Ing. Pedro Arias Quintero

El conjunto C={(x,y,z)∈R^3 /x=x(t),y=y(t),z=z(t),t∈I} se llama curva en el espacio. Las ecuaciones x=x(t), y=y(t), z=z(t), t∈I, se

llaman ecuaciones paramétricas de C y t el parámetro. En algunos casos es convenientes parametrizar la curva mediante el

parámetro longitud de arco.

El vector posición de cada punto de la curva es la función vectorial de la curva. El vector r′(t)=(x′(t),y′(t),z′(t));t∈I, es el vector tangente (o vector velocidad) de la curva en t. Curva

regular es aquella que tiene recta tangente en cada punto de la curva, es decir, r’(t) ≠ 0

para todo t∈I.

Ejemplos 1. Hélice circular recta. Sus ecuaciones

paramétricas son x=sen(t), y=cos(t), z=t, t ∈[0,10π ] . La curva C es la que envuelve al cilindro S:x²+y²=1. Vamos a graficar C de dos formas. Usando plot3 t=0:pi/50:10*pi; %la longitud del intervalo es opcional plot3(sin(t),cos(t),t) grid on axis Square.

Otra opción. ezplot3, para ello declaramos simbólicamente al parámetro t. syms t x=cos(t); y=sin(t); z=t./(2*pi); ezplot3(x,y,z,[0,10*pi],'animate') % sobre la curva C recorre un punto de color rojo con una velocidad proporcional a su módulo.

t=linspace(0,10*pi,101); x=inline('cos(t)'); y=inline('sin(t)'); z=inline('t/(2*pi)'); plot3(x(t),y(t),z(t))% gráfica de la hélice. hold on for s=linspace(0,10*pi,20) quiver3(x(s),y(s),z(s),-y(s),x(s),1/(2*pi)) % grafica los vectores tangentes end hold off view(135,45)

Ejemplos 1. La intersección de los cilindros: z=x² , z=4-y² es una curva en el espacio. Vamos a

graficar las dos superficies y luego su curva intersección.

Gráfica de las superficies [x,y]=meshgrid(-2:0.1:2); z=x.^2; mesh(x,y,z) % grafica el primer cilindro hold on % autoriza a la otra gráfica z=4-y.^2; %segundo cilindro mesh(x,y,z)

Existen muchos casos donde no se puede visualizar la curva que resulta de la intersección de dos superficies.

t=0:pi/32:2*pi; u=2*cos(t); v=2*sin(t); w=4*(cos(t)).^2; plot3(u,v,w,'r')

Para obtener la proyección de esta curva al plano XY, reemplazar w=0*ones(1,65);