Trigonometrie

1. Winkel: Gradmaß oder Bogenmaß

In der Schule lernt man, dass Winkel im Gradmass, also als Zahlen zwischen 0und 360 Grad angegeben werden. In der Mathematik arbeitet man lieber mit demBogenmaß, das eine reelle Zahl ist. Betrachtet man einen Kreis mit Radius 1, soist sein Umfang gleich 2π. Wenn wir einen Winkel betrachten, dessen Scheitelpunktder Mittelpunkt des Kreises ist, dann ist der Winkel zur Lange des entsprechendenBogens direkt proportional. Wenn G das Gradmaß ist und L die Lange des Bogens,dann ist:

G◦

360◦=

B

2π

Diese Proportionalitat erlaubt die Umrechnung von Gradmass in Bogenmass (besserdiese Proportionalitat verstehen als auswendig lernen).

Beispiele: Der Vollwinkel ist 360◦ 2π, der gestreckte Winkel ist 180◦ π, derrechte winkel 90◦ π

2, die Winkel eines gleichseitgen Dreiecks sind 60◦ π

3.

In der Abbildung: der Winkel 120◦ (Gradenmaß) ist 2π3

= 23π (Bogenmaß).

1

2π3

2π3

R

2π3

2π3R

2. Trigonometrie

In einem rechtwinkligen Dreieck mit Katheten a, b und Hypothenuse c gilt derSatz von Pythagoras: a2 + b2 = c2.

1

2

C A

B

b

ac

γ α

β

Seien α, β, γ die Winkel, welche sich gegenuber der Strecken a, c, b befinden. Mandefiniert Sinus und Kosinus als

Sinus eines Winkels =Gegenkathete des Winkels

Hypotenuse

Kosinus eines Winkels =Ankathete des Winkels

Hypotenuse

Tangens eines Winkels =Sinus

Kosinus=

Gegenkathete des Winkels

Ankathete des WinkelsUnd dann:

a

c= sin(α) = cos(β)

b

c= sin(β) = cos(α)

a

b= tan(α)

b

a= tan(β)

Zusatzliche Anmerkung: aus dem Satz von Pythagoras (a2+b2 = c2) folgt sin2(α)+cos2(α) = 1: einfach algebraisch umformen.

Wenn man mit rechtwinkligen Dreiecken umgehen kann, kann man auch allgemeineDreiecke betrachten (die Hohe erlaubt ein Dreieck durch zwei rechtwinklige Dreieckezu beschreiben). Und wenn man mit Dreiecken umgehen kann, kann man auch Qua-drate, Rechtecke, Rauten, Parallelogramme und allgemeiner Polygone betrachten.Am besten ein Problem in einfachere Probleme zerlegen.

3. Winkel in R

Die Konvention ist: Drehungen im Gegenuhrzeigersinn entsprechen positiven Win-keln und Drehungen im Uhrzeigersinn entsprechen negativen Winkeln.Ein Winkel in R beschreibt die Drehung eines Rads: 2π 1 Drehung, 8π 4 Dre-hungen, 3π eineinhalb Drehungen, −2π 1 Drehung in Uhrzeigersinn. Vielfachevon 2π entsprechen vollen Drehungen (d.h. derselben Ausrichtung des Rads). Manidentifiziert oft

0 ≡ 2π ≡ 8π ≡ −12π, π ≡ 3π ≡ −7π

3

Beispiele: −π2≡ 3

2π, −π ≡ π.

