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Teoria das Estruturas II Método dos Elementos Finitos 1 Elementos Finitos I. Estados Planos de Tensão e Deformação. 1. Estática e Cinemática de Peças Laminares onde b i são as forças do corpo ou ligação (massa, pressão de fundação, etc.) e σ 12 = σ 21 uma vez que as componentes das tensões tangenciais, que actuam em duas facetas ortogonais e são perpendiculares à aresta comum às duas facetas, são iguais e têm sentidos tais que convergem ambas para a aresta comum ou divergem ambas da mesma. É o que chamamos de reciprocidade das tensões tangenciais. Estas equações aplicam-se a estruturas laminares, delgadas e espessas. CINEMÁTICA Sabemos que a deformada final de um corpo pode ser representada como a acção conjunta de deformações puras (extensões e distorções) e movimentos de corpo rígido (translações e rotações). Assim,

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Teoria das Estruturas II Método dos Elementos Finitos

1

Elementos Finitos

I. Estados Planos de Tensão e Deformação.

1. Estática e Cinemática de Peças Laminares

onde bi são as forças do corpo ou ligação (massa, pressão de fundação, etc.) e σ12 = σ21 uma

vez que as componentes das tensões tangenciais, que actuam em duas facetas ortogonais e

são perpendiculares à aresta comum às duas facetas, são iguais e têm sentidos tais que

convergem ambas para a aresta comum ou divergem ambas da mesma. É o que chamamos

de reciprocidade das tensões tangenciais.

Estas equações aplicam-se a estruturas laminares, delgadas e espessas.

CINEMÁTICA

Sabemos que a deformada final de um corpo pode ser representada como a acção

conjunta de deformações puras (extensões e distorções) e movimentos de corpo rígido

(translações e rotações). Assim,

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Teoria das Estruturas II Método dos Elementos Finitos

2

ESTÁTICA

uu

u

xx

x

x

0

0

22

1

12

2

1

12

22

11

∂=ε⇔

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

ε

ε

ε

NOTA : ε12 é a extensão de corte usada em cálculo tensorial

γ12 = 2ε12 é a extensão de corte usada em engenharia (também chamada de distorção)

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3

0b 0

0

b

b

0

0T

2

1

12

22

11

12

21 =+σ∂⇔

=

+

σ

σ

σ

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

xx

xx

2. Relações Constitutivas de Elasticidade para Peças Laminares

Como hipótese base, suponha-se que o material é isotrópico, isto é, tem as mesmas

características em todas as direcções e que temos elasticidade linear.

σ=εε=σ C ; D

onde D é a matriz de elasticidade (tensões internas relacionadas com extensões) e C é a

matriz de reciprocidade (extensões relacionadas com tensões internas).

( i ) Estados Planos de Tensão

Consideramos uma estrutura laminar e não vamos considerar tensões na direcção z.

0313233 =σ=σ=σ

Podemos citar como exemplo placas finas que surgem em problemas de Engenharia

de Estruturas.

υ−

υ

υ

υ=

)1(2

100

01

01

-1

ED

2

onde υ é o coeficiente de Poisson e E é o módulo de elasticidade.

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4

( ii ) Estados Planos de Deformação

Supõem-se que o material não pode alongar na direcção z.

0313233 =ε=ε=ε

Também aqui, podemos citar como exemplo fundações, barragens, tensões em

túneis e condutas.

υ−

υ−υ

υυ−

υ−υ=

)21(2

100

0)1(

0)1(

)21)(-(1

ED

onde, mais uma vez, υ é o coeficiente de Poisson e E é o módulo de elasticidade.

Até agora convertemos deslocamentos em extensões (cinemática), extensões em

tensões (relações constitutivas) e as tensões em forças (estática).Há a necessidade de passar

do contínuo para uma discretização finita (aproximada), para o que se tem de definir o

modelo de aproximação a adoptar.

3. Modelos de Aproximação

O modelo mais simples é o correspondente à interpolação linear, no qual o

polinómio é definido por dois pontos.

