1

Unidad 5: Flujo en medios porosos saturados

IntroducciónLa ecuación de conservación de la masa para este caso se tiene tomando s=1 (medio

saturado). De esta manera, la Ec. (4.39) se reduce a:

( ) ( ) 0=⋅∇+∂∂+ q

tp

n rρβαρ . (5.1)

Acuíferos confinadosPara compatibilizar el balance de masa con la ecuación de Darcy, reescribimos la Ec. (5.1)

en términos de la presión piezométrica o carga hidráulica como p=ρg(h-z) (ver Ec. (4.6)):

( ) 0=⋅∇+∂∂

qth

S rρ , (5.2)

donde,( )βαρ ngS += 2 (5.3)

es el almacenamiento específico. Esta es una propiedad del acuífero, en general muy difícil deevaluar dado que depende de la compresibilidad de la matriz porosa, α, que es un parámetrousualmente desconocido. Si se desprecia la compresibilidad del agua (ρ=cte. y β=0), tenemosque:

00 =∂∂+⋅∇

th

Sqrr

, (5.3)

donde S0=ρgα. y tiene unidades de inversa de longitud. Introduciendo la ley de Darcyobtenemos:

th

Szh

Kzy

hK

yxh

Kx zyx ∂

∂=

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂

0 . (5.4).

Si el medio es homogéneo e isótropo (Kx= Ky= Kz=K), obtenemos una ecuación para h enla forma:

th

KS

h∂∂=∇ 02 , (5.5)

que es una ecuación de difusión lineal. Nótese que si el flujo es estacionario, entonces hobedece la conocida ecuación de Laplace: 02 =∇ h .

Como veremos más adelante, es conveniente tener una ecuación diferencial para h queincorpore las condiciones de contorno en el borde superior del acuífero. Esto puede hacerseintegrando la Ec.(5.5) respecto de z, entre el fondo(z=z1) y el techo (z=z2) del acuífero; así,obtenemos:

Rth

Syh

Tyx

hT

x yx −∂∂=

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂

, (5.6)

donde R es la recarga en la superficie freática1,

1 Aquí hemos considerado que el fondo del acuífero es impermeable, i.e. qz(z1)=0, y que ∂h/∂x, ∂h/∂y no

dependen fuertemente de z.

2

)( 2

2

1

zqzh

KR z

z

zz =

∂∂−= , (5.7)

S es el coeficiente (adimensional) de almacenamiento,

∫= 2

1

)(0

z

zdzzSS , (5.8)

y Ti (i=x,y) es la transmisividad,

∫= 2

1

)(z

z ii dzzKT . (5.9)

Si la permeabilidad es constante (acuífero homogéneo), Ti=bKi, donde b=z2-z1 es el espesordel acuífero. Si además, el acuífero es isótropo (Tx= Ty=T), tenemos:

TR

th

TS

yh

xh

hxy −∂∂=

∂∂+

∂∂=∇

2

2

2

22 , (5.10)

donde el operador 2xy∇ es el Laplaciano en el plano xy.

Esta es la ecuación fundamental para el flujo en acuíferos confinados homogéneos eisótropos. Permite obtener la carga hidráulica dentro del mismo en función de sólo dosparámetros característicos, a saber: el coeficiente de almacenamiento S, y su transmisividadhorizontal T. La recarga, en general, es una función del tiempo y/o del espacio, es decirR=R(x,y,t), puesto que depende de la infiltración en las capas superiores del suelo.

Acuiferos no confinadosEl problema de los acuíferos no confinados es algo más complicado debido a la presencia

de una superficie libre. Si bien la Eq. (5.5) es aún válida en las regiones completamentesaturadas del flujo (por debajo de la superficie libre), ésta debe ser resuelta en un dominio conuna frontera desconocida: la forma de la superficie freática. La condición de contorno en lainterfase aire-agua es de presión constante e igual a la presión atmosférica. También debeincluir el eventual ingreso de agua debido a la recarga del acuífero por infiltración.

