TEORIA TEHNICA ATRANSFORMATORULUI

Transformator monofazat

Principiul de construcţie al transformatorului monofazat

Fluxul magnetic

Bobina secundară Miez magnetic Bobina primară

Principiul de funcţionare

Nu există piese în mişcare ω = 0Există două înfăşurări.

Înfăşurarea primară este alimentată de la otensiune de frecvenţă f1

Curentul din primar produce o solenaţie, care în circuitul magnetic închis altransformatorului determină un flux magnetic variabil în timp.

Fluxul magnetic, variabil în timp cu frecvenţa curentului din primar, induce înînfăşurările transformatorului t.e.m. de aceeaşi frecvenţă, având valoriproporţionale cu numerele de spire ale înfăşurărilor.Dacă la bornele secundarului se conectează o sarcină ( un consumator) ianaştereuncurent de sarcină de frecvenţă f2 egală cu frecvenţa curentului dinprimar.

Condiţia de frecvenţă f1 = f2 este îndeplinită, deci are loc transformarea energieielectrice, având parametrii U1 şi I1 , în energie electrică cu parametrii U2 şi I2 .

Modelarea transformatorului

φ2σφ2σ

Flux fascicular φm

φ1σ

Fluxul descăpări alînfăşurăriiprimare

Tipuri de modele: Model circuit; fiecare element funcţional se reducela un circuit electric, cel mai utilizat model

Model câmp; trebuie cunoscute dimensiunile geometrice,Se calculează câmpurile magnetice, t.e.m., curenţii

Model mixt circuit câmp; este necesară cunoaştereadimensiunilor miezului pentru calcul da câmp, înfăşurărileSunt înlocute cu circuite electrice

Modelul de circuit • Teoria tehnică

Fluxul de magnetizare si de scapari

Modelul de circuit• Teoria fizică cunoscută de la Electrotehnică

• Teoria tehnică

mefm w ΦΦΦΦΨΨΨΨ ⋅= λλ

mbkw ΦΦΦΦΨΨΨΨΨΨΨΨ ⋅⋅+= λλλσλ

λλσλσ iL ⋅=Ψ

Fluxul total:

Fluxul de scăpări:

Fluxul de magnetizare al înfăşurării

Numărul de spire efective la înfăşurări concentrate

λλλλ wkww bef =⋅= Factor de bobinaj unitar !

Teoria technică a transformatorului

• fluxul de magnetizare este fluxul din miez,

Avantajele teoriei technice:

• se încadrează în teoria unitară a maşinilor electrice.• se poate considera saturaţia,

• nu apar elemente de circuit negative,

Fiecare element funcţional se reduce la un circuit electric, având parametrii:rezistenţe şi inductivităţi.

Înfăşurările se reduc la circuite electrice, având parametrii;R1 , Lσ1 respectiv R2 , Lσ2 .

Circuitul magnetic se înlocuieşte cu rezistenţa şi inductivitatea de magnetizare

atensiunea electromotoare indusă :

dtdw

dtd

dtde m

tΦΦΦΦΨΨΨΨΨΨΨΨ

⋅−−=−= λλσλ

λ

dtdiL

dtd λ

λσλσ ⋅=Ψ

dtdwe mΦΦΦΦ⋅−= λλ

T.e.m. indusă în înfăşurări

t.e.m. totală :

t.e.m. indusă de fluxul de scăpări

t.e.m. indusă de fluxul util, de fluxul de magnetizare

Modelarea înfăşurărilor

aecuaţii de tensiuni pentru transformator monofazat:

dtdw

dtdiLiru mΦΦΦΦ

22

2222 ++⋅= σ

aecuaţia sarcinii:∫ ⋅+⋅+⋅=− dti

CdtdiLiru

ssss 2

22

1

Ecuaţii de tensiuniaecuaţii de tensiuni: asocierea sensurilor pozitive

receptor : uei +=⋅uei −=⋅generator:

receptor

receptor

generator

dtdw

dtdiLiru mΦΦΦΦ

11

1111 ++⋅= σ

Schema echivalenta transformator ideal

dtdw

dtdiLiru mΦΦΦΦ

11

1111 ++⋅= σ dtdw

dtdiLiru mΦΦΦΦ

22

2222 ++⋅= σ

( )2211 iwiwm ⋅+⋅⋅= ΛΛΛΛΦΦΦΦFluxul de magnetizare produs de curenţii din înfăşurările transformatorului

w2u2

r2

L2σ

i2

u1

r1

L1σ

i1

Φm

w1

e1 e2

-legea lui Ohm

FFm ⋅Λ=

ℜ=Φ

- Solenatia ( F), ipoteze:- înfăşurări bobinate în acelaşi sens,- curenţi magnetizează în acelaşi sens.- Factor de bobinaj unitar ,- înfăşurări concentrice.