Os valores da função f(x) para x compreendido entre x1 e x2 são aproximados para,

f(x) = φ1(x)f1 + φ2(x)f2

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5

FUNÇÕES BÁSICAS

ξ1 + ξ2 = 1

Neste caso, podemos introduzir um sistema de coordenadas homogéneas, ξ1 e ξ2.

Caso φ2(x) = 0,

Caso φ1(x) = 0,

Como vamos considerar uma única coordenada dentro do intervalo,

φ1(x) = ξ1 ; φ2(x) = ξ2

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6

Para o modelo linear o polinómio tem uma forma característica muito simples,

relacionando as coordenadas do sistema.

Num modelo de interpolação quadrático seriam necessários três pontos para definir

o polinómio. Caso fosse expresso em termos das coordenadas homogéneas, verificar-se-ia

que era quadrático em termos de ξi.

Vamos supor que a deformada de cada elemento pode ser representada por um

polinómio do 3º grau. Já sabemos que quando se consideram os efeitos das cargas axiais

esta deformada não é uma aproximação correcta.

Além disso, vamos ter necessidade de efectuar interpolações na função f(x) dado

que só a conhecemos em alguns pontos específicos e pretendemos prever qual o seu valor

noutros pontos.

No caso da aproximação por um polinómio de 2º grau, poder-se-ia passar uma

parábola por três pontos.

Quando não for possível calcular os integrais através das expressões analíticas

podem utilizar-se métodos numéricos como, por exemplo, a quadratura de Gauss, que exige

a integração numérica de pontos interiores.

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7

Se além dos valores das funções em dois pontos, também poderíamos determinar os

valores das derivadas nesses pontos, vamos ter quatro elementos para definir um modelo

cúbico.

Neste capítulo, o estudo de estruturas laminares sujeitas a estados planos será feito

de uma forma analógica à do comportamento das vigas à flexão :

• O intervalo de variação da função corresponde a cada elemento ou

membro;

• Os pontos vão significar os nós ou extremidades das barras da descrição

considerada.

4. Aplicação aos Elementos Planos

Numa placa em lugar de se considerar apenas um eixo, tal como no estudo de peças

lineares, vamos ter uma área. Considera-se que os deslocamentos do elemento se verificam

no próprio plano.

Neste caso em lugar de uma abcissa temos duas coordenadas que tem de ser

representadas no espaço.

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8

Se a figura geométrica a considerar for um triângulo ou um quadrilátero em que os

nós correspondem aos vértices, depois do carregamento os nós deslocam-se para uma nova

posição. No modelo de interpolação linear os lados mantém-se rectos e a matriz B é linear.

No modelo de deformação quadrático, tudo se vai passar do mesmo modo. Agora

vão ser acrescentados pontos correspondentes ao meio dos lados e a matriz B deixa de ser

linear.

4.1. Modelo Triangular para Deslocamentos Lineares

Consideram-se seis graus de liberdade correspondentes aos deslocamentos

horizontais e verticais dos vértices.

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9

Dado um ponto no plano interior, vamos determinar as funções coordenadas em

termos de φ1, φ2 e φ3 a partir dos valores de f1, f2 e f3.

f(x1, x2) = φ1(x1, x2)f1 + φ2(x1, x2)f2 + φ3(x1, x2)f3

Para obtermos a função básica φ1 vamos fazer f2 = f3 = 0.

A superfície gerada vai ser,

Dado uma origem e o sentido dos eixos coordenados, as funções básicas vão variar

em termos de x1 e x2, pelo que não nos interessa.

Se considerarmos um ponto interior e definirmos as áreas parciais em que se divide

o triângulo elementar, opostas ao nó correspondente, vamos obter um novo sistema de

coordenadas homogéneas.

Ai : área parcial ; A : área total (do triângulo 123) ! A = ΣAi ; ξi = A

A i

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Teoria das Estruturas II Método dos Elementos Finitos

10

Observações :

1) Quando o ponto interior P se desloca em direcção ao nó 1, A2 e A3 ! 0 e A1 ! A.

