TEORIA STEROWANIA I, w 6

dr inż. Adam Woźniak

ZTMiR MEiL PW

2

Przypomnienie

G(s)C(s)r y

–ue Transmitancja układu otwartego:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )y s L s e s G s C s e s= =

1

1

Transmitancja systemu zamknietego:

( ) ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( )

( ( )) ( ) ( )

y s T s r s I G j C j G j C j r s

I L s L s r s

−

−

= = + ω ω ω ω == +

1

Transmitancja uchybowa:

( ) ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ),e s I G s C s r s S s r s−= + =

( ) ( ) ( )S j T j I∀ω ω + ω =

1

( )

( ) ( )

T S SGC S S GC I

I GC I GC I−

+ = + = + == + + =

Dopełnianie się transmitancji T i S:

3

Wykorzystanie wzorów ogólnych

1 1

1 11 2 1 1( ) ( ) ( ) ( ),n w w r n

e e I H H w I GC r n S r n− −= −

= = + = + − = −

2 2

1 11 2 1 2 2

1

( ) ( )

= .

un uw w d

e e I H H H w I GC Gd

S GG d S d

− −=

−

= = − + = − + =

− = −

1 21 ( )

( )

n n w we e n e e n S r n Sd n

Sr Sd S I n Sr Sd T n

= + = + + = − − + =

= − − − = − +

1Pamiętamy, że: , ,u ud G d d Gd T S I−= = + =

1 1

1 14 1 2 1 1

1

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ),

w w r nu e I H H H w I CG C r n

C I GC r n CS r n

− −= −

−

= = + = + − =

= + − = −

a także, że:(I + X Y)–1X = X (I + Y X)–1

2 2

1 14 1 2 1 2 2

1

( ) ( )

.u

uw w du e I H H H H w I CG CGd

CS GG d CS d

− −=

−

= = − + = − + =

= − = −

1 2w wu u u CS r CS d CS n= + = − −

r – n

H2(s)

H1(s)w1

–

w2

e1

e2e3

e4e

y

uC

Gdu

n

4

Zamknięty system sterowania obiektem LTI

G(s)C(s)r y

–uen

d

n

Jako projektantówinteresuje nas uchyb:

e = r – y = en + ni sterowanie: u

dn

G(s)C(s)r y

–u

e–

G(s)C(s)r y

–

u

d

n

e

–

e

u

K

5

Zamknięty system sterowania obiektem LTI

G(s)C(s)r y

–

u

d

n

e

–

e

u

K

( )e Sr Sd S I n Sr Sd T n= − − − = − +

u CS r CS d CS n R r R d R n= − − = − −

re S S T

du R R R

n

− = − −

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

102

103

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

System: TnPeak gain (abs): 1.3At frequency (rad/sec): 20.8

Mag

nitu

de (

abs)

System: SnPeak gain (abs): 1.71At frequency (rad/sec): 49.5

|S( jω)|

|T( jω)|

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

10-2

10-1

100

101

102

103

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

Mag

nitu

de (

abs)

| ( ) |R jω

| ( ) |S jω

T(jω) + S(jω) ≡ 1

6

Sterowanie obiektem liniowym

1 1 1( ) ( ) ( )e I GC r I GC d I GC GCn− − −= + − + + +

S = (I + GC)–1 funkcja wrażliwości (sensitivity function)

J.M.L. Janssen w 1954 r. nazwał transmitancję uchybo-wą S wskaźnikiem regulacji i zaproponował aby przyprojektowaniu układu sterowania posługiwać się tzw.podstawowym równaniem liniowego systemu sterowania:

(1 )e S r Sd S n S r Sd T n= − + − = − +

1( )T I GC GC I S−= + = − dopełniająca funkcja wrażliwości

(complementary sensitivity function)

Transmitancja systemu zamkniętego

G(s)C(s)r y

–u

dn

e

Johannes M.L. Janssen 1918 – 2001

czyli

funkcja wrażliwości sterowania(input sensitivity function)

1( ) ,u C I GC r CS r Rr−= + = =

1 1 1( ) ( ) ( )u C I GC r C I GC d C I GC n R r Rd Rn− − −= + − + − + = − −Transmitancja określająca sterowanie

S

T

− S

− R

− R

R

e

n

d

r

u

K

7

Zadanie projektowania liniowego systemu sterowania

1 1 1( ) ( ) ( )e I GC r I GC d I GC GCn− − −= + − + + +1( ) I GC S−+ =1( )I GC GC T I S−+ = = −

funkcja wrażliwościdopełniająca funkcja wrażliwości czylitransmitancja systemu (układu) zamkniętego

Intuicyjne sformułowanie zadania projektowania systemu sterowania:

Tak dobrać „regulator” aby:� system był stabilny� uchyb e był mały

, � ograniczenia na sterowanie u były spełnione.