Una aproximación alternativa a este problema es integrar las ecuaciones en la direcciónvertical y tratar sólo con un sistema bidimensional, asumiendo un flujo básicamentehorizontal. Esta es la llamada aproximación de Dupuit-Forccheimer.

Las hipótesis básicas de esta aproximación pueden enumerarse de la siguiente manera:1) ∂ h/∂ x, ∂ h/∂ y <<1: La pendiente de la capa freática es pequeña.2) qz<< qx, qy: El flujo es prácticamente horizontal.3) ∂ qx/∂ z=∂ qy/∂ z=0: El flujo horizontal es independiente de la profundidad.4) Kx, Ky ≠ f(z): Las permeabilidades horizontales no dependen de la profundidad.5) ρ=cte.: El agua se considera incompresibleSiguiendo estas aproximaciones, la ecuación de conservación de la masa (ve Ec. (4.27)),

( ) 0=∆⋅∇+∂∆∂

VqtM rρ

sobre un elemento alargado de base ∆x∆y y altura H (es decir con ∆V=H∆x∆y), da:

( ) ( )tM

yxRyxHqy

Hqx yx ∂

∆∂=∆∆+∆∆

∂∂+

∂∂−

ρ1

, (5.11)

donde se ha agregado un término fuente, siendo R es la tasa de recarga del acuífero. Teniendoen cuenta que la masa de agua es ∆M=ρn∆V, el lado derecho de la ecuación se escribe como:

3

∂∂+

∂∂∆∆=

∂∆∂

tn

HtH

nyxtM

ρ1

. (5.12)

El primer término señala la variación de la masa debido a subidas o bajadas del nivel de lacapa freática. El segundo indica variaciones de ∆M debidas a cambios en la porosidad pordeformación de la matriz porosa. Usualmente, este segundo término es varios órdenes demagnitud menor que el primero, y se lo desprecia.

Reemplazando la ley de Darcy para medios isótropos y homogéneos,

( ) ,,,

∂∂

∂∂−=

yh

xh

Kqq yx

y la Ec. (5.12) en la Ec. (5.11) obtenemos:

th

Kn

KR

yh

hyx

hh

x ∂∂=+

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂

. (5.13)

Aquí, hemos puesto H=h ya que elegimos el fondo del acuífero (z=0) como nivel dereferencia para definir la carga hidráulica h. Esta ecuación también puede escribirse de maneramás compacta en la forma,

KR

th

Kn

h −∂∂=∇ 22

21

, (5.14)

donde se observa que la ecuación para acuíferos no confinados es una ecuación del tipodifusivo no lineal con un término fuente. La no-linealidad de la Ec. (5.14) se debe a lapresencia de la superficie libre como límite del dominio de solución, y representa una fuertedificultad para su resolución. Esto constituye una importante diferencia respecto de losacuíferos confinados. Si el flujo es estacionario, entonces se tiene una ecuación de Poissonpara el campo potencial h2 :

KR

h −=∇ 22

21

. (5.15)

Dado que los apartamientos de la altura de la superficie freática h(x,y,t) respecto de su valormedio h0 son pequeños, podemos escribir:

),,(),,( 10 tyxhhtyxh += , (5.16)con h1<<h0, de modo que h2≅ h0

2+2h0h1. Entonces, la derivada temporal se calcula como:∂φ/∂t=h0∂h1/∂t=h0∂h/∂t, y reemplazando en la Ec. (5.14) tenemos que:

KR

tKhn

yx−

∂∂=

∂∂+

∂∂ φφφ

0

, (5.17)

con φ=h2/2. De esta manera, obtenemos una ecuación lineal para el potencial de carga φ quedescribe el flujo en un acuífero no confinado. Nótese que en esta aproximación, la Ec. (5.17)es matemáticamente idéntica a la Ec. (5.10), que describe al acuífero confinado. La ecuacióngeneral a resolver es entonces:

212 C

tCxy −

∂∂=∇ φφ , (5.18)

donde,

,,,2 2

01

2

KR

CKhn

Ch ===φ (5.19)

para acuíferos no confinados, y

4

,,, 21 TR

CTS

Ch ===φ (5.20)

para acuíferos confinados. Por lo tanto, la solución de un problema para un tipo de acuífero,puede trasladarse mutatis mutandis al otro tipo de acuífero.