P ≡ 1 ⇒ (ξ1,ξ2,ξ3) = (1,0,0) ⇒

2) A posição do centro de gravidade G c

3) Este sistema de coordenadas básicasda localização de P

f = α1ξ1 +

em que vamos determinar os valores de α1, α2 e

f.

No interior do triângulo os deslo

respectivamente,

u1 = φ1u11 +

u2 = φ1u21 +

Então, vamos ter

∂∂

∂∂

=

ε

ε

ε

12

22

11

0

2x

x

qualquer ponto do triângulo pode

ser representado em termos das

coordenadas cartesianas ou

homogéneas.

orresponde a

3

1,

3

1,

3

1

não varia com x1 e x2, dependendo apenas

α2ξ2 + α3ξ3

α3 de acordo com os valores conhecidos de

camentos horizontais e verticais são,

φ2u12 + φ3u13

φ2u22 + φ3u23

∂∂

∂∂

2

1

12

2

1

0

x

x

x

x

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Teoria das Estruturas II Método dos Elementos Finitos

11

131

112

1

111

1

1

1

111 uuu

u

xxxx ∂φ∂

+∂φ∂

+∂φ∂

=∂∂

onde,

1

3

3

1

1

2

2

1

1

1

1

1

1

1

xxxx ∂ξ∂

⋅ξ∂φ∂

+∂ξ∂

⋅ξ∂φ∂

+∂ξ∂

⋅ξ∂φ∂

=∂φ∂

Mas,

φ1 = x1

e

ε11 = u11 ⇒ as extensões são constantes dentro do triângulo elementar.

