Propiedades

de los Triángulos

y los Cuadriláteros

• Es la mitad del área de un rectángulo de la misma base y de la misma altura

½ (base x altura)

H= a senγ

CD= a cos γ DA=c cosα

CD+ DA= b= a cos γ + c cos α

A΄= (a cos γ + c cos α ) a sen γ/:2

A=1/2absenγ--->1/2 bc senα

A´= 1/2absenβ

A´=ab/2

Superficie

Formula de Herón

•Si conocemos las longitudes de los lados del triángulo (a, b, c) es posible calcular la superficie empleando la fórmula de herón

viene dada por:

Donde p es el semiperimetro

Demostración

Supongamos un triángulo de lados a, b, c cuyos ángulos opuestos a cada uno de esos lados son A, B, C. Entonces tenemos que:

Por el teorema del coseno :

La altura de un triángulo de base a tiene una longitud bsen( C), por lo tanto:

Propiedades del triángulo

•La suma de las longitudes de dos de sus lados es siempre mayor que la longitud del tercer lado.

•La suma de todos los ángulos de sus vértices, en un plano, es igual a 180°.

Teorema del Seno•Para cualquier triangulo se verifica el Teorema del Seno que demuestra que: «Los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos»:

Sen α = CD/b CD= b sen αSen β =CD/a CD= a Sen β

Sen β =AE/c AE= c Sen β

Sen γ = AE/b AE= b Sen γ

Teorema del coseno•Relaciona el tercer lado de un triángulo con los dos primeros y con el coseno del ángulo formado por estos dos lados.

a² =CD²+ DB²CD²= b²- AD²

a² = b² - AD²+ DB²

a²= b² - AD²+C² - 2DC +AD²

a² =b²+ c²-2c*AD

a² = b² + c²- 2c* b cos αb² = a² + c² –2ac cosβc² = a² + b² –2ab cos γ

Teorema de Pitágoras•El Teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa:

c² =a²+ b² - 2ab cos90º

Teorema del cateto o de Euclides

•El teorema del cateto establece que en un triángulo rectángulo cada uno de los catetos es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella. Por lo tanto:

Triángulos semejantes•Se puede simplificar así la definición: dos triángulos son semejantes si sus ángulos son iguales

Teorema de ThalesPrimer teorema (caso particular de triángulos semejantes)Sean dos rectas (d) y (d') orientadas y concurrentes en un punto O. Sean A y A' dos puntos de (d), y B y B' dos puntos de (d'). Entonces:

La igualdad de los cocientes equivale al paralelismo

1° fig. tiene medidas algebraicas positivas - los vectores OA, OA', OB y OB' tienen la misma orientación que la rectas (d) y (d'),

2fig posee cocientes negativos.

si se aplica teorema : A'B' / AB es igual a los dos anteriores.

2° teorema

Sea C un punto de la circunferencia de diámetro [AB], distinto de A y de B. Entonces el ángulo ACB es recto.

Prueba: OA = OB = OC = r, radio del círculo. Por lo tanto OAC y OBC son isósceles. La suma de los ángulos del triángulo ABC vale 2α + 2β = π (radianes). Dividiendo por dos, se obtiene

Además dice que la bisectriz de un triángulo corta al lado opuesto del ángulo con la bisectriz en dos segmentos proporcionales Hipotenusa (al cuadrado) = C(Al cuadrado) + C(Al cuadrado) En conclusión se forma un triangulo rectangulo

Teorema de la bisectrizEn un triangulo, la razón entre dos lados es igual a la razón de las partes en las que queda dividido el tercer lado por la bisectriz de ángulo interno opuesto.

Demostración

Si se dibuja desde C una // a AL hasta encontrar la prolongación de lado BA a partir del lado A hasta pto D El triangulo ACD es isósceles (ángulos C y D son congruentes:

Porque los dos angulos son alternos internos respecto a las rectas paralelas AL y DC cortadas por la recta transversal AC

Por tanto los segmentos AC y AD son congruentes. Por el Teorema de Tales se mantiene la proporción:

y ya que AC y AD son congruentes, también se cumple que

porque son correspondientes a las rectas paralelas AL y DC a las cuales corta la recta BD,

Además porque los ángulos creados por la bisectriz son iguales.

