REPRESENTACIÓN DE FUNCIONESºBach...Ejercicio nº 18.- Dada la función: f (x) = cosx − senx, x...

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REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES Ejercicio nº 1.- Estudia y representa la siguiente función: Ejercicio nº 2.- Dibuja la gráfica de la función: Ejercicio nº 3.- Dada la función: y = sen2x 2senx , x [0, 2π] a) Halla los puntos de corte con los ejes. b) Calcula los máximos y mínimos. c) Represéntala gráficamente. Ejercicio nº 4.- Representa: Ejercicio nº 5.- Representa gráficamente: Ejercicio nº 6.- Representa gráficamente la siguiente función: y = x 3 3x 2 + 2 Ejercicio nº 7.- Haz la gráfica de la siguiente función: Ejercicio nº 8.- Obtén los puntos de corte con los ejes y los máximos y mínimos de la función: f (x) = sen 2 x senx , x [0, 2π] Dibuja su gráfica utilizando la información obtenida: ( ) 6 4 2 2 4 + = x x x f ( ) 2 2 4 ) ( + = x x x f ( ) 1 = x e x f x ( ) 1 1 2 = x x f ( ) 1 2 2 2 + = x x x x f

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REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES

Ejercicio nº 1.-

Estudia y representa la siguiente función:

Ejercicio nº 2.-

Dibuja la gráfica de la función:

Ejercicio nº 3.-

Dada la función:

y = sen2x − 2senx , x ∈ [0, 2π] a) Halla los puntos de corte con los ejes. b) Calcula los máximos y mínimos. c) Represéntala gráficamente.

Ejercicio nº 4.-

Representa:

Ejercicio nº 5.-

Representa gráficamente:

Ejercicio nº 6.-

Representa gráficamente la siguiente función: y = x3 − 3x2 + 2

Ejercicio nº 7.-

Haz la gráfica de la siguiente función:

Ejercicio nº 8.-

Obtén los puntos de corte con los ejes y los máximos y mínimos de la función:

f (x) = sen2x − senx , x ∈ [0, 2π] Dibuja su gráfica utilizando la información obtenida:

( ) 642

24

+−= xxxf

( ) 224

)( +=

xxxf

( )1−

=xexf

x

( )1

12 −

=x

xf

( )1

222

−−+

=x

xxxf

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Ejercicio nº 9.-

Estudia y representa la siguiente función:

y = (x +1)ex

Ejercicio nº 10.-

Representa la función:

y = x2lnx

Ejercicio nº 11.-

Estudia la siguiente función y dibuja su gráfica:

Ejercicio nº 12.-

Representa la siguiente función:

Ejercicio nº 13.-

a) Estudia los puntos de corte con los ejes y los máximos y mínimos de la función:

f (x) = cos2x − cosx , x ∈ [0, 2π] b) Represéntala gráficamente.

Ejercicio nº 14.-

Representa gráficamente la función:

y = e1−x2

Ejercicio nº 15.-

Estudia y representa la función:

Ejercicio nº 16.-

Representa la función:

Ejercicio nº 17.-

Representa gráficamente la función:

xxxy 323

23

++=

212

−−−

=x

xxy

( ) xxxf 32 −=

( ) xxxxf 432 23 −−=

222

3

+=

xxy

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Ejercicio nº 18.-

Dada la función:

f (x) = cosx − senx , x ∈ [0, 2π] Halla los puntos de corte con los ejes y los máximos y mínimos. Utilizando esta información, dibuja su gráfica:

Ejercicio nº 19.-

Dibuja la gráfica de la función:

f (x) = xex+2

Ejercicio nº 20.-

Estudia y representa:

Ejercicio nº 21.-

Estudia y representa la función:

y = x4 − 2x2 + 1

Ejercicio nº 22.-

Estudia y representa la función:

Ejercicio nº 23.-

Halla los puntos de corte con los ejes y los máximos y mínimos de la siguiente función:

y = 2 − sen2x , x ∈ [0, 2π] Utilizando la información obtenida, representa la función:

Ejercicio nº 24.-

Estudia y representa:

f (x) = x2ex

Ejercicio nº 25.-

Estudia y representa la siguiente función:

y = ln(x2 − 9)

( ) 23 3xxxf +=

( ) 2

2

41

xxxf

−+

=

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SOLUCIONES REPRESENTACIÓN FUNCIONES

Ejercicio nº 1.-

Estudia y representa la siguiente función:

Solución:

• Dominio =

• Simetrías:

• Ramas infinitas:

• Puntos singulares: f ' (x) = 2x3 − 8x

Puntos singulares: (0, 6); (−2, −2); (2, −2)

• Cortes con los ejes:

Con el eje Y → x = 0 → y = 6 → Punto (0, 6)

x4 − 8x2 +12 = 0. Cambio: x2 = z

• Puntos de inflexión: f '' (x) = 6x2 − 8

Puntos: (−1,15; 1,56); (1,15; 1,56)

