Sean α, β, γ los ángulos correspondientes a los lados A, B y C del triángulo de la figura publicada en El País.

Sean M y N los puntos medios de los lados AB y AC respectivamente.

La demostración tendrá alguna diferencia en función de si el ángulo α es menor, igual o mayor que 90 grados.

Caso α<90º

Como M y H son puntos medios de los lados AB y BC, tenemos que el segmento MH es paralelo al segmento AC, por lo que, aplicando el Teorema de Tales, se tiene que el triángulo BMH es semejante al BAC. Eso tiene dos consecuencias importantes:

Como BM=BA/2 y BH=BC/2, necesariamente se cumplirá que, por semejanza, HM=AC/2.

El ángulo formado por los segmentos BM y MH será necesariamente α.

Por otro lado, como M es el punto medio del lado AB, se tiene que:

MJ forma un ángulo recto con AB. MJ y mide exactamente la mitad del lado del cuadrado, es decir: MJ=AB/2.

Uniendo estas cuatro observaciones, y fijándonos en el triángulo JMH, tenemos que:

HM=AC/2 MJ=AB/2 El ángulo formado por HM y MJ es de 90º+ α

Análogamente con el punto N, que es el punto medio del lado AC se llega a que:

HN=AB/2 NI=AC/2 El ángulo formado por HN y NI es de 90º+ α

Se ha observado, por tanto, que los triángulos HNI y JMH tienen dos lados iguales y el ángulo entre esos dos, también igual, por lo que son iguales. De eso se deduce que los terceros lados de cada triángulo, que son HJ y HI también son iguales, lo cuál es el primer hecho que se pretendía demostrar en el enunciado.

Sean δ1 y δ2 los ángulos correspondientes a los vértices J y H respectivamente del triángulo JMH, por la igualdad de los triángulos JMH y HNI se tiene que los ángulos correspondientes a los vértices H, I del triángulo HNI serán también δ1 y δ2. Como los ángulos de un triángulo suman 180º, tenemos que 90º+ α + δ1 + δ2 = 180º => α + δ1 + δ2 = 90º

Por otro lado, también por el Teorema de Tales, se tiene que AMHN es un paralelogramo, por lo que el ángulo formado por los segmentos MH y HN debe ser igual al opuesto, que es α.

En el enunciado del problema se nos pregunta por el ángulo JHI= JHM+MHN+ N HI=¿ δ2+α+δ1, que antes hemos visto que es 90º, que es precisamente el segundo hecho que se pedía demostrar en el enunciado.

Caso α=90º

Sería un caso límite del caso anterior.

Caso α>90º

Se demuestra similarmente al caso α<90º, pero con algunas diferencias. En el razonamiento de los triángulos HNI y JMH, la única diferencia es que el ángulo correspondiente a los vértices N y M es de 270º - α, en lugar de 90º + α, pero se trata también de triángulos iguales, con lo que se llega de la misma manera a que HJ y HI son también iguales. En este caso 270º - α + δ1 + δ2 = 180º => α - δ1 - δ2 = 90º

Para la demostración de que JHI=90º es necesario tener en cuenta que JHI<MHN , y en este caso se obtiene que JHI=MHN−N HI− JHM=¿ α - δ1 - δ2 = 90º