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Material de trabajo para los estudiantes

UNIDAD 7

GUÍAS DE TRABAJO

Matemáticas

Preparado por: Héctor Muñoz

Diseño Gráfico por: www.genesisgrafica.cl

2 a. Si en la figura 1 de la actividad anterior el ángulo α mide 35º, ¿cuánto deben medir los ángulos β y γ? Justifica tu respuesta.

b. De acuerdo con los datos que acabas de encontrar, ¿cuánto debe medir el ángulo δ?

c. ¿Qué ángulos resultaron iguales en este caso?

Guía de Trabajo N°1(TRABAJO GRUPAL)

ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE

Responde en tu cuaderno las siguientes preguntas.

1 Cuando 2 rectas se cortan, se forman 4 ángulos.

La figura 1 muestra un ejemplo. Las rectas L y M al cortarse han formado los ángulos a los que se les ha asignado las letras griegas α, β, γ y δ.

a. Algunos de estos ángulos tienen en común el vértice y uno de sus lados. Menciona un par de ángulos en la figura 1 que tengan en común el vértice y uno de sus lados.

b. Otros ángulos tienen en común solo el vértice. Menciona un par de ángulos en la figura 1 que solo tengan en común el vértice.

c. Lee la definición del recuadro. De acuerdo con esa definición, ¿cuántos pares de ángulos opuestos por el vértice se formaron en la figura 1?

α β

γ δ M

L

figura 1

En el caso de los ángulos formados por dos rectas que se cortan, llamamos ángulos opuestos por el vértice a cada uno de los pares de ángulos que tienen en común solo el vértice.

1

3 Generalicemos los resultados obtenidos en la actividad 2.

a. Observa la figura 2. Demuestra que si se suma uno cualquiera de los ángulos agudos más uno cualquiera de los ángulos obtusos siempre se obtiene 180º.

b. Observa las dos igualdades que muestra el recuadro. ¿Estás de acuerdo con ellas?

c. De acuerdo con las igualdades del recuadro, ¿qué se puede concluir acerca de los ángulos β y δ?

α β

γ δ

figura 2

β = 180º - α

δ = 180º - α

FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 1

Unidad 7MatemáticasTEOREMAS RELATIVOS A ÁNGULOS

sencial

6 En el cuadrilátero de la figura se han trazado sus dos diagonales.

a. ¿Qué ángulos deberían ser iguales entre sí de acuerdo con el teorema relativo a ángulos opuestos por el vértice?

b. Si se sabe que el ángulo α mide 125º, ¿se podría encontrar la medida de los ángulos β, γ y δ?

4 a. En la actividad 3 de la página anterior pudimos demostrar que los ángulos β y δ son iguales entre sí. Empleando un razonamiento similar, demuestra que los ángulos α y γ también son iguales entre sí.

b. Arturo afirma que lo que se ha demostrado en estas actividades es que si dos rectas se cortan, entonces los ángulos opuestos por el vértice son iguales entre sí. ¿Tiene razón? Explica tu respuesta.

c. ¿El teorema enunciado por Arturo es válido si las rectas que se cortan son perpendiculares entre sí? Explica tu respuesta.

α β

γ δ

figura 3

5 El recuadro muestra el teorema que hemos demostrado en las actividades anteriores.

Dibuja en tu cuaderno dos rectas que se cortan e identifica los ángulos que son iguales entre sí de acuerdo con este teorema.

TEOREMAÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICECuando dos rectas se cortan, los ángulos opuestos por el vértice son iguales entre sí.

α

βγ

δ

7 �La figura muestra 3 rectas que se cortan en el mismo punto.

a. ¿Qué angulos son iguales entre sí por ser opuestos por el vértice?

b. Menciona 3 ángulos de la figura cuya suma sea 180º. ¿Hay más de una posibilidad?

c. Encuentra la medida de cada uno de los ángulos que se han formado sabiendo que el ángulo 1 mide 36º y el ángulo 2 mide 28º.

12

345

6



sencial


RECTAS PARALELAS CORTADAS POR UNA TRANSVERSAL (I)


1 Estudiaremos ahora un nuevo teorema relativo a igualdad de ángulos. Esta vez se trata de los ángulos que se forman cuando dos rectas paralelas son cortadas por una tercera recta.