( ) 642

24

+−= xxxf

( ) ( ) . eje al respecto simétrica :par Es . 642

24

Yxfxxxf =+−=−

( ) ( ) ∞+=∞+=∞+→∞−→

xflímxflímxx

,

( ) ( )

=

−=→=−

=

=−→=

2

204

0

0420'2

2

x

xx

x

xxxf

42Con el eje 0 4 6 0

2xX y x→ = → − + =

±=→=

±=→=±=

±=

−±=

22

66

248

2168

248648

xz

xzz

( ) ( ) ( ) ( )0,2,0,6,0,2,0,6 Puntos −−

( ) 15,134

34

680860'' 22 ±≈±=→==→=−→= xxxxf

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• Gráfica:

Ejercicio nº 2.-

Dibuja la gráfica de la función:

Solución:

• Dominio = − {−2}

• Simetrías:

No es par ni impar: no es simétrica respecto al eje Y ni respecto al origen.

• Asíntotas verticales:

• Asíntota horizontal:

• Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento:

Signo de f ' (x):

f (x) es decreciente en (−∞, −2) ∪ (2, +∞); es creciente en (−2, 2).

• Corte con los ejes:

( ) 224

)( +=

xxxf

( ) 2

4( 2)

xf xx−

− =− +

( )

( )vertical asíntota es 2

2

2−=

∞−=

∞−=

+

−→

−→x

xflím

xflím

x

x

( ) ( )( )

( ) ( )( )horizontal asíntota es0

encima por curva00

debajo por curva00=

→>=

→<=

+∞→

−∞→y

xfxflím

xfxflím

x

x

( ) 334

2

)2(84

)2(8)2(4

)2()2(2·4)2(4'

++−

=+

−+=

++−+

=x

xx

xxx

xxxxf

( ) 2840' =→+−→= xxxf

.212, en máximo un Tiene

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Con el eje Y → x = 0 → y = 0 → Punto (0, 0)

Con el eje X → y = 0 → x = 0 → Punto (0, 0)

• Gráfica:

Ejercicio nº 3.-

Dada la función:

y = sen2x − 2senx , x ∈ [0, 2π] a) Halla los puntos de corte con los ejes. b) Calcula los máximos y mínimos. c) Represéntala gráficamente. Solución:

a) Con el eje Y → x = 0 → y = 0 → Punto (0, 0)

Con el eje X → y = 0 → sen2x − 2senx = 0

2senxcosx − 2senx = 0 → 2senx (cosx − 1) = 0

Puntos (0, 0), (π, 0) y (2π, 0).

b) y' = 2cos2x − 2cosx y' = 0 → 2 (cos2x − sen2x) − 2cosx = 0 → 2cos2x − 2(1 − cos2x) −2cosx = 0 2cos2x − 2 + 2cos2x − 2cosx = 0 → 4cos2x − 2cosx − 2 = 0 2cos2x − cosx − 1 = 0

Signo de y':

π==→=→=−

π=π==→=

2,0101

2,,00

xxcosxcosx

xxxsenx

=

−=

−=

=+±

=

1

21

42

431

4811

cosx

cosxcosx

π==→=

π=

π=→

−=

2,01

34,

32

21

xxcosx

xxcosx

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Puntos de inflexión: (0, 0), (2π, 0)

c)

Ejercicio nº 4.-

Representa:

Solución:

• Dominio = − {1}

• Asíntotas:

y = 0 es asíntota horizontal si x → −∞ (f (x) < 0)

• Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento:

f ' (x) = 0 → ex(x − 2) = 0 → x = 2

Signo de f ' (x):

π 6,2;

34 :Máximo

π 6,2;32 :Mínimo

( )1−

=xexf

x

( )

( )vertical. asíntota es 1

1

1=

+∞=

−∞=

+

→x

xflím

xflím

x

x

( ) 01

=−−

=−

+∞→−∞→ xelímxflím

x

xx

( ) ( ) parabólica Rama, →+∞=+∞=+∞→+∞→ x

xflímxflímxx

( ) 22 )1()2(

)1()1('

−−

=−

−−=

xxe

xexexf

xxx

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f (x) es decreciente en (−∞, 1) ∪ (1, 2); es creciente en (2, +∞). Tiene un mínimo en (2, e2).

• Corta al eje Y en (0, −1). No corta al eje X.

• Gráfica:

Ejercicio nº 5.-

Representa gráficamente:

Solución:

• Dominio = (−∞, −1) ∪ (1, +∞)

• Simetrías:

f (−x) = f (x). Es par: simétrica respecto al eje Y.

