Team 1 5 Novembre 2016

#1 L

o st

rano

cas

o di

e

Il numero e, pur essendo della stessa specie di π e del numero d’oro (sezione aurea), non è molto noto al di fuori dell’ambiente matematico, ma ciononostante è un numero che gioca un ruolo fondamentale in tanti altri ambiti e applicazioni. Ad esempio nello studio del decadimento radioattivo, della crescita di una popolazione, della magnitudo di un terremoto, della diffusione di un’epidemia e soprattutto di problemi economici.

Certamente è più semplice afferrare il significato di π, ma visti gli svariati usi di e proviamo a capire qualcosa anche di questo numero: per farlo dobbiamo partire dalle sue radici storiche, dalle

applicazioni a problemi economici, dai primi che si sono chiesti quale potesse essere il miglior investimento di un capitale, come questo potesse aumentare nel tempo, e quale guadagno ne avrebbero potuto ricavare. Il prima problema della storia ritrovato e che ne fa utilizzo è riportato su una tavoletta babilonese, conservata al Louvre di Parigi, del 1700 a. C.: Quanto tempo ci vorrà – si chiedeva l’anonimo autore – perché una certa somma di denaro raddoppi, se ogni anno aumenta del 20%?

Un problema che richiede l’uso dei logaritmi, naturalmente elementi ancora sconosciuti al tempo.

Qui sopra riportiamo una poesia in cui il numero di lettere di ogni parola coincide col numero decimale e non del numero e.

Ai modesti o vanitosi

ai violenti o timorosi

do, cantando gaio ritmo,

logaritmo…

2,718

2818

2845

9…

2

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1618 In un lavoro di Nepero compare in appendice una tavola che riporta i logaritmi in base e di diversi numeri.

1624 Compare il numero e in un lavoro di Briggs, il matematico amico di Nepero con il quale costruì le tavole dei logaritmi in base 10, e il valore del suo logaritmo in base 10.

1683 Jacob Bernoulli, tentò di

calcolare il limite di (1 +𝑖

𝑛)

𝑛

per n tendente all’infinito e arrivò a stabilire che e doveva essere compreso fra 2 e 3: possiamo considerare questo risultato come la prima approssimazione del numero e.

1690 Leibniz è stato tra i primi, a riconoscere ufficialmente il numero e. In una lettera indirizzata a Huygens, usa la lettera b per indicare questo numero.

1731 L’uso della lettera e per il nostro numero compare per la prima volta in una lettera di Leonhard Euler, italianizzato Eulero, indirizzata a Goldbach.

Probabilmente Eulero scelse la e

perché è la prima vocale che segue la a, una lettera che aveva già usato in altri suoi lavori. 1748 Egli presentò uno studio approfondito del numero e nel suo libro

Introduction in Analysin infinitorum, nel quale dimostrò che il limite di

(1 +𝑖

𝑛)

𝑛

, con n tendente

all’infinito, è uguale ad e; inoltre trovò le prime 18 cifre decimali di e, 2.718281828459045235. Interessante notare che si sostiene che e sia stata usata dai Greci per la costruzione del Partenone, e dagli Egizi per la costruzione della Grande Piramide di Cheope: in

queste costruzioni si trovano due lunghezze tipiche che hanno come rapporto il suo valore. Inoltre i Greci usavano per questa costante l'appellativo Αρμονικός σταθερά o costante armonica, la denotavano con la lettera ε e usavano per essa il valore 2,72.

La

Sto

ria

In generale la storia del numero e è difficile da chiarire e non è facile nemmeno stabilire la sua data di nascita. Siamo comunque all’inizio del diciassettesimo secolo, un periodo di grandi sviluppi finanziari, con un’attenzione particolare quindi per il problema dell’interesse composto.

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Ora che abbiamo in mente la storia proviamo a definire meglio di cosa stiamo realmente parlando.

Vengono usati diversi nomi per questo numero, allo stesso modo ci sono diverse definizioni per questo numero. Quella che prendiamo in considerazione noi è:

𝑒 = lim𝑛→∞

(1 +1

𝑛)

𝑛

Per capire cosa significa veramente facciamo qualche

prova, cercando il valore di 𝑦 = (1 +1

n)

𝑛

. Più n è

grande, più y si avvicina ad un certo numero che chiamiamo e.

Osservazione:

nelle proprietà delle potenze

1. 𝑠𝑒 𝑎 < 1, limn→∞

𝑎𝑛 = 0

2. 𝑠𝑒 𝑎 = 1, an = 1, ∀𝑛 3. 𝑠𝑒 𝑎 < 1, lim

n→∞𝑎𝑛 = ∞

Allora come è possibile che un numero comunque maggiore di 1, anche se di un infinitesimo, tenda ad un numero finito al crescere dell’esponente?

In effetti e nasce in una sorta di misteriosa zona d’ombra tra il secondo e terzo caso: da una parte il

termine 1

𝑛 tenderebbe a zero (e quindi 1 +

1

𝑛≈ 1 ),

dall’altra il binomio 1 +1

𝑛, sicuramente maggiore di

1 (terzo caso) dovrebbe tendere ad infinito perché elevato a potenza.

Ma i due effetti si bilanciano, così al crescere di n l’effetto dell’esponente estremamente grande è vanificato da una base sempre più prossima ad 1, sempre più neutra. All’inizio prevale l’effetto

dell’esponente, quando il termine 1

𝑛 non è poi così

piccolo (ma per fortuna lo è l’esponente!). Poi si raggiunge un equilibrio che abbiamo chiamato e.

