Univerzitet u Beogradu-Elektrotehnicki fakultet

Junski ispitni rok iz Fizike 1, 8.6.2016. godine

Predmetni nastavnici: Jovan Cvetic (P1), Predrag Marinkovic (P2) i Milan Tadic (P3)

Trajanje ispita je 3 h

1. Tacka se krece u skladu sa kinematickim jednacinama u polarnom koordinatnom sistemu:ρ sinϕ = kt, ϕ = bt, gde su k i b konstante. Naci:

(a) [20] jednacinu trajektorije u polarnom sistemu;

(b) [40] projekcije brzine u polarnom sistemu;

(c) [30] projekcije brzine u pridruzenom Dekartovom sistemu. Nacrtati jednacinu hodografabrzine u koordinatama vx i vy;

(d) [10] komponentu vektora ubrzanja u y-pravcu Dekartovog sistema.

Slika 1: Uz zadatak 2.

2. Malo telo mase m = 0, 1 kg spusta se iz stanjamirovanja niz strmu ravan nagibnog ugla 0 < α < π/2(videti sliku uz zadatak) od pocetnog polozaja u blizinivrha strme ravni do temena strme ravni. Koeficijenttrenja izmed-u tela i strme ravni je µ =

√3/3, a horizon-

talno rastojanje od pocetnog polozaja do temena strmeravni je L = 1m. Ako je poznato ubrzanje Zemljine tezeg = 9, 81m/s2, odrediti:

(a) [60] nagibni ugao strme ravni za koji se telo spustiniz strmu ravan za minimalno vreme;

(b) [10] minimalno vreme spustanja tela niz strmu ravan;

(c) [30] gubitak mehanicke energije tela kada se spustaza minimalno vreme.

—————————————————————————————————————

Slika 2: Uz zadatak 3.

3. Majmun mase m visi na uzetu koje je preko laganogkotura (bez mase) svojim levim krajem zakaceno za blokmase M koji se nalazi na glatkoj horizontalnoj podlozi(vidi sliku uz zadatak). Naci ubrzanje oba tela u odnosuna podlogu i silu zatezanja u uzetu za sledece slucajeve:

(a) [20] majmun je nepokretan u odnosu na uze;

(b) [40] majmun se krece navise sa ubrzanjem a1 uodnosu na uze;

(c) [40] majmun se krece nanize sa ubrzanjem a2 uodnosu na uze.

4. (a) [50] Izvesti jednacinu Mescerskog.

(b) [50] Lanac je podignut u vertikalnu poziciju, a zatim pusten da slobodno pada. Alke lanca suvrlo sitne. Izracunati silu reakcije podloge u funkciji tezine dela lanca koji lezi na podlozi.

5. Oscilatorni sistem, koga cine telo, horizontalno postavljena opruga i horizontalno postavljenamortizer, vrsi slabo amortizovane prinudne oscilacije pod dejstvom spoljasnje prosto periodicnesile, koja deluje u horizontalnom pravcu, oblika F (t) = F0 cosωt. Odrediti:

(a) [30] frekvenciju sopstvenih oscilacija neprigusenog sistema (ω0), ako je amplituda brzineprigusenih oscilacija na frekvenciji prinudne sile f1 = 2Hz jednaka amplitudi brzine prigusenihoscilacija na frekvenciji prinudne sile f2 = 3Hz;

(b) [20] koeficijent amortizovanja (α), ako je faktor dobrote oscilatornog sistema Q = 25;

(c) [20] ugao faznog zaostajanja oscilatornog sistema prema prinudnoj sili (φ0), ako je frekvencijaprinudne sile jednaka vec odred-enoj frekvenciji sopstvenih oscilacija;

(d) [30] srednju snagu u jednoj periodi (P ) koju oscilatorni sistem primi, ako je amplituda pri-nudne sile F0 = 1N, masa tela koje osciluje m = 0, 1 kg i frekvencija prinudne sile jednakavec odred-enoj frekvenciji sopstvenih oscilacija.

Napomena. Q-faktor je definisan kao: Q = 2πE1

E1 − E2

.

Slika 3: Uz zadatak 6.

6. [100] Tackasti izvor zvuka, koji se krece ka nepokret-nom vertikalnom zidu, normalno na zid, brzinom v =0, 17 m/s, emituje zvucni talas frekvencije f0 = 1000 Hz.Sa suprotne strane od zida, na pravcu kretanja izvora,postavljen je nepokretni prijemnik zvucnih talasa (videtisliku uz zadatak). Ako je brzina zvuka u sredini u kojoj se nalaze izvor i prijemnik c = 340 m/s,odrediti frekvenciju zvuka izbijanja.

Uputstvo. Izbijanje je pojava slaganja talasa bliskih kruznih ucestanosti. Frekvencija izbijanja jeapsolutna vrednost razlike frekvencija talasa cije slaganje dovodi do izbijanja.

Opste napomene: (1) Studenti koji su zadovoljni poenima ostvarenim na kolokvijumu utekucoj skolskoj godini rade ZADATKE 3-6 za vreme 3 h. Na naslovnoj strani vezbanke, u poljurednih brojeva 1 i 2, treba da upisu oznaku K1 da bi poeni ostvareni na kolokvijumu bili priznati.