• Asíntotas:

y = 0 es asíntota horizontal (f (x) > 0 para toda x)

• Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento:

f ' (x) = 0 → x = 0 (no vale)

f (x) no tiene puntos singulares (en x = 0 no está definida) Signo de f ' (x):

( )1

12 −

=x

xf

( ) vertical asíntota es 11

−=→+∞=−−→

xxflímx

( ) vertical asíntota es 11

=→+∞=+→

xxflímx

( ) ( ) 0==+∞→−∞→

xflímxflímxx

( ) ( ) 21

2 1−

−= xxf

( ) ( )32

23

2

)1(2·1

21'

−=−−=

x

xxxxf

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f (x) es creciente en (−∞, −1); y es decreciente en (1, +∞).

f (x) no corta a los ejes.

• Gráfica:

Ejercicio nº 6.-

Representa gráficamente la siguiente función:

y = x3 − 3x2 + 2 Solución:

• Dominio =

• Simetrías:

f (−x) = x3 − 3x2 + 2.

No es par ni impar; no es simétrica respecto al eje Y ni respecto al origen.

• Ramas infinitas:

• Puntos singulares: f ' (x) = 3x2 − 6x

Puntos singulares: (0, 2); (2, −2)

• Cortes con los ejes: Con el eje Y → x = 0 → y = 2 → Punto (0, 2) Con el eje X → x3 − 3x2 + 2 = 0 → (x − 1)(x2 − 2x −2) = 0 →

( ) ( ) ∞+=∞−=∞+→∞−→

xflímxflímxx

,

( ) ( )

=→=−

=→==−→=

202

0030230'

xx

xxxxxf

−=

=±=

+±=→=−−

=→=−

73,0

73,22

1222

842022

101

2

x

xxxx

xx

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Puntos (1, 0); (2,73; 0); (−0,73; 0).

• Puntos de inflexión:

f '' (x) = 6x − 6 = 0 → x = 1 → Punto (1, 0)

• Gráfica:

Ejercicio nº 7.-

Haz la gráfica de la siguiente función:

Solución:

• Dominio = − {1}

• Simetrías:

No es par ni impar: no es smétrica respecto al eje Y ni respecto al origen.

• Asíntotas verticales:

• Asíntota oblicua:

Posición de la curva respecto a la asíntota:

f (x) − (x +3) < 0 si x → − ∞ (curva por debajo).

f (x) − (x +3) > 0 si x → + ∞ (curva por encima).

• Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento:

( )1

222

−−+

=x

xxxf

( )2

2

2 22

x xf xx− −

− =+

( )

( )vertical asíntota es 1

1

1=

∞+=

∞−=

+

→x

xflím

xflím

x

x

oblicua asíntota es 31

131

222

+=→−

++=−

−+= xy

xx

xxxy

( ) 2

2

2

22

2

2

)1(2

)1(222222

)1()22()1()22('

−−

=−

+−−−+−=

−−+−−+

=x

xxx

xxxxxx

xxxxxf

Page 11: REPRESENTACIÓN DE FUNCIONESºBach...Ejercicio nº 18.- Dada la función: f (x) = cosx − senx, x ∈ [0, 2π] Halla los puntos de corte con los ejes y los máximos y mínimos. Utilizando

Puntos (0, 2) y (2, 6).

Signo de f ' (x):

f (x) es creciente en (−∞, 0) ∪ (2, +∞); es decreciente en (0, 1) ) ∪ (1, 2). Tiene un máximo en (0, 2) y un mínimo en (2, 6).

• Corte con los ejes:

Con el eje Y → x = 0 → y = 2 → Punto (0, 2)

Puntos: (−2,73; 0); (0,73; 0)

• Gráfica:

Ejercicio nº 8.-

Obtén los puntos de corte con los ejes y los máximos y mínimos de la función:

f (x) = sen2x − senx , x ∈ [0, 2π] Dibuja su gráfica utilizando la información obtenida: Solución:

• Dominio = [0, 2π]

• Puntos de corte con los ejes:

Con el eje Y → x = 0 → y = 0 → Punto (0, 0)

Con el eje X → y = 0 → y = sen2x − senx = 0

( )

==

→=−→=−→=20

0)2(020' 2

xx

xxxxxf

2 2,732 4 8Con el eje 0 2 2 00,732

xX y x x x

x≈ −− ± +

→ = → + − = → = ≈

( )

π=→=

π=π==→=

→=−

21

2,,00

01xsenx

xxxsenx

senxsenx

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• Máximos y mínimos: f ' (x) = 2senxcosx − cosx = sen2x − cosx = 0 f ' (x) = 0 → cosx (2senx − 1) = 0

Estudiamos el signo de f '' (x) = 2cos2x + senx en esos puntos:

• Gráfica:

Ejercicio nº 9.-

Estudia y representa la siguiente función:

y = (x +1)ex Solución:

• Dominio =

• Asíntotas:

No tiene asíntotas verticales.