1=λbk

2211 iwiwF ⋅+⋅=- circuitul magnetic real- curba de magnetizare reala cu bucla de histerezis

Reducerea circuitului magnetic la un circuit electric

Legătura dintre B şi H

B

H

Prima curbă de magnetizare

2

Hmax0

56

1

Bmax

3Br

4

Hc

Ciclul de histereză

ωt

B,H

1

1

2 3

3 4

4

55 6

6

B

H

Curba de magnetizare

Există pierderi în fier.

ωt

B,H

1

1

2 3

3 4

4

55 6

6

Consecinţe : dependenţa neliniară,

dependenţă neunivocă,

nu variază la fel in timp,Φm (B) sinusoidal,F (H) nesinusoidal.

Există defazaj dintre B şi H

H1

γ1

2211 µµ iwiwF ⋅=⋅=

1

2211 wwiii +=µ 21

2

12 iiwwi +=µ

raport de transformare pe fază:

2

1

wwk =

Curentul de magnetizare

solenaţia rezultantă:

În primar: În secundar:

2211 iwiwF ⋅+⋅=Se poate defini un curent de magnetizare din înfăşurare care produce solenaţiarezultantă:

Curentul de magnetizare:

ainductivitate de magnetizare:

ΛΛΛΛΦΦΦΦΨΨΨΨ

⋅=⋅== 21

1

1

1

11 w

iw

iL mm

µµµ

212

22

22 k

Lw

iL m µ

µµ =⋅== ΛΛΛΛ

ΨΨΨΨ

Reducerea circuitului magnetic la un circuit electric

Dinspre primar

Dinspre secundar

saukL

kL

wwL ⋅==⋅⋅= 21

21 µµ

µ ΛΛΛΛ

Influienţa curbei de magnetizare

αµ

µ tgi

L m ==1

11

ΨΨΨΨ

Fww mm ⋅⋅=⋅= ΛΛΛΛΦΦΦΦΨΨΨΨ 111

inductivitatea de magnetizare

α

iµ1

Φm

Lµ1

Ψm,Lµ1

F1

11µ

µ iwL mΦΦΦΦ=

Influienţa curbei de magnetizare

pierderi în fier.

222 wwFe irp ⋅=2

11 wwFe irp ⋅=

111 eir ww −=⋅ 222 eir ww −=⋅

Dinspre primar : Dinspre secundar:

eλλλλ este t.e.m. Îndusă de fluxul util, fascicular

Se consideră egale cu pierderi într-o rezistenţă rw ,parcurs de curentul iw .

Lµ1e1 rw1

iw1iµ1e1

rm1

im1

Lm1

111 wm iii += µ

Schema echivalentă a circuitului magnetic real

dtdi

Ldtdwe m 1

111µ

µ ⋅−=⋅−= ΦΦΦΦdtdiLire m

mmm1

1111 ⋅−⋅−=Dinspre primar :

111 eir ww −=⋅

araportarea înfăşurărilor: operaţia de înlocuire a unei înfăşurăricu alta care îndeplineşte următoarele condiţii:

Raportarea înfăşurărilor

acelaşi număr de spire,

aceeaşi putere

aceleaşi pierderi,

constante de timp identice.

Necesitatea : legarea celor două circuite distingte.

Raportare la primar : se înlocuieşte secundarul

Rezultat : un transformator la care cele două înfăşurări au acelaşi număr despire, deci t.e.m. induse de fluxul util sunt egale.

w1

122

21

'2 eek

wewe =⋅==

'2

'222 ieie ⋅=⋅

kii 2'

2 =⇒

2'2

'2

222 irir ⋅=⋅ 2

2'

2 krr ⋅=⇒

'2

'2

2

2

rL

rL σσ = 2

2'2 kLL ⋅= σσ

1

2

3

4 ⇒

Relatii de raportare.

t.e.m. egale

Puteri egale

Pierderi egale

Constante de timp egale

w2 ⇒

Schema echivalentă a transformatorului raportat

w2u2

r2

L2σ

i2

u1r1

L1σ

i1

Φm

w1

e1e2

w1u’

