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Mathematik macht Freu(n)de AB – Winkelfunktionen am Einheitskreis Gegeben ist ein spitzer Winkel α, also 0 <α< 90 . (i) Beschreibe, wie du ein rechtwinkliges Dreieck konstruieren würdest, bei dem ein Winkel α ist. (ii) Erkläre, weshalb alle solchen rechtwinkligen Dreiecke immer ähnlich sind. In ähnlichen Dreiecken sind entsprechende Seitenverhältnisse gleich. Das ist die Grundlage für die Definition der Winkelfunktionen: sin(α)= G H cos(α)= A H tan(α)= G A Winkelfunktionen im rechtwinkligen Dreieck Erkläre die Formeln: sin 2 (α) = (sin(α)) 2 = sin(α) · sin(α). i) sin(α) cos(α) = tan(α) ii) sin 2 (α) + cos 2 (α)=1 iii) cos(90 - α) = sin(α) G H A H = G A G 2 H 2 + A 2 H 2 = =H 2 G 2 + A 2 H 2 =1 cos(90 - α)= G H = sin(α) Wichtige Zusammenhänge Der Einheitskreis hat Radius r = 1 und Mittelpunkt M = (0 | 0). Rechts siehst du den Einheitskreis im 1.Quadranten. Durch den Winkel α wird ein Punkt P =(x P | y P ) am Kreisbogen eindeutig festgelegt: x P = cos(α) y P = sin(α) Welche Koordinaten hat der eingezeichnete Punkt T ? x T = 1 y T = tan(α) Laut Taschenrechner ist cos(300 )= 0,5. Jetzt erklären wir, was er damit meint. Einheitskreis Im 1. Quadranten gilt für jeden Punkt P =(x P | y P ) am Kreisbogen x P = cos(α) und y P = sin(α). Diese Eigenschaft verwenden wir als Definition von sin(α) und cos(α) für jeden beliebigen Winkel, nämlich: cos(α)= x P bzw. sin(α)= y P . Berechne mit dem Taschenrechner: Warum ist cos(140 ) < 0? cos(140 )= -0,766... sin(140 )= 0,642... Für Winkel 90 <α< 180 ist also sin(α) cos(α) < 0. Damit das Vorzeichen von tan(α)= y T stimmt, zeichnen wir den Punkt T auf der rechten Seite ein. So bleibt die Eigenschaft tan(α)= sin(α) cos(α) erhalten. Winkelfunktionen am Einheitskreis Datum: 8. Mai 2019

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Mathematik macht Freu(n)de AB – Winkelfunktionen am Einheitskreis

Gegeben ist ein spitzer Winkel α, also 0◦ < α < 90◦.

(i) Beschreibe, wie du ein rechtwinkliges Dreieck konstruieren würdest, bei dem ein Winkel α ist.

(ii) Erkläre, weshalb alle solchen rechtwinkligen Dreiecke immer ähnlich sind.

In ähnlichen Dreiecken sind entsprechende Seitenverhältnisse gleich.Das ist die Grundlage für die Definition der Winkelfunktionen:

sin(α) = G

Hcos(α) = A

Htan(α) = G

A

Winkelfunktionen im rechtwinkligen Dreieck

Erkläre die Formeln: sin2(α) = (sin(α))2 = sin(α) · sin(α).

i)sin(α)cos(α)

= tan(α) ii) sin2(α) + cos2(α) = 1 iii) cos(90◦ − α) = sin(α)

GHAH

= G

AG2

H2 + A2

H2 =

=H2︷ ︸︸ ︷G2 +A2

H2 = 1cos(90◦ − α) = G

H= sin(α)

Wichtige Zusammenhänge

Der Einheitskreis hat Radius r = 1 und Mittelpunkt M = (0 | 0).

Rechts siehst du den Einheitskreis im 1.Quadranten. Durch den Winkel αwird ein Punkt P = (xP | yP ) am Kreisbogen eindeutig festgelegt:

xP = cos(α) yP = sin(α)

Welche Koordinaten hat der eingezeichnete Punkt T ?

xT = 1 yT = tan(α)

Laut Taschenrechner ist cos(300◦) = 0,5. Jetzt erklären wir, was er damit meint.

Einheitskreis

Im 1.Quadranten gilt für jeden Punkt P = (xP | yP ) am Kreisbogen xP = cos(α) und yP = sin(α).Diese Eigenschaft verwenden wir als Definition von sin(α) undcos(α) für jeden beliebigen Winkel, nämlich:

cos(α) = xP bzw. sin(α) = yP .

Berechne mit dem Taschenrechner: Warum ist cos(140◦) < 0?

cos(140◦) = −0,766... sin(140◦) = 0,642...

Für Winkel 90◦ < α < 180◦ ist also sin(α)cos(α) < 0.

Damit das Vorzeichen von tan(α) = yT stimmt, zeichnenwir den Punkt T auf der rechten Seite ein.

So bleibt die Eigenschaft tan(α) = sin(α)cos(α) erhalten.