(vedi pagina seguente)

La Definizione

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e è un numero irrazionale e trascendente:

Si chiamano “irrazionali” i numeri reali non razionali, cioè non esprimibili come frazione e se rappresentati in una qualsiasi base intera si esprimono con una sequenza di cifre non periodica: sono quei numeri che separano due classi contigue di numeri razionali

I numeri trascendenti si distinguono dai numeri algebrici perché sono soluzioni di equazioni non algebriche, cioè di equazioni che non possono assumere la forma 𝑃(𝑥) = 0. Tutti i numeri trascendenti sono irrazionali. 1

1 Dicesi numero algebrico ogni numero reale o

complesso che possa essere soluzione di una equazione algebrica, cioè di una equazione riconducibile alla forma P(x)=0 dove P(X) è un polinomio di grado n con coefficienti interi primi fra di loro . Ad esempio 3 è un numero algebrico in quanto è soluzione dell’equazione algebrica x^2-3=0, -2/7 è un numero algebrico in quanto è soluzione dell’equazione algebrica 7x+2=0. Un numero algebrico può essere razionale, irrazionale o complesso. I numeri non algebrici si dicono trascendenti. Numeri trascendenti particolarmente importanti sono il numero e e il numero π (pi greco). I numeri trascendenti devono il loro nome al grande matematico Eulero che, riferendosi ad essi, ebbe a dire: “Questi numeri trascendono il potere dei metodi algebrici”. Non riportiamo la dimostrazione della trascendenza di e: ci è voluto qualche secolo per dimostrarla…

Le Caratteristiche

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La forma in cui piu’ frequentemente compare e in ambiti non strettamente matematici è quella del naturali log𝑒 𝑥 = log𝑛 𝑥 ovvero è stato

scelto come base dei logaritmi naturali

Il Logaritmo naturale

Il logaritmo naturale può essere definito come la funzione inversa dell’esponenziale, intendendo che ln 𝑥 è il numero per cui 𝑒ln 𝑥 = 𝑥. Dal momento che il dominio della funzione esponenziale include tutti i numeri reali positivi (𝐷 = 𝑅+) e poiché la funzione esponenziale è strettamente crescente, questa è definita per tutte le 𝑥 reali positive. In alternativa è possibile definire il logaritmo come segue: il logaritmo naturale di 𝑎 è

l'area sottesa dal grafico di 𝑦 =1

𝑥 da 1 ad 𝑎 (vedi pagina seguente). In altre parole, è il risultato

dell'integrale* ln 𝑎 = ∫1

𝑥𝑑𝑥

𝑎

1, ∀𝑎 > 0. Questo definisce il logaritmo perché soddisfa la proprietà

fondamentale dei logaritmi: ln 𝑎𝑏 = ln 𝑎 + ln 𝑏.

Strettamente legato a questo è la particolare proprietà dell’esponenziale 𝑦 = 𝑒𝑥, poiché la sua derivata* 𝑦′ è la stessa 𝑒𝑥: questo è il motivo per cui e è stato scelto come base dei logaritmi naturali.

*Capiremo questi passaggi quando faremo integrali e derivate

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Infine aggiungiamo che durante il primo seminario sulle radici ennesime dell’unità abbiamo visto che i numeri complessi possono essere rappresentati su un piano, il piano di Gauss, in cui il sistema di

riferimento è composto da un asse orizzontale, reale, e da uno verticale, che rappresenta la componente immaginaria (𝑖𝑏) del numero complesso 𝑧 = 𝑎 + 𝑖𝑏

Ma z può anche essere espresso in forma goniometrica, cioè 𝑧 = 𝜌(cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃)

Per i motivi appena detti il numero 𝑒 può essere definito come l'unico numero 𝑎 ∈ 𝑅 a tale che ln 𝑎 = 1.

Questo vuol dire che nte è che se prendiamo un’iperbole equilatera 𝑥𝑦 = 1 e vogliamo trovare due punti sull’asse delle ascisse (𝑥1 = 1 e 𝑥2) tali che l’area A sottesa al grafico dell’iperbole delimitata da 𝑦1=𝑥1 e 𝑦2= 𝑥2 sia uguale a 1, 𝑥2 è uguale a e. 1

𝑥1 = 1 𝑥2 = 𝑒

A= 1

L’i

dent

ità

di E

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Lui è il matematico Benjamin Peirce davanti alla lavagna sulla quale nel 1864, durante una conferenza, scrisse l’equazione di Eulero, 𝑒𝑖𝜃 =(cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃)

Nell’occasione, Peirce disse:

“Signori, non abbiamo la minima idea di che cosa significhi questa equazione, ma siamo sicuri che è qualcosa di molto importante.”

Maria Cantale

Da questa si ricava l’equazione 𝑒𝑖𝜋 + 1 = 0, nota come “identità di Eulero”, particolarmente apprezzata dai matematici perché è un’identità che mette in relazione

- 1 e 0, elementi neutri rispettivamente del prodotto e della somma,

- 𝑒, la base dei logaritmi naturali, - 𝑖, l'unità immaginaria, - 𝜋, il rapporto fra la lunghezza di una

circonferenza e il suo diametro.

Si può dimostrare che il prodotto e quindi la potenza di numeri complessi si possono esprimere con la formula di De Moivre:

𝑧𝑛 = 𝜌𝑛(cos 𝑛𝜃 + 𝑖 sin 𝑛𝜃)

Da cui, possedendo strumenti di matematica un po’ più avanzata, si può arrivare a scrivere il numero 𝑧 = 𝜌𝑒𝑖𝜃. Se poi si prende sulla circonferenza goniometrica 𝜃 = 𝜋, si ha:

𝑧 = 𝜌𝑒𝑖𝜃 = 𝜌(cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃)

=> 1𝑒𝑖𝜋 = 1(cos 𝜋 + 𝑖 sin 𝜋)

=> 𝑒𝑖𝜋 = −1

𝑒𝑖𝜋

+1

=0