Krysicki W., Bartos J., Dyczka W., Królikowska K ...wneiz.umk.pl/_upload/1/zmienne_...

Click here to load reader

  • date post

    27-Feb-2019
  • Category

    Documents

  • view

    213
  • download

    0

Embed Size (px)

Transcript of Krysicki W., Bartos J., Dyczka W., Królikowska K ...wneiz.umk.pl/_upload/1/zmienne_...

Literatura

Krysicki W., Bartos J., Dyczka W., Krlikowska K, Wasilewski M.,

Rachunek Prawdopodobiestwa i Statystyka Matematyczna w

Zadaniach, cz. I.

Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyszej dla studentw,

cz. III.

Zmienne losowe i ich rozkady

Idea: Zdarzeniom losowym przyporzdkowujemy liczby.

Np. Ad D1 ( { }621 ,...,, = ):

11 a , 22 a , ..., 66 a .

Niech dana bdzie przestrze probabilistyczna ),,( PS .

Def. Zmienn losow nazywamy dowoln funkcj RX : tak, e

dla dowolnej liczby rzeczywistej c, zbir:

{ }cXAc

Np. Ad D1:

11 a , 22 a , ..., 66 a , tzn.: iX i =)( .

Wwczas:

)5,2(

Dystrybuanta zmiennej losowej

Def. Dystrybuant zmiennej losowej X nazywamy funkcj F okrelon

wzorem )()( xXPxF

Wasnoci dystrybuanty F:

d1) F jest funkcj niemalejc i lewostronnie cig,

d2) 0)(lim =

xFx

i 1)(lim =+

xFx

( 0)( =F , 1)( =+F ),

d3) )()()(, aFbFbXaPRba =

Podzia zmiennych losowych:

1) skokowe (dyskretne),

2) cige.

Ad 1) Przyjmuje skoczon (lub przeliczaln) liczb wartoci

...,...,,, 21 nxxx .

Ad 2) Przyjmuje dowolne wartoci w pewnym przedziale ),( ba

(nieprzeliczaln liczb wartoci).

Np.

Ad D1) zm. dyskretna,

Ad D2) zm. dyskretna,

Ad D3) zm. dyskretna,

Ad D4) zm. ciga.

Def. Zmienn losow X nazywamy cig, jeli jej dystrybuant F

mona przedstawi w postaci:

=x

dttfxF )()( , dla kadego Rx ,

gdzie f jest pewn nieujemn funkcj rzeczywist, cakowaln w R.

Funkcj f nazywamy funkcj gstoci prawdopodobiestwa zmiennej

losowej X.

Tw. Dystrybuanta zmiennej losowej cigej jest funkcj cig.

Wasnoci funkcji gstoci prawdopodobiestwa f:

g1) +

=1)( dxxf ,

g2) )()()()3(

aFbFbXaPd

=

Wniosek. Dystrybuanta zmiennej losowej cigej spenia warunek

)()( xXPxF = .

Tw. Kada nieujemna funkcja f speniajca warunek g1) jest gstoci

prawdopodobiestwa pewnej zmiennej losowej.

Ilustracja graficzna

Rozkad zmiennej losowej

Matematyczny opis zmiennej losowej RX : polega na okreleniu:

R1) zbioru wszystkich wartoci (wariantw) tej zmiennej,

R2) prawdopodobiestwa pojawienia si tych wartoci.

Np. Ad D1:

Warianty zmiennej

losowej ix 1 2 3 4 5 6

prawdopodobiestwa

ip )( ixXP == 6

1

6

1

6

1

6

1

6

1

6

1

Informacje R1) i R2) tworz rozkad zmiennej losowej.

Niech dana bdzie dyskretna zmienna losowa X przyjmujca wartoci

...,,...,, 21 nxxx .

Def. Rozkadem dyskretnej zmiennej losowej X nazywamy zbir par

{ },...2,1);,( =ipx ii , gdzie )( ii xXPp == jest prawdopodobiestwem

zajcia wariantu ix .

Graficzna ilustracja dla D1)

Uwagi:

1) Dystrybuanta zmiennej losowej okrela jej rozkad prawdopodobie-

stwa (na mocy warunku d4: )()(lim)( ixx

ii xFxFxXPpi

===+

).

2) Jeli znamy rozkad prawdopodobiestwa dyskretnej zmiennej

losowej X, to moemy obliczy jej dystrybuant:

(ozn. ),( 2mN ), jeli jej gsto f ma posta:

2

2

2

)(

2

1)(

mx

exf

= , Rx .

Parametry rozkadu normalnego:

mEX = ,

2)( =XVar .

Wniosek. Funkcja gstoci rozkadu normalnego standaryzowanego

)1,0(N ma posta:

2

2

2

1)(

x

exf

=

, Rx .

Rys. Funkcja gstoci rozkadu normalnego dla rnych wartoci

parametrw m oraz .