ξ

ξ

ξ

=

3

2

1

232221

131211

2

1

1111

xxx

xxx

x

x

Da expressão anterior,

=

ξ

ξ

ξ

2

1

3312

2231

1123

3

2

1 1

b2A

b2A

b2A

A2

1

x

x

a

a

a

onde,

2A23 = 2×área(023) = x12x23 − x13x22 ; a1 = x13 − x12 ; b1 = x22 − x23

2A31 = 2×área(031) = x13x21 − x11x23 ; a2 = x11 − x13 ; b2 = x23 − x21

2A12 = 2×área(012) = x11x22 − x12x21 ; a3 = x12 − x11 ; b3 = x21 − x22

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12

Um modelo de deslocamentos linear pode ser dado directamente em termos de ξ1, ξ2

e ξ3,

e

23

22

21

13

12

11

321

321

e2

e1

2

1Nu

u

u

u

u

u

u

000

000

u

u

0

0

u

uu =

φφφ

φφφ=

φ

φ=

=

O modelo de interpolação linear conduz a

[ ]321 ξξξ=φ

Atendendo ao sistema de equações que relaciona as coordenadas cartesianas e as

homogéneas e diferenciando φi em ordem a x1 e x2, respectivamente, vamos ter

iiiiiiii

xxxxb

2A

1bbb

2A

1

33

22

11

1

3

31

2

21

1

11

=

ξ∂φ∂

+ξ∂φ∂

+ξ∂φ∂

=∂ξ∂

×ξ∂φ∂

+∂ξ∂×

ξ∂φ∂

+∂ξ∂×

ξ∂φ∂

=∂φ∂

iiiiiiii aaaa

xxxx 2A

1

2A

1

33

22

11

2

3

32

2

22

1

12

=

ξ∂φ∂

+ξ∂φ∂

+ξ∂φ∂

=∂ξ∂

×ξ∂φ∂

+∂ξ∂

×ξ∂φ∂

+∂ξ∂

×ξ∂φ∂

=∂φ∂

4.2. Relações de Compatibilidade

O vector das extensões é dado por,

ε = Bue

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13

=

=

φφφ

φφφ

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

ε

ε

ε

23

22

21

13

12

11

321321

321

321

23

22

21

13

12

11

321

321

12

2

1

12

22

11

u

u

u

u

u

u

bbb

000

000bbb

2A

1

u

u

u

u

u

u

000

0000

0

2

aaa

aaa

xx

x

x

Rearranjando este sistema de equações para escrever as equações de cada nó

=

ε

ε

ε

23

22

21

13

12

11

321321

321

321

12

22

11

u

u

u

u

u

u

bbb

000

0b0b0b

2A

1

2 aaa

aaa

4.3. Relações de Equilíbrio de Elementos

A Energia de Deformação Total é dada por,

( ) ( )∫ ε−εε−ε= V D2

10

T0 dU

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14

onde dV é o volume de cada elemento infinitesimal

A Energia de Deformação é, portanto, dada pela área limitada superiormente pela

linha indicada. Como em cada elemento triangular, vamos ter 3 extensões e 3 tensões.

A Energia Total Potencial é dada por,

V = U − W

onde W é o trabalho realizado pelas forças de ligação, forças de superfícies e as forças

nodais (cada elemento finito está ligado aos outros por intermédio de nós, sendo apenas

estes que transmitem as forças nodais, Fe). O trabalho realizado é dado pela soma dos

termos do tipo u1ε1, u2ε2.

eTeTT0

T0

T0

T uFsu pVu bV D2

1V DV D

2

1 −−−εε+εε−εε= ∫∫∫∫∫ dddddV

Introduzindo o modelo de elementos finitos,

ee u B ; u Nu =ε=

eTeeTeT0

T0

e0

eTTe uFu s Npu V NbV D2

1u V B Du V B DBu

2

1 −−−εε+ε−= ∫∫∫∫∫ dddddV

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Teoria das Estruturas II Método dos Elementos Finitos

15

Deste modo, V torna-se uma função algébrica dos deslocamentos nodais ue, dado

que todos os integrais representam valores constantes. Das relações de equilíbrio de cada

elemento, temos que V tem de ser estacionária em relação a ue (equivale à aplicação da

Dualidade Estático-Cinemática), isto é :

0Fs pNV bNV DBu V B DBu

eTT0

TeTe

=−−−ε−=∂∂

∫∫∫∫ ddddV

∫∫∫∫ −−ε−= s pNV bNV DBu V B DBF TT0

TeTe dddd

No caso de considerarmos os efeitos dinâmicos para o cálculo de elementos finitos,

podemos representar as equações de movimento relativas aos nós da estrutura, a partir da

Energia Cinética Total, J.

∫ρ= Vu u 2

1J T d

onde ρ é a densidade do material.

Supondo que no modelo elementar de velocidades a matriz N é independente do

tempo t, temos,

∫ρ= eTTe u V NN u2

1J d

Usando as equações de Lagrange,

0uu

J

u

J

t eee=

∂∂+

∂∂−

∂∂

∂∂ V

o que dá,

∫∫∫∫∫ −−ε−+= s pNV bNV DBu V B DBu V NNF TT0

TeTeTe ddddd

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16

Comentários :

1. Estamos a utilizar técnicas de elementos finitos, discretizando a estrutura

laminar em triângulos elementares aos quais estamos a determinar as propriedades;

2. É possível ter modelos elementares baseados em esforços internos e não em

deslocamentos nodais;

3. O deslocamento final da estrutura é igual a soma das contribuições dos

elementos triangulares.

Vamos substituir o problema no contínuo, inicialmente dado por equações

diferenciais parciais, por um conjunto de equações lineares;

4. No caso do Método das Diferenças Finitas vão-se integrar as equações

diferenciais numa grelha regular por um método numérico aproximado;

Podemos escrever,

dltd

tdtd

×=×=

s

e laje da espessura a sendoA,V

A matriz de rigidez será,

ttd ×=×= ∫ A B DBA B DBK TTe

4.4. Vector das Cargas Aplicadas

Vector das cargas aplicadas (consistente com a formulação em elementos finitos) :

