Elementos Finitos - dec.uc.pt das Estruturas II Mtodo dos Elementos Finitos

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  • Teoria das Estruturas II Mtodo dos Elementos Finitos

    1

    Elementos Finitos

    I. Estados Planos de Tenso e Deformao.

    1. Esttica e Cinemtica de Peas Laminares

    onde bi so as foras do corpo ou ligao (massa, presso de fundao, etc.) e 12 = 21 uma

    vez que as componentes das tenses tangenciais, que actuam em duas facetas ortogonais e

    so perpendiculares aresta comum s duas facetas, so iguais e tm sentidos tais que

    convergem ambas para a aresta comum ou divergem ambas da mesma. o que chamamos

    de reciprocidade das tenses tangenciais.

    Estas equaes aplicam-se a estruturas laminares, delgadas e espessas.

    CINEMTICA

    Sabemos que a deformada final de um corpo pode ser representada como a aco

    conjunta de deformaes puras (extenses e distores) e movimentos de corpo rgido

    (translaes e rotaes). Assim,

  • Teoria das Estruturas II Mtodo dos Elementos Finitos

    2

    ESTTICA

    uu

    u

    xx

    x

    x

    0

    0

    22

    1

    12

    2

    1

    12

    22

    11

    =

    =

    NOTA : 12 a extenso de corte usada em clculo tensorial

    12 = 212 a extenso de corte usada em engenharia (tambm chamada de distoro)

  • Teoria das Estruturas II Mtodo dos Elementos Finitos

    3

    0b 0

    0

    b

    b

    0

    0T

    2

    1

    12

    22

    11

    12

    21 =+

    =

    +

    xx

    xx

    2. Relaes Constitutivas de Elasticidade para Peas Laminares

    Como hiptese base, suponha-se que o material isotrpico, isto , tem as mesmas

    caractersticas em todas as direces e que temos elasticidade linear.

    == C ; D

    onde D a matriz de elasticidade (tenses internas relacionadas com extenses) e C a

    matriz de reciprocidade (extenses relacionadas com tenses internas).

    ( i ) Estados Planos de Tenso

    Consideramos uma estrutura laminar e no vamos considerar tenses na direco z.

    0313233 ===

    Podemos citar como exemplo placas finas que surgem em problemas de Engenharia

    de Estruturas.

    =

    )1(2

    100

    01

    01

    -1

    ED

    2

    onde o coeficiente de Poisson e E o mdulo de elasticidade.

  • Teoria das Estruturas II Mtodo dos Elementos Finitos

    4

    ( ii ) Estados Planos de Deformao

    Supem-se que o material no pode alongar na direco z.

    0313233 ===

    Tambm aqui, podemos citar como exemplo fundaes, barragens, tenses em

    tneis e condutas.

    =

    )21(2

    100

    0)1(

    0)1(

    )21)(-(1

    ED

    onde, mais uma vez, o coeficiente de Poisson e E o mdulo de elasticidade.

    At agora convertemos deslocamentos em extenses (cinemtica), extenses em

    tenses (relaes constitutivas) e as tenses em foras (esttica).H a necessidade de passar

    do contnuo para uma discretizao finita (aproximada), para o que se tem de definir o

    modelo de aproximao a adoptar.

    3. Modelos de Aproximao

    O modelo mais simples o correspondente interpolao linear, no qual o

    polinmio definido por dois pontos.

    Os valores da funo f(x) para x compreendido entre x1 e x2 so aproximados para,

    f(x) = 1(x)f1 + 2(x)f2

  • Teoria das Estruturas II Mtodo dos Elementos Finitos

    5

    FUNES BSICAS

    1 + 2 = 1

    Neste caso, podemos introduzir um sistema de coordenadas homogneas, 1 e 2.

    Caso 2(x) = 0,

    Caso 1(x) = 0,

    Como vamos considerar uma nica coordenada dentro do intervalo,

    1(x) = 1 ; 2(x) = 2

  • Teoria das Estruturas II Mtodo dos Elementos Finitos

    6

    Para o modelo linear o polinmio tem uma forma caracterstica muito simples,

    relacionando as coordenadas do sistema.

    Num modelo de interpolao quadrtico seriam necessrios trs pontos para definir

    o polinmio. Caso fosse expresso em termos das coordenadas homogneas, verificar-se-ia

    que era quadrtico em termos de i.

    Vamos supor que a deformada de cada elemento pode ser representada por um

    polinmio do 3 grau. J sabemos que quando se consideram os efeitos das cargas axiais

    esta deformada no uma aproximao correcta.

    Alm disso, vamos ter necessidade de efectuar interpolaes na funo f(x) dado

    que s a conhecemos em alguns pontos especficos e pretendemos prever qual o seu valor

    noutros pontos.