Para estudiar la hidráulica de pozos, es necesario emplear coordenadas cilíndricas (r,θ), demodo que:

2

2

222 11

θθ ∂∂+

∂∂

∂∂=∇=∇

rrr

rrrxy . (5.21)

El término fuente (o sumidero) R puede usarse para representar bombeo, recarga oinfiltración a través del borde superior del acuífero. Esta última condición generalmente serefiere a acuitardas como una o más capas confinantes. La infiltración vertical a través de unsubstrato semi-impermeable (acuiclud o acuitarda) puede aproximarse mediante:

( )hHBK

R v −= 0 , (5.22)

donde Kv es la permeabilidad vertical de la acuitarda, B es el espesor del substrato, H0 es unacarga hidráulica constante impuesta externamente sobre el substrato. Se supone que laacuitarda no puede almacenar ni liberar agua en respuesta a cambios de presión interna.

Hidráulica de pozosEn esta sección estudiaremos el comportamiento de pozos, en general desde un punto de

vista algo idealizado. Las hipótesis incluyen isotropía, homogeneidad y penetración completadel pozo en el acuífero. Si bien estas simplificaciones son algo restrictivas, no le quitanutilidad práctica a los resultados así obtenidos. Como veremos, el comportamiento de lospozos proveerá métodos para estimar los parámetros agregados que caracterizan al acuífero.Por lo tanto, los pozos no son sólo una forma de extraer o agregar agua a un acuífero, sino quetambién son instrumentos para caracterizar hidráulicamente la conformación geológica delmedio poroso que contiene las aguas subterráneas.

Solución estacionaria en un acuífero confinadoSupongamos que un acuífero de profundidad b está siendo bombeado a un caudal constante

Q. Después de algún tiempo de bombeo relativamente largo, el flujo tenderá a unaconformación estacionaria y la forma de la superficie freática será la de un cono de depresiónradialmente simétrico.2 En el borde del pozo de radio rw, el nivel del agua coincide con laaltura (o carga) piezométrica, hw. Esto no es estrictamente cierto en la práctica, sino que dichonivel es algo menor que hw, y el radio efectivo del pozo algo mayor que rw. Esto se debe a laspérdidas de energía debidas al empaquetamiento de grava y mallado que normalmente seubican alrededor de los pozos de bombeo. También asumiremos que el flujo es básicamentehorizontal, tal como lo son los substratos confinantes.

Bajo estas hipótesis, R=∂h/∂ t=∂h/∂θ=0, y de las Ecs.(5.10) y (5.20), obtenemos

01 =

∂∂

∂∂

rh

rrr

. (5.23)

Integrando dos veces, y tomando h(rw)=hw, tenemos:

2 En realidad, como veremos más adelante, el flujo no es estrictamente estacionario y el cono contínua

expandiéndose muy lentamente alejándose del pozo.

5

( ) ( )( ) w

wi

wwi h

rrrr

hhrh +−=/ln/ln

)( , (5.24)

donde ri es la coordenada de un punto de observación y hi es la carga hidráulica en dichopunto. (Generalmente, se construyen pozos adicionales a cierta distancia del pozo principalpara controlar el nivel de la superficie freática). Usando la ecuación de Darcy, el flujo a travésde un cilindro concéntrico con el pozo viene dado por,

rh

rbKQ∂∂−= π2 , (5.25)

donde la descarga dentro del pozo se define con signo negativo. Reemplazando aquí la Ec.(5.24), tenemos

( )wi

wi

rrhh

TQ/ln

2−

= π , (5.26)

donde T=Kb es la transmisividad.Nótese que si se conoce el caudal de bombeo Q y el nivel de agua hi en un pozo de

observación a una distancia ri, entonces la Ec. (5.26) permite obtener el valor de latransmisividad T del acuífero. Esta forma de estimación de los parámetros se denominaproblema inverso. Debe notarse también que la hipótesis de flujo estacionario no es del todocorrecta, puesto que la solución en la Ec. (5.24) predice h→∞ para r→∞. De todos modos, laEc. (5.26) conduce a valores razonables de T.