Beispiel mit der Uhr: Sagen wir z.B., dass jetzt es 12:00 Uhr ist. Wieviel Uhr wirdes in 312 Minuten sein? 312/60 = 5, 2 also 312 = 60 · 5 + 12 also wir mussen 5Stunden addieren (17 Uhr) und dann noch 12 Minuten addieren, d.h. es wird 17 : 12Uhr sein. Die Lage des Minutenzeigers wird sich um 12 Minuten andern, d.h. wirdim Uhrzeigersinn mit Winkel G◦ B gedreht, wobei

12

60=

G◦

360◦=

B

2π

d.h. G◦ = 72◦, B = 25π (mit negativem Vorzeichen, da die Drehung im Uhrzeigersinn

ist). Trotzdem wird sich der Minutenzeiger mehr bewegt haben, und zwar hat dieDrehung den Winkel 10π+ 2

5π = 52

5π (mit negativem Vorzeichen, da die Drehung im

Uhrzeigersinn ist).

4. Die geometrische Definition der Sinusfunktion und derKosinusfunktion

x

y

−1 −12

1

−1

−12

12

1

α

sinα

cosα

P = (cosα, sinα)

Nehmen wir den Einheitskreis in der Ebene, mit Basispunkt (1, 0). Dann konnenwir einen Winkel α in [0, 2π) durch einen zweiten Punkt P = (xP , yP ) auf demEinheitskreis beschreiben: die Winkel ist der mit Bogenlange α, also mit dem Bogenzwischen (1, 0) und P im Gegenuhrzeigersinn. Der Punkt P liegt auf der Einheitskreisx2 + y2 = 1 also gilt x2P + y2P = 1. Ausserdem gelten

−1 ≤ xP ≤ 1 − 1 ≤ yP ≤ 1

(diese folgen aus der Gleichung, aber sind auch graphisch klar).

4

Eine Definition fur Sinus und Kosinus ist dann:

sin : [0, 2π)→ [−1, 1] sin(α) = yP

cos : [0, 2π)→ [−1, 1] cos(α) = xP

Also ist fur einen Winkel α der entsprechende Punkt auf dem Einheitskreis P =(cos(α), sin(α)). Wir haben (2π ∼ 2 · 3, 14 = 6, 28):

y = sin(x)

1 2 3 4 5 6 7

−1

1

y = cos(x)

1 2 3 4 5 6 7

−1

1

Man betrachtet die Fortsetzung der obigen Funktionen auf R: der Graph wiederholtsich periodisch

sin : R→ [−1, 1] cos : R→ [−1, 1]

−1

1

−1

1

Diese Definition mittels eines Punktes auf dem Einheitskreis, bzw. in dem manobige Graphen anschaut, erlaubt leicht, die folgenden Gleichungen zu verstehen:

• cos(−x) = cos(x)• sin(−x) = − sin(x)

• cos(x+ π) = − cos(x)

5

• sin(x+ π) = − sin(x)

• cos(π − x) = − cos(x)• sin(π − x) = sin(x)

Insbesondere ist die Sinusfunktion ungerade und die Kosinusfunktion gerade. Esgibt viele weitere trigonometrische Formeln (siehe Formelsammlungen).Wichtig ist vor allem die schon erwahnte Formel:

cos2(x) + sin2(x) = 1

die ermoglicht, die eine Funktion aus der anderen (bis auf das Vorzeichen) zu be-rechnen und

cos(x) = sin(x+π

2)

d.h. der eine Graph ist einfach eine Translation des anderen.Die Funktionen Sinus und Kosinus sind periodisch mit minimaler Periode 2π.Zwei Winkel in [0, 2π) sind genau dann gleich, wenn sie denselben Sinus und den-

selben Kosinus haben. Zwei Winkel in R mit demselben Sinus und demselben Kosinusunterscheiden sich um ein Vielfaches von 2π.

5. Tangens

Die Tangensfunktion wird definiert als tan(x) = sin(x)cos(x)

. Diese ist ausserhalb der

Nullstellen des Kosinus wohldefiniert.

• Die Tangensfunktion ist periodisch mit minimaler Periode π• limx→−π

2+ tan(x) = −∞ limx→π

2− tan(x) = +∞

• die Tangensfunktion ist auf (−π2, π2) streng monoton wachsend.

6

x

y

π2

x

y