P2

1

Do sada smo naučili:• Vektori

– Razlaganje na komponente i projekcije

y

x

y

O

A

αA y=A sinα

A x=A cosα

jAiAA yx ⋅+⋅=

- Operacije sa vektorima

Zbir vektora

Skalarni proizvod:Vektorski proizvod:

VektorskaAlgebra.PDF

P2

2

Mehanika:Proučava mehaničko kretanje i njegove uzroke

• Kinematika proučava kretanje ne razmatrajući uzroke koji to kretanje izazivaju

• Dinamika proučava zakone kretanja tela i uzroke koje to kretanje izazivaju ili menjaju (dejstvo sila)

• Statika č k t ž t l k d jih• Statika proučava zakone ravnoteže tela kada na njih deluje nekoliko sila.

- Posmatrajmo jednostavno kretanje po pravoj liniji –pravolinijsko kretanje. Postavimo x-osu u pravcu kretanja i potražimo srednju brzinu:

vttxx

txvsr −

−=ΔΔ= 12

12 xxx −=Δ

x1 x2 x

dtdx

txv

ttt

tx =ΔΔ=

−Δ

→Δ 0

12

lim - pomeraj

ako Δt teži nuli:

ubrzanje:

dtdv

tva

tva

xxtx

xsr

=Δ

Δ=

ΔΔ=

→Δ 0lim

ubrzanje:

P2

3

• Materijalna tačka je svako telo čije su dimenzije zanemarljivo male u odnosu na prostor u kojem se kretanje odvija (npr. koordinatni sistem, pređeni put).

• Materijalna tačka je dakle aproskimacija (model) kojim predstavljamo da se telo nalazi u jednoj geometrijskoj tački kojoj pridružujemo osobine realnog fizičko tela: masu, impuls itd.

• Nasuprot materijane tačke postoji model krutog tela.

• Kinematika analizira kretanje tela (ne razmatra uzroke kretanja niti strukturu i dimenzije samog tela).

Određivanje položaja tačke i kretanje• Mehaničko kretanje predstavlja promenu položaja jednog tela tokom vremena u odnosu na neko drugo referentno telo.• Položaj tela se određuje se u referentnom sistemu koordinatama: x, y, z.

P2

4

- Dekartov koordinatni sistem i vektor položajaRadijus vektor ili vektor položaja .- Povučen iz koordinatnog početka do tela (pokazuje na telo)-Njegove komponente su u stvari koordinate tačke (x, y ,z)

r

222 zyxrr

kzjyixr

++=≡

++=

jik

)(trr =Kretanje:

koordinate su funkcijevremena.

Δs

Kinematika – osnovni pojmovi

- Putanja tela (trajektorija) je skup tačaka kroz koje telo prolazi tokom kretanja ili linija koju opisuje vrh radijus

1

2

j j j p j jvektora tokom vremena.

- Deo putanje Δs koju telo pređe za vreme Δt između dve tačke M1 i M2 naziva se pređeni put (mereno po putanji).

- Vektor pomeraja Δr je vektor koji spaja početni i krajnji položaj tela (najkraće rastojanje između početnog i krajnjeg položaja tela).

12 rrr −=Δ

P2

5

-Pravolinijsko kretanje: telo se kreće duž prave linije.

Vrste kretanja po obliku putanje:

- Krivolinijsko kretanje: telo se kreće po krivoj liniji pa je putanja krivolinijska.

- Jednačina trajektorije matematički opisuje oblik putanje npr. y=y(x)

Srednja brzina- Jedinica za brzinu je m/s

- Srednja brzina po putu je skalarna liči T j k lič ik k

1

2

srveličina. To je količnik ukupnog pređenog puta Δs i vremena kretanja Δt .

-Srednja vektorska brzina je količnik tsvS Δ

Δ=

vektora pomeraja Δr i vremena Δt za koje je taj pomeraj ostvaren.

trr

trvsr

Δ−=

ΔΔ= 12

P2

6

Trenutna brzina

rdrΔ

- Trenutna brzina je jednaka prvom izvodu vektora položaja.

Vektor brzine uvek ima pravac tangente na putanju

1

2

dtrd

trv

t=

ΔΔ=

→Δ 0lim

- Komponente brzine:

dtdzv

dtdyv

dtdxv zyx === ;;

dtdtdt

kdtdzj

dtdyi

dtdxv ++=

222zyx vvvv ++=

Srednje ubrzanje- Jedinica za ubrzanje je m/s2

-Srednje ubrzanje predstavlja promenu brzine k j k k i lkretanja u nekom vremenskom intervalu

tvv

tvasr

Δ−=

ΔΔ= 12

P2

7

Trenutno ubrzanje

2 rdvdvΔ

- Trenutno ubrzanje je jednako prvom izvodu vektora brzine.