( ) ( ) ( )0,2,0,,0,2

,00, Puntos ππ

π

π=

π=→=→=−

π=

π=→=

65,

621012

23,

20

xxsenxsenx

xxcosx

23 en y

2 en 0'' π

=< xxf

π

π 2,

23,0,

2 :Máximos

65 en y

6 en 0'' π

=> xxf

−π

−π

41,

65,

41,

6 :Mínimos

( ) ( ) 011 =+−

=+−=+∞→

+∞→−∞→ xx

x

xx exlímexlímxflím

Page 13: REPRESENTACIÓN DE FUNCIONESºBach...Ejercicio nº 18.- Dada la función: f (x) = cosx − senx, x ∈ [0, 2π] Halla los puntos de corte con los ejes y los máximos y mínimos. Utilizando

y = 0 es asíntota horizontal cuando x → −∞ (y < 0)

• Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento: y' = ex + (x+1)ex = (x+2)ex y' = 0 → x + 2 = 0 → x = −2

Signo de y':

f (x) es decreciente en (−∞, −2); es creciente en (−2, +∞). Tiene un mínimo en

• Puntos de corte con los ejes:

Con el eje Y → x = 0 → y = 1 → Punto (0, 1)

Con el eje X → y = 0 → x = −1 → Punto (−1, 0)

• Gráfica:

Ejercicio nº 10.-

Representa la función:

y = x2lnx Solución:

• Dominio = (0, +∞)

• Asíntotas:

• Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento:

( ) ( ) parabólica Rama, →+∞=+∞=+∞→+∞→ x

xflímxflímxx

2

12,e− −

( ) .verticales asíntotas tiene No .00

=+→

xflímx

( ) ( ) parabólica Rama, →+∞=+∞=+∞→+∞→ x

xflímxflímxx

( )1221·2' +=+=+= xlnxxxlnxx

xxlnxy 2

Page 14: REPRESENTACIÓN DE FUNCIONESºBach...Ejercicio nº 18.- Dada la función: f (x) = cosx − senx, x ∈ [0, 2π] Halla los puntos de corte con los ejes y los máximos y mínimos. Utilizando

Signo de y ':

• Puntos de corte con los ejes:

No corta al eje Y, pues no está definida en x = 0.

Con el eje X → y = 0 → x2lnx = 0

• Gráfica:

Ejercicio nº 11.-

Estudia la siguiente función y dibuja su gráfica:

Solución:

• Dominio =

• Simetrías:

No es par ni impar: no es simétrica respecto al eje Y ni respecto al origen.

• Ramas infinitas:

( )

=→−=

=

→=+→=−21

21

vale) (no 0

0120'exxln

x

xlnxy

( ) mínimo un Tiene ., en creciente es y 0, en edecrecient es 21

21

∞+

−−

eexf

.2

1, en 21

−−

ee

( )

→=→=

=→=

0,1 Punto10

vale) (no 002

xlnx

xx

xxxy 323

23

++=

( ) ( )3

22 33xf x x x f x−

− = + − =

( ) ( ) ∞+=∞−=∞+→∞−→

xflímxflímxx

,

Page 15: REPRESENTACIÓN DE FUNCIONESºBach...Ejercicio nº 18.- Dada la función: f (x) = cosx − senx, x ∈ [0, 2π] Halla los puntos de corte con los ejes y los máximos y mínimos. Utilizando

• Puntos singulares:

f ' (x) = x2 + 4x + 3

• Cortes con los ejes:

Con el eje Y → x = 0 → y = 0 → Punto (0, 0)

x3 + 6x2 + 9x = 0 → x(x2 + 6x + 9) = 0 → x(x + 3)2 = 0 →

• Puntos de inflexión: f '' (x) = 2x + 4

• Gráfica:

Ejercicio nº 12.-

Representa la siguiente función:

Solución:

• Dominio =

• Simetrías:

( )

−=−=±−

=±−

=−±−

=→=31

224

244

2121640'

xx

xxf

( )

−−−

34,1;0,3 :Puntos

32Con el eje 0 2 3 0

3xX y x x→ = → + + =

( ) ( )0,3,0,0 Puntos3

0−

−=

=→

x

x

( )

−−→−=→=

32,2 Punto20'' xxf

212

−−−

=x

xxy

( )2 1

2x xf x

x+ −

− =− −

Page 16: REPRESENTACIÓN DE FUNCIONESºBach...Ejercicio nº 18.- Dada la función: f (x) = cosx − senx, x ∈ [0, 2π] Halla los puntos de corte con los ejes y los máximos y mínimos. Utilizando

No es par ni impar: no es simétrica respecto al eje Y ni respecto al origen.

• Asíntotas verticales:

• Asíntota oblicua:

Posición de la curva respecto a la asíntota: f (x) − (x + 1) < 0 si x → − ∞ (curva por debajo) f (x) − (x + 1) > 0 si x → + ∞ (curva por encima)

• Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento:

Puntos (1, 1) y (3, 5).

