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TRIGONOMETRÍA 1 (Resumen) • Definiciones en triángulos rectángulos

hipotenusaopuesto catetosen =α

hipotenusacontiguo catetocos =α

contiguo catetoopuesto cateto tg =α

opuesto catetohipotenusa cosec =α

contiguo catetohipotenusasec =α

opuesto catetocontiguo cateto cotg =α

• Razones de 30º, 60º y 45º

2130ºsen =

23º30cos =

33º30 tg =

2360ºsen =

21º60cos =

3º60 tg =

2245ºsen =

22º45cos =

1º45 tg =

• Definiciones generales (válidas para cualquier ángulo de cualquier cuadrante)

ry

=αsen

rx

=αcos

xy

=α tg

yr

=α cosec

xr

=αsec

y cotg x

=α

• Signos de las razones según los cuadrantes

• Las razones en la circunferencia trigonométrica (radio = 1) sen x

. P(x, y) y

x

+ +

– –

sen x cosec x – +

– +

cos x sec x – +

+ –

tg x cotg x

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cos x

tg x

• Recorrido

– 1 ≤ sen x ≤ 1 – 1 ≤ cos x ≤ 1 – ∞ < tg x < +∞, ∀x • Fórmulas fundamentales

1) α

α tg1 cotg =

2) α

αcos

1sec =

3) α

αsen

1 cosec =

4) 1cos sen 22 =+ αα

5) ααα

cossen tg =

6) ααα

sen cos cotg =

7) α

α 22

cos1tg1 =+

8) α

α 22

sen1cotg 1 =+

• Relaciones entre razones de distintos ángulos Ángulos opuestos: α y – α

sen (– α) = – sen α cos (– α) = cos α tg (– α) = – tgα

α

–α

α180 – α

sen (180º – α) = sen α cos (180º – α) = – cos α tg (180º – α) = – tgα

Ángulos suplementarios: α y 180º–α

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Áng. que difieren en 180º: α y 180º+α sen (180º +α) = – sen α cos (180º +α) = – cos α tg (180º +α) = tg α

Áng. que difieren en 90º: α y α + 90º sen (90º + α) = cos α cos (90º + α) = – sen α tg (90º + α) = – cotg α

• Resolución de triángulos no rectángulos Teorema de los senos

Cc

Bb

Aa

sen sen sen ==

Observaciones relativas al Teorema de los senos:

1) Sirve para resolver un triángulo conocidos dos ángulos y un lado o dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos.

2) Cuando se calcula un ángulo hay, en principio, dos soluciones: α y 180º – α. Hay que comprobar si ambas son válidas: La suma de los tres ángulos no puede superar 180º, y un triángulo tiene, a lo sumo, un solo ángulo obtuso.

3) Si en un problema determinado podemos optar por aplicar el Teorema de los se-nos o el Teorema del coseno, hay que elegir siempre el del coseno (porque el de los senos puede aportar dos soluciones falsamente válidas en estos casos).

Teorema del coseno

a2 = b2 + c2 – 2 b c cos A b2 = a2 + c2 – 2 a c cos B c2 = a2 + b2 – 2 a b cos C

Observaciones relativas al Teorema del coseno: 1) Sirve para resolver un triángulo conocidos los tres lados o dos lados y el ángulo

comprendido entre ellos. 2) Si en un problema determinado podemos optar por aplicar el Teorema de los se-

nos o el Teorema del coseno, hay que elegir siempre el del coseno (porque el de los senos puede aportar dos soluciones falsamente válidas en estos casos).

α

180º + α

α

90 – α sen (90º – α) = cos α cos (90º – α) = sen α tg (90º – α) = cotgα

Ángulos complementarios: α y 90º–α

α 90º+α

b c

a

A

B C

b c

a

A

B C

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• Otras fórmulas útiles Teorema de Pitágoras

Sólo en triángulos rectángulos: a2 = b2 + c2

Teorema de la altura

Sólo en triángulos rectángulos: h2 = m·n

Teorema del cateto

Sólo en triángulos rectángulos: c2 = m·a b2 = n·a

Fórmula de Herón Calcula el área de un triángulo cualquiera conocidos sus tres lados. Si llamamos p al perímetro del triángulo, esto es: p = a + b + c, se tiene:

S = ))()(( cpbpapp −−−

a

b

c

h

m n

c

m n

b

a = m + n