Por la propiedad transitiva de la igualdad tenemos que

•Se denomina ortocentro al punto donde se cortan las tres alturas de un triángulo.El término deriva de orto, recto, en referencia al ángulo formado entre las bases y las alturas.

•El ortocentro se encuentra dentro del triángulo si éste es acutángulo, coincide con el vértice del ángulo recto si es rectángulo, y se halla fuera del triángulo si es obtusángulo

Ortocentro

•El único caso en que los centros coinciden en un único punto es en un triángulo equilátero.

Baricentro

Es el punto que se encuentra en la intersección de las medianas, y equivale al centro de gravedad

Incentro

Es el centro de la circunferencia inscrita, aquella que es tangente a los lados del triángulo. Se encuentra en la intersección de las bisectrices de los ángulos.

Radio del círculo inscrito en triángulo cualquiera

•En función de un lado y de las razones

Trigonométricas de la mitad de los ángulos

< OBD = B/2, < OCD=C/2

BD= r ctg B/2, CD=r ctg c/2

r(ctg B/2 + ctg C/2)=a;r sen B/2+C/2 =a sen B/2 sen C/2;r= a sen B/2 sen C/2 /: cos A/2

Circuncentro es el punto en que se cortan las tres mediatrices de los lados de un triángulo y centro de la circunferencia circunscrita. Dicho punto se suele expresar con la letra (O).Todos los vértices del triángulo se encuentran a la misma distancia del circuncentro.

Circuncentro

Radio de la circunferencia circunscrita

S=centro de circunf..circunscrita al ∆ ABC y R=radioSe traza la bisectriz SD del < BSC que bisecará a BC y será perpendicular a él< BSC en el centro= doble del < BAC =2A^ a/2 =BD=BSsen BSD=Rsen AR= a /: 2 sen AEn consecuencia a/sen A =b/senB= c/sen C= 2R ó de manera que no intervengan ángulosR= a/2senA=abc/2bcsenA=abc/4∆

Círculo exinscritoEl círculo de una circunferencia tangente a un lado de un triángulo y a las

prolongaciones de los otros dos se llaman un círculo exinscrito del triángulo

A= area Δ ABCA= área ABIC – área BICÁrea BIA + área CIA – área BIC A= ½ c * Ra + ½b*RA - ½* Ra =½Ra (c +b-a) ; como P= a +b+ c; P-2 a = b+c-a =½Ra(P-2 a) = ½ Ra (2p-2 a) ;p=P/2 ; p:semiperímetro = ½Ra2(p-a) = Ra (p-a) Ra = A / p-a ; Radio del círculo exinscrito tangente exteriormente al lado a Análogamente:Rb = A / p-bRc= A/p-c

Triángulo pedal

G, H y K son los pies de las alturas trazadas de los vértices a sus lados opuestos en triángulo ABC, entonces, GHK se llama triángulo pedal Las alturas se encuentran en el ortocentro de ABC < OGK=<OBK= 90° - A< OGH = < OCH = 90° -A; < KGH= 180°-2Apor lo tanto los ángulos del triángulo pedal son:180-2ª, 180-2B, 180-2Cpor otro lado los triángulos AKH, ABC son semejantes:HK/BC = AK/AC = cos AHK= a cos ALos lados del triángulo pedal son a cos A, b cos B, c cos C 

Area= ½ (producto lados) por (seno del ángulo comprendido)

=1/2 R sen 2B* Rsen 2C *sen(180-2A)

=1/2 R² sen 2A sen 2B sen 2C

circunradio=

HK/: 2 sen HGK = Rsen 2A/:2 sen (180-2A)

= R/2

Area y circunradio de triángulo pedal

Cuadriláteros

Area de un cuadrilátero es igual a ½ del producto de las diagonales por el seno del ángulo que comprenden AC y BD = diagonales, se cortan en P<DPA = αΔ DAC = Δ APD +Δ CPD = ½ DP* AP senα + ½ DP PC sen (π-α) = ½ DP (AP +PC)sen α =1/2 DP* Acsenαde modo semejanteΔABC=1/2 BP*AC sen α Area = ½ (DP+BP) AC sen α = ½ DB* AC sen α

Muchas gracias.

» Cecilia Herrera.-