Signo de f ' (x):

f (x) es creciente en (−∞, 1) ∪ (3, +∞); es decreciente en (1, 2) ∪ (2, 3). Tiene un máximo en (1, 1) y un mínimo en (3, 5).

• Corte con los ejes:

Puntos: (−0,62; 0); (1,62; 0)

• Gráfica:

( )

( )vertical asíntota es 2

2

2=

∞+=

∞−=

+

→x

xflím

xflím

x

x

oblicua asíntota es 12

112

12

+=→−

++=−

−−= xy

xx

xxxy

( )( ) ( )2

2

2

22

2

2

234

21242

)2()1()2)(12('

+−=

++−+−−=

−−−−−−

=x

xxx

xxxxxx

xxxxxf

( )

==±

=−±

=→=+−→=31

224

244

2121640340' 2

xx

xxxxf

→=→=→

21,0 Punto

210 eje el Con - yxY

2 0,621 1 4Con el eje 0 1 01,622

xX y x x x

x≈ −± +

→ = → − − = → = ≈

Page 17: REPRESENTACIÓN DE FUNCIONESºBach...Ejercicio nº 18.- Dada la función: f (x) = cosx − senx, x ∈ [0, 2π] Halla los puntos de corte con los ejes y los máximos y mínimos. Utilizando

Ejercicio nº 13.-

a) Estudia los puntos de corte con los ejes y los máximos y mínimos de la función:

f (x) = cos2x − cosx , x ∈ [0, 2π] b) Represéntala gráficamente. Solución:

a) • Dominio = [0, 2π]

• Puntos de corte con los ejes:

Con el eje Y → x = 0 → y = 0 → Punto (0, 0)

Con el eje X → y = 0 → y = cos2x − cosx = 0 → cosx(cosx − 1) = 0

• Máximos y mínimos: f ' (x) = −2cosxsenx + senx = −sen2x + senx f ' (x) = 0 → senx(−2cosx + 1) = 0

Estudiamos el signo de f '' (x) = −2cos2x + cosx en esos puntos:

f '' < 0 en x = 0, x = π, x = 2π Máximos (0, 0), (π, 2), (2π, 0)

π==→=

π=

π=→=

2,01

23,

20

xxcosx

xxcosx

( ) ( )0,2y0,2

3,0,2

,0,0 Puntos π

π

π

π=

π=→=→=+−

π=π==→=

35,

321012

2,,00

xxcosxcosx

xxxxsen

35,

3 en 0'' π

=> xxf

−π

−π

41,

35,

41,

3 os Mínim

Page 18: REPRESENTACIÓN DE FUNCIONESºBach...Ejercicio nº 18.- Dada la función: f (x) = cosx − senx, x ∈ [0, 2π] Halla los puntos de corte con los ejes y los máximos y mínimos. Utilizando

b) Gráfica:

Ejercicio nº 14.-

Representa gráficamente la función:

y = e1−x2 Solución:

• Dominio = .

• Asíntotas:

No tiene asíntotas verticales.

y = 0 es asíntota horizontal (la curva está por encima)

• Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento: y' = −2xe1−x2 y' = 0 → −2x = 0 → x = 0

Signo de f ' (x):

f (x) es creciente en (−∞, 0); es decreciente en (0, +∞). Tiene un máximo en (0, e).

• Gráfica:

( ) ( ) ( )( )xxfxflímxflímxx

todo para 0 0 >==+∞→−∞→

Page 19: REPRESENTACIÓN DE FUNCIONESºBach...Ejercicio nº 18.- Dada la función: f (x) = cosx − senx, x ∈ [0, 2π] Halla los puntos de corte con los ejes y los máximos y mínimos. Utilizando

Ejercicio nº 15.-

Estudia y representa la función:

Solución:

• Dominio = (−∞, 0] ∪ [3, +∞)

• Asíntotas:

No tiene asíntotas verticales.

• Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento:

( ) xxxf 32 −=

( ) +∞=−∞→

xflímx

( ) 132

−=−

+=

+∞→−∞→ xxxlím

xxflím

xx

( )[ ] =++

++−+=

−+=+

+∞→+∞→−∞→ xxx

xxxxxxlímxxxlímxxflímxxx 3

)3()3(32

222

23

113

3

3

3

322

22

=+

=++

=++

−+=

+∞→+∞→ xxx

xlímxxx

xxxlímxx

. cuando oblicua asíntota es 23

−∞→+−= xxy

( )

+−<

23xxf

( ) +∞=+∞→

xflímx

( ) 132

=−

=+∞→+∞→ x

xxlímxxflím

xx

( )[ ] =+−

+−−−=

−−=−

+∞→+∞→+∞→ xxx

xxxxxxlímxxxlímxxflímxxx 3

)3()3(32

222

23

113

3

3

3

322

22 −=

+−

=+−

−=

+−

−−=

+∞→+∞→ xxx

xlímxxx

xxxlímxx

. cuando ablícua asíntota es 23

+∞→−= xxy

( )

−<

23xxf

( )xx

xxf32

32'2 −

−=

( ) vale) (no 230320' =→=−→= xxxf

Page 20: REPRESENTACIÓN DE FUNCIONESºBach...Ejercicio nº 18.- Dada la función: f (x) = cosx − senx, x ∈ [0, 2π] Halla los puntos de corte con los ejes y los máximos y mínimos. Utilizando

Signo de f ' (x):

f (x) es decreciente en (−∞, 0); es creciente en (3, +∞).