20lim

dtrd

dtvd

tva

t==

ΔΔ=

→Δ

- Komponente ubrzanja:

2

2

2

2

2

2

;;dt

zddt

dvadt

yddt

dva

dtxd

dtdva z

zy

yx

x ======

a

dtdtdtdtdtdt

kdt

dvjdt

dvi

dtdva zyx ++=

222zyx aaaa ++=

U opštem slučaju vektor ubrzanja se ne poklapa po pravcusa vektorom brzine!

v

a

av

a

v- Brzina i ubrzanje su paralelni samo kod pravolinijskog kretanja

P2

8

Vektor trenutnog ubrzanja se može razložiti nadve komponente:

- Normalno ili centripetalno ubrzanje ima pravac poluprečnika krivine a smer ka centru krivine.

- Tangencijalno ubrzanje koje ima pravac tangente na putanju (poklapa se sa v) i govori o promeni intenziteta brzine

na vta

tn aaa +=

a22tn

tn

aaa

aa

+=

⊥

Zakon sabiranja brzina

Brzine kojima se kreće telo se sabiraju!

Koordinatni sistem B se kreće u odnosu na koordinatni sistem A brzinom vAB.

Potražimo izvod gornjeg izraza:

P2

9

• v=const. – ravnomerno kretanje

Vrste kretanja po promeni brzine

• v≠ const. – neravnomerno kretanje

v ≠ const., a=const. - ravnomerno ubrzano(poseban slučaj neravnomernog kretanja)(poseban slučaj neravnomernog kretanja)

Određivanje brzine i položaja materijalne tačke

== dtavdt

dva xxx

x

Komponente brzine dobijamo iz integrala odgovarajućih komponenti ubrzanja:

==

dv

dtvxdtdxv xx

dv

Dalje, koordinate tačke dobijamo iz integrala komponenti brzine:

==

==

dtvydtdyv

dtavdt

dva

yy

yyy

y

Ovo je opšti slučaj tj. ovi izrazi važe za sve vrste kretanja.

==

==

dtvzdtdzv

dtavdt

dva

zz

zzz

z

P2

10

Posmatrajmo komponentu kretanja kretanja duž jedne ose (1D)

- Slučaj ravnomernog kretanja v=const. , a=0

xtvxxCxxt

Ctvdtvdtvxdtdxv

x

xxxx

+====

+====

0

00;0

tvrr += 0

Odatle je izraz za put kod pravolinijskog: tsvtvs =⋅=

Zaključujemo za kretanje u 3D:

- Slučaj ravnomernog ubrzanog kretanja a=const.

00;0 vCvvt

Ctadtadtavdt

dva xxxxx

x

===

+====

0

2

0

0

2)( Ctvtadtvtadtvx

dtdvx

vtav

xxxx

xx

++=+===

+=

tavv += 0Zaključujemo za kretanje u 3D:

tvtarr 02

0 21 ++=

00

200

2

;02

xtvtax

xCxxtdt

xx ++=

===

P2

11

Dakle, u slučaju ravnomerno ubrzanogpravolinijskog kretanja važi:

consta .=

savv

tatvs

tavv

221

20

2

20

0

±=

⋅±=

⋅±=

Ovo je specijalan slučaj ali čest u prirodi.Primeri: slobodan pad, strma ravan itd.

Grafici pravolinijskog kretanja (jednodimenziono)v

x

sRavnomerno kretanje: :

Brzina Pređeni put

s

s=v t

v

v=const.

t t

P2

12

Grafici pravolinijskog kretanja (jednodimenziono)

Ravnomerno ubrzano kretanje tj. a=const.:

20 2

1 tatvs ⋅+=

s

Brzina Pređeni put

v

v=v0+ a t

t

v0

t

Slobodan pad:Slobodno padanje tela je pravolinijsko,jednako-ubrzano kretanje tela u polju sileZemljine teže bez početne brzine (v0=0)(telo se samo p sti sa određene isine(telo se samo pusti sa određene visine uodnosu na podlogu - površinu Zemlje)

•Intenzitet ubrzanja tela iznosi približnoa=g =9,81 m/s2

tgv ⋅=

2

2

21

21

tghy

tgs

⋅−=

⋅=

P2

13

•Aristotel – “objekti veće mase padaju brže” ??

•Galileo Galilej – sva tela slobodno padaju jednako ! (kada nema drugih uticaja osim sile j ( g jZemljine teže)

•Misija na Mesecu , Apolo 17.