2

r’2

L’2σ

i’2

e1

Φm

e1

rm1

im1

Lm1

Φm

w1

e1

u1

r1

L1σ

i1

e1

rm1

im1

Lm1u’

2

r’2

L’2σ

i’2

Funcţionarea transformatorului în regim sinusoidalEcuaţii în regim sinusoidal

'2

'2

'2

'2

1111

EIZU

EIZU

−⋅=

−⋅=

se notează reactanţa cu X, impedanţa cu Z

se noteaza cu litere mari mărimile electrice şi magnetice carevariază sinusiodal- vectori de timpi

se menţin notaţiile utilizate pentru parametrii

'211

111

III

IZE

m

mm

+=

⋅−=

araportarea sarcinii la primar:2'2' kXXsikRR ssss ⋅=⋅=

'2

''2

''2 IXjIRU ss ⋅⋅+⋅=−

aschema echivalentă a transformatorului real raportat laprimar

Schemele echivalente în regim sinusoidal

1111 EIZU −⋅= 111 mm IZE ⋅−=

'2

'2

'2

'2 EIZU −⋅= '

211 III m +=

R1 X1σ

U1

I1

E1

I2’

U2’

R2’X2σ

’

Xm1

Rm1

Im1

schema echivalentă în T cu sarcină din secundar

Schemele echivalente în regim sinusoidal

'2

'2

'2

'2

1111

EIZU

EIZU

−⋅=

−⋅=

'211

111

III

IZE

m

mm

+=

⋅−=

'2

''2

''2 IXjIRU ss ⋅⋅+⋅=−

U2’

R1 R2’X1σ X2σ

’Xm1

Rm1

U1

I1 I2’

Im1E1

Rs’

Xs’

U2’

Z1 Z2’

Zm1

U1

I1 I2’

Im1

E1

ZS’

Funcţionarea transformatorului la mersul în gol

Regim de mers in gol : i2 = 0 si P2 = 0

I10

I1

Z10U1

Impedanţa de mers în gol

Z10 = Z1 + Z1m

Curentul absorbit: I10 = I1m

I2’

U2’

R2’X2σ

’R1 X1σ

U1

I1

E1

Xm1

Rm1

Im1

Rs’

Xs’

Pentru U1N se măsoară :

1,01

100 <=

NIIi

2

1

2

1011

2

1

2

1

UU

UIZU

EE

wwk ≅

⋅−≅==

Puterea absorbită : P10 = pFe + pb0

02 =bp21011 IRpb ⋅=

10PpFe ≅

Funcţionarea transformatorului la mersul în gol

-pierderile în fier,

-raportul de transformare

-curentul de mers în gol

si

deoarece

Schemele echivalente în regim sinusoidal

1110 mZZZ +=

schema echivalentă in L

I10

I1

I2’’

Z10 c12Zs

’

c12Z2

’c1Z1

U1

1

11

1

101

1

101

m

m

mm XXX

XXc

ZZc σ+=≅=

Cu circuitul de magnetizare scos la borne – curentul I10 este constant

Constanta transformatorului: Dinspre primar

''2101 III +=

Funcţionarea transformatorului în scurtcircuit

Nm II <<1

Funcţionare la scurtcircuit u2 = 0 P2 = 0

- de probă U1sc < U1N

- de exploatare U1sc = U1N

Xm1

Rm1

Im1

( )'21

'211 σσ XXjRRZ sc +++=

Impedanţa de scurtcircuit :

I1sc = I1N

R1 X1σ

U1

I1

R2’

X2σ’

I2’

E1 U2’

Rs’

Xs’

N

scscN U

Uu1

11 =

N

Nscsca U

IRu1

11 ⋅=N

Nscscr U

IXu1

11 ⋅=

R1 R2’X1σ X2σ

’I1sc

U1sc

01

1 ≅⋅

= FeN

N

scFe p

UUp

α

bNscscbscsc pIRpP ≅⋅=≅ 2111

deoarece

Proba de scurtcircuit : la I1sc = I1N U1scN = tensiunenominală de scurtcircuit: 4 %, 6 %, 10 %.

