Semana 5Funcin exponencial (parte 2)

197

Semana 6 ngulos: Grados y radianes

Estimado participante, desde este semestre hasta el 9no tra-bajars una temtica importante dentro de la geometra: la trigo-nometra (medida de los trin-gulos). En este semestre iremos abonando los elementos que van a permitirte la comprensin de sta.

Recordars que en semestres anteriores se recalc que la unidad para medir ngulos es el grado; por cierto con qu instrumento se miden los ngulos? Pero en trigonometra vas a nece-sitarotraunidadparamedirngulos:elradin.Especficamenteenestasemananos dedicaremos a establecer la relacin entre grados y radianes, para realizar conversiones entre ambos.

1. Completa la tabla 5, apoyndote en tus conocimientos sobre ngulos. Consideremos en cada caso, ngulos centrados en el punto O y cuyos lados son M y P; lo expresamos as, el ngulo MOP, MOP.

Tabla 5

Clasificacin Nombre Descripcin Grfico Representacin simblica

Segnsuabertura

Suaberturamide ms de 90perome-nosde180

90

ngulos: Grados y radianes Semana 6

198

2. Observaelgrficoy responde: qungulo forman lasmanecillasdecada reloj?

Figura 11

Establecer la equivalencia entre los ngulos en radianes (color azul) y los ngulos medidos en grados. Completa los ngulos en que faltan (rojos).

Figura 12

Observalafigura12yresponde:Acuntoequivale radianes en grados?, cuntosradianesson90?

En trminos simples, llamamos ngulo a la parte del plano delimitada por dos semirrectas que parten de un origen comn.

Los elementos de un ngulo son dos lados y un vrtice.

Figura 13

Hasta ahora hemos medido los ngulos utilizando slo los grados sexagesi-males();otramedidadegranutilidadparaexpresarnguloseselradin,delcual hablaremos a continuacin.

45y

0, 360

180

225

150

/2/3

/4/6

11/6

7/45/33/24/3

5/4

7/6

5/6

3/42/3

0, 2x

Vamos al grano

Vrtice

a

Lado

Lado

El reto es...

Semana 6ngulos: Grados y radianes

199

Un radian es la medida de un ngulo con el vrtice en el centro de un crcu-lo y cuyos lados interceptan un arco de circunferencia de longitud igual al radio. De tal manera que si S es la longitud del arco, y reselradio,esposibledefinir:S / r =

Figura 14

Conversin de ngulos en grados a radianes y viceversa

Cul es la medida, en radianes de un ngulo de rotacin completa (360)? La longitud del arco L subtendido por un ngulo de rotacin completa es la

longitud de la circunferencia (su permetro), como sabemos, ,

el radio r equivale a un radian, por tanto la longitud de la circunferencia= 2 radianes y se entiende que forma un ngulo de 360.

360 = 2 radianes 180 = radianes

Despejando 1 radian = , 1 radian equivale aproximadamente 57,3

Conviene recordar la relacin 180 = radianes porque puede obtenerse a partir de esta la medida de muchos ngulos especiales.

Veamos algunos ejemplos:

Sisedivide180entre2,tambinse divide entre 2

La cuarta parte de 180 es 45

Sisedivide180entre6,tambinse divide entre 6

La tercera parte de 180 es 60

Sisemultiplica180por3/2,tambin se multiplica por 3/2

Longitud = r

r

Radin

L = L = 2rd

180

180 90 = = rad 2 2

180 30 = = rad 6 6

180 45 = = rad 4 4

180 60 = = rad 3 3

3 3270 = 180 = rad 2 2

ngulos: Grados y radianes Semana 6

200

En general para convertir grados en radianes y viceversa puede usarse la relacin anterior:

a) Convertir 225 a radianes

180 = radianes

225 = x

b) Convertir 5/7 rad

180 = radianes

x = 4/9 rad

Los ejes del sistema de coordenadas dividen la circunferencia trigonomtri-ca en cuatro cuadrantes,comopuedesverenlafigura15.

Figura 15

ngulos en posicin estndar o normal

Un ngulo en un sistema de coordenadas rectangular est en la posicin normal o estndar si su vrtice est en el origen y su lado inicial a lo largo del eje positivo x(verfigura16ay16b).Sielladoterminaldeunngulocoincidecon un eje coordenado se dice que es un ngulo cuadrantal(verfigura16c).

Figura 16a y 16b. ngulos en posicin normal Figura 16c. ngulo cuadrantal

4/9 rad = 80 180 4/9 radx = = 80 rad

5 rad225 = 4 225 rad 5 radx = = 180 4

90

270 0, 360

PrimerCuadrante

CuartoCuadrante

SegundoCuadrante

TercerCuadrante

180

+

+-

-

Vrtice

Lado inicial

Lado terminal

Lado inicial

x

yLado terminal

Origen (0,0)

Semana 6ngulos: Grados y radianes

201

Elngulodelafigura16aestenelprimercuadranteyeldelafigura16best en el segundo cuadrante.

El ngulo es positivo si se desplaza en sen-tido contrario a las manecillas del reloj y negativo cuando gira favor de las agujas del reloj.

Positivo Negativo

Para saber ms

En la siguiente direccin web encontrars un video donde se resalta la manera de hallar los ngulos que forman las agujas y manecillas de un reloj: http://www.youtube.com/watch?v=z4wzbc4fAKkhttp://www.li-brosvivos.net/smtc/PagPorFormulario.asp?TemaClave=1173&est=0

1. Expresa en radianes cada uno de los siguientes ngulos:

a) 210 b) 160 c) 135 d) 200 e) 25

2. Expresa en grados cada uno de los ngulos siguientes:

a) b) c) d) e)

3. Cules son las condiciones para que el ngulo pertenezca al primero, segundo, tercer o cuarto cuadrante?

0

s

r

0

s

r

-

Aplica tus saberes

5

5 3

7 6 11 4

3 2

ngulos: Grados y radianes Semana 6

202

4. Indica si el ngulo pertenece al I, II, III o IV cuadrante o es un ngulo cua-drangular.Sugerencia:Enalgunos,puedeayudarundibujodelnguloen el sistema de coordenadas.

a)135b)-200c) d) e)187 f )60

Figura 17

En el grfico el ngulode 140 pertenece al II cuadrante y el ngulo -(-60)pertenecealcuadranteIV.

1. Entrega a tu facilitador los ejercicios de la seccin anterior.

2. Autoevalate

Indicador Regular Bueno Excelente

Convert los grados a radianes.

Convert radianes a grados.

Realic las consultas sugeridas.

Dibuj los ngulos.

-3 4

2 3

140

Q

P

M

E

- 3

Comprobemos y demostremos que

3