Se acostumbra llamar transversal a esta tercera recta. a. La figura 1 muestra esta situación. Las rectas L1 y L2 son paralelas. Y T es una recta que corta tanto a L1 como a L2. ¿Cuántos ángulos se han formado en total?

b. ¿Cuántos de estos ángulos son agudos? ¿Cuántos son obtusos?

L1figura 1

L2

T

2 En el cruce de la transversal con cada una de las paralelas se forman ángulos opuestos por el vértice que, de acuerdo con el teorema visto en la guía anterior, deben ser iguales entre sí.

a. ¿Qué igualdades de ángulos puedes establecer en la figura 2 basándote en el teorema relativo a ángulos opuestos por el vértice?

b. En la figura 2 también hay pares de ángulos que suman 180º. ¿Podrías mencionar algunos de estos pares de ángulos?

L1

figura 2

L2

T

1 2

4 3

5 6

8 7

3 Ahora conoceremos nuevas igualdades de ángulos que se dan cuando dos paralelas son cortadas por una transversal. Pero antes conviene introducir algunos nombres.

Llamaremos ángulos correspondientes a ángulos que están al mismo lado de la transversal y al mismo lado de las paralelas. Por ejemplo, en la figura 2 los ángulos 3 y 7 son correspondientes porque ambos están a la derecha de la transversal y sobre las paralelas.

a. ¿Cuál es el ángulo correspondiente al ángulo 4? Explica tu respuesta.

b. Haz una lista con los 4 pares de ángulos correspondientes que se formaron en la figura 2.



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4 Utilizaremos la figura 3 para demostrar algunas igualdades de ángulos.

Vamos a necesitar un poco de imaginación. Supongamos que la recta L2 en la figura 3 se mueve hacia arriba manteniéndose siempre paralela a sí misma.

Dado que se mantiene paralela a sí misma, los ángulos que forma con la recta T no se modifican. Llegará un momento en que L2 va a coincidir totalmente con L1 y entonces, el ángulo 4 coincidirá con el ángulo 8, el ángulo 1 coincidirá con el ángulo 5, el ángulo 2 coincidirá con el ángulo 6 y el ángulo 3 coincidirá con el ángulo 7.

a. Inés afirma que al trasladar la recta L2 hasta que coincide con la recta L1, cada uno de los ángulos que se forman alrededor de la recta L2 coincide con su ángulo correspondiente. ¿Tiene razón?

Para que los ángulos coincidan tienen que ser iguales. Por lo tanto, al trasladar la recta L2 hemos podido mostrar que los ángulos correspondientes son iguales entre sí.

b. Completa el recuadro de la derecha con las igualdades que hemos podido establecer.

L1

figura 3

L2

T

1 2

4 3

5 6

8 7

ángulo 4 = ángulo 8ángulo 1 =ángulo 2 =ángulo 3 =

5 El recuadro muestra el teorema que acabamos de demostrar.

Dibuja en tu cuaderno dos rectas paralelas. Dibuja una recta que corte a las dos paralelas. Identifica los ángulos que son iguales entre sí de acuerdo con este teorema.

TEOREMAÁNGULOS CORRESPONDIENTES ENTRE PARALELASSi dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces los ángulos correspondientes son iguales entre sí.

6 En el triángulo ABC de la figura se ha trazado la recta DE paralela al lado BC.

a. ¿Podemos aplicar aquí el teorema relativo a ángulos correspondientes entre paralelas? Explica tu respuesta.

b. ¿A qué conclusión se llega en relación con los ángulos δ y ε que se han formado?

AD

B

C

E

α β

γ

δ

ε

7 ¿Qué condiciones debe cumplir una figura geométrica para que podamos aplicar en ella el teorema relativo a ángulos correspondientes entre paralelas?