Funcţionarea transformatorului în scurtcircuit

sc

NN

scNsc u

IIUUI

1

11

1

11 =≅

Scurtcircuit de exploatare neglijănd saturaţia :

scsc IkI 12 ⋅≅

21

1EE sc ≈ pFe < pFeN

bNsc

bNbsc p

upp ⟩⟩≅ 2

1

Nsc

sc Su

S 1=

Regim de avarie necesită deconectare rapidă.

Funcţionarea transformatorului în scurtcircuit

R1 R2’X1σ X2σ

’I1sc

U1sc E1

Releul de gaze - Buchholz

cuva

rezervor

Cădere de tensiune :Se neglijează: curentul de magnetizare im1 I1 = - I2

’

I1U2

’

U1

jX1sc·I1

R1·I111'21 IZUU sc ⋅=−

( )221

'21 sincos ϕϕβ ⋅+⋅⋅=−=∆ scrsca uu

UUUu

NII2

2=β22

22cos

IUP⋅

=ϕUnde:

Functionarea transformatorului în sarcină.

Randamentul transformatorului.

bNFeN

N

ppSS

pPP

⋅++⋅⋅⋅⋅=

+=

∑ 22

2

2

2

coscos

βϕβϕβη

22222 coscos ϕβϕ ⋅⋅=⋅⋅= NSIUP

∑ ⋅+=+= 2βbNFebFe ppppp

Se neglijează căderea de tensiune ∆u ≈ 0Expresia puterii utile:

pierderi:

randamentul :

Functionarea transformatorului în sarcină

Randamentul maxim :

Se calculează : 0=βηdd

Rezultă:bN

Fe

pp=0β

bNFeN

Nm ppS

S⋅⋅+⋅

⋅=2cos

cos2

2

ϕϕη

Functionarea transformatorului în sarcină

sarcina la care randamentul este maxim,Nu depinde de factorul de putere .

Randamentul maxim depinde de factorul de putere

Caracteristicile transformatorului

U2

ϕind

ϕcap

β

η

ϕind

β

β0

ηm

Variaţia tensiunii secundare Caracteristica randamentului

Transformator monofazat

Exemplu de calcul

Datele transformatoruluiPuterea nominală Sn = 6 kVA

Tensiunea primară nominală U1n = 400 V

Tensiunea secundara nominală U2n = 230 V

Parametrii măsurabili :

Rezistenţa înfăşurare primară R1 = 0,55 Ω

Rezistenţa înfăşurare secundară R2 = 0,15 Ω

Incercarea de mers în gol la tensiunea primară nominală:

Curentul de mers în gol I10 = 1,5 A

Puterea la mersul în gol P10 = 60 W

Tensiunea secundară U20 = 228 V

Calculul parametrilor schemei echivalente din incercări.

Incercarea de mers in scurtcircuit la curentul prima nominal

Tensiunea de scurtcircuit U1sc = 32 V

Puterea la mersul in scurtcircuit P1sc = 225 w

Calculul parametrilor schemei echivalente: la mers în gol

Impedanta de mers in gol : ΩΩΩΩ6,2665,1

400

10

110 ===

IUZ n

Rezistenta de mers in gol:ΩΩΩΩ66,26

5,160

2210

1010 ===

IPR

Reactanta de mers in gol :ΩΩΩΩ38,2652

1021010 =−= RZX

Calculul parametrilor schemei echivalente din incercări.

ΩΩΩΩ13,21532

1

11 ===

n

scsc I

UZ

ΩΩΩΩ115225

221

11 ===

n

scsc I

PR

ΩΩΩΩ88,121

211 =−= scscsc RZX

Impedanta de mers in scurtcircuit :

Rezistenta de scurtcircuit

Reactanta de scurtcircuit

R1 R2’X1σ X2σ

’I1sc

U1sc

la mers în scurtcircuit

Curentul nominal AUSIn

nn 15

4006000

11 ===

Separarea parametrilor

ΩΩΩΩ11,2655,066,26101 =−=−= RRRm

'2

1'2

1

σ

σ

XX

RR

≈

R1 X1σ Xm1

Rm1

U1n

I10

Im1

R1 R2’X1σ X2σ

’I1sc

U1sc

ΩΩΩΩ45,011'2 =−= RRR sc

ΩΩΩΩ45,073,115,0 222

'2 =⋅=⋅= kRR

ΩΩΩΩ03,1

55,045,01

88,1

11

'2

11 =

+=

+=

RR

XX scσ

ΩΩΩΩ85,011'