Solución estacionaria en un acuífero no confinadoEn esta caso, teniendo en cuenta lo dicho acerca de la Ec. (5.19), debemos resolver las

mismas ecuaciones que en el caso anterior, pero para φ=h2/2. Nuevamente, la soluciónestacionaria también constituye una primera aproximación al problema real y, en principio,pueden hacérsele las mismas críticas.

Alternativamente, podemos resolver el problema mediante consideraciones físicas ygeométricas. Asumiendo que se satisfacen las hipótesis de la aproximación de Dupuit, el flujoa través de cilindros concéntricos que rodean al pozo deben ser iguales entre sí y coincidentescon el caudal de bombeo Q. Para un cilindro de área A=2πrh, tenemos:

rh

rhKAqQ∂∂−== π2 , (5.27)

que una vez integrado conduce a:( )

−

=

1

2

21

22

lnrr

hhKQ

π, (5.28)

donde los subíndices 1 y 2 se refieren a dos pozos de observación. Esta ecuación puederesolverse ahora para la conductividad hidráulica K en función de Q y los parámetrosobservados en estos pozos.

Flujo no estacionario en pozosConsideraremos aquí el estudio de la solución dependiente del tiempo, tanto para acuíferos

confinados como no confinados, asumiendo recarga nula (R=0). Entonces, la ecuación degobierno es (ver Ec. (5.18)):

6

tC

rr

rr ∂∂=

∂∂

∂∂ φφ

1

1. (5.29)

Para fijar ideas, tomemos el caso del acuífero confinado de modo que φ=h. Buscaremosaquí una solución que sea válida para tiempos mucho mayores que el momento en que el pozocomenzó a funcionar, es decir no pretendemos describir el transitorio inicial, sino que nosenfocamos en el comportamiento del flujo después de que el bombeo ha establecido unrégimen dado con Q=cte. Además, tampoco nos interesará describir el flujo en lasproximidades del pozo, esto es para radios del orden de rw. Por el contrario, estamosinteresados en el flujo para r >> rw.

Puesto que el acuífero posee una profundidad (o espesor) h0, entonces debe ser: h= h0 f(r,t),donde f es una función adimensional. Como tal, debe depender de parámetros adimensionalesy debe poder expresarse como f(r/r0,t/t0), donde r0 y t0 son un radio y un tiempo característicodel problema. Sin embargo, en vista de nuestras aproximaciones anteriores nuestro problemano posee tales valores típicos3. Esto implica que r y t no puedan entrar de manera separadacomo argumentos de f, sino a través de una única combinación adimensional que involucre aambos. A menos de constantes o exponentes arbitrarios, dicha combinación puede escribirsecomo:

trβ

ξα

= , (5.30)

donde α es una constante y β es un parámetro dimensional (con dimensiones de longitudelevada a la α, sobre dimensiones de tiempo). Si nuestros argumentos son correctos, ambosdeben quedar determinados por la solución. Luego, la solución debe ser de la forma:

)(0 ξfhh = . (5.31)Reemplazando en la Ec. (5.27) con C1=S/T, tenemos que:

( ) 0´´´ 2

2

=

+ f

TtSr

fα

ξ , (5.32)

donde podemos elegir,

TtSr

2

2

αξ = , (5.33)

de modo que, en virtud de la Ec. (5.28), resulta α=2 y β=T/4S. Luego, queda la siguienteecuación diferencial a resolver:

( ) 0´´´ =+ ff ξξ , (5.34)con

tr

TS 2

4=ξ . (5.35)

Nótese que este análisis ha reducido la ecuación diferencial parcial original (Ec. (5.27)), enuna ecuación diferencial ordinaria (Ec. (5.32)), lo que facilita notablemente la resolución delproblema.

