1

Rad- Rad je dejstvo sile duž puta tj. kvantitativno povezuje silu i pomeraj koji je ona izazvala

γcos⋅Δ⋅= xFA)( Δ

Posmatrajmo slučaj kada je sila konstantna po intenzitetu i pravcu.

Rad je:

xFA Δ⋅=

),( xF Δ∠=γ

Skalarni proizvod sile i pomeraja (ako je F=const.)

možemo zaključiti:-Ukoliko sila deluje ali nema pomeraja rad nije izvršen A=0

- Sila koja deluje pod pravim uglom (γ=900) u odnosu na

γcos⋅Δ⋅= xFAIz izraza:

Sila koja deluje pod pravim uglom (γ 90 ) u odnosu na pomeraj ne vrši rad

- Sila koja deluje pod uglom γ=1800 u odnosu na pomeraj vrši negativan rad A<0.

Samo tangencijalna komponenta sile F =Fcosγ vrši radsile Ft =Fcosγ vrši rad

2

-U opštem slučaju, kada sila nije konstanta, mora se posmatratielementarni rad (dA) izvršen duž malog pomeraja dx.

γcos⋅⋅=⋅= dxFxdFdA- da bi dobili A, integralimo:

dxFxdFdAAx

x

x

x ⋅=⋅==2

1

2

1

cosγ

2površina

, g

⋅=1

rdFA

JA =][ Jedinica je Džul

Integral sile duž puta

dx

Snaga-Snaga je izvršeni rad u jedinci vremena ili brzina vršenja rada-Snaga često opisuje mogućnost vršenja rada u nekom vremenskom intervalu pa zato snagu često pripisujemo kao v e e s o te va u pa ato s agu često p p suje o aoosobinu mašinama, životinjama i sl.

dtdAP = t

AP =Ako je P=const. =>

WP =][Jedinica za snagu je Vat:

vFdt

rdFdtdAP ⋅===

3

Energija

-Energija je sposobnost tela da vrši rad

-Postoji mnogo vrsta energije (kinetička, potencijalna, toplotna, elektrostatička, magnetna itd.)

-Energija može prelaziti iz jednog oblika u drugi. Telo koje poseduje energiju može predati svoju energiju drugom telu u potpunosti ili delimično.

-Rad je proces kojim se vrši prenošenje energije između telaza vreme uzajamne interakcije (delovanja sile).

AEEE =−=Δ 12 JE =][

Razlika energija krajnjeg i početnog stanja jednaka je radu:

-Pozitivan rad je prenošenje energije na telo (povećanje njegoveenergije), a negativan rad je prenos energije sa tela (smanjenjeenergije koju telo poseduje).

- Energija je veličina koja karakteriše stanje tela, dok je rad veličinakoja karakteriše promenu tog stanja. Zato se enegija “poseduje” a rad “vrši”.

- Energija je skalarna veličina. Jedinica za energiju je džul ([J]).

- Kaže se da telo poseduje energiju, a rad je proces prenosa ilipretvaranja jednog oblika energije u drugi.

4

Kinetička energija

Posmatrajmo kretanje tela duž x-ose pod dejstvom sile F

- Kinetička energija je sposobnost tela da vrši rad na osnovu svog kretanja.

- Ova energija potiče od brzine tela i zavisi od intenziteta brzine.

j j p j

22222

2

1

2

1

2

1

2

cos

2 vvvxx

x

x

x

x

x

x

vmdvmvdvddxmdx

ddvmdxma

dxFdxFxdFA

=====

=⋅=⋅=

γ

111112

vvvxxdtdt

1221

22 2

1

2

1kk EEmvmvA −=−= => 2

2

1 mvEk =

- Potencijalna energija predstavlja sposobnost tela da izvrši rad zahvaljujući položaju u kome se nalazi.

J d k j d k ji l k li d j ći k čk

Potencijalna energija

- Jednaka je radu koji telo akumulira dospevajući u neku tačku polja sila, koje potiču od drugog/ih tela sistema.Potencijalna energija je drugi oblik mehaničke energije koji možeposedovati telo, ali samo ako je ono sastavni deo nekog sistema tela.

P ij l ij č ič d lj il k j l- Potencijalna enegija često potiče od polja sila u kojem se telo nalazi npr. gravitaciono polje, elektrostatičko polje itd.