( i ) Extensões iniciais : ttd A DBA DBF 0T

0Te

0ε=ε= ∫ε

( ii ) Forças de ligação : ∫∫ == tdtd bA NA bNF TTeb

sendo ε0 e b valores constantes. Para efectuar a integração utilizando a discretização

anteriormente indicada,

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17

td

dtd

bA

bA

b

bA

0

0F

2T

1T

2

1

T

T

eb

φ

φ=

φ

φ=

∫∫

Como,

∫∫

ξ

ξ

ξ

=φ A A

3

2

1

T dd

e a fórmula a que corresponde o integral de ∫ ξξξ A321 drqp será,

A2)!1(

! ! ! ×+++ rqp

rqp

Exemplo : A3

1A1 =ξ∫ d (dado que 0! = 1)

Assim,

=

2

2

2

1

1

1

eb

b

b

b

b

b

b

A 3

1F t , ou seja,

3

1 da força de ligação total vai para cada

nó.

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Teoria das Estruturas II Método dos Elementos Finitos

18

4.5. Modelo de Deformação Quadrático

O modelo de deformações quadrático (considerando pontos intermédios) vai dar,

a) Para um elemento linear (barra) :

21

21

212

2

212

1

T 1 onde

4

ξ−=ξ

ξξ

ξξ−ξ

ξξ−ξ

b) Para um modelo triangular :

ξξ

ξξ

ξξ

−ξξ

−ξξ

−ξξ

13

32

21

33

22

11

T

4

4

4

)1(2

)1(2

)1(2

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Teoria das Estruturas II Método dos Elementos Finitos

19

( iii ) Forças de superfície : ∫∫ == tdltdl p N pNF TTep

onde p é um valor constante.

Estas podem ser distribuídas ao longo da superfície, podendo variar quer a suaintensidade, quer o ângulo de aplicação. Exprimem-se em unidade de força por unidade deárea e são geralmente de tracção. A força total é pois dada pela intensidade de força vezes aárea a que corresponde.

tdl

dl

p

p F

2T

1T

ep

φ

φ=

∫∫

Como a fórmula a que corresponde o integral de ∫ ξξ dlqp21 será,

12)!1(

! !l

qp

qp ×++

Exemplo : 121 2

1ldl =ξ∫

Assim,

=

0

p

p

0

p

p

2

1F

2

2

1

1

12ep tl , ou seja,

2

1 da força aplicada à superfície vai para

cada nó.

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Teoria das Estruturas II Método dos Elementos Finitos

20

4.6. Matriz de Massa (análise dinâmica)

No caso de existirem efeitos dinâmicos, temos de introduzir os termos relativos ao

desenvolvimento da Energia Cinética,

∫∫ ρ+ eTeT u V NNu V B DB dd = Forças nodais dos diferentes tipos

onde ρ é a densidade do elemento triangular.

Obtemos assim um problema constituído por um conjunto de equações

diferenciais, definidas para os elementos em que se vão discretizar a estrutura.

As forças de massa correspondem ao termo ∫ρ eT u V NN d e são proporcionais à

aceleração dos deslocamentos nodais. A aceleração define-se como a segunda derivada em

ordem ao tempo dos deslocamentos nodais.

A matriz da massa será,

∫∫ ρ=ρ= A t NNA t NNM TTe dd

∫∫

φφ

φφρ=

φ

φ

φ

φρ= A

0

0 A

0

0

0

0 M

T

T

T

T

e dtdt

Mas,

A A

332313

322212

312111

T dd ∫∫

ξξξξξξ

ξξξξξξ

ξξξξξξ

=φφ

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Teoria das Estruturas II Método dos Elementos Finitos

21

Da fórmula geral,

A12

1AAA

A6

1AAA

323121

23

22

21

=ξξ=ξξ=ξξ

=ξ=ξ=ξ

∫∫∫

∫∫∫ddd

ddd

ρ=

211

121

112

211

121

112

12

A Me t

As Forças de Restituição associadas à rigidez da estrutura tem um comportamento

semelhante a uma mola : a força exercida na mola aumenta proporcionalmente ao

deslocamento produzido.