Tomando como condición de contorno h(r=∞)=h0 (condición que no satisfacen lassoluciones estacionarias), una primera integración de la Ec. (5.32) conduce a:

[ ])(10 ξAWhh −= , (5.36)donde A es una constante y,

3 En realidad, tenemos que r0→0 y t0→∞.

7

∫∞ −

=ξ

ξ duu

eW

u

)( (5.37)

es la denominada función de pozo (‘well function’). Esta función se encuentra tabulada, y sudesarrollo en serie para ξ<<1 es:

...!33!22

ln577216.0)(32

+×

+×

−−−= ξξξξW . (5.38)

Para calcular A, debemos imponer el valor del caudal de bombeo Q, el cual viene dado por:

rh

bKrQ∂∂= π2 , (5.39)

en el límite r→0.4 Reemplazando aquí la Ec. (5.34), tenemos que A=Q/4πTh0, y entonces lasolución viene dada por:

)(40 ξπ

WT

Qhhs =−= , (5.40)

la cual se conoce como solución de Theis. Aquí, s señala la caída de nivel (o depresión) de lacapa freática que se tiene a una cierta distancia r del pozo después de un tiempo t de haberestado funcionando el bombeo.

Esta solución es muy útil para resolver el problema inverso y calcular la transmisividad Tde un pozo. Supongamos disponer de las observaciones en dos pozos de prueba situados adistancias r1 y r2 del pozo de bombeo (r=0). Entonces, la diferencia entre las mediciones decaída de nivel s1 y s2, puede escribirse como:

[ ]

=

≅−=−=∆

12

2

22

1

2

11212 ln

4ln

4)()(

4 trtr

TQ

TQ

WWT

Qsss

πξξ

πξξ

π. (5.41)

Consideramos, por ahora, las mediciones en un solo pozo, esto es r1= r2=r, tal que t1 sea eltiempo de la primera medición. La representación de las mediciones como ∆ s vs. t2 en ungráfico semilogarítmico conduce a una recta de pendiente m, de donde puede obtenerse latransmisividad del acuífero como:

mQ

Tπ4

= . (5.42)

Para obtener el coeficiente de almacenamiento S, debemos extrapolar nuestras mediciones afin de determinar el tiempo t0 en el cual se alcanza s=0. En ese punto, la variable ξ viene dadapor la Ec. (5.36), en la forma lnξ=-0.577216, esto es ξ=0.5615. En virtud de la Ec. (5.33),tenemos que S puede obtenerse a partir de:

204

5615.0rTt

S = . (5.43)

De esta manera, vemos cómo el conocimiento- de la evolución del nivel de agua en dospozos de observación permite conocer los parámetros que caracterizan el acuífero: latransmisividad horizontal T y el coeficiente de almacenamiento S.

Superposición de pozosYa hemos discutido sobre la linealidad de las ecuaciones básicas del flujo de aguas

subterráneas. La linealidad implica que la distribución del potencial φ sobre un acuífero con

4 El caudal a través de un cilindro concéntrico dado depende de r, pues el problema no es ahora estacionario.

De hecho, Q→0 para r→∞, como debe ser.

8

múltiples pozos (un campo de pozos) debe ser igual a la suma de los potenciales de cada pozoen el campo. Por ejemplo, si N pozos bombeando con caudales Qi, i=1,...,N existen en elcampo, entonces las caídas de nivel en un punto dado al tiempo t viene dado por:

∑∑==

==N

ii

iN

ii W

TQ

tsts11

)(4

)()( ξπ

, (5.44)

donde

( )i

ii tt

r

TS

0

2

4 −=ξ . (5.45)

Aquí, ri es la distancia entre la posición del punto de interés y el pozo i, Qi es el caudal delpozo i, t0i es el tiempo transcurrido desde el comienzo del bombeo del pozo i, y t es el tiempodesde la primera actividad de bombeo en el campo.