- Kako potencijalna energija zavisi od položaja onda se prilikom promene položaja potencijalna energija pretvara u kinetičku energiju

5

Gravitaciona potencijalna energija (opšti slučaj)-Gravitaciono polje je dobar primer polja sila

- Fizičko polje predstavlja deo prostora u kome svakoj tački možemo dodeliti vektor sile koja deluje na telo.j j

FF

- Rad je jednak negativnoj promeni potencijalne energije jer se potencijalna energija smanjuje pri radu na račun kinetičke

pEA Δ−=F

energije:

Gravitaciona potencijalna energija (opšti slučaj)

F

F

1r00),( =∠ rdF

1m

2m

−=−=−=⋅=

12212212

21 111222

rrmmdr

rmmdr

rmmrdFA

rrr

γγγ

2r pEA Δ−=

12111rrrr rrr

rmmEp

21γ−=Rad pri pomeraju iz beskonačnostir1=∞ =>

2

21

rmmA γ=

6

hmgyygmdymgdymgdyFrdFAy

y

y

y

y

y

r

r

Δ−=−===⋅=⋅= )( 12

2

1

2

1

2

1

2

1

Gravitaciona potencijalna energija (sila teže)

P i d j l ij l ij

mghEp =

gm

1

pEA Δ−=

Pri padanju tela potencijalna energija tela se pretvara u kinetičku

mghEp

Potencijalna energija je neodređena do na konstantu tj. zavisi od nivoa koji smo odabrali za “nulti nivo”.

gm

1

2

Elastična potencijalna energijaDeformisana opruga je sposobna da izvrši rad dejstvom elastične sile koja teži da je vrati u ravnotežno stanje.xkF e −=

xkF e −= Razvučena opruga

Opružena opruga(ravnotežno stanje)

Sabijena opruga

7

Elastična potencijalna energija

−−=−=−=== 22

0

2

21

2200 0

111

2

1

xkkxkdxkxdxFxdFAxxx

e

r

r

1

)( 12 ppp EEEA −−=Δ−=

Zaključujemo:

2

2

1 kxEp =

Konzervativne sile-Sve sile koje su:centralne - (deluju duž pravca koji spaja centre dva tela) i stacionarne (ne zavise od brzine, ne menjaju se u toku vremena) nazivaju se konzervativne silenazivaju se konzervativne sile.

One koje ne ispunjavaju ove uslove nazivaju se disipativne sile. Primeri konzervativnih sila su gravitaciona sila, elastična sila i elektrostatička sila.

Karakteristika konzervativnih sila je da rad ovih sila ne zavisi od blik j l ć d č i k j j l ž joblika putanje tela, već samo od početnog i krajnjeg položaja

tela.

8

Rad konzervativnih sila

1a

- Rad konzervativnih sila ne zavisi od oblika putanje

2 b

Kako rad zavisi samo od početnog i krajnjeg položaja:

pEA Δ−= => 2121 ba AA =Dalje sledi da je rad na zatvorenoj puanji jednak nuli:

0121 =A

Primer:

Postignuta energija u polju g g j p jzemljine teže je ista, bez obzira na oblik putanje po kojoj smo telo podigli na visinu h.

9

Dinamika rotacije

-Bavićemo se rotacijom materijalne tačke ali i krutog tela.

- Kruto telo je realno telo čiji se oblik i struktura ne mogu zanemariti a koje ne menja svoj oblik tokom kretanjazanemariti a koje ne menja svoj oblik tokom kretanja.

- Kruto telo se može smatrati sistemom čvrsto povezanih materijalnih tačaka (masa m1, m2,…, mi, …, mn) čiji se međusobni raspored ne menja.

-Slično kao što sila dovodi do promene kretanja tj. pokreće telo iz mirovanja tako je Moment sile odgovoran za rotaciju telaiz mirovanja tako je Moment sile odgovoran za rotaciju tela.

-Sama sila nije dovoljna za rotaciju već je od važnosti napadna tačka sile tj. mesto na telu gde sila deluje kao i pravac vektora sile.

Primeri rotacije pod dejstvom sile

F

ONajefikasnija rotacija

Osa

F

OsaOsa

FOsa Sila ne dovodi do rotacije!

10

F

ONajefikasnija rotacija

Primeri rotacije pod dejstvom sile

Osa

F

OsaOsa

FOsa Sila ne dovodi do rotacije!