(2) Studenti koji nisu zadovoljni poenima ostvarenim na kolokvijumu ili nisu radili kolokvijumu tekucoj skolskoj godini rade SVE ZADATKE (1-6) za vreme 3 h.

(3) Zadatak koji nije rad-en ili cije resenje ne treba bodovati jasno oznaciti na koricama sveske,u odgovarajucoj rubrici, oznakom X.

(4) Na koricama sveske (u gornjem desnom uglu) napisati broj poena sa prijemnog ispita izfizike, ako je rad-en, u formi PR− ISP = · · · poena. Ako nije rad-en PR− ISP = NE.

(5) Dozvoljena je upotreba neprogramabilnih kalkulatora i svih vrsta pisaljki, sem onih kojepisu crvenom bojom.

(6) List sa tekstom zadataka poneti sa sobom, ne ostavljati u vezbanci.(7) Na koricama sveske napisati ime profesora i oznaku grupe (P1, P2 ili P3).

Resenja

1. (a) Jednacina trajektorije je

ρ =kϕ

b sinϕ.

(b) Projekcije brzine u polarnom sistemu su

vρ = ρ =k sin bt− bkt cos bt

sin2 bt.

vϕ = ρϕ =kbt

sin bt.

(c) Potrebno je preci u Dekartov sistem u skladu sa

vx = vρ cosϕ− vϕ sinϕ ,

vy = vρ sinϕ+ vϕ cosϕ .

Lako se pokazuje da je

vx = k cot bt−kbt

sin2 bt,

vy = k .

(d) Projekcija ubrzanja jeay = vy = 0 .

2. (a) Na osnovu II Njutnovog zakona:

a = g sinα− µg cosα. (1)

Put koji telo pred-e je:

S =L

cosα=

1

2at2. (2)

Vreme spustanja tela je:

t =

√

2L

cosα(sinα− µ cosα)g. (3)

Minimalno vreme se dobija na osnovu uslova:

d

dα

(

sin 2α

2− µ cos2 α

)

= 0. (4)

Odavde sledi:cos 2α+ 2µ cosα sinα = 0. (5)

Vrednost nagibnog ugla je:

α =1

2arctg

(

−1

µ

)

= 60◦. (6)

(b) Minimalno vreme spustanja tela je:

tmin = 0, 84 s. (7)

(c) Ubrzanje tela jea = 5, 66 m/s2. (8)

Rad sile trenja je:

∆A = mgL tanα− m(at)2

2= µmgL = 0, 57 J. (9)

3. Bice dato na posebnom papiru.4. Bice dato na posebnom papiru.5. (a) Kruzna ucestanost sopstvenih oscilacija neprigusenog sistema dobija se iz uslova

(F0/m)ω1

√

(ω2

0− ω2

1)2 + 4α2ω2

1

=(F0/m)ω2

√

(ω2

0− ω2

2)2 + 4α2ω2

2

,

odakle jeω0 =

√ω1ω2 = 15, 39 rad/s , ⇒ f0 = ω0/(2π) = 2, 4495Hz .

(b) Koeficijent amortizovanja se nalazi iz Q-faktora preko izraza

α =ω0

2Q= 0, 3078 s−1 .

(c) Fazno zaostajanje je

φ0 = arctan2αω

ω2

0− ω2

∣

∣

∣

ω=ω0

= 1, 5708 rad , ⇒ φ0 = 90◦ .

(d) Srednja snaga je

P =1

T

T∫

0

Fdx

dtdt =

(F 2

0/m)ω

2√

(ω2

0− ω2)2 + 4α2ω2

sinφ0

∣

∣

∣

ω=ω0

= 8, 12W .

6. Izbijanje nastaje kao rezultat slaganja talasa koji propagira direktno ka prijemniku, cija jefrekvencija

f ′ =f0

1 + v/c(10)

i talasa koji se reflektuje o zid, cija je ucestanost:

f ′′ =f0

1− v/c. (11)

Frekvencija izbijanja je:

∆f = |f ′ − f ′′| ≈ 2vf0c

= 1 Hz. (12)

Rešenja

3. Prema referentnom smeru ubrzanja tega mase M (naniže na slici uz

rešenje) sledi T aM

mg T ma

(1)

gde je a apsolutno ubrzanje naniže mase m a a ubrzanje mase M odnosno

užeta. a) a a , b) 1a a a , c) 2a a a . Rešavanjem sistema (1)

dobija se

a) / ( ), / ( ).a mg m M T mMg m M

b) 1 1( ) / ( ), ( ) / ( ).a m g a m M T mM g a m M

c) 2 2( ) / ( ), ( ) / ( ).a m g a m M T mM g a m M

5. Naka je x dužina lanca na podlozi u nekom trenutku, vidi sliku uz rešenje.

Sila reakcije podloge N je rezultujuća sila kojom podloga deluje na lanac

( ) uN Q x F , (1)

gde je ( ) /Q x Mgx L težina lanca na podlozi ( M je ukupna masa a L ukupna

dužina lanca), uF je sila usled udara delića lanca mase /dm Mdx L čija je

brzina v . Kako je brzina delića lanca u posmatranom trenutku 2v gx ,

promena impulsa delića lanca je 2 /dp v dm gx Mdx L . Sledi

2/ ( / )( / ) / 2 / 2uF dp dt vM L dx dt v M L gxM L Q . Prema (1) dobijamo

3 .N Q