• Pasa por (0, 0) y (3, 0).

• Gráfica:

Ejercicio nº 16.-

Representa la función:

Solución:

• Dominio =

• Simetrías:

No es par ni impar: no es simétrica respecto al eje Y ni al origen.

• Ramas infinitas:

• Puntos singulares:

f' (x) = 2x2 − 2x − 4

• Cortes con los ejes:

( )

= xfx definida está no

23 en singulares puntos tiene No

( ) xxxxf 432 23 −−=

( ) 3 22 43

f x x x x−− = − +

( ) ( ) ∞+=∞−=∞+→∞−→

xflímxflímxx

,

( ) ( )

−==±

=+±

=→=−−→=1

22

312

912

8110220' 2

xx

xxxxf

320,2;

37,1 :singulares Puntos

Page 21: REPRESENTACIÓN DE FUNCIONESºBach...Ejercicio nº 18.- Dada la función: f (x) = cosx − senx, x ∈ [0, 2π] Halla los puntos de corte con los ejes y los máximos y mínimos. Utilizando

Con el eje Y → x = 0 → y = 0 → Punto (0, 0)

2x3 − 3x2 − 12x = 0 → x (2x2 − 3x − 12) = 0 →

Puntos: (0, 0); (−1,81; 0); (3,31; 0)

• Puntos de inflexión: f '' (x) = 4x − 2

• Gráfica:

Ejercicio nº 17.-

Representa gráficamente la función:

Solución:

• Dominio =

• Simetrías:

• No tiene síntotas verticales.

• Asíntota oblicua:

Posición de la curva respecto a la asíntota:

3 22Con el eje 0 4 03

X y x x x→ = → − − =

−≈

≈=

±=

+±=→=−−

=

81,1

31,341053

4969301232

0

2

x

xxxx

x

( )

→==→=613,

21 Punto

21

420'' xxf

222

3

+=

xxy

( ) ( ) origen al respecto simétrica :impar Es . 2

22

3

xfx

xxf =+

−=−

oblicua asíntota es 22

422

222

3

xyx

xxx

xy =→+

−=+

−=

Page 22: REPRESENTACIÓN DE FUNCIONESºBach...Ejercicio nº 18.- Dada la función: f (x) = cosx − senx, x ∈ [0, 2π] Halla los puntos de corte con los ejes y los máximos y mínimos. Utilizando

f (x) − 2x > 0 si x → − ∞ (curva por encima). f (x) − 2x < 0 si x → + ∞ (curva por debajo).

• Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento:

f ' (x) > 0 para todo x ≠ 0 → f (x) es creciente. (Hay un punto de inflexión en (0, 0)).

• Corte con los ejes:

Con el eje Y → x = 0 → y = 0 → Punto (0, 0)

Con el eje X → y = 0 → x = 0 → Punto (0, 0)

• Gráfica:

Ejercicio nº 18.-

Dada la función:

f (x) = cosx − senx , x ∈ [0, 2π] Halla los puntos de corte con los ejes y los máximos y mínimos. Utilizando esta información, dibuja su gráfica: Solución:

• Dominio = [0, 2π]

• Puntos de corte con los ejes:

Con el eje Y → x = 0 → y = 1 → Punto (0, 1) Con el eje X → y = 0 → cosx − senx = 0 → 1 − tgx = 0

• Máximos y mínimos: f ' (x) = −senx − cosx f ' (x) = 0 → −senx − cosx = 0 → tgx + 1= 0 → tgx = −1

( ) 22

24

22

424

22

322

)2(122

)2(4126

)2(2·2)2(6'

++

=+

−+=

+−+

=x

xxx

xxxx

xxxxxf

( ) ( ) 00621220' 2224 =→=+=+→= xxxxxxf

π

π

→π

=→= 0,4

5,0,4

Puntos4

5,4

1 xxtgx

Page 23: REPRESENTACIÓN DE FUNCIONESºBach...Ejercicio nº 18.- Dada la función: f (x) = cosx − senx, x ∈ [0, 2π] Halla los puntos de corte con los ejes y los máximos y mínimos. Utilizando

Estudiamos el signo de f '' (x) = −cosx + senx en esos puntos:

• Gráfica:

Ejercicio nº 19.-

Dibuja la gráfica de la función:

f (x) = xex+2 Solución:

• Dominio =

• Asíntotas:

No tiene asíntotas verticales.

y = 0 es asíntota horizontal si x → −∞ (f (x) < 0)

• Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento: f ' (x) = ex+2 + xex+2 = (1 + x)ex+2 f ' (x) = 0 → 1 + x = 0 → x = −1

Signo de f ' (x):

f (x) es decreciente en (−∞, −1); es creciente en (−1, +∞). Tiene un mínimo en (−1, −e).

