopska srednja brzina njihovog pomjeranja, a sa e njihov pojedinačni električni naboj. Označi li se sa dV, zapremina elementarnog dijela provodnika dužine dl i poprečnog presjeka ds, tada na takav elementarni provodnik, ako se nađe u području magnetnog polja sa magnetnom indukcijom B , djeluje rezultantna magnetna sila: dF = N*· (dV) · dFq = N*· (dV) · q v x B (7.2) što uz uvažavanje q = e i v = vs omogućava da se relacija (7.2) transformiše u oblik (7.3), odnosno (7.4) dF = N*· (dV) · e v x B = N*· (dl ·ds) · e vs x B (7.3) dF = J · ds ·dl x B = I · dl x B (7.4) Ukupna sila F , kojoj je izložen provodnik dužine l u magnetnom polju indukcije B, određuje se sabiranjem elementarnih sila, definisanih sa relacijom (7.4), a uz uvažavanje pravila vektorskog računa, F = ∫ (I · dl x B ) (7.5) Posljednja relacija se u literaturi često označava kao Laplaceov izraz za određivanje magnetne sile na provodnik sa stalnom jednosmjernom strujom, kada se on nalazi unutar područja djelovanja magnetnog polja indukcije B (P. S. Laplace, francuski matematičar (1749-1827)). Uz pomoć ovog izraza, moguće je uspostaviti povezanost jedinice mjere za intenzitet magnetne indukcije – koja je nazvana «tesla» (T) ( Nikola Tesla (1856-1943)) i jedinica mjere za ostale fizikalne veličine unutar izraza (7.5). 1 T = N A-1m-1 Relacija (7.5) je veoma važan oblik međusobnog analitičkog povezivanja mehaničkih i električnih veličina sa magnetnim veličinama, pri čemu su sve te veličine podložne i direktnom mjerenju. U tom smislu intenzitet magnetne indukcije B može se tretirati i kao svojevrsni koeficijent proporcionalnosti između mehaničke sile i strujne konture sa stalnom

11

jednosmjernom električnom strujom I1, kojim se kvantitativno iskazuju osobine magnetnog polja. Sva složenost odnosa između električnih i magnetnih veličina vidi se ako posmatramo međusobno djelovanje, u formi mehaničke sile, između dvije strujne konture, sa stalnim jednosmjernim strujama I1 i I2 , kao što je to prikazano na slici broj 7.3

Slika broj 7.3 Magnetne sile između dvije strujne konture sa stalnim jednosmjernim

strujama I1 i I2

Amper je pokazao da se ukupna sila F12 , kojom strujna kontura C1, sa stalnom jednosmjernom električnom strujom I1 , djeluje na strujnu konturu C2 sa stalnom jednosmjernom električnom strujom I2 i obe se nalaze u vazduhu, može odrediti uz pomoć relacije (7.6) µo I1 d l1 x R

F12 = —— ∫2C

I2 d l2 x ( ∫1C

————— ) (7.6)

4π R2

Vektor odstojanja između strujnog elementa d l1 i strujnog elementa d l2 , prema slici 7.3 je vektor R = r2 – r1 = Ro ·R , kod kojeg je sa R označen moduo tog vektora, a sa Ro njegov jedinični vektor. Sličnim rasuđivanjem se može uspostaviti i relacija za određivanje sile F21 , kojom strujna kontura C2, sa stalnom jednosmjernom električnom strujom I2 , djeluje na strujnu konturu C1 sa stalnom jednosmjernom električnom strujom I1, jasno kad su obe opet u vazduhu. I dok za integralne sile važi relacija F12 = F21 , kada se analizira samo odnos između sila na strujne elemente d l1 i d l2 , dakle sila d F12 i dF21 tada jednakost sila nije ispunjena. Na slici broj 7.4 prikazana je geometrijska procedura za određivanje magnetne sile između dva paralelna pravolinijska provodnika, opterećena stalnim jednosmjernim električnim strujama I1 i I2. Ovaj primjer je praktična implementacija Laplaceova izraza (7.5), ali i analitički opis efekata koji su prikazani na slici broj 7.2

12

Slika broj 7.4 Magnetne sile između dva paralelna pravolinijska provodnika, opterećena

stalnim jednosmjernim električnim strujama I1 i I2. Primjer 7.1 Polukružna provodna petlja prečnika 2a = 1 m, kroz koju se usmjerava stalna jednosmjernastruja I = 10 A, nalazi se u homogenom nagnetnom polju u vazduhu, koje karakteriše magnetna indukcija intenziteta B = 1,5 T. Odrediti ukupnu magnetnu silu, koja djeluje na tu konturu.

Rješenje: Ukupna magnetna sila, koja djeluje na ravnom djelu konture je F1

a a F1 = ∫ ((- I dx ) i x k B ) = j I B ∫ dx = 2 I a B j = 15 j N

-a -a

Ukupna magnetna sila na polukružni dio konture je F2 i iznosi: π π π

F2 = ∫ ((- I a dφ ) φo x k B ) = - I Ba ∫ r o dφ = - I Ba ∫ ( i cosφ + j sinφ) dφ 0 0 0

F2 = - 2 I a B j = -15 j N Prema tome ukupna sila koja djeluje na zatvorenu konturu je: F = F1 + F2 = 0