Teor´ıa Anal ´ıtica de N umeros´ -...
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Teor´ ıa Anal´ ıtica de N ´ umeros Curso 2003–2004 Programa Tema 1. Funciones Aritm´ eticas. Las funciones d(n)y σ(n). Las funciones ϕ(n) de Euler y μ(n) de M¨ obius. Series de Dirichlet. Crecimiento de funciones multiplicativas. Sumaci´on parcial. El orden medio de d(n). M´ etodo de exclusi´ on inclusi´ on. Algunas otras funciones aritm´ eticas. Tema 2. Distribuci´ on de los n´ umeros primos. M´ etodos elementales. Funciones de Chebyshev. Teoremas de Chebyshev. Teoremas de Mertens. Equivalentes al teorema de los n´ umeros primos. M´ etodo de la criba. El n´ umero de divisores primos de un entero. Tema 3. Funci´ on zeta de Riemann. Funci´onΓ.Funci´on ζ (s) de Riemann. El producto infinito de la funci´ on zeta. Teoremas sobre los ceros. Relaci´ on entre la suma de los coeficientes de una serie de Dirichlet y la funci´ on dada por esta serie. Terema de los n´ umeros primos. La hip´ otesis de Riemann. Tema 4. Aproximaci´on Diof´ antica. Fracciones continuas. N´ umeros algebraicos y teorema de Liouville. Irracionalidad y transcendencia de algunos n´ umeros especiales. Tema 5. Teor´ ıa probabil´ ıstica de n´ umeros. El modelo de Cramer. Conjeturas sobre la distribuci´on de los primos. El teorema de Erd¨ os-Kac. Tema 6. Funciones modulares. Grupo modular. Funciones modulares. Espacio de las formas modulares. Desarrollos en serie. Aplicaciones. Bibliograf´ ıa Apostol, T. M., Introducci´ on a la Teor´ ıa Anal´ ıtica de N´ umeros, Editorial Revert´ e, Barcelona, (1984). (Bib- lioteca Ingenieros D511/3; Dpto. Gen´ etica) (Version en ingl´ es: C511/205 (p); Dpto. An´ alisis Matem´ atico) Baker, A., Breve introducci´ on a la teor´ ıa de n´ umeros, Alianza Editorial, Madrid, (1986). (Biblioteca C.Cas 511/005; Dpto. An´ alisis Matem´ atico; B. General; B. Empresariales; B. C. Informaci´ on)(Versi´on en ingl´ es: Biblioteca C511/183). Cilleruelo J. & C´ ordoba, A., La Teor´ ıa de los N´ umeros, Mondadori Espa˜ na, Madrid, (1992). (B. C. Edu- caci´ on; B. Arquitectura). Davenport H., Multiplicative Number Theory, A Springer, (2000)). (Dpto. An´ alisisMatem´atico). Hardy, G. H. & Wright, E. M., An introduction to the Theory of Numbers, Oxford, (1979). (Biblioteca C511/160 (p); C511/054 (p); Dpto. An´ alisis Matem´ atico) Stopple, J., A Primer of Analytic Number Theory. From Pythagoras to Riemann, Cambridge Univ. Press, (2003). (Biblioteca C511/178; Dpto. An´ alisis Matem´ atico) Apostol, T. M., Modular functions and Dirichlet series in Number Theory, Springer, (1976). (Biblioteca C511/203; Dpto. An´ alisis Matem´ atico) Edwards, H. M., Riemann’s Zeta Function, Academic Press, NewYork, (1974). (Biblioteca C511/244; Dpto. An´ alisis Matem´ atico) Ingham, A. E., The Distribution of Prime Numbers, Cambridge University Press, (1990). Edici´ on original (1932). (Biblioteca C511/241; Dpto. An´ alisis Matem´ atico) Jameson, G. J. O., The Prime Number Theorem, Cambridge University Press, (2003). (Biblioteca C511/248; Dpto. An´ alisis Matem´ atico) Kac, M., Statistical Independence in Probability Analysis and Number Theory, The Mathematical Associ- ation of America, (1959). (Biblioteca C519.21/125; C519.21/079 (p); Dpto. An´alisis Matem´atico) Karatsuba, A. A., Fundamentos de la Teor´ ıa Anal´ ıtica de los N´ umeros, Mir, Mosc´ u, (1979). (Biblioteca C Cas 511/002; 3 Dpto. An´ alisis Matem´ atico)
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Teorıa Analıtica de NumerosCurso 2003–2004
Programa
Tema 1. Funciones Aritmeticas. Las funciones d(n) y σ(n). Las funciones ϕ(n) de Euler y µ(n) deMobius. Series de Dirichlet. Crecimiento de funciones multiplicativas. Sumacion parcial. El orden medio ded(n). Metodo de exclusion inclusion. Algunas otras funciones aritmeticas.