Jak to osiągnąć ?Jak to osiągnąć ?

� System ma być stabilny: Transmitancja regulatora C powinna zapewniaćwewnętrzną stabilność systemu sterowania.

� Uchyb e ma być mały: Transmitancja regulatora C powinna być, taka że:

22

2 2

0 (dobre nadążanie za , eliminacja wp ywu 0

0 (eliminacja wp ywu )

S r de

T I S n

≈ ⇒ ≈= − ≈

ł

ł

G(s)C(s)r y

–u

dn

e

8

Dopełniająca funkcja wrażliwości T(transmitancja systemu zamkniętego)

10-2

10-1

100

101

102

103

104

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

Pulsacja ωωωω [rad/sek]

Wzm

ocni

enie

|T(jω)|

ωg = 23,43

Naturalne pasmo przenoszenia obiektu[0, 8]

Pasmo szumu n

1( ) ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( )T j I G j C j G j C j I S j−ω = + ω ω ω ω = − ω

e S r Sd T n= − +

9

Funkcja wrażliwości S(transmitancja uchybowa)

10-2

10-1

100

101

102

103

104

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

Pulsacja ω [rad/sek]

Wzm

ocni

enie

ωS = 31,43 ω

g = 23,43

|S(jω)|

Naturalne pasmo przenoszenia obiektu[0, 8]

Pasmo sygnałów odniesienia r

Pasmo zakłóce ń d

1( ) ( ( ) ( )) S j I G j C j −ω = + ω ω

e S r Sd T n= − +

10

Raffiniert ist der Herrgott, aber boshaft ist er nicht.

Albert Einstein, 1921

-2 -1 0 1 2 3 4

Naturalne pasmo przenoszenia obiektu[0, 8]

Pasmo sygnałów odniesienia r

Pasmo zakłóce ń d

Pasmo szumu n

pole do ustaleniawarto ści ωωωωg

( )G jω

( ) ( )G j C jω ω

( )S jω

( ) ( )T j S j Iω + ω =boshaft = złośliwy

g 23.43ω =

S 31.43ω =

11

Uchyb e ma być mały

10-2

10-1

100

101

102

103

104

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

Pulsacja ω [rad/sek]

Wzm

ocni

enie

ωS = 31,43 ω

g = 23,43

|S(jω)|

Naturalne pasmo przenoszenia obiektu[0, 8]

( ) ( )T j S j Iω + ω =

Transmitancja regulatora C powinna być, taka że:

2( ) w pasmie i (dobre nadążanie za , eliminacja wpływu )S j r d r dω ≤ ε

2 2( ) ( ) w pasmie (eliminacja wpływu )T j I S j n nω = − ω ≤ η

12

Projektowanie klasyczne (od początku lat 60tych XX w.)

10-2

10-1

100

101

102

103

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

102

103

104

Pulsacja ωωωω [rad/sek]

Mp = 1.453 dla ω = 21.70

|T(jω)|

ωg = 23,43

W okolicy pulsacji odcięcia układuotwartego, nachylenie jego logaryt-micznej charakterystyki amplitudowejpowinno być równe –1.

Pik rezonansowy systemu zamkniętego Mp = maxω≥0 |T(jω)| ≤ 1.1 ÷ 1.5

1

1

Projektowanie klasyczne kształtuje

transmitancję :

( ) ( ( ) ( )) ( ) ( )

( ( )) ( )

T s I G j C j G j C j

I L s L s

−

−

= + ω ω ω ω == +

systemu zamkniętego

G(s)C(s)r y

–ue

T(s)

Naturalne pasmo przenoszenia obiektu [0, 8]

( )G jω

( )T jω

( ) ( ) ( )L j G j C jω = ω ω

Pasmo sygnałówodniesienia r

⇑

� Spełnienie wymagania: |T(jω)| = 1 w paśmie sygnału odniesienia,osiąga się wybierając C(s) dającąpulsację ωg większą od górnej granicytego pasma.