2 =−= σσ XXX sc

ΩΩΩΩ63,26503,166,2661101 =−=−= σXXXm

'21 σσ XX ≅

ipoteze

Calculul curentului de mers în gol

3

1

0

1

111 1063,1004,1

63,26511,2666,26666,26 −⋅−=

++==

+= j

jj

ZZ

ZZZc

mm

m

004,163,26566,266

1

101 ==≅

mXXc

485,1148,066,26666,26

400

10

110 j

jZUI n −=

+==

Constanta transformatorului:

Curentul de mers in gol 2 metode:

1,05.1400

60cos11

1010 =

⋅=

⋅=

nn IUPϕ

( ) 492,115,0sincos 10101010 jjII −=−⋅= ϕϕ

12

Calculul raportului de transformare

wIRPpFe 76,585,155,060 2210110 =⋅−=⋅−=

ΩΩΩΩ11,265,176,5822

101 ===

IpR Fe

m

747,1228

66,071,398

2

1011

2

1

2

1exp =

+=

⋅−≅==

jU

IZUEE

wwk

Pierderile în fier:

Rezistenţa echivalentă a pierderilor în fier:

Raportul de transformare:

eroarea

3

exp

exp 1065,4 −⋅=⋅

−=

kk

kkk∆∆∆∆

Transformator in sarcină

ΩΩΩΩ2,24739,18 22' =⋅=⋅= kRR ss

ΩΩΩΩ71,42 =⋅⋅⋅= ss LfX π ΩΩΩΩ25,142' =⋅= kXX ss

Datele sarcinii: Rs = 8 Ω, Ls = 0,015 H

Raportarea sarcinii la primar:

U2’

R2’ Rs

’

Xs’

X2σ’

I2’

R1 X1σ Xm1

Rm1

U1

I1

Im1

Transformator în sarcină

( ) AjZcZcZc

UIs

n 15,717,11'1

'2111

1"2 −=

⋅+⋅+⋅=

AjI 65,832,111 −=

( )842,0

27,1317,11cos

"2

"2

2 ==ℜ

=IIe

ϕ

I10

I1

I2’’

Z10 c12Zs

’

c12Z2

’c1Z1

U1

( )795,0

25,1432,11cos

1

11 ==

ℜ=

IIe

ϕ

Diferenţa se datoreşte curentului de mers în gol.

"2101 III +=

Calculul curentului in sarcină:

Randamentul

bNFeN

N

ppSS

pPP

⋅++⋅⋅⋅⋅=

+=

∑ 22

2

2

2

coscos

βϕβϕβη

coscos "2122222 IeUIUSP nN ℜ⋅≅⋅⋅=⋅⋅= ϕϕβ

wIRIRpp bnb 44,19127,1345,0004,125,1455,0 222'2

'2

211

2 =⋅⋅+⋅≅⋅+⋅=⋅= β

wP 446817,114002 =⋅=

wIRp scb 95,20225,141 2211 =⋅=⋅≅

wIRcRcpb 17727,13)45,0004,155,0(004,1)( 22"2

'2111 =⋅⋅+⋅=⋅⋅+⋅≅

Puterea utilă

Pierderi în bobinaje

Aproximări posibile:

Randamentul

947,044,19176,584468

4468

2

2 =++

=++

=bFe ppP

Pη

51,0225

76,58 ===bn

Feo p

pβ

Randamentul:

Randamentul maxim

Sarcina la care se obţine randament maxim

bNFeN

Nm ppS

S⋅⋅+⋅

⋅=2cos

cos2

2

ϕϕη

956,044.19176,582842,06000

842,06000 =⋅⋅+⋅

⋅=mη

Tensiunea secundară

( )221

'21 sincos ϕϕβ ⋅+⋅⋅=−=∆ scrsca uu

UUUu

8846,015

27,13

1

"2

===nI

Iβ

062,0)539,00706,0842,00375,0(8846,0 =⋅+⋅⋅=u∆∆∆∆

Căderea de tensiune:

0375,0400

151

1

11 =⋅=⋅

=N

Nscsca U

IRu

0706,0400

1588,1

1

11 =⋅=⋅=N

Nscscr U

IXu

VUuU n 3,375400)062,01()1( 1'2 =⋅−=⋅−= ∆∆∆∆

VkUU 8,215

739,13,375'

22 ===

Factorul de sarcină

Componenta activa a tensiuniide scurtcircuit

Componenta reactivă a tensiuniide scurtcircuit

Tensiunea secundară

Valoarea reală :