47,

43 π

= xx

π→>

π 2,

43 en Mínimo0

43''f

π

→<

π 2,

47 en Máximo0

47''f

( ) ( ) 022 =

−=−=

−+∞→

+−

+∞→−∞→ xx

x

xx exlímxelímxflím

( ) ( ) parabólica Rama, →+∞=+∞=+∞→+∞→ x

xflímxflímxx

Page 24: REPRESENTACIÓN DE FUNCIONESºBach...Ejercicio nº 18.- Dada la función: f (x) = cosx − senx, x ∈ [0, 2π] Halla los puntos de corte con los ejes y los máximos y mínimos. Utilizando

• Corta a los ejes en (0, 0).

• Gráfica:

Ejercicio nº 20.-

Estudia y representa:

Solución:

• Dominio:

x3 + 3x2 ≥ 0 → x2 (x + 3) ≥ 0 → x ≥ −3

Dominio = [−3, +∞)

• Asíntotas:

No tiene asíntotas verticales.

• Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento:

En x = 0 y en x = −3 no existe f ' (x), pues se anula el denominador.

Signo de f ' (x):

f (x) es creciente en (−3, −2) ∪ (0, +∞); es decreciente en (−2, 0). Tiene un máximo en (−2, 2). Tiene un mínimo en (0, 0) (aunque no sea derivable en este punto).

• Puntos de corte con los ejes:

Corta a los ejes en (−3, 0) y en (0, 0).

( ) 23 3xxxf +=

( ) ( ) parabólica Rama; →+∞=+∞=+∞→+∞→ x

xflímxflímxx

( )23

2

32

63'xx

xxxf+

+=

( ) ( )

−=

=→=+→=+→=

2

vale) (no 00230630' 2

x

xxxxxxf

Page 25: REPRESENTACIÓN DE FUNCIONESºBach...Ejercicio nº 18.- Dada la función: f (x) = cosx − senx, x ∈ [0, 2π] Halla los puntos de corte con los ejes y los máximos y mínimos. Utilizando

• Gráfica:

Ejercicio nº 21.-

Estudia y representa la función:

y = x4 − 2x2 + 1 Solución:

• Dominio = .

• Simetrías:

f (−x) = x4 − 2x2 + 1 = f (x). Es par: simétrica respecto al eje Y.

• Ramas infinitas:

• Puntos singulares:

f ' (x) = 4x3 − 4x = 4x (x2 −1)

Puntos singulares: (0, 1); (−1, 0); (1, 0)

• Cortes con los ejes:

Con el eje Y → x = 0 → y = 1 → Punto (0, 1)

Con el eje X → y = 0 → x4 − 2x2 + 1= 0

Cambio: x2 = z → z2 − 2z + 1 = 0

Puntos (−1, 0) y (1, 0).

• Puntos de inflexión:

f '' (x) = 12x2 − 4

( ) ( ) ∞+=∞+=∞+→∞−→

xflímxflímxx

,

( ) ( )

=

−=→=−

=→=

=−→=

1

101

004

0140'2

2

x

xx

xx

xxxf

=

−==→=

−±=

1

111

2442 2

x

xxz

Page 26: REPRESENTACIÓN DE FUNCIONESºBach...Ejercicio nº 18.- Dada la función: f (x) = cosx − senx, x ∈ [0, 2π] Halla los puntos de corte con los ejes y los máximos y mínimos. Utilizando

Puntos (−0,58; 0,44) y (0,58; 0,44) • Gráfica:

Ejercicio nº 22.-

Estudia y representa la función:

Solución:

• Dominio = − {−2, 2}

• Simetrías:

• Asíntotas verticales:

• Asíntota horizontal:

Si x → −∞ y si x → +∞, f (x) < −1 → la curva está por debajo de la asíntota.

• Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento:

( ) 58,031

31

12404120'' 22 ±≈±=→==→=−→= xxxxf

( ) 2

2

41

xxxf

−+

=

( ) ( ) Yxfx

xxf eje al respecto simétrica :par Es . 4

12

2

=−

+=−

( )

( )vertical asíntota es 2

2

2−=

∞+=

∞−=

+

−→

−→x

xflím

xflím

x

x

( )

( )vertical asíntota es 2

2

2=

∞−=

∞+=

+

→x

xflím

xflím

x

x

( ) ( ) horizontal asíntota es 11 −=→−==+∞→−∞→

yxflímxflímxx

( ) 2222

33

22

22

)4(10

)4(2228

)4()2(·)1()4(2'

xx

xxxxx

xxxxxxf

−=

−++−

=−

−+−−=

( ) 00100' =→=→= xxxf

Page 27: REPRESENTACIÓN DE FUNCIONESºBach...Ejercicio nº 18.- Dada la función: f (x) = cosx − senx, x ∈ [0, 2π] Halla los puntos de corte con los ejes y los máximos y mínimos. Utilizando

Signo de f ' (x):

f (x) es decreciente en (−∞, −2) ∪ (−2, 0); es creciente en (0, 2) ∪ (2, +∞).