Nie zawsze takie postępowanie daje dobryrezultat, co wynika z faktu, że:

( 0) ( ) ( )T j S j I∀ω ≥ ω + ω =

13ω skala liniowa!

ln ( )

skala logarytmiczna

S jω ( )S jω

Całka Bodego funkcji wrażliwości(Bode’s sensitivity integral)

Hendrik Wade Bode1905– 1982

Twierdzenie: Niech pk oznacza biegun transmitancji układu otwartego G(s)C(s)leżący w prawej otwartej półpłaszczyźnie.Załóżmy, że transmitancja G(s)C(s) = L(s) zbiega do zera szybciej niż 1/s gdys dąży do nieskończoności. Wtedy prawdziwy jest wzór:

0ln ( ) ( )k

k

S j d p∞

ω ω = π∑∫ Re

1( ) ( ( ) ( )) S s I G s C s −= +

Dla transmitancji G(s)C(s) stabilnych albo o postaci oczywiście zachodzi równość:

1 ( ) ( ), gdzie ( ) ( ) stabilna,s G s C s G s C s

0ln ( ) 0S j d

∞ω ω =∫

Tak zwany:waterbed effect

( ) ( ) ( ) s T s S s I∀ + =

14

Interpretacja kłopotów przyprojektowaniu wg Guntera Steina

10-2

10-1

100

101

102

103

104

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

Pulsacja ω [rad/sek]

Wzm

ocni

enie

ωS = 31,43 ω

g = 23,43

|S(jω)|

Gunter Stein: Respect the Unstable, the first Hendrik W. Bode Lecture at the IEEE Conference on Decision and Control (CDC’89), in December 1989.

15

Niestateczność podłużna samolotu

W samolocie wielkością kąta pochylenia (pitch) struje się tzw. sterem wysokości(elevator). Obrót samolotu w płaszczyźnie pionowej modeluje się wokół jego środkaciężkości. Jeżeli środek ciężkości (SC) jest położony przed tzw. środkiem aero-dynamicznym (SA) (bardzo nieprecyzyjnie – punktem do którego jest przyłożona siłanośna) to samolot jest stateczny (stabilny) podłużnie, tzn. po wystąpieniu zaburzenia kątapochylenia (np. na skutek podmuchu wiatru) momenty działające na samolot wpłaszczyźnie pionowej „dążą” do przywrócenia stanu lotu jaki był przed zaburzeniem.

Elevator

Natomiast, gdy jest odwrotnie, tzn. SA leży przed SC to samolot jest niestabilny podłużnie,co w modelu transmitancyjnym musi objawić się pojawieniem niestabilnego bieguna.

Jednak samolot bardzo stateczny ma ograniczoną zwrotność, dlatego w samolotachbojowych przesuwa się SC samolotu do tyłu. Wymagania co do szybkości manewrówzostały ostatnio ustawione tak wysoko, że współczesne myśliwce są niestateczne.

16

klapa (flap)

Przykład: eksperymentalno-badawczy samolot X-29(2 egzemplarze latały między 1984 a 1992 r.)

kąt pochylenia , ( )d

dtq pitch rateθ

= θy

canard

klapa ogonowa (strake flap)

m

q

3

dla prędkości 0.7M na wysokości 20 000 stóp:

( )( )

( 8.2595)( 5.1153)( 0.1165)( 0.064)

( ) wielomiany stabilne stopnia 3

ii

i

w sg s

s s s s

w s

ν

ν

=+ − + −

− ν ≤

31 32 33( ) [ ( ) ( ) ( )] ( )q s g s g s g s m s= ⋮ ⋮

ct podłużna

Transmitacja pętli otwartej:

( )( ) ( ) ( ) ( ),

( )( 8.2595)( 5.1153)( 0.1165)( 0.064)

spełnia założenia twierdzenia Bodego.

w sy s L s e s e s

v s s s s s= =

+ − + −

17

Przykład: samolot X-29

Transmitancja opisująca dynamikę podłużną samolotu X-29,tj. zmiany jego kata pochylenia (pitch) w rozważanychwarunkach lotu jest niestabilna, zawiera człon 1

( 5.1153)( 0.064)s s− −Pasmo przenoszenia najwolniejszego z elementów wpływających na kątpochylenia, tj. kadłuba samolotu (airframe), wynosi [0, ωa] = [0, 30] rad/sek.Przyjęto, że pasmo sygnału odniesienia dla kąta pochylenia ma być równe[0, ω1] = [0, 4] rad/sek.

Daje to następujący kształt ograniczeniana transmitancję systemu zamkniętego:

( )T jω Mp

ω1 ωa

1

ω, skala liniowa

Całka Bodego odnosi się do funkcjiwrażliwości S, ale wiemy że |S |= |1– T |...

Możemy więc przyjąć, że kształt ograniczeniana funkcję wrażliwości jest następujący:

Przy takim ograniczeniu projektowanosystem sterowania samolotu X-29.

( )S jω

ω, skala liniowaω1 ωa

18

Przykład: samolot X-29

Pytanie:jaki pik ma taka funkcja wrażliwości?