Tema 2. Distribucion de los numeros primos. Metodos elementales. Funciones de Chebyshev.Teoremas de Chebyshev. Teoremas de Mertens. Equivalentes al teorema de los numeros primos. Metodo dela criba. El numero de divisores primos de un entero.
Tema 3. Funcion zeta de Riemann. Funcion Γ. Funcion ζ(s) de Riemann. El producto infinito de lafuncion zeta. Teoremas sobre los ceros. Relacion entre la suma de los coeficientes de una serie de Dirichlety la funcion dada por esta serie. Terema de los numeros primos. La hipotesis de Riemann.
Tema 4. Aproximacion Diofantica. Fracciones continuas. Numeros algebraicos y teorema de Liouville.Irracionalidad y transcendencia de algunos numeros especiales.
Tema 5. Teorıa probabilıstica de numeros. El modelo de Cramer. Conjeturas sobre la distribucion delos primos. El teorema de Erdos-Kac.
Tema 6. Funciones modulares. Grupo modular. Funciones modulares. Espacio de las formas modulares.Desarrollos en serie. Aplicaciones.
Bibliografıa
Apostol, T. M., Introduccion a la Teorıa Analıtica de Numeros, Editorial Reverte, Barcelona, (1984). (Bib-lioteca Ingenieros D511/3; Dpto. Genetica) (Version en ingles: C511/205 (p); Dpto. Analisis Matematico)
Baker, A., Breve introduccion a la teorıa de numeros, Alianza Editorial, Madrid, (1986). (Biblioteca C.Cas511/005; Dpto. Analisis Matematico; B. General; B. Empresariales; B. C. Informacion)(Version en ingles:Biblioteca C511/183).
Cilleruelo J. & Cordoba, A., La Teorıa de los Numeros, Mondadori Espana, Madrid, (1992). (B. C. Edu-cacion; B. Arquitectura).
Davenport H., Multiplicative Number Theory, A Springer, (2000)). (Dpto. Analisis Matematico).
Hardy, G. H. & Wright, E. M., An introduction to the Theory of Numbers, Oxford, (1979). (BibliotecaC511/160 (p); C511/054 (p); Dpto. Analisis Matematico)
Stopple, J., A Primer of Analytic Number Theory. From Pythagoras to Riemann, Cambridge Univ. Press,(2003). (Biblioteca C511/178; Dpto. Analisis Matematico)
Apostol, T. M., Modular functions and Dirichlet series in Number Theory, Springer, (1976). (BibliotecaC511/203; Dpto. Analisis Matematico)
Edwards, H. M., Riemann’s Zeta Function, Academic Press, NewYork, (1974). (Biblioteca C511/244;Dpto. Analisis Matematico)
Ingham, A. E., The Distribution of Prime Numbers, Cambridge University Press, (1990). Edicion original(1932). (Biblioteca C511/241; Dpto. Analisis Matematico)
Jameson, G. J. O., The Prime Number Theorem, Cambridge University Press, (2003). (BibliotecaC511/248; Dpto. Analisis Matematico)
Kac, M., Statistical Independence in Probability Analysis and Number Theory, The Mathematical Associ-ation of America, (1959). (Biblioteca C519.21/125; C519.21/079 (p); Dpto. Analisis Matematico)
Karatsuba, A. A., Fundamentos de la Teorıa Analıtica de los Numeros, Mir, Moscu, (1979). (BibliotecaC Cas 511/002; 3 Dpto. Analisis Matematico)
LeVeque, W. J., Fundamentals of Number Theory, Dover, NewYork, (1996). (Biblioteca C511/130;Dpto. Analisis Matematico; B. Ingenieros)
Narkiewicz, W., The Development of Prime Number Theory, Springer, (2000). (Biblioteca C511/213 (p);Dpto. Analisis Matematico)
Nathanson, M. B., Elementary methods in Number Theory, Springer, NewYork, (2000). (BibliotecaC511/227 (p); Dpto. Analisis Matematico; Ingenieros (Dpto. Matematica))
