Trigonométrie, cours, première spécialité Mathématiques

F.Gaudon

1er juillet 2019

Table des matières

1 Cercle trigonométrique et radian 2

2 Cosinus et sinus d'un réel 3

3 Équations trigonométriques 5

4 Fonctions trigonométriques 5

5 Étude des fonctions cosinus et sinus sur [0;π] 75.1 Fonction cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75.2 Fonction sinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

6 Applications 86.1 Résolution d'inéquations trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86.2 Exemple d'étude de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1

Trigonométrie, cours, classe de première spécialité Mathématiques

1 Cercle trigonométrique et radian

Dé�nition :

Soit (O;~i;~j) un repère orthonormal du plan. On appelle cercle trigonométrique tout cercle

dont le rayon est égal à l'unité de longueur et de centre l'origine O du repère.

Dé�nition :

Dans un repère orthonormal (O; ~OI; ~OJ), on considère le cercle trigonométrique de centre

O et la droite D tangente en I à la droite (OI). On considère sur cette droite un repère(I; ~IK) tel que IK = 1.

Á tout nombre réel x on fait correspondre le point N d'abscisse x dans le repère (I; ~IK)

de D. Par enroulement de la droite D autour du cercle C, on obtient un point M uniquedu cercle trigonométrique tel que la distance à zéro de x soit égale à la longueur de l'arc

IM .

On appelle mesure en radian de l'angle ÎOM le nombre |x|.

Propriété :

La mesure d'un angle en radian est proportionnelle à la mesure du même angle en degrés.

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Remarques :

• Un radian correspond à la mesure de l'angle au centre d'un cercle trigonométriqueintercepté par un arc de longueur d'une unité de longueur ;

• Un angle plat mesure 180 en degrés ou π en radians.

Exemple :[Convertir des radians en degré et réciproquement]• π

3rad = 60◦ ;

• 3rad = 3π× 180◦ ≈ 171◦ ;

• 135◦ = 135180πrad = 27

36πrad = 3π

4rad.

2 Cosinus et sinus d'un réel

Soit (O :~i;~j) un repère orthonormal et C le cercle trigonométrique de centre O.Dé�nition :

Soit M le point de C image du réel x. On appelle :• cosinus de x noté cos(x) l'abscisse du point M ;• sinus de x noté sin(x) l'ordonnée du point M.

Remarque :

Si 0 ≤ x ≤ π2, en appelant H et K les projetés orthogonaux deM respectivement sur l'axe des abscisses

et sur l'axe des ordonnées, alors on a dans le triangle rectangle OMH où OM = 1 (le cercle étant un

cercle trigonométrique) : cos(M̂OH) = OHOM

= OH = cos(x)

et sin(M̂OH) = KHOM

= OK = sin(x).

La dé�nition du cosinus et du sinus pour un réel compris entre 0 et π2coincide donc avec la dé�nition

du cosinus et du sinus dans un triangle rectangle.

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Propriétés :

Pour tout réel x et tout entier relatif k :

• −1 ≤ cos(x) ≤ 1 ;• −1 ≤ sin(x) ≤ 1 ;• cos2(x) + sin2(x) = 1 ;• cos(x+ k2π) = cos(x) ;• sin(x+ k2π) = sin(x).

Preuve :

Conséquences directes de la dé�nition.

Valeurs remarquables :

Angle en radians angle en � cosinus sinus

0 0 1 0π6

30√32

12

π4

45√22

√22

π3

60 12

√32

π2

90 0 1

π 180 −1 0

Propriétés :Pour tout réel x :• cos(−x) = cos(x) ;• sin(−x) = − sin(x) ;• cos(π − x) = − cos(x) ;• sin(π − x) = sin(x) ;• cos(π + x) = − cos(x) ;• sin(π + x) = − sin(x) ;• cos(π

2− x) = sin(x) ;

• sin(π2− x) = cos(x) ;

• cos(π2+ x) = − sin(x) ;

• sin(π2+ x) = cos(x).

Exemple :

[Calculer le cosinus ou le sinus d'un angle associé]

cos(−7π6) = cos(7π

6) = cos(π + π

6) = − cos(π

6) = −

√32.

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3 Équations trigonométriques

Propriété :

Soit a ∈ R.• L'équation cos(x) = cos(a) a pour solutions les nombres réels a+2kπ et −a+2kπtels que k ∈ Z.• L'équation sin(x) = sin(a) a pour solutions les nombres réels a+2kπ et π−a+2kπtels que k ∈ Z.

Exemple de savoir faire :

[Résoudre des équations trigonométriques]

Résolution de sin(x) = 12.

En s'aidant du cercle trigonométrique, l'équation a pour

solutions dans [0; 2π] les nombres π4et π− π

4, c'est à dire

π4et 3π

4.

Dans R, les solutions sont donc π4+2kπ et 3π

4+2kπ avec

k ∈ Z.

