Unghiul de Directie, Curbura Si Evolventa -Conspect [2011]

Unghiul de direcție, Curbura și Evolventa[conspect]

6.May.2011

Cuprins

Unghiul de directie................................................................................................................... 3

Curbura.................................................................................................................................... 4

Definitia curburii...................................................................................................................5

Curbura unui cerc.................................................................................................................8

Evolventa..................................................................................................................................9

Relatiile pentru calculul evolventei.....................................................................................11

Generalitati ale evolventei..................................................................................................13

Pag 1 Unghiul de direcție, Curbura și Evolventa

Unghiul de direcție, Curbura și Evolventa Pag 2

Unghiul de directieUnghiul de directie este unghiul (ϕM sau ϕN)facut de tangenta la curba in punctul de interes (M sau N), in punctul unde se calculeaza acest unghi, cu aliniamentul initial (O Ti X).


Figura 1. Unghiul de directie al unei curbe.

CurburaCurbura are la baza formularea geometrica a lungimii unui segment de arc de cerc subintins de un unghi cu valoarea de un radian.

Un radian este unghiul la centru care subîntinde un arc de cerc egal cu raza cercului. Cum unghiul total de 360° subîntinde toată lungimea cercului care cuprinde 2𝜋R, rezultă că unghiul de 360° are 2𝜋 radiani.

L=α [rad ]∗R

Distanta intr-un interval de timp, de a lungul unei traiectorii a punctului material este lungimea unui arc de cerc in functie de timp: s=s (t)

Centrul de curbura este definit la fiecare pozitie s localizata la o distanta ρ de centru, siuat pe traiectorie. Distanta necesara ρ la lungimea unui arc de cerc s este definita in functie de variatia tangentei la curba, care este determinata la randul ei de traiectorie. Daca orientarea tangentei intr-un punct de pornire este dϕ(s), atunci ρ este definit de derivata dϕ/ds:

1ρ=k (s )=dφ

ds

ds=ρ d φ→d φ=dsρ

→d φ=1ρ

ds→1ρ=d φ

ds=K (curbura)

s=R dφ→ R= sd φ

→d φ= sR

→1

d φ= R

s→1R

=dφs

=K (curbura)

Unde:

dϕ - este unghiul la centru măsurat în radiani.ρ = R - raza de curbură.ds = s - lungimea arcului de cerc subintins de unghiul la centru.


Figura 2. Formularea geometrica a lungimii unui segment de arc de cerc subintins de un unghi cu valoarea de un radian.

Figura 3. Lungimea unui segment de arc de cerc subintins de un unghi cu valoarea de un radian.

Sa presupunem ca un punct material se deplaseaza intr-un plan cu o viteza egala cu unitatea. Astfel punctul material va desena curba C pe planul respectiv. Folosind timpul ca un parametru putem defini curba in functie de acesta. Directia deplasarii este data de vectorul P iar curbura masoara cat de repede se roteste acest vector. Daca o curba este apropiata de o anumita directie, vectorul tangent variaza foarte putin iar curbura este mica, iar unde vectorul variaza multa in raport cu unitatea de timpul, curbura este una mare.

Asa cum curbura unui cerc este raportul dintre unghiul de la centrul si lungimea arcului de cerc subintins de catre acesta. Curbura la orice moment pe curba este data de limita unghiului infinitezimal dϕ, in radiani, dintre tangentele la curba in punctele ce delimiteaza un segment de curba infinitezimal ds. Daca cele doua tangente de la capatele segmentului delimitat sunt reprezentate de versori, este usor de aratat ca la trecerea la limita, valoarea diferentei dintre cei doi versori este dϕ.

Considerandu-se curba C si punctul P de pe aceasta, exista un singur cerc de raza R care se apropie cel mai mult de acel punct sau o linie tangenta la curba ce pot aproxima curbura in acest punct. Intuitiv curbura curbei C, dintr-un sistem de axe bidimensional, intr-un punct P poate fi gandita ca si curbura unui cercului de raza R tangent la curba in punctul P. Astfel curbura curbei C in punctul P este definita ca fiind curbura respectivului cerc sau linie.

Curbura unui cerc este definita de care lungimea razei. Cu cat raza este mai scurta cu atat curbura in zona punctului P este mai mare, iar cu cat raza este mai mare cu atat curbura in zona punctului P este mai mica. O linie dreapta sau un aliniament poate fi considerat o curba cu raza foarte mare tinzand catre infinit, astfel curbura sa este foarte mica tinzand catre zero.

Lungimea razei unui cerc este proportionala ca inversului curburii.

K (P)= 1R

→ R= 1K (P)

Definitia curburii

Curbura masoara variatia cu care tangenta la curba se modifica in raport cu unitatea de masura in cuprinsul curbei. Mai simplu curbura poate fi definita ca variatia in directie a curbei.