Winkelfunktionen am Einheitskreis

Datum: 8. Mai 2019

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Mathematik macht Freu(n)de AB – Winkelfunktionen am Einheitskreis

Wir lassen den Punkt P am Einheitskreis weiterwandern:

Trage in der Tabelle die Vorzeichen (+,−) der Winkelfunktionen in den vier Quadranten ein.Welche Werte haben die Winkelfunktionen bei den besonderen Winkeln 0◦, 90◦, 180◦, 270◦ und 360◦?

0◦ 1.Qu. 90◦ 2.Qu. 180◦ 3.Qu. 270◦ 4.Qu. 360◦

sin(α) 0 + 1 + 0 − −1 − 0

cos(α) 1 + 0 − −1 − 0 + 1

tan(α) 0 + − 0 + − 0

Warum ist tan(90◦) und tan(270◦) nicht sinnvoll?

Winkelfunktionen am Einheitskreis

Erkläre, warum cos(420◦) = 0,5 ist.

cos(420◦) = cos(60◦) = 0,5−360◦

Die Winkelfunktionen Sinus und Cosinus sind so für alle Winkel α ∈ R definiert. Wie sieht es mit Tangens aus?

Karusell

i) Der eingezeichnete Winkel α ist eine Lösung derGleichung sin(α) = 0,6.

ii) Erkläre, warum die Gleichung noch eine zweite Lö-sung α′ zwischen 0◦ und 360◦ besitzt.Zeichne den zweiten Winkel ein.

iii) Erkläre anhand der Zeichnung den Zusammenhang

sin(α) = sin(180◦ − α).

iv) Berechne mit dem Taschenrechner beide Lösungen.α = arcsin(0,6) = 36,86... ◦α′ = 180◦ − α = 143,13... ◦

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Mathematik macht Freu(n)de AB – Winkelfunktionen am Einheitskreis

i) Der eingezeichnete Winkel α ist eine Lösung derGleichung cos(α) = 0,8.

ii) Erkläre, warum die Gleichung noch eine zweite Lö-sung α′ zwischen 0◦ und 360◦ besitzt.Zeichne den zweiten Winkel ein.

iii) Erkläre anhand der Zeichnung den Zusammenhang

cos(α) = cos(360◦ − α).

iv) Berechne mit dem Taschenrechner beide Lösungen.α = arccos(0,8) = 36,86... ◦α′ = 360◦ − α = 323,13... ◦

Zwei Lösungen für Cosinus

i) Der eingezeichnete Winkel α ist eine Lösung derGleichung tan(α) = 0,6.

ii) Erkläre, warum die Gleichung noch eine zweite Lö-sung α′ zwischen 0◦ und 360◦ besitzt.Zeichne den zweiten Winkel ein.

iii) Erkläre anhand der Zeichnung den Zusammenhang

tan(α) = tan(180◦ + α).

iv) Berechne mit dem Taschenrechner beide Lösungen.α = arctan(0,6) = 30,96... ◦α′ = 180◦ + α = 210,96... ◦

Zwei Lösungen für Tangens

Stelle die folgenden Zusammenhänge grafisch dar: sin(−α) = sin(360◦ − α)

sin(−α) = − sin(α)

Sinus ist eine ungerade Funktion.

cos(−α) = cos(α)

Cosinus ist eine gerade Funktion.

tan(−α) = − tan(α)

Tangens ist eine ungerade Funktion.

Gerade und ungerade Funktionen

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Mathematik macht Freu(n)de AB – Winkelfunktionen am Einheitskreis

Die Sinusfunktion ordnet jedem Winkel

genau eine Zahl im Intervall [−1; 1] zu.

Haben verschiedene Winkel den gleichen Sinuswert?

Berechne mit dem TR und erkläre die Ergebnisse:

arcsin(1) = 90◦ arcsin(0) = 0◦ arcsin(−1) = −90◦

Die Umkehrfunktion Arcussinus ordnet jeder Zahl

im Intervall [−1; 1] genau einen Winkel

im Intervall [−90◦; 90◦] zu.

Umkehrfunktion der Sinusfunktion

Die Cosinusfunktion ordnet jedem Winkel

genau eine Zahl im Intervall [−1; 1] zu.

Haben verschiedene Winkel den gleichen Cosinuswert?

Berechne mit dem TR und erkläre die Ergebnisse:

arccos(1) = 0◦ arccos(0) = 90◦ arccos(−1) = 180◦

Die Umkehrfunktion Arcuscosinus ordnet jeder Zahl

im Intervall [−1; 1] genau einen Winkel

im Intervall [0◦; 180◦] zu.

Umkehrfunktion der Cosinusfunktion

Die Tangensfunktion ordnet jedem Winkel

im Intervall ]−90◦; 90◦[ genau eine Zahl

in ]−∞;∞[ = R zu.

Berechne mit dem TR:

arctan(1000) = 89,94... ◦ arctan(0) = 0◦

arctan(−1000) = −89,94... ◦

Die Umkehrfunktion Arcustangens ordnet jeder Zahl

in ]−∞;∞[ = R genau einen Winkel

im Intervall ]−90◦; 90◦[ zu.

Umkehrfunktion der Tangensfunktion

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