Pozo de caudal variableLa linealidad también permite el uso de la ecuación de Theis para encontrar la respuesta de

un pozo con caudal de bombeo variable, Q(t). La tasa de bombeo variable se substituye poruna función constante a tramos (cuanto más tramos se utilicen mejor será la representación deQ(t)):

,...2,1,,)( 1 =<<= − itttQtQ iii . (5.46)con t0=Q0=0. En virtud de la linealidad, la respuesta del acuífero hasta el tiempo t1

corresponde a un pozo bombeando con caudal Q1. Al tiempo t2, la respuesta es la suma de unpozo bombeando con Q1 más un pozo bombeando con Q2 - Q1. En general, la caída de nivel altiempo t será,

∑=

−−=

n

ii

ii WTQQ

ts1

1 )(4

)( ξπ

, (5.47)

donde

( )1

2

4 −−=

i

ii tt

r

TSξ . (5.48)

De esta manera, la hipótesis de linealidad permite extender la potencialidad de la soluciónde Theis.

Método de imágenesEste método permite construir soluciones a problemas con difíciles condiciones de

contorno sumando soluciones de problemas más sencillos (alguno de ellos con pozosimaginarios). La validez de este método se basa en la unicidad de la solución de la ecuación deLaplace para dadas condiciones de contorno. Luego, si uno encuentra una solución quesatisfaga dicha ecuación y las condiciones de contorno, podemos estar seguros de que ésa es laúnica solución del problema.

Veremos aquí dos situaciones clásicas:a) Río interceptando un acuífero: El río impone la condición de contorno de carga

hidráulica constante en, digamos, x=0. Sin el río, el cono de depresión del pozo realtendría el aspecto de la línea de rayas inferior en la Fig. 1. El efecto del río es elevar laaltura piezométrica. Este efecto puede lograrse colocando un pozo imagen a unadistancia l del otro lado del río. Debe suponerse que este pozo esté recargando elacuífero con el mismo caudal Q que el pozo real. La curva a rayas superior de la figura

9

es el cono de influencia (ahora una elevación en vez de depresión) del pozo imaginario.Sumando ambas soluciones de manera tal que se logre la altura piezométrica apropiadaen x=0, puede determinarse la distancia l, y así la forma de la solución buscada. De estaforma, la solución es de la forma,

[ ]*)()(4

)( * ξξπ

WWT

Qssts QQ −=+= − , (5.49)

donde

( )rT

S −= l24

*π

ξ . (5.50)

Q Q

l l

Fig. 1: Esquema del método de imágenes aplicado para resolver el problema de un pozocercano a un río.

b) Frontera impermeable limitando un acuífero: En el punto x=0, se impone la condiciónde contorno qx=0. En virtud de la ley de Darcy, esto implica que el cono de depresióndebe tener pendiente cero (∂h/∂x=0 en x=0). Es de esperar que la altura piezométricacon la frontera sea menor que si ésta no estuviera presente y el cono se extendiera ainfinito. Para lograr disminuir la altura en x=0, se coloca un pozo imagen a unadistancia l del otro lado de la frontera, con el mismo caudal de bombeo Q que el pozoreal. Sumando ambas soluciones y requiriendo pendiente nula en x=0, puede obtenersela distancia l, lo que completa la solución buscada. De esta forma, la solución es de laforma,

[ ]*)()(4

)( * ξξπ

WWT

Qssts QQ +=+= , (5.51)

10

Q Q

l l

Pozo real

Pozo imágen

Fig. 2: Esquema del método de imágenes aplicado para resolver el problema de un pozocercano a una formación geológica impermeable.