Ram Murty, M., Problems in Analytic Number Theory, Springer, NewYork, (2001). (Biblioteca C 511/239;Dpto. Analisis Matematico)
Rose, H. E., A Course in Number Theory, Oxford University Press, New York, (1988). (Biblioteca C511/186; Dpto. Analisis Matematico)
Redmond, D., Number Theory. An Introduction, Marcel Dekker, NewYork, (1996). (Dpto. AnalisisMatematico)
Serre, J. P., A Course in Arithmetic, Springer Verlag, (1977). (Biblioteca C511/155; Dpto. AnalsisMatematico)
Tenenbaum, G., Introduction to Analytic and Probabilistic Number Theory, Cambridge University Press,(1995). (Biblioteca C511/240 (p); Dpto. Analisis Matematico)
Tenenbaum, G. & Mendes France, M. , The Prime Numbers and Their Distribution, American Math-ematical Society, (2000). (Biblioteca C511/238; Dpto. Analisis Matematico)
Weil, A., Number Theory: An aproach through History. From Hammurapi to Legendre, Birkhauser, Boston,(1984). (Biblioteca C51<091>/092; Dpto. Analisis Matematico; B. C. Educacion)
Direcciones utiles de internetThe On-Line Encyclopedia of Integer Sequences: http://www.research.att.com/ njas/sequences/
Number Theory Web: http://www.dpmms.cam.ac.uk/Number-Theory-Web/
Jahrbuch uber die Fortschritte der Mathematik (1868-1942): http://www.emis.de/MATH/JFM/JFM.html
MathSciNet (1940–presente): http://ams.u-strasbg.fr/
Situacion en el plan de estudios
La asignatura es optativa del cuarto curso de la licenciatura. Es conveniente, haber cursado Variable
Compleja y Analisis de Fourier, obligatoria de tercer curso y Variable Compleja Troncal de cuartocurso. Puede ser util haber cursado Algebra efectiva de segundo curso, principalmente porque es dondese ven algunos de los conceptos elementales sobre la divisibilidad de numeros naturales.
Esta asignatura es un buen complemento para los alumnos que piensen matricularse en la asignaturas op-tativas Ampliacion de Variable Compleja, Geometrıa Algebraica y Superficies de Riemann dequinto curso.
Metodologıa
Se aplicaran los teoremas del Analisis Matematico a algunos problemas interesantes, lo que permitira apreciarmejor el valor de las teorıas (que en algunos casos fueron desarrollados precisamente con este fin). El objetivode la asignatura, mas que dar un temario amplio, sera dar las primeras nociones sobre estos temas quepermitan al alumno apreciar la utilidad y belleza de los mismos.
La asignatura se desarrolla en cuatro horas semanales durante el segundo cuatrimestre:12 - 14, lunes y jueves. Aula EC21.
Aproximadamente tres horas a la semana seran de contenido teorico y una hora de caracter practico.
La evaluacion se realizara en funcion de la realizacion de ejercicios y trabajos a lo largo del curso y de unexamen al final del mismo.
Profesorado
Durante el curso 2003–2004 sera impartida por el prof. Juan Arias de Reyna Martınez. Tutorıas: Martesmiercoles y viernes de 12–14.
Modulo 38. Email: [email protected]. Sevilla, jueves 29 de enero de 2003.
![Ing. Pedro Arias Quintero - Innovacion tecnologica · Ejemplos 1. Hélice circular recta. Sus ecuaciones paramétricas son x=sen(t), y=cos(t), z=t, t ∈[0,10π ] . La curva C es](https://static.fdocument.org/doc/165x107/5ac7017f7f8b9a40728b8481/ing-pedro-arias-quintero-innovacion-tecnologica-1-hlice-circular-recta-sus.jpg)