Moment sile

FrM ×=

Vektorski proizvod sile i radijus vektora napadne tačke

γsin⋅⋅= FrM

dFM = dFM =

F – Sila koja deluje u tački Ar – radijus vektor tačke A (napadne tačke) povučen od ose

d – krak sile, najkraće rastojanje od pravca sile do ose

11

Primeri momenta sile

MM

γF

FrM ×=

Materijalna tačkaDisk

γsin⋅⋅= FrMmožemo zaključiti:-Sila koja deluje pod pravim uglom (γ=900) u odnosu na r (duž koja spaja osu i napadnu tačku) ima maksimalan Momentj p j p )

-Sila koja je paralelna sa r (γ=00 ili γ=1800) nema Moment-Sila koja je deluje u tačku kroz koju prolazi osa (r=0) nema Moment

r=0 => M=0γ=00 ili γ=1800 => M=0

r je rastojanje od ose do napadne tačke sile

Jedinica za moment sile je Nm (Njutn metar)

12

Primer poluge

Arhimed: “Dajte mi oslonac i dovoljno dugačku polugu i pomeriću svet.”

Ravnoteža poluge: M1=M2F1r1=F2r2

2

2

1

1

21

rM

rM

FF

=

=

21 MM >

13

Moment inercije

- Za ugaono ubrzanje α krutog tela odgovorni su momenti sila.

-Na veličinu ugaonog ubrzanja α, međutim, utiču ne samo momenti g g j , ,sila, već i masa tela, tačnije raspored masa u krutom telu u odnosu na osu rotacije.

- Tako je u dinamici rotacionog kretanja definisan tzv. moment inercije I, veličina koja opisuje uticaj rasporeda masa u krutom telu na rotaciju, tj. na ugaono ubrzanje.

Za svaku materijalnu tačku u telu mase Δmi koja se nalazi na rastojanju ri od proizvoljno odabrane ose rotacije, moment inercije Ii je definisan preko:

Sumiranjem momenata inercije Ii za sve materijalne tačke koje čine kruto telo, dobija se moment inercije I tela u odnosu na datu osu rotacije. Jedinica za moment inercije je kgm2inercije je kgm .

14

- Moment inercije I je veličina analogna masi u dinamici translatornog kretanja.

- Moment inercije je skalarna veličina, mera inertnosti tela prirotacionom kretanju.

-Masa je nezavisna osobina tela, a moment inercije zavisi od izbora ose rotacije u odnosu na koju se posmatra raspored mase u telu.

Moment inercije za materijalnu tačku

Moment inercije za kruto telo

2

5

2 mR2mR

lopta

22

2

2

1 mRvaljak

lopta

2

3

2 mR

2

12

1 mLI zavisi od pravca ose i mesta gde osa prolazi kroz telo

štap

15

Za ugaono ubrzanje α krutog tela odgovorni su momenti sila.

- Prema II Njutnovom zakonu, tangencijalna komponenta Ft sile

Osnovna jednačina dinamike rotacionog kretanja

Prema II Njutnovom zakonu, tangencijalna komponenta Ft sile koja uzrokuje tangencijalno at i ugaono ubrzanje α i čija je napadna tačka na rastojanju r od ose rotacije, stvara moment sile koji se može izraziti u obliku koji sadrži informaciju o rasporedu masa u odnosu na osu rotacije, tj. veličinu momenta inercije Ikrutog tela.

16

- U krutom telu se delovanje unutrašnjih sila Fij=−Fji međusobno poništava.-Samo tangencijalne komponente spoljašnjih sila Fti koje deluju na pojedine deliće mase mi krutog tela uzrokuju rotaciono kretanje.-Momenti takvih spoljašnjih sila se sabiraju Mi, čime se dobija rezultantni moment spoljašnjih sila M, koji uzrokuje ugaono ubrzanje p j j , j j g jα.

Ukupan moment je jednak zbiru momenata:

II Njutnov zakon za rotaciju krutog tela oko nepokretne ose

Moment sile je proizvod momenta inercije tela za datu i osu ugaonog ubrzanja tela.

Analogno sa: amF =

ugaonog ubrzanja tela.

Vektori momenta sile i ugaonog ubrzanja su kolinearni i poklapaju se po pravcu sa fiksnom osom rotacije.