UNIDAD 1: UTILICEMOS LAS RAZONES

TRIGONOMETRICAS.

Razones trigonométricas.

Un triangulo rectángulo es aquel que tiene un ángulo recto (de

90 grados: 90º).

En todo triángulo rectángulo, el lado mayor es la hipotenusa

(c). Además, cada ángulo tiene un lado o cateto opuesto

(enfrente) y uno adyacente (cercano). Para el ángulo θ

mostrado, b es el lado opuesto; y a es el lado adyacente. Y

para β, a es el lado opuesto; y b es el lado adyacente.

Además, en todo triángulo la suma de los ángulos internos es

180º: 90º + θ + β = 180º. Y recordando a

Pitágoras, se tiene que: a2 + b2

= c2

Las razones trigonométricas son 6: seno (Sen), coseno (Cos), tangente (Tan),

cotangente (Cot), secante (Sec) y cosecante (Csc). Cada razón trigonométrica es la

división de un lado entre otro. Para el ángulo θ se tiene que:

Senθ = opuesto/hipotenusa = b/c Cosθ = adyacente/hipotenusa = a/c

Cos = 1 / Sec

Tanθ = opuesto/adyacente = b/a Cotθ = adyacente/opuesto = a/b

Cot = 1 / Tan

Secθ = hipotenusa/adyacente = c/a Cscθ = hipotenusa/opuesto = c/b

Csc = 1 / Sen

Si tomamos el ángulo β, obtenemos:

Senβ = opuesto/hipotenusa = a/c Cosβ = adyacente/hipotenusa = b/c

Tanβ = opuesto/adyacente = a/b Cotβ = adyacente/opuesto = b/a

Secβ = hipotenusa/adyacente = c/b Cscβ = hipotenusa/opuesto = c/a

5.2 Razones trigonométricas para ángulos de 30o, 45o y 60o.

Una razón trigonométrica sólo depende de la abertura del ángulo. Para el caso, el seno de 30º

será siempre 0.5 sin importar las dimensiones del opuesto y de la hipotenusa. Partiendo de esto,

calculemos las razones trigonométricas de 30º, 45º y 60º. Lo haremos a partir de un triángulo

equilátero (aquel que tiene sus tres lados iguales)

Altura

ℓ ℓ

60

30º A un triángulo equilátero, la altura lo divide en 2 triángulos

rectángulos iguales, como puede verse. Al aplicar Pitágoras,

resulta que la altura es ℓ 3 / 2. Tengamos presente que la altura es

un cateto del triángulo rectángulo; así como lo es ℓ/2.

5.1 Definición de razones trigonométricas.

θ

β

a

b

c

90º

ℓ/2 ℓ/2

Sen30º = opuesto/hipotenusa = (ℓ/2) / ℓ = ½ = 0.5

Cos30º = adyacente/hipotenusa = ℓ 3 = ℓ 3 = 3

2 . 2ℓ 2

ℓ

Tan30º = opuesto/adyacente = (ℓ/2) / (ℓ√3 /2) = 1/√3

Cot30º = adyacente/opuesto = (ℓ√3 /2) / (ℓ/2) = √3 Cot = 1 / Tan

Sec30º = hipotenusa/adyacente = (ℓ) / (ℓ√3 /2) = 2/√3. Equivale a 2√3 /3 Sec = 1 / Cos

Csc30º = hipotenusa/opuesto = (ℓ) / (ℓ/2) = 2. Csc = 1 / Sen

Por un proceso semejante llegamos a que:

Sen60º = opuesto/hipotenusa = √3

2

Cos60º = adyacente/hipotenusa = 1/2.

Tan60º = opuesto/adyacente = √3

Cot60º = adyacente/opuesto = √3 /3

Sec60º = hipotenusa/adyacente = 2.

Csc60º = hipotenusa/opuesto = 2/√3. Equivale a 2√3 /3.

Para 45º construyamos un triángulo rectángulo con 45º.

ℓ ℓ√2

60º 60º

45º

45º

90º

Puede observarse que si un ángulo es de 45º, el otro obligadamente es

de 45º. Además, por Pitágoras se calcula que la hipotenusa es ℓ√2.

ℓ

Sen45º = opuesto/hipotenusa = ℓ/ ℓ√2 = 1/√2. Equivale a √2/2

Cos45º = adyacente/hipotenusa = ℓ/ ℓ√2 = 1/√2. Equivale a √2/2

Tan45º = opuesto/adyacente = ℓ/ℓ = 1

Cot45º = adyacente/opuesto = ℓ/ℓ = 1

Sec45º = hipotenusa/adyacente = ℓ√2 / ℓ = √2.

Csc 45º = hipotenusa/opuesto = ℓ√2 /ℓ = 2.

Ejemplos. 1. Para el triángulo siguiente calcula las 6 razones trigonométricas para β.

2. Se sabe que sen Ω = 7/10, calcula las otras razones trigonométricas de Ω.

4 cm

3 cm

Solución.

Apliquemos Pitágoras para encontrar la hipotenusa:

(hipotenusa)2 = 3

2 + 4

2 = 9 + 16 = 25 Saquemos raíz cuadrada en ambos lados:

√ (hipotenusa)2 = √25

hipotenusa = 5

Sen β = opuesto / hipotenusa = 3/5

Cos β = adyacente / hipotenusa = 4/5

Tanβ = opuesto / adyacente = 3/4

Cot β = adyacente / opuesto = 4/3

Sec β = hipotenusa / adyacente = 5/4

Csc β = hipotenusa / opuesto = 5/3

Sen Ω = 7 / 10. Como seno = opuesto / hipotenusa, se tiene que:

β

Opuesto = 7 e Hipotenusa = 10. Necesitamos conocer el otro lado: el adyacente.

Apliquemos Pitágoras.

Hipotenusa 2 = a

2 + b

2

10 2 = 7

2 + b

2 100 = 49 + b

2 100 - 49 = b

2 51 = b

2 √51 = b b = 7.14

Cos Ω = adyacente / hipotenusa = 7.14 / 10 = 0.714

Tan Ω = opuesto / adyacente = 7 / 7.14 = 0.98

Cot Ω = adyacente / opuesto = 7.14 / 7 = 1.04

Sec Ω = hipotenusa / adyacente = 10 / 7.14 = 1.4

Csc Ω = hipotenusa / opuesto = 10 / 7 = 1.43

Actividad 17.

2. Se sabe que Cot β = 2/5. Calcula las razones trigonométricas para β y el otro ángulo.

Sen β = _______ Cos β = _______ Tan β = _______ Cot β = 0.4 Sec β = _____-__ Csc β = _______

Cos θ = _______ Sen θ = _______ Cot θ = _______ Tan θ = _______ Csc θ = __-

_____ Sec θ = _______

discusión 10. 1. Se sabe que Sen θ = 0.24. Calculen las otras razones

trigonométricas para θ. Cos θ = _________ Tan θ = _________ Cot θ = __________

Sec θ = _________Csc θ =_________

2. ¿Por qué la expresión Sen θ = 20/15 no tiene lógica matemática?

3. Se sabe que en un triángulo rectángulo el opuesto de θ es el doble del adyacente.

Calcula las razones trigonométricas.

Sen θ = _________ Cos θ = _________ Tan θ = _________ Cot θ = __________ Sec θ = -

_________Csc θ =_____

4. Se sabe que en un triángulo rectángulo el opuesto de β es de 3 cm. Además, Sen β

= 0.75. Calculen los otros lados del triángulo. Adyacente = _________ Hipotenusa =

__________

√89 cm

8 cm

θ

β 1. Calcula las razones trigonométricas para θ y β.

Sen θ = Cos θ = Tan θ =

Cot θ = Sec θ = Csc θ =

Sen β = Cos β = Tan β =

Cot β = Sec β = Csc β =

5.

X

6. Discutan cuál puede ser el mínimo y el máximo que puede alcanzar la razón

trigonométrica Sen θ.

Mínimo = ______ Máximo = _______

5.3 Cálculo del valor de una razón trigonométrica para un ángulo agudo (uso de calculadora).

Un ángulo agudo es aquel menor de 90º. Para calcular las razones

trigonométricas en una calculadora, debemos primero cuidarnos de estar

trabajando en grados. Luego escribimos el valor del grado: 10, 15, 60, 75... y oprimimos la

razón trigonométrica deseada. Aparecerá el valor respectivo.

En la actualidad se han popularizado calculadoras que operan de diferente forma: primero se

oprime la razón trigonométrica, luego se escribe el grado y finalmente se oprime EXE. En otras

se escribe la abreviatura de la razón trigonométrica y luego el grado. Para calcular el seno de 45º

se opera así:

+ + + + +

Muchas calculadoras sólo traen seno, coseno y tangente. Entonces se hace necesario saber que:

Cotangente = 1/ tangente, cosecante = 1/seno y secante = 1/coseno.

En todo caso, este es un tema que se entenderá mejor con calculadora en mano y con el auxilio

del maestr@.

Actividad 18. Usando la calculadora, llena la tabla siguiente:

0º 10º 20º 30º 40º 50º 60º 70º 80º 90º

Sen Cos Tan

discusión 11.

1. En la última fila, escriban el resultado de dividir el seno entre el coseno. ¿Qué observan?

¿Podemos afirmar que la tangente es seno / coseno?

θ

√52

––– 3cm–––

Se sabe que Sen θ = 0.554. Calculen el valor del

lado X y el valor de la hipotenusa.

X = ________ Hipotenusa = ________

S 4 I EXE N 5 SIN es la abreviatura en inglés de seno.

⌨

2. Tomen de la tabla 2 ángulos: θ y β, de manera que sumen 90º. ¿Puede afirmarse que

sen θ = cos β?

5.4 Cálculo del ángulo correspondiente al valor de una razón trigonométrica (uso de calculadora).

Si sabemos que el seno de un ángulo es 0.966, surge la pregunta: ¿cuál es el valor del

ángulo? Se tiene que:

(Sen)–1

es el inverso del seno. (Cos)–1 es el inverso del coseno. (Tan)–1

es el

inverso de la tangente. Escritos así se encuentran en muchas calculadoras. En las

modernas se debe escribir: ASN: inverso del seno, ACS: inverso del coseno, ATN:

inverso de la tangente. Luego se escribe el ángulo y se oprime EXE.

De nuevo este tema se comprenderá mejor calculadora en mano.

Ejemplos. Se sabe que Sen β = 0.342. Calculemos los ángulos θ y β.

El astrónomo y matemático Claudio Tolomeo

vivió hace muchos siglos. Sus teorías y

explicaciones astronómicas dominaron el

pensamiento científico hasta el siglo XVI.

Tolomeo también contribuyó sustancialmente

a las matemáticas a través de sus estudios en

trigonometría y aplicó sus teorías a la

construcción de astrolabios y relojes de sol. En

su Tetrabiblon, aplicó la astronomía a la

astrología y la creación de horóscopos.

Almagesto es la primera y más famosa obra

de Tolomeo. En esta obra, Tolomeo planteó

una teoría geométrica para explicar

matemáticamente los movimientos y

posiciones aparentes de los planetas, el Sol y

la Luna contra un fondo de estrellas inmóviles.

En los tiempos de Tolomeo, se tomaba como cierto que la Tierra no se

movía, sino que estaba en el centro del Universo. Por razones filosóficas,

se consideraba que los planetas y las estrellas se movían con movimiento

uniforme en órbitas perfectamente circulares.

Si Sen β = k, entonces β = (Sen)-1

K

β

θ Si Sen β = 0.342, con la calculadora resulta que β = 20º. Por lo tanto θ

= 70º.

Recuerda que... en un triángulo rectángulo, los ángulos menores

suman 90º.

Tolomeo comenzó por aceptar la teoría mantenida de forma generalizada en

aquel entonces de que la Tierra no se movía, sino que estaba en el centro

del Universo. Por razones filosóficas, se consideraba que los planetas y las

estrellas se movían con movimiento uniforme en órbitas perfectamente

circulares.

Posiblemente, Tolomeo nació en Grecia, pero su nombre verdadero,

Claudius Ptolemaeus, refleja todo lo que realmente se sabe de él:

Ptolemaeus indica que vivía en Egipto y Claudius significa que era

ciudadano romano. De hecho, fuentes antiguas nos informan de que vivió y

trabajó en Alejandría, Egipto, durante la mayor parte de su vida.

En la pintura vemos al astrónomo y matemático sosteniendo una esfera

armilar. Este aparato están compuestas por varios círculos, con una

pequeña esfera en el centro, que representa la tierra.