4 Fonctions trigonométriques

Dé�nition :

• La fonction cosinus est la fonction dé�nie sur R par x 7→ cos(x).• La fonction sinus est la fonction dé�nie sur R par x 7→ sin(x).

Propriété :

Les fonctions cosinus et sinus sont dérivables sur R et :• sin′(x) = cos(x) ;• cos′(x) = − sin(x).

Preuve :

Admise

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Dé�nitions :

• On dit qu'une fonction f dé�nie sur un intervalle I symétrique par rapport à 0 estpaire si pour tout x ∈ I, f(−x) = f(x) c'est à dire si sa courbe représentative dansun repère orthogonal est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

• On dit qu'une fonction f dé�nie sur un intervalle I symétrique par rapport à 0 estimpaire si pour tout x ∈ I, f(−x) = −f(x) c'est à dire si sa courbe représentativedans un repère orthogonal est symétrique par rapport à l'origine du repère.

• On dit qu'une fonction f dé�nie sur R est périodique de période T si pour toutréel x ∈ R, f(x+ T ) = f(x). Dans un repère (O;~i;~j), sa courbe représentative estinvariante par les translations de vecteurs −k~i où k ∈ Z.

Propriétés :

• Pour tout x réel, cos(x+2π) = cos(x) et sin(x+2π) = sin(x). Les fonctions cosinuset sinus sont des fonctions périodiques de période 2π.

• Pour tout réel x, cos(−x) = cos(x). La fonction cosinus est une fonction paire.• Pour tout réel x, sin(−x) = − sin(x). La fonction sinus est une fonction impaire.

Exemple :

Soit f la fonction dé�nie par f(x) = cos(4x).

Pour tout réel x, f(−x) = cos(−4x) = cos(4x) = f(x) donc f est une fonction paire.Pour tout réel x, f(x + π

2) = cos(4(x + π

2)) = cos(4x + 2π) = cos(4x) = f(x) donc f est périodique de

période π2.

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5 Étude des fonctions cosinus et sinus sur [0; π]

5.1 Fonction cosinus

Signe :

x 0 π2

πcos(x) + 0 -

Variations :

x 0 π2

π1

cosx ↘0↘

−1Preuve des variations :

Pour tout x ∈ [0; π], cos′(x) = − sin(x). Pour tout x ∈]0; π[ sin(x) > 0 donc cos′(x) < 0 et la fonctioncosinus est strictement décroissante sur [0; π].

Représentation graphique :

La représentation graphique de la fonction cosinus est appelée cosinusoïde.

5.2 Fonction sinus

Signe :

x 0 π2

πsin(x) 0 + + 0

Variations :

x 0 π2

πsin(x) 1

↗ ↘0 0

Preuve :

Pour tout x ∈ [0; π], sin′(x) = cos(x). Pour tout x ∈]0; π2[, cos(x) > 0 et pour tout x ∈]π

2; π[, cos(x) < 0

donc la fonction sinus et strictement croissante sur [0; π2] et strictement décroissante sur [π

2; π].

Représentation graphique :

La représentation graphique de la fonction sinus est appelée sinusoïde.

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6 Applications

6.1 Résolution d'inéquations trigonométriques

Exemple :

Résolution de l'inéquation sin(x) ≥ 12sur [0; π].

On sait que l'équation sin(x) = 12a pour solutions sur R, π

6+ 2k1π et π− π6 + 2k2π avec k1 et k2 entiers

relatifs.

Les solutions sur [0; π] sont donc π6et π − π

6= 5π

6.

D'après les variations de la fonction sinus sur [0; π], l'inéquation sin(x) ≥ 12a donc pour solutions [π

6; 5π

6]

sur [0; π].

6.2 Exemple d'étude de fonctions

Exemple :

Soit f la fonction dé�nie sur [0; π] par f(x) = x2− sin(x).

f est dérivable sur R et pour tout réel x, f ′(x) = 12− cos(x).

f ′(x) ≥ 0 équivaut à 12− cos(x) ≥ 0 c'est à dire 1

2≥ cos(x)

On sait que cos(x) = 12a pour solutions π

3+2k1π et −π3 +2k2π sur R où k1 et k2 sont des entiers relatifs.

Donc sur [0; π], l'unique solution est π3.

Par lecture du cercle trigonométrique, l'inéquation cos(x) ≤ 12a pour solutions [π

3; π].

Par conséquent, on a le tableau de variations suivant :

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x 0 π3

π

f ′(x) - 0 +

f(x) ↘ ↗π6−√32

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1 Cercle trigonométrique et radian2 Cosinus et sinus d'un réel3 Équations trigonométriques4 Fonctions trigonométriques5 Étude des fonctions cosinus et sinus sur [0;]5.1 Fonction cosinus5.2 Fonction sinus

6 Applications6.1 Résolution d'inéquations trigonométriques6.2 Exemple d'étude de fonctions