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Vectores en R2 y en R3. Rectas y planos en el espacio

Verifique los resultados analíticos mediante la resolución gráfica y usando un software de Matemática.

1) Sabiendo que AB = (-2, 1) y B(2, 3) hallar las coordenadas de A.

Sabiendo que CD = (-4, -2) y C(-3, 1) hallar las coordenadas de D.

2) Hallar las coordenadas del vértice D del paralelogramo ABCD sabiendo que A(1, 0), B(2, 3) y C(3, -2).

3) Hallar las componentes de un vector v que tenga la magnitud v

y la dirección θ indicadas: a) v

=3, θ = 6π

; b) v

=6, θ = 32π

4) Dados los vectores a = (3, 1), b = (4, 6) y c = (0, 1) calcular las componentes del vector a+ ½ b - 3c

5) Calcular la magnitud y dirección de los vectores vu 23 + y uv 53

2 − si )2,5( −=u y

)1,43( −=v

.

6) Hallar el valor de x para que el vector u = ( 1/3, x) sea unitario.

7) Sean jiu 32 −= y jiv 2+−= . Hallar un vector unitario cuya dirección sea la misma que la de a) vu 32 − ; b) vu 83 +

8) Un perro intenta cruzar a nado un río perpendicularmente a él. Si es capaz de nadar con una velocidad de 6 m/seg y la corriente del río lleva una velocidad de 6 m/seg, ¿cuál es la velocidad efectiva del perro? ¿Cuál es su dirección?

9) En cada caso obtener, si es posible, el vector x como combinación lineal de los vectores v y u

10) Indicar si el conjunto de vectores es linealmente independiente o linealmente dependiente, de acuerdo a la figura siguiente

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11) Si jiA 2+= , jiB 42 −= y jiC 32 −= , expresar C como combinación lineal de A y B. ¿Es única su solución?

12) Dados los vectores a = (-3, 2), b = (1, 1) y c = 2.a -3.b, a) representarlos gráficamente, b) ¿son los vectores a y b L.I.?, c) ¿son los vectores a y c L.I.?, d) escriba c como una combinación lineal de a y b.

13) ¿Los vectores u = (0, 1) y v = (1, -2) son L.I.? Expresar los vectores a = (3, 2) y b = (-2, 1) como combinación lineal de u y v.

14) Indicar de qué tipo es el ángulo entre los vectores (2, 1) y (6, 10).

15) Hallar a.b sabiendo que a = (1, -2), que el módulo de b es 4 y que el ángulo entre ellos es de 60º.

16) Dados los puntos A(2, 1), B(6,3), C(7, 1) y D(3, -1) demostrar que el polígono ABCD es un rectángulo y calcular su perímetro.

17) Dados los vectores u = (3, -1) y v = (-2, 2) hallar: a) el módulo del vector v + u y verificar la desigualdad triangular b) el vector v + 2u, c) v.u, d) cos <v,u>.

18) Hallar x para que los vectores (3, -x) y (-4, 2) sean ortogonales.

19) Hallar vectores ortogonales al (-3, 1) tales que a) su primera componente sea 2, b) su segunda componente sea 4, c) sea un vector unitario.

20) Dados los vectores v = (3, -4) y u = (6, k) hallar el valor de k para que a) sean paralelos, b) sean perpendiculares.

21) Sean )3,2(=P , )7,5(=Q , )3,2( −=R y )2,1(=S . Calcular la proyección de PQ sobre RS y la

proyección de RS sobre PQ . Graficar.

22) Hallar las componentes de un vector sabiendo que forma un ángulo de 45º con a = (-2, -2) y que es perpendicular a b = (3, 0)

23) Sean los puntos A(2,5), B(-2,4) y C(3,-7)

a)hallar el área del triángulo ABC

b)hallar analíticamente y graficar la proyección del vector AB en la dirección de AC

c)expresar, si es posible, el vector AC como combinación lineal de los vectores AB y BC

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24) Sean jiu 52 +−= y jiv 2−= α . Hallar α tal que a)los vectores sean ortogonales; b) los vectores

sean paralelos; c) el ángulo entre los vectores sea 32π

25) Sean u y v vectores de R2 que forman un ángulo de 45º entre ellos. Si el u

=1 ¿cuál debe ser la

longitud de v para que sea perpendicular a u - v ?

26) Elija distintos valores reales de cyβα , y muestre gráficamente que el vector jiv βα += es ortogonal a la recta 0=++ cyx βα . Luego, demostrar analíticamente que los vectores jiv βα +=

y jiu αβ −= son ortogonales y explique la no influencia de c en la determinación del vector perpendicular a la recta..

27) Si ϕ es el ángulo positivo más pequeño entre los dos vectores diferentes de cero u y v , demostrar

que vu

vu

.