1 1

1

dla

( ) dla

1 dla

sM

s a

a

S j M

ωω

ω ≤ ωω = ω ≤ ω ≤ ω ω > ω

Jeżeli założymy, że dla 2const: ( ) ( ) , to mamy:a G j C j

ωω > ω ω ω ≤

1

1

0 0

1 101

(5.18 )/

5.18 ln ( ) ln ( )

ln ( ) ln ... ln

co daje 1.51

a

a

sa s a s

s

S j d S j d

Md M M

M e

∞ ω

ω

π+ω ω

π = ω ω = ω ω =

ω= ω+ ω − ω = = −ω + ωω

= =

∫ ∫

∫

Oznacza to, że w przedziale [ω1,ωa] = [4, 30] rad/sek wpływ zakłóceń na uchybbędzie wzmacniany, a akurat jest to pasmo zakłóceń od podmuchów wiatru.

założenie tw. Bodego

Suma biegunów w prawej półpłaszczyźnie

5.1153 + 0.064 = 5.1793

ln(1) = 0

Obecność niestabilnych biegunów („poprzez całkę Bodego”) powoduje, żesystem sterowania z tak wybraną funkcją wrażliwości będzie wzmacniałzakłócenia, którym ma przeciwdziałać !

( )S jω

ω, skala liniowaω1 ωa

19

10-1

100

101

102

103

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

Mag

nitu

de (

abs)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

Wpływ położenia pasma zakłóceń

Naturalne pasmo przenoszenia

4

Pasmo sygnałówodniesienia r

30

Pasmozakłóce ń

Wniosek:Jeżeli prawy koniec pasma zakłóceń leży blisko granicznej pulsacji ωP naturalnegopasma przenoszenia obiektu, to z podstawowego równania liniowego systemusterowania wynika, że przy projektowaniu musimy kształtować funkcjęwrażliwości S a nie transmitancję systemu zamkniętego T.Musimy przy tym przesunąć pasmo przenoszenie systemu zamkniętego (a więc ωg)stosownie daleko w prawo.

gω

Sω pulsacja piku S

20

Sterowanie u ma być ograniczone

� tak dobrać regulator C aby ograniczenie na sterowanie u były spełnione.

Ostatnie wymaganie zadania projektowania systemu sterowania:

1( ) ( )u R s r C I GC r CS r−= = + =Jak pamiętamy zależność sterowania od sygnału zadanego (odniesienia) jest równa

Niech maksymalna wartość chwilowej normy sterowania (jegomaksymalna „amplituda”) tj. liczba u+ w ograniczeniu (∀t ≥ 0) ||u(t)|| ≤ u+

(||u||∞ ≤ u+ ) będzie dana.

Warunkiem wystarczającym dla spełnienia tej nierówności jest aby

[0, ] 2

( [0, ]) ( )max ( )

r

r

ur j

R j

+

ω∈ ω

∀ω∈ ω ω ≤ω

Z przedstawionych wcześniej definicji wynika, że ograniczenie to będzie spełnione,gdy dla każdego ω z pasma sygnału odniesienia r: BWr = [0, ωr] prawdziwa będzienierówność

2( ) ( ) ( ) ( ) ( )u j R j r j R j r j u +ω = ω ω ≤ ω ω ≤

21

Projektowanie systemu sterowania metodą częstotliwościową

1 1 1( ) ( ) ( )e I GC r I GC d I GC GCn− − −= + − + + +

1( ) S I GC −= +Funkcja wrażliwości

1( )T I GC GC I S−= + = −

Dopełniająca funkcja wrażliwości czylitransmitancja układu zamkniętego

Funkcja wrażliwości sterowania(input sensitivity function)

1( )R C I GC CS−= + =1 1 1( ) ( ) ( )u C I GC r C I GC d C I GC n− − −= + − + − +

Dane:� transmitancja obiektu G(s),

� pasmo zakłóceń d: BWd = [0, ωd], pasmo szumu n: BWn = [ωn, ∞],model obiektu

� wymaganie dokładności: ||S( jω)||2 ≤ ε dla ω ∈ BWr ∪ BWd , gdzie BWr = [0, ωr] to pasmo sygnału odniesienia r,

� ograniczenie na sterowanie:( 0) || ( ) || ,t u t u+∀ ≥ ≤

� wymaganie odpornej wewnętrznej stabilności.

Wymagania:

e r y= −

G(s)C(s)r y

–ue

d

n

(Abstrakcyjne) Zadanie projektowania systemu sterowania to wyznaczenie takiejtransmitancji regulatora C, dla której transmitancje S, T oraz R będą takie, że systemzamknięty będzie spełniał powyższe wymagania.