Observações :

1. Para as forças de ligação, considerou-se que se for adoptado este raciocínio

para a determinação da matriz de massa obtinham-se que 31 das cargas aplicadas no

elemento triangular está aplicada em cada nó). Neste caso, vamos obter soluções

mais inexactas, embora a matriz obtida seja diagonal ⇒ utilização de técnicas

numéricas mais simples

em

1

1

1

3

LA =

ρ

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22

2. No caso de termos cargas horizontais e a parede estar simplesmente apoiada

na fundação, considera-se a estrutura libertada ser do tipo porticado e rotulado na

base.

5. Exemplos

5.1. Aplicação a um problema de Estados Planos de Tensão

Considere a parede representada na figura sujeita ao carregamento indicado e ligada

ao solo.

Como os graus de liberdade são deslocamentos horizontais e verticais (não se

consideram rotações) considera-se a estrutura sendo a base contituída por apoios duplos.

Como a estrutura é simétrica, o comportamento dos dois lados do eixo de simetria é

idêntico, pelo que podemos suprimir os deslocamentos verticais e horizontais ao longo

deste eixo.

A estrutura está sujeita à um Estado Plano de Tensão.

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Teoria das Estruturas II Método dos Elementos Finitos

23

Discretizando a estrutura vem,

Para resolver o problema vamos produzir uma deformação no sistema devido a ui =

1 e vamos determinar quais os esforços que mantém o sistema numa posição deslocada.

Assim a Matriz de Rigidez vem,

( )3636

e

1031200

3101400

1110312

2431014

001150

002405

6

EK

×

−−

−−

−−−−

−−−−

−−

−−

==

...

...t

Notas :

1. Cada ponto interior pode fazer a ligação de 6 triângulos;

2. Se utilizarmos um sistema de coordenadas locais, ele deve ser transformado

num sistema de coordenadas globais.

32 elementos36 graus de liberdade

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Teoria das Estruturas II Método dos Elementos Finitos

24

Cargas aplicadas :

• Peso próprio,

−=

γ=5750

0

1-

0 A

3

1Fe

b.

t

• Carregamento, ∫= A pNF Tep d

Caso a distribuição de cargas seja muito complicada, pode-se aproximar colocando

parte da carga aplicada em cada nó (por exemplo, no caso da carga distribuída vamos

mandar metade para cada lado).

Resolução do sistema Ku = F

A maior vantagem em utilizar a inversa de K é a de podermos determinar

imediatamente os deslocamentos correspondentes às diversas condições de carregamento.

u = K-1F

NOTA : Vamos considerar que no caso de haver um bom contacto entre a fundação e a parede, se desenvolve um efeito de arco.

Depois de se obterem os deslocamentos nodais, é possível obter os 6 deslocamentos

ue.

Com estes valores podemos determinar as extensões, ε, através da equação,

ε = Bue

As tensões no interior da peça são obtidas à custa da matriz de elasticidade D,

σ = Dε

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Teoria das Estruturas II Método dos Elementos Finitos

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Observações :

1. No caso do comportamento do material ser elásto-plástico, a equação que

nos dá as tensões é modificada, uma vez que a matriz das relações constitutivas

deixa de ser constante.

dσ = D(ε)dε

Neste tipo de comportamento temos necessidade de calcular a tangente em

cada ponto da curva de tensões-extensões ou de momentos-curvaturas.

2. No caso de acrescentarmos pontos intermédios (nós intermédios) para o

cálculo de um modelo de deformações quadrático, cada elemento triangular estaria

associado a 12 graus de liberdade;

3. O modelo definido aplica-se aos casos de cargas axiais que actuam no plano

médio da placa e que provoquem igualmente deslocamentos segundo o plano

intermédio da placa

No caso de haver cargas perpendiculares ao plano médio da laje, o modelo

que estudamos não é correcto porque entra com o movimento perpendicular ao

plano médio da placa, não satisfazendo a condição de compatibilidade da estrutura.

Para isso deve desenvolver-se um elemento para flexão em placas. Em seguida

apresenta-se um modelo deste tipo com 15 graus de liberdade.