.cos =ϕ

28) Sean los vectores ortogonales entre sí a = (3, 2) y b = (4, -6). Hallar las componentes de c = (2, 3) en las direcciones definidas por a y b.

29) Sea v un vector no nulo. Demostrar que, si u es otro vector,

vvuuwv

..2−=

es ortogonal a v . Interpretar geométricamente.

30) Sean A y B vectores no nulos de dos dimensiones. Probar que son Linealmente Independientes si y solo si no son paralelos.

31) Sean A y B vectores no nulos y no paralelos de dos dimensiones. Probar que cualquier vector V de ese espacio se puede escribir como combinación lineal de A y B en forma única.

32) a)Representar en R3 los siguientes puntos: P = (0,0,2); R = (3,1,3); S = (1,0,2)

b) Si desde el punto P = (2,5,1) se trazan rectas perpendiculares a los planos coordenados, hallar las coordenadas del punto de intersección de cada recta con el plano coordenado.

c) Hallar las coordenadas de los vértices del paralelepípedo rectángulo limitado por los planos coordenados y los planos x = 2, y = 3, z = 5. Hallar además las longitudes de sus lados.

33) Hallar la distancia entre los puntos P y Q siendo a) P = (3,-4,7) y Q = (3,-4,9) b) P = (-2,1,4) y Q = (-2,2,5) c) P = (0,2,4) y Q = (1,-4,5)

34) Expresar las coordenadas del punto medio de un segmento en relación a las coordenadas de los puntos extremos de dicho segmento. Usarla luego para determinar el punto medio del segmento AB donde A(1,2,3) y B=(3,2,1)

35) Averiguar si los puntos A = (3,-4,1), B = (5,-3,0) y C = (6,-7,4) determinan un triángulo isósceles rectángulo.

Álgebra y Geometría AnalíticaÁlgebra y Geometría Analítica Prof. Gisela SaslavskyProf. Gisela Saslavsky36) Hallar los valores de k tales que el punto (k,k,1) diste de (0,0,2) en 5. Graficar.

37) Determinar los puntos del eje Y que equidistan de P = (3,2,0) y Q = (2,-1,1). Graficar.

38) Calcular el producto cruz entre u y v siendo:

a) jiu 2−= ; kv 3= b) jbiau += ; jdicv += , a b c y d reales c) kjiu 37 −+= ;

kjiv 37 −+−= d) kjiu 83 +−= ; kjiv 4−+=

e) kajaiau ++= ; kbjbibv ++= a y b reales

39) Sean kjiu +−= 2 y kjiv +−= 2 . Comprobar que el vector vuΧ es ortogonal a u y a v y

calcular el área del paralelogramo determinado por u y v .

40) Calcular el área del triángulo de vértices A = (2,1,3), B = (0,1,2) y C = (1,1,1). Ídem para el

determinado por ji + ; kj + y ki +

41) Hallar dos vectores unitarios ortogonales a kjiu −+= 2 y a kjiv 423 +−−= .

42) Demostrar que 2

222).( vuvuvu −=Χ

43) Sean kiu += 5 , jiv 23 −= y kjiw ++−= 4 .a) Mostrar que los 3 vectores son linealmente independientes. b) Hallar las proyecciones del vector u en la dirección del vector wvx −= 2 .

44) Encontrar todos los vectores de longitud 2 perpendiculares al plano determinado por kjiu 22 +−= y kjiv ++= 3

45) Calcular el volumen del paralelepípedo determinado por los vectores jiu −= , kiv 23 += y kjw 37 +−=

46) Calcular el volumen del paralelepípedo determinado por los vectores PSyPRPQ, , si

P = (2,1,-1), Q = (-3,1,4) y S = (-3,-1,5)

47) Averiguar los valores de α para los cuales los vectores siguientes son coplanares: (Linealmente dependientes)

a) kjiu ++= α , kjiv 22 −+= y kjiw ++= 2

b) kiu += α , jiv += y kjiw α++−= 2

48) Hallar la ecuación vectorial paramétrica, cartesianas paramétricas y simétricas, si es posible, de la recta dada por:

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a) pasa por A(4,6,-7) y es paralela a kjiu 495 ++=

b) pasa por los puntos R(1,2,1) y S(3,5,-2)

c) pasa por B(3,-5,6) y es paralela al eje X

d) pasa por C(4,3,-1) y es perpendicular al plano YZ

49) Hallar la ecuación del plano dado por:

a) pasa por el punto (5,1,3) y es perpendicular a kjin 432 +−=

b) contiene a los puntos (3,5,2) ; (2,3,1) y (-1,1,4)

c) pasa por el punto (2,3,-5) y es paralelo al plano x + y - 4z = 1

d) pasa por el punto (3,6,12) y es perpendicular al eje Y

e) contiene a las rectas R: (1,-1,5) +t(1,1,-3) y S: (3,4,2)+t(-2,-2,6)

f) contiene a la recta R: (1,-1,5) +t(1,1,-3) y S: 65

11

21 −=

−+=− zyx

g) pasa por el origen y contiene a la recta S del punto anterior

h) pasa por (8,-2,3) y es perpendicular a la recta R del punto f)

i) pasa por los puntos (2,-1,1) y (3,1,2) y es paralelo al eje Y

j) contiene a (3,4,-5) y es paralelo a los vectores (3,1,-1) y (1,-2,1)

50) Un plano tiene ecuación x + 2y - 2z + 7 = 0.

a) hallar un vector normal de longitud unidad

b) los segmentos en que corta a los ejes

c) la distancia del origen al plano

d) las coordenadas del punto Q del plano más próximo al origen

51) Dibujar los siguientes planos: a) 2x+y-1=0; b) x-z=0; c) 3y=0; d) 2z+3=0; e) 4x+6y+3z=12

52) Hallar la ecuación cartesiana del plano que pasa por (1,2,-3) y es paralelo al plano dado por la ecuación 3x – y + 3z = 4. ¿Cuál es la distancia entre los dos planos?

53) Hallar el ángulo formado por los planos x + y = 1 , x + z = 2

54) Hallar la ecuación del plano paralelo al dado por 2x-y+2z+4=0 sabiendo que el punto (3,2,-1) equidista de ambos.

55) Indicar cuáles de las siguientes rectas están contenidas o son paralelas al plano 3x – y + 4z = 2

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a) 21

222

−+=

−=− zyx

b) 11

111

−−=

−−=− zyx

c) x = 2 – t , y = 4 + t, z = -5t

56) Demostrar que la intersección de los planos 5x-3y+2z=5; 2x-y-z-1=0 está situada en el plano 4x-3y+7z-7=0

57) Dados P(-1,2,3), Q(1,-1,1) R(2,1,-1) hallar

a) la recta que contiene al lado QR del triángulo PQR

b) longitud de la mediana correspondiente al lado PR

c) la recta que contiene a la altura correspondiente al lado PQ

d) la ecuación de la mediatriz correspondiente al lado PR

e) la ecuación de la recta que contiene a la bisectriz del ángulo PQR

58) ¿Para qué valores de A y D la recta x=3+4t, y=1-4t, z=-3+t está situada en el plano

Ax + 2y - 4z + D = 0?

59) Hallar una fórmula para calcular la distancia de un punto a una recta del espacio. (Sugerencia: exprese el seno de un ángulo en función del módulo del producto cruz entre vectores). Utilice la fórmula para

a)Calcular la distancia entre P=(2,3,6) y la recta que pasa por los puntos Q=(-1,7,0) y R=(3,5,-2)

b)Calcular la distancia entre el punto P=(3,7,9) y la recta a lo largo del vector kjiv +−= 32 , que pasa por el origen.

60) Indicar la posición relativa de las rectas L y R:

+=+−=

+=

tzty

txL

332

21:

+=

−−=

=

tz

ty

tx

R

23735

3

:

==

+−=

tzty

txL 3

21:

=+−=

+=

tzty

txR 23

2:

Álgebra y Geometría AnalíticaÁlgebra y Geometría Analítica Prof. Gisela SaslavskyProf. Gisela Saslavsky61) Hallar la ecuación vectorial de la recta que pasa por T(3,-1-4), está contenida en el plano 2x-y+z-

3=0 y es perpendicular a la recta L: 4321 zxy =

−−=+

62) Encontrar la ecuación del plano que pasa por el punto Q(1,2,-3) y es paralelo a la recta L del ejercicio anterior y a la recta

-2x – y + 4z + 2 = 0

-3x + 5z – 6 = 0

63) Parametrización de un plano: Sean los vectores del espacio kiu += α y kjv β+= donde βα , son números reales dados

a) hallar la ecuación del plano determinado por los vectores vu, (es decir el plano determinado por el origen de coordenadas y los extremos de dichos vectores)

b) Sea vrusw += donde s y r son escalares. Probar que para cualquier elección de s y r el

extremo de w está en el plano determinado por vu,

64) Probar que )( wvu ΧΧ es coplanar con v

y w , para cualquier vector u

65) Hallar las ecuaciones canónicas de la recta que pasa por el punto M(2,-4,-1) y por el punto medio del segmento de recta:

3x + 4y + 5z – 26 = 0

3x - 3y - 2z – 5 = 0

contenido entre los planos: 5x + 3y - 4z + 11 = 0 y 5x + 3y - 4z – 41 = 0