� wymaganie tłumienia szumu: ||T( jω)||2 ≤ ε1 dla ω ∈ BWn ,

22

10-2

10-1

100

101

102

103

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

102

(ab

s)

(rad/sec)

gω( )G jω

( )S jω( )T jω

Sprawdzenie zgodności danych i wymagań

Naturalne pasmo przenoszeniaobiektu [0, 8]

BWd = [0, 5]

BWr = [0, 2.5]Pasmo szumu n

pole do ustalenia

wartości ωωωωg:

[8, 130]

Dane: G( jω), BWd, BWn. Wymaganie: ||S( jω)||2 ≤ ε dla ω ∈BWr

Można wybraćregulator C, który da

pulsację odcięciaukładu otwartego ωg we właściwym polu.

23

Sprawdzenie zgodności danych i wymagań

10-2

10-1

100

101

102

103

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

102

(ab

s)

(rad/sec)

Naturalne pasmo przenoszeniaobiektu [0, 8]

BWd = [0, 5]

BWr = [0, 2.5]Pasmo szumu n

gω( )G jω

( )S jω( )T jω

pole do ustalenia

wartości ωωωωg:

[8, 130]

Dane: G( jω), BWd, BWn. Wymaganie: ||S( jω)||2 ≤ ε dla ω ∈BWr

Można wybraćregulator C, który da

pulsację odcięciaukładu otwartego ωg we właściwym polu.

Do wyjaśnienia zostało spełnienie wymagania(odpornej, inaczej niezawodnej) stabilności orazdalsza dyskusja nad spełnieniem ograniczenia na sterowanie.

Wybrany regulator C, pozwala spełnić

wymaganie dokładnościna poziomie 0.03.System zamknięty

także bardo dobrze tłumi oba rodzaje zakłóceń.

24

Zadania projektowania...

Rozróżniamy dwie podstawowe klasy zadań projektowania systemów sterowania:� zadanie stabilizacji gdy r = const; ponieważ system jest liniowy to można przyjąć r = 0,� zadanie nadążania.

r = 0G(s)C(s)

y

–u

d

n

zadanie stabilizacji

e r y= −

G(s)C(s)r y

–ue

d

n

zadanie nadążania

1 1( ) ( )y I GC d I GC GC n Sd T n− −= + − + = −1 1( ) ( ) ( )u C I GC d C I GC n CS d n− −= − + − + = − +

1 1 1( ) ( ) ( ) ( )e I GC r I GC d I GC GCn S r d Tn− − −= + − + + + = − +1 1 1( ) ( ) ( ) ( )u C I GC r C I GC d C I GC n CS r d n− − −= + − + − + = − −

25

Dokładna transmitancja dyskretna obiektu

HG(z)( 1)

vk

s Ts+

ADCDAC

ZOHTp

{ y #(k)}y(·)

ZOHuH(·){ u#(k)}

11 ( ) 1 ( )( ) ( ( )) ( )

z G s z G sHG z

z s z s−− −= =Z DZ DZ DZ DLLLL

G(s)

HG=c2d(G,Tp)

26

Moduł dokładnej dyskretnej transmitancji widmowej silnika100

( )(0.1 1)

G ss s

=+ bieguny

zero|1.0653 0.9020 |

| ( )| , 0.05| ( 1)( 0.6065) | p

zHG z T

z z

+= =− −

-1.5-1

-0.50

0.51

1.5

-1.5-1

-0.50

0.51

1.5-60

-40

-20

0

20

40

60

ReReReRejImImImIm

dB

charakterystyka amplitudowa

z = 0.6065 = 0.6065+j0 z = 1 =1+j00.05

0.05 0.05

|1.0653 0.9020 || *( )|

| ( 1)( 0.6065) |

j

j j

eHG j

e e

ω

ω ω

+ω =− −

20pT

πω = = π

0.8467 0.8467 0z j= − = − +

0ω =

27

Charakterystyki (widmowe) częstotliwościowe silnika

-50

0

50

100

150

Mag

nitu

de (

dB)

10-1

100

101

102

-630

-540

-450

-360

-270

-180

-90

Pha

se (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

0.05

0.05 0.05

1.0653 0.9020| *( )|

( 1)( 0.6065)

j

j j

eHG j

e e

ω

ω ω

+ω =− −

100( )

(0.1 1)G s

s s=

+0.05pT =

20 62.83185pT

π = π =

110

T=

s=tf('s');G=100/(s*(.1*s+1));ww=logspace(-1,2.48,5000);bode(c2d(G,.05),'r',ww)holdbode(G,ww)

HG=c2d(G,.05)HGzpk=zpk(HG)