TEORIA ELECTROMAGNETICAFIZ 0321 (13)

Ricardo RamırezFacultad de Fısica, Pontificia Universidad Cat olica, Chile

2do. Semestre 2006

PROBLEMAS Y EJERCICIOS

Ejercicio No. 1

Tenemos un circuito no rıgido con una corriente constante I.Supongamos que el circuito se puede mover bajo la influencia de uncampo magnetico, de tal modo que un elemento del circuito semueve en δ~r . Demuestre, por un calculo directo que el trabajorealizado por el circuito es δW = IdΦ.

SOLUCIONLa fuerza sobre un elemento del circuito d ~ es Id ~× ~B. Entonces eltrabajo es:

δW = Iδ~r · d ~× ~B = Iδ~r × d ~ · ~B = Id~A · ~B = IdΦ

donde d~A = δ~r × d ~ es el area del circuito y dΦ = ~B · d~A.

Ejercicio No. 2

Del problema anterior la fuerza sobre un circuito de corrienteconstante en un campo magnetico es ~F = I∇Φ. Considere un circuitomuy pequeno donde las variaciones espaciales del campo magneticoson despreciables. Sea ~m el momento magnetico de este circuito.Demuestre que si ~J = 0 y ~Jm = 0, la fuerza sobre este circuito sepuede escribir como:

~F = (~m · ∇)~B

SOLUCIONEl flujo Φ = ~B · ~A, donde ~A es el area del circuito, por lo tanto:

~F = I∇Φ = ∇(~B · I ~A) = ∇(~B · ~m)

Ahora utilizamos la identidad vectorial:

∇(~F · ~G) = (~F · ∇)~G + (~G · ∇)~F + ~F ×∇× ~G + ~G ×∇× ~F

con ~F = ~B, ~G = ~m, y notando que ∇ · ~B = 0, ∇× ~B = 0 y que ~m esconstante, obtenemos:

~F = (~m · ∇)~B

Ejercicio No. 3

Mediante consideraciones energeticas calcule la fuerza entre unalambre rectilıneo infinito con corriente I1 y un circuito rectangular delados a y b, con corriente I2, ubicado en un plano que contiene elalambre. Los lados de longitud a son paralelos al alambre y estan alaa distancias h y h + b.

SOLUCION

B =µoI12πr

→ Φ =µoaI1

2π

∫ h+b

h

drr

=µoaI1

2πln

h + bh

La fuerza la calculamos de ~F = I2∇Φ. Proyectamos esta fuerza en aldireccion perpendicular al alambre:

F = I2∂Φ

∂h=

µoaI1I22π

[1

b + h− 1

b

]

Ejercicio No. 4

El mismo problema anterior en que se reemplaza el rectangulo porun cırculo de radio a, con su centro a la distancia L del alambre.

Ejercicio No. 5

Un generador de corriente alterna con una impedancia interna Zi seconecta a una impedancia Z . Demuestre que la maximatransferencia de potencia se produce cuando Z = Z ∗

i .

Ejercicio No. 6

Un condensador de 1µF se carga a 100 V , luego se desconecta y sedescarga en un enrollado de 300 vueltas en un anillo toroidal. Eltoroide tiene una permeabilidad relativa de 5000, un radio medio de20 cm, una seccion de 4 cm2 y hueco de aire (entre hierro) de 2 mm.Despreciando las perdidas de Joule, de histeresis y la deformaciondel campo en los bordes, calcule el campo magnetico maximoproducido en el hueco.

Ejercicio No. 7

Un cable rectilıneo de conductividad σ y seccion transversal de area Aconduce una corriente uniforme I. Encuentre la potencia emitida a traves dela superficie de una longitud L de cable.

SOLUCION El radio de la seccion transversal del cable es r =

rAπ

La densidad de corriente es J =IA

. El campo electrico es: E =Jσ

=I

Aσ, el

campo magnetico: B =µoI2πr

y el vector Poynting: S =EBµo

.

La potencia emitida es:

P = 2πrLS = 2πrLEBµo

= 2πrLI

Aσ

I2πr

= I2 LAσ

ComoL

Aσes la resistencia del largo L de cable vemos que esta es la

potencia perdida por efecto Joule.

Ejercicio No. 8

Dada una onda en que el campo electrico esta dado por

~E = ıEo cos ω(αz − t) + Eo sin ω(αz − t)

donde α =√

εµCalcule el campo magnetico y el vector Poynting.

Ejercicio No. 9

Dada una onda electromagnetica que se propaga en la direccion dez y cuyo campo electrico es:

~E = ıEo sin2π

λ(z − ct)

Demuestre que es posible elegir φ = 0 y encuentre un potencial ~Aque satisfaga el calibre de Lorentz.

Ejercicio No. 10

La tierra recibe aproximadamente 1300 W/m2 de energıa radianteprocedente del sol. Suponiendo que esta onda es planamonocromatica que incide normalmente, calcule la magnitud de loscampos electrico y magnetico.

Ejercicio No. 11

Una onda polarizada plana ~E = ~Eoei(~k·~r−ωt) incide normalmentesobre una superficie plana de espesor D de un excelente conductor(σ >> ω). Suponga que en el metal ε ' εo y µ ' µo.

Demuestre que los coeficientes de Fresnel sonaproximadamente (en primer orden en (ω/σ)1/2):

R = Ree−2λ − 1

(1− e−2λ) + γ(1 + e−2λ)

T = Re2γe−2λ

(1− e−2λ) + γ(1 + e−2λ)

donde:

γ =( ω

2πσ

)1/2(1− i) =

ωδ

c(1− i) y λ =

(1− i)Dδ

Ejercicio No. 12

Un electroiman en forma de U, de longitud `, separacion d ypermeabilidad µ, tiene una seccion cuadrada de area A. Elelectroiman tiene un enrollado de N vueltas por donde pasa unacorriente I. Calcule la fuerza con que sostiene contra sus polos unabarra del mismo material y de la misma seccion transversal.

Ejercicio No. 13

Un aparato de radio capaz de detectar una senal de 10−14 W/m2

tiene una antena tipo solenoidal de 2000 vueltas enrollado sobre unnucleo de fierro de 1 cm. de radio que hace crecer el campomagnetico en un factor 200. La frecuencia de la senal es 140 Khz.

¿Cual es la magnitud de B de la onda?

¿Cual es la FEM inducida en la antena?

¿Cual serıa la FEM inducida si la antena fuera rectilınea de dosmetros de largo dirigida segun el campo E?.