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RECTAS PARALELAS CORTADAS POR UNA TRANSVERSAL (II)


1 En la figura 1 vemos nuevamente la situación de dos paralelas cortadas por una transversal.

a. Ya sabíamos que cuando dos rectas se cortan, los ángulos opuestos por el vértice son iguales. De acuerdo con esto, ¿qué ángulos son iguales entre sí en la figura 1 ?

b. También sabemos que cuando dos paralelas son cortadas por una transversal, los ángulos correspondientes son iguales. De acuerdo con esto, ¿qué ángulos son iguales entre sí en la figura 1?

L1

figura 1

L2

T

2 Sin embargo no son estas todas las igualdades de ángulos que se pueden establecer en la figura 1. Para seguir adelante conviene introducir nuevos nombres.

Llamaremos ángulos alternos a ángulos que están en lados opuestos en relación a la transversal y en lados opuestos en relación a las paralelas.

Por ejemplo, los ángulos 3 y 5 son alternos porque uno está sobre la transversal y el otro por debajo de ella. Y además uno está a la izquierda de una paralela y el otro está a la derecha de la otra paralela.

a. En la figura hay 4 pares de ángulos alternos. ¿Cuáles son ellos?

b. Cuando los ángulos alternos están ubicados entre las paralelas, hablamos de ángulos alternos internos. Indica los dos pares de ángulos alternos internos que hay en la figura 4.

c. Cuando los ángulos alternos están ubicados por fuera de las paralelas, hablamos de ángulos alternos externos. Indica los dos pares de ángulos alternos externos que hay en la figura 4.

3 a. Observa nuevamente la figura 1. ¿Cuál es el ángulo correspondiente del ángulo 8?

b. ¿Cuál ángulo es alterno interno con relación al ángulo 4?

c. ¿Cuál ángulo es alterno externo con relación al ángulo 1?

1

2

4

3 5

6

8

7



sencial

4 La figura 2 es una reproducción de la figura 1 de la página anterior.

Inés razona de la siguiente forma:

ángulo 7 = ángulo 5ángulo 4 = ángulo 5

Por lo tanto:ángulo 7 = ángulo 4

a. ¿Tiene razón Inés al afirmar que el ángulo 7 es igual al ángulo 5? Justifica tu respuesta.

b. ¿Tiene razón Inés al afirmar que el ángulo 4 también es igual al ángulo 5? Justifica tu respuesta.

c. ¿Tiene razón Inés al sacar como conclusión que el ángulo 7 es igual al ángulo 4? Justifica tu respuesta.

L1

figura 1

L2

T

5 Armando ha estado observando el razonamiento de Inés. Y utilizando un razonamiento similar al de Inés, él demostró que el ángulo 8 es igual al ángulo 2.

a. ¿Cuál crees tú que fue el razonamiento de Armando?

b. ¿Es correcta su conclusión de que el ángulo 8 es igual al ángulo 2?

c. Viendo el razonamiento de Armando, Inés afirma que lo que se ha demostrado es que los ángulos alternos internos son iguales entre sí. ¿Tiene razón? Explica tu respuesta.

6 Analiza la situación y verifica si también se cumple que los ángulos alternos externos son iguales entre sí.

Comenta tus conclusiones con tus compañeros y compañeras.

1

2

4

3 5

6

8

7

7 El recuadro muestra el teorema que acabamos de demostrar.

Dibuja en tu cuaderno dos rectas paralelas. Dibuja una recta que corte a las dos paralelas. Identifica los ángulos que son iguales entre sí de acuerdo con este teorema.

TEOREMAÁNGULOS ALTERNOS ENTRE PARALELAS

Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces los ángulos alternos internos son iguales entre sí y los ángulos alternos externos son iguales entre sí.



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APLICACIONES DE LOS TEOREMAS RELATIVOS A IGUALDAD DE ÁNGULOS


1 �Los recuadros reproducen los teoremas que hemos demostrado en las guías anteriores. Con ayuda de estos teoremas podemos determinar al valor de determinados ángulos y también podremos demostrar nuevos teoremas.

a. La siguiente figura muestra dos pares de rectas paralelas que se cortan. En la figura se indica la medida de uno de los ángulos. Determina la medida de cada uno de los demás ángulos formados.

42º

b. ¿Cuántos grupos de ángulos iguales se formaron?

c. ¿Qué valor se obtiene si se suma un ángulo de un grupo con un ángulo