• Corte con los ejes:

Con el eje X → y = 0 → x2 + 1 = 0 → No corta al eje X

Puntos (−0,62; 0); (1,62; 0).

• Gráfica:

Ejercicio nº 23.-

Halla los puntos de corte con los ejes y los máximos y mínimos de la siguiente función:

y = 2 − sen2x , x ∈ [0, 2π] Utilizando la información obtenida, representa la función: Solución:

• Dominio = [0, 2π]

• Puntos de corte con los ejes:

Con el eje Y → x = 0 → y = 2 → Punto (0, 2)

• Máximos y mínimos:

y ' = −2senxcosx = −sen2x

Estudiamos el signo de y '' = −2cos2x en esos puntos:

.410, en mínimo un Tiene

1 1Con el eje 0 Punto 0,4 4

Y x y → = → = →

2 2Con el eje 0 2 0 2 2X y sen x sen x sen x→ = → − = → = → = ± →. eje al corta No solución. tiene No X→

π=

π=→=

π=π==→=

→=−→=

23,

20

2,,00

020'xxcosx

xxxsenx

senxcosxy

Page 28: REPRESENTACIÓN DE FUNCIONESºBach...Ejercicio nº 18.- Dada la función: f (x) = cosx − senx, x ∈ [0, 2π] Halla los puntos de corte con los ejes y los máximos y mínimos. Utilizando

y '' < 0 en x = 0, x = π y x = 2π.

Máximos: (0, 2); (π, 2); (2π, 2)

• Gráfica:

Ejercicio nº 24.-

Estudia y representa:

f (x) = x2ex Solución:

• Dominio =

• Asíntotas:

No tiene asíntotas verticales.

y = 0 es asíntota horizontal cuando x → −∞ (f (x) > 0)

• Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento: f ' (x) = 2xex + x2ex = (2x + x2)ex

Signo de f ' (x):

f (x) es creciente en (−∞, −2) ∪ (0, +∞); es decreciente en (−2, 0). Tiene un máximo en

.2

3 y 2

en 0'' π=

π=> xxy

π

π 1,

23;1,

2 :Mínimos

( ) 02

2 ===+∞→

+∞→−∞→ xx

x

xx exlímexlímxflím

( ) ( ) parabólica Rama, →+∞=+∞=+∞→+∞→ x

xflímxflímxx

( ) ( )

−=

=→=+→=+→=

2

002020' 2

x

xxxxxxf

Page 29: REPRESENTACIÓN DE FUNCIONESºBach...Ejercicio nº 18.- Dada la función: f (x) = cosx − senx, x ∈ [0, 2π] Halla los puntos de corte con los ejes y los máximos y mínimos. Utilizando

• Corta a los ejes en (0, 0).

• Gráfica:

Ejercicio nº 25.-

Estudia y representa la siguiente función:

y = ln(x2 − 9) Solución:

• Dominio = (−∞, −3) ∪ (3, +∞).

• Simetrías:

f (−x) = f (x). Es par: simétrica respecto al eje Y.

• Asíntotas:

• Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento:

y' = 0 → 2x = 0 → x = 0 (no vale)

No tiene puntos singulares (en x = 0 no está definida f (x)).

Signo de f ' (x):

f (x) es decreciente en (−∞, −3); y es creciente en (3, +∞).

• Puntos de corte con los ejes:

( )2

42, y un mínimo en 0, 0 .e

( ) vertical. asíntota es 33

−=→−∞=−−→

xxflímx

( ) vertical. asíntota es 33

=→−∞=+→

xxflímx

( ) ( )

( ) ( )sparabólica Ramas

0,

0,

=+∞=

=+∞=

+∞→+∞→

−∞→−∞→

xxflímxflím

xxflímxflím

xx

xx

92' 2 −

=x

xy

Page 30: REPRESENTACIÓN DE FUNCIONESºBach...Ejercicio nº 18.- Dada la función: f (x) = cosx − senx, x ∈ [0, 2π] Halla los puntos de corte con los ejes y los máximos y mínimos. Utilizando

No corta al eje Y, pues f (x) no está definida en x = 0.

• Gráfica:

2 2Con el eje ( 9 0 9 1 10X ln x x x→ − ) = → − = → = ±

( ) ( )0,10;0,10 :Puntos −