    No caso da aproximao por um polinmio de 2 grau, poder-se-ia passar uma

    parbola por trs pontos.

    Quando no for possvel calcular os integrais atravs das expresses analticas

    podem utilizar-se mtodos numricos como, por exemplo, a quadratura de Gauss, que exige

    a integrao numrica de pontos interiores.

  • Teoria das Estruturas II Mtodo dos Elementos Finitos

    7

    Se alm dos valores das funes em dois pontos, tambm poderamos determinar os

    valores das derivadas nesses pontos, vamos ter quatro elementos para definir um modelo

    cbico.

    Neste captulo, o estudo de estruturas laminares sujeitas a estados planos ser feito

    de uma forma analgica do comportamento das vigas flexo :

    O intervalo de variao da funo corresponde a cada elemento ou

    membro;

    Os pontos vo significar os ns ou extremidades das barras da descrio

    considerada.

    4. Aplicao aos Elementos Planos

    Numa placa em lugar de se considerar apenas um eixo, tal como no estudo de peas

    lineares, vamos ter uma rea. Considera-se que os deslocamentos do elemento se verificam

    no prprio plano.

    Neste caso em lugar de uma abcissa temos duas coordenadas que tem de ser

    representadas no espao.

  • Teoria das Estruturas II Mtodo dos Elementos Finitos

    8

    Se a figura geomtrica a considerar for um tringulo ou um quadriltero em que os

    ns correspondem aos vrtices, depois do carregamento os ns deslocam-se para uma nova

    posio. No modelo de interpolao linear os lados mantm-se rectos e a matriz B linear.

    No modelo de deformao quadrtico, tudo se vai passar do mesmo modo. Agora

    vo ser acrescentados pontos correspondentes ao meio dos lados e a matriz B deixa de ser

    linear.

    4.1. Modelo Triangular para Deslocamentos Lineares

    Consideram-se seis graus de liberdade correspondentes aos deslocamentos

    horizontais e verticais dos vrtices.

  • Teoria das Estruturas II Mtodo dos Elementos Finitos

    9

    Dado um ponto no plano interior, vamos determinar as funes coordenadas em

    termos de 1, 2 e 3 a partir dos valores de f1, f2 e f3.

    f(x1, x2) = 1(x1, x2)f1 + 2(x1, x2)f2 + 3(x1, x2)f3

    Para obtermos a funo bsica 1 vamos fazer f2 = f3 = 0.

    A superfcie gerada vai ser,

    Dado uma origem e o sentido dos eixos coordenados, as funes bsicas vo variar

    em termos de x1 e x2, pelo que no nos interessa.

    Se considerarmos um ponto interior e definirmos as reas parciais em que se divide

    o tringulo elementar, opostas ao n correspondente, vamos obter um novo sistema de

    coordenadas homogneas.

    Ai : rea parcial ; A : rea total (do tringulo 123) ! A = Ai ; i = A

    A i

  • Teoria das Estruturas II Mtodo dos Elementos Finitos

    10

    Observaes :

    1) Quando o ponto interior P se desloca em direco ao n 1, A2 e A3 ! 0 e A1 ! A.

    P 1 (1,2,3) = (1,0,0)

    2) A posio do centro de gravidade G c

    3) Este sistema de coordenadas bsicasda localizao de P

    f = 11 +

    em que vamos determinar os valores de 1, 2 ef.

    No interior do tringulo os deslo

    respectivamente,

    u1 = 1u11 +u2 = 1u21 +

    Ento, vamos ter

    =

    12

    22

    11

    0

    2x

    x

    qualquer ponto do tringulo pode

    ser representado em termos das

    coordenadas cartesianas ou

    homogneas.

    orresponde a

    3

    1,

    3

    1,

    3

    1

    no varia com x1 e x2, dependendo apenas

    22 + 33

    3 de acordo com os valores conhecidos de

    camentos horizontais e verticais so,

    2u12 + 3u13 2u22 + 3u23

    2

    1

    12

    2

    1

    0

    x

    x

    x

    x

  • Teoria das Estruturas II Mtodo dos Elementos Finitos

    11

    131

    112

    1

    111

    1

    1

    1

    111 uuu

    u

    xxxx

    +

    +

    =

    =

    onde,

    1

    3

    3

    1

    1

    2

    2

    1

    1

    1

    1

    1

    1

    1

    xxxx

    +

    +

    =

    Mas,

    1 = x1

    e

    11 = u11 as extenses so constantes dentro do tringulo elementar.

    =

    3

    2

    1

    232221

    131211

    2

    1

    1111

    xxx

    xxx