Curbura curbei C in orice punct masoara variatia tangentei cand aceasta se deplaseaza din punctul respectiv intr-un punct aflat in imediata apropiere.


Derivata unui arc de cerc.

Se considera o curba intr-un sistem de coordonate (X,Y) ce poate fi scrisa de forma y = f(x). Punctul A este un punct fix situat pe aceasta curba iar lungimea s a curbei de la acest punct pana la un alt punct ales arbitrar pe curba P(x,y). Consideram punctul Q de coordonate (x+Δx, y+Δy). Lungimea curbei dintre P si Q este Δs. Aceasta distanta variaza in raport cu coordonata x:

dsdx

= lim∆s→0

∆s∆ x

=√1+( dydx )

2

ds2=dx2+dy2 (teorema lui Pitagora in triunghiul dreptunghic ds dx dy)

Δs se apropie de coarda PQ atunci cand PQ se apropie de zero (de aici rezulta si limita Δs tinde catre zero). Astfel ds este ipotenuza iar catetele sunt dx si dy.

ds2

dx2=1+ dy2

dx2→

dsdx

=√1+( dydx )

2

ds2

dy2=dx2

dy2+1→

dsdy

=√( dxdy )

2

+1

dsdu

=√( dxdu )

2

+( dydu )

2


Figura 4. Derivata unui segment de arc de cerc.

Se considera o curba aflata intr-un sistem de axe (X,Y). Pe aceasta curba se aleg arbitrar doua puncte P si P’ cu lungimea segmentului de arc dintre ele egala cu Δs. Curbura medie dintre cele doua puncte este definita ca variatia unghiului de directie Δϕ in raport cu lungimea arcului Δs. Variatia unghiului de directie este diferenta dintre unghiul de directie al punctului P’ si cel al punctului P, deplasarea tangentei la curba din punctul P in punctul P’. Astfel curbura in punctul P este definita ca:

K= limΔ φ →0

Δ φΔ s

=dφds

Pentru a afla raportul dϕ/ds se fac urmatoarele calcule matematice:

d φds

=

d φdx

∗dx

ds

Se poate observa ca:

tg (φ )=d ydx

→φ=arctg( dydx )

(arctgu )'= u '

1+u2

(arctgdydx )

'

=

dydx

1+( dydx )

2

d φdx

= ddx (arctg

dydx )=

ddx ( dy

dx )1+( dy

dx )2(1)

d xds

= 1dsdx

= 1

√1+( dydx )

2(2)


Figura 5. Curbura unei curbe aflate intr-un plan.

n√ xm=xmn

x12∗x

11=x

32

Din (1) si (2) rezulta:

K=d φds

=

d φdx

∗dx

ds=

ddx ( dy

dx )1+( dy

dx )2∗1

√1+( dydx )

2=

d2 y

dx2

[1+( dydx )

2]32

Aceasta este curbura unei curbe, cu ecuatia y = f(x), situata intr-un plan cu sistemul de axe (X,Y).

Curbura unui cerc

Se considera un cerc cu raza R. Tangenta la cerc in punctul P face un unghi ϕ cu axa X. Diferenta dintre unghiul ϕ al tangentei din punctul P cu axa X si unghiul ϕ’ al tangentei din punctul P’ cu axa X este Δϕ.

∆ φ=φ'−φ

∆ s=R ∆ φ

∆ φ=∆ sR

K= ∆ φ∆ s

= ∆ φR ∆ φ

= 1R

Curbura unui cerc este constanta si egala cu inversul razei.


Figura 6. Curbura unui cerc.

EvolventaFigura de mai jos reprezinta zona de inceput a unei curbe circulare sau curbe progresive. Punctul A este punctul principal Ti (tangenta de intrare pentru curba circulara) sau AR (aliniament-racordare, in cazul cand curba este o curba progresiva). Punctele O A si M0 sunt situate pe aceeasi dreapta ce reprezinta tangenta dusa la curba in punctul A. Aceasta axa este considerata a fi directia aliniamentului initial de intrare in curba.

Punctul O este un punct arbitrar situat pe aliniament. Distanta OA este cunoscuta. Punctul M este un punct oarecare pe curba, definit prin distanta sM .

sM=OA+ AM

Punctul P este punctul situat pe curba intre punctele M si A. Tangentele din punctele P si M impreuna cu unghiurile de directie ϕP si ϕM sunt reprezentate in figura. Punctul M1 este situat pe directia tangentei in punctul P, astfel incat sa fie indeplinita conditia:

P M 1=PM=sM−s

Punctul M0 este situat pe directia tangentei in punctul A, astfel incat sa fie indeplinita conditia:

A M 0= AM=s M−OA

Obligand punctul P sa descrie curba de la punctul A la punctul M, punctul M1 - situat intotdeauna pe tangenta dusa in punctul P la curba - va descrie curba dintre punctele M si M0 care reprezinta evolventa in punctul M.

Evolventa pentru un punct M situat pe curba reprezinta de fapt, curba care trece prin punctul M si ale carei puncte curente M1 indeplinesc conditia P M 1=PM .

Pentru determinarea lungimii evolventei, se considera doua puncte vecine P si P’ situate pe curba data si tangentele la curba in aceste puncte. Intre aceste doua puncte, se masoara distanta ds iar intre punctele M1 si M’1 - situate pe evolventa - se masoara dE. Cele doua tangente se intersecteaza in punctul V.

Pentru usurarea calculelor se considera O=A=Ti=AR.

dE=(P M 1−PV )dφ

P M 1=PM=(sM−s)


Figura 7. Zona de inceput a unei curbe arc de cerc sau curba progresiva.

PV=φ tg( dρ2 )

Se neglijeaza segmentul PV iar dE va rezulta:

dE=(sM−s)dρ

Integrarea prin parti:

∫a

b

f (x )g' ( x ) dx=f ( x ) g ( x )∨b

a−∫a

b

f ' ( x )g ( x ) dx

sM−s=f ( x )−1=f ' ( x )

dφds

=g ' ( x ) φ=g ( x )

dE=( sM−s) dφ prinintegrare→

E=∫0

s M

(s¿¿ M−s) dφds

ds=(s¿¿ M−s)φ∨sM

0−∫0

sM

−1φds →E=∫

0

sM

φds ¿¿

ϕ este unghiul de directie din punctul P.


Figura 8. Determinarea tangentelor de intrare si de iesire a unei curbe.

Relatiile pentru calculul evolventei

La calculul evolventei se tine seama de interpretarea derivatei si a integralei (tangenta, suprafata) si formularea geometrica a lungimii unui segment de arc de cer subintins de un unghi cu valorea de un radian.

ds=ρ d φ [rad ]

d φ=dsρ

=( 1ρ )ds

φ=∫0

s

d φ=∫0

s1ρ

ds

1) Calculul evolventei la arcul de cerc

La curbele circulare, curbura este constanta.

K=d φds

= dφR d φ

= 1R

ds=R dφ

s - se masoara din punctul principal Ti .

dφ=dsR

prin integrare→φ=∫0

s1R

ds= sR

E=∫0

s

φds=∫0

ssR

ds→ E= s2

2 R


Figura 9. Semnificatia marimilor care intervin la calculul evolventei.

2) Calculul evolventei la curbele progresive

La curbele progresive, care leaga un aliniament de o curba circulara, legea de variatie a curburii este uniforma.

s - se masoara din punctul principal AR.

Aplicand teorema lui Thales triunghiurilor ABC si ADE se obtine legea de variatie a curburii:

BDCE

=ADAE

→

1ρ1R

=sL

→1ρ=

sL1R


Figura 10. Calculul evolventei la arcul de cerc.

Pentru a calcul unghiul de directie trebuie cunoscuta legea de variatie a curburii. Pentru clotoida, parabola cubica si parabola cubica imbunatatita in calculul riparilor se considera ca aceasta curbura variaza liniar cu lungimea s.

ds=ρ dφ→dφ=1ρ

ds= sL1R

ds prinintegrare→φ=∫0

ssL1R

ds= s2

2 LR

E=∫0

s

φds=∫0

ss2

2LRds→ E= s3

6 LR

Generalitati ale evolventei

Evolventa serveste la calculul:

- sagetile teoretice;- corectiilor furnizate masinilor grele de cale la executia lucrarilor de ripaj;- la verificarea gabaritului ( a sporurilor de gabarit care apar la circulatia vehiculelor in curba);- la inscrierea vehiculelor in curba.

Relatia de calcul a evolventei se obtine in functie de legea de variatie a curburii. In programele de calcul al riparilor, riparea intr-un punct i se calculeaza cu relatia aproximativa:

ri≅ Ei , P−Ei , E

Ei,P - evolventa pentru curba proiectata.Ei,E - evolventa pentru curba existenta.


Figura 11. Calculul evolventei la curba progresiva urmata de arc de cerc.

Pentru curba existenta evolventa trebuie sa fie exprimata in functie de sagetile masurate.

Evolventa se determina functie de variatia unghiului de directie.

Pentru curba progresiva:

ds=ρ dφ→dφ=1ρ

ds= sL1R

ds prinintegrare→φ=∫0

ssL1R

ds= s2

2 LR

Variatie parabolica (VP).

Pentru cerc:

dφ=dsR

prin integrare→φ=∫0

s1R

ds= sR

Variatie liniara (VL).

Intre curbura, unghi de directie si evolventa exista aceleasi corelatii care exista in mecanica constructiilor intre incarcare, forta taietoare si moment incovoietor.


Unghiul de Directie, Curbura Si Evolventa -Conspect [2011]

Documents

Transcript of Unghiul de Directie, Curbura Si Evolventa -Conspect [2011]