LOS POLIEDROS

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  • 1. POLIEDROS Etimolgicamente, la palabra poliedro ( oos ) deriva de los trminos griegos os(mucho) y(plano).

2. No entre aqu quien no sepa geometra

  • Esta frase se poda leer encima de la puerta de entrada a la Academia dePlatn(siglo IV A.C.) donde se reunan a discutir problemas de filosofa, lgica, poltica, arte, etc.

3. CUERPOS SLIDOS

  • Un cuerpo slido es todo lo que ocupa lugar en el espacio.
  • Los cuerpos geomtricos pueden ser de dos clases: o formados por caras planas ( poliedros ), o teniendo alguna o todas sus caras curvas ( cuerpos redondos ).

4. DEFINICIN

  • Estos cuerpos se llamanpoliedrosy podemos decir de forma simplificada que son slidos limitados por caras en forma de polgonos.

5. ngulos diedros

  • Dos planos que se cortan, dividen el espacio en cuatro regiones. Cada una de ellas se llamangulo diedroo simplementediedro . Lascarasdel diedro son los semiplanos que lo determinan y la recta comn a las dos caras se llamaarista .

6.

  • Si son tres planos los que se cortan, se le llamatriedro , si cuatro,tetraedro , si cinco,pentaedro , etc.
  • Al punto comn se le llamavrtice.

7. definiciones

  • En la figura siguiente tienes pintado un poliedro. En l se te indican algunos elementos caractersticos.

CARA: cada uno de los polgonos que forman el poliedro. Al nmero de caras que concurren en un mismo vrtice se le llama orden del vrtice. ARISTA: es la que se forma al cortarse dos caras.(es un segmento) VRTICE: el punto donde se juntan (interseccin) varias aristas 8. FRMULA DE EULER (1750)

  • En todos los poliedros se verifica siempre que el nmero de caras ms el nmero de vrtices es igual al nmero de aristas ms dos:

C + V = A + 2 9. POLIEDROS REGULARES

  • Se les conoce con el nombre de slidos platnicos en honor aPlatn(siglo IV a. de C.), pero lo cierto es que no se sabe en qu poca llegaron a conocerse. Algunos investigadores asignan el cubo, tetraedro y dodecaedro aPitgorasy el octaedro e icosaedro aTeeteto(415-369 a. de C.)

10. DEFINICIN

  • Un poliedro es regular si todas sus caras son regulares e iguales y todos sus vrtices son del mismo orden, es decir, que concurren el mismo nmero de caras.

11. TETRAEDRO REGULAR

  • Formado por tres tringulos equilteros. Es el que tiene menor volumen de los cinco en comparacin con su superficie. Representa el fuego. Est formado por 4 caras, 6 aristas y 4 vrtices.

FUEGO Caras+vrtices=aristas+2 4+4=6+2 12. OCTAEDRO REGULAR

  • Formado por ocho tringulos equilteros. Gira libremente cuando se sujeta por vrtices opuestos. Por ello, representa al aire en movimiento. Est formado por 8 caras, 12 aristas y 6 vrtices.

AIRE Caras+vrtices=aristas+2 8+6=12+2 13. ICOSAEDRO REGULAR

  • Formado por veinte tringulos equilteros. Es el tiene mayor volumen en relacin con su superficie y representa al agua. Tiene 20 caras, 30 aristas y 12 vrtices.

AGUA Caras+vrtices=aristas+2 20+12=30+2 14. HEXAEDRO REGULAR O CUBO

  • Formado por seis cuadrados. Permanece estable sobre su base. Por eso representa la tierra. Est formado por 6 caras, 12 aristas y 8 vrtices.

TIERRA Caras+vrtices=aristas+2 6+8=12+2 15. DODECAEDRO REGULAR

  • Formado por doce pentgonos regulares. Corresponde al Universo, pues sus doce caras pueden albergar los doce signos del Zodiaco. Tiene 12 caras, 30 aristas y 20 vrtices.

EL UNIVERSO Caras+vrtices=aristas+2 12+20=30+2 16.

  • A finales del siglo XVI,Keplerimagin unarelacin entre los cinco poliedros regulares y las rbitas de los planetas del sistema solar entonces conocidos(Mercurio, Venus, Marte, Jpiter y Saturno). Segn l cada planeta se mova en una esfera separada de la contigua por un slido platnico.

17. DESARROLLO DE POLIEDROS

  • Si en un poliedro cortamos por un nmero suficiente de aristas de forma que quede una sola pieza y la extendemos en el plano, obtenemos un desarrollo del poliedro.

18. Un desarrollo de cada slido platnico Dibjalos en una cartulina, recrtalos y constryelos. 19. Poliedros en la vida cotidiana

  • Ornamentaciones, en farolas, lmparas, etc.
  • Los balones de ftbol han estado hechos siempre con 12 pentgonos y 20 hexgonos (icosaedro truncado), aunque hoy da se han cambiado por otra forma polidrica ms redondeada (el pequeo rombicosidodecaedro) que tiene 20 tringulos, 30 cuadrados y 12 pentgonos

En sus formas naturales, muchos minerales cristalizan formando poliedros caractersticos. 20.

  • En 1.996 se concedi el premio Nobel de Qumica a tres investigadores por el descubrimiento delfullerenocuya forma es un icosaedro truncado.
  • Los panales de abejas tienen forma de prismas hexagonales
  • El virus de la poliomelitis y de la verruga tienen forma de Icosaedro
  • Las clulas del tejido epitelial tienen forma de Cubos y Prismas

21.

  • En pintura,Salvador Dal,utiliza el dodecaedro en un leo para enmarcar su escena sobre la ltima cena (con sus 12 Apstoles). Tambin lo utiliza en su obra Crucifixin (la cruz se compone de 8 hexaedros adosados)

22. PRISMAS

  • Un prisma es un poliedro limitado por dos caras iguales y paralelas (bases) y tantos paralelogramos (caras laterales) como lados tienen las bases

23.

  • Un prisma se llamarectocuando sus aristas laterales son perpendiculares a las bases yoblicuoen caso contrario.
  • La altura de un prisma ser el segmento de perpendicular a las bases comprendido entre estas.
  • Si la base del prisma es un tringulo, el prisma se llamartriangular ; si es un cuadrado, se llamarcuadrangular , etc.

24.

  • Hay unos prismas especialmente interesantes dentro de los prismas cuadrangulares. Estos son losparaleleppedosllamados as porque los cuadrilteros de las bases son paralelogramos. (cuadrado, rectngulo, rombo, romboide)
  • Si el paraleleppedo es recto y los paralelogramos de las bases son rectngulos, ste recibe el nombre deparaleleppedo rectngulou or toedro .

25. PIRMIDES

  • Cuando cortamos un ngulo poliedro por un plano, se obtiene un cuerpo geomtrico llamadopirmide . En la figura se indican los elementos ms notables de una pirmide.
  • Es una figura geomtrica formada por una base (que es un polgono) y por caras laterales que son tringulos. El punto donde se juntan las aristas laterales se llama vrtice o cspide

26.

  • Las pirmides se puede clasificar de forma anloga a los prismas. As, haypirmides rectasyoblicuas , segn que el centro del polgono de la base coincida o no con el pie de la altura de la pirmide, yregulareseirregulares , segn que el polgono de la base sea o no regular.
  • As mismo, segn el nmero de lados del polgono de la base, la pirmide sertriangular ,cuadrangula r,pentagonal , etc.

27. TRONCO DE PIRMIDE

  • Si cortamos una pirmide por un plano, obtenemos un tronco de pirmide, que serrectouoblicuo , segn que el plano sea o no paralelo a la base. Fjate en que las caras laterales de un tronco de pirmide son trapecios y cuando ste es regular, entonces los trapecios son issceles iguales y su altura coincide con la apotema del tronco de pirmide. Por otra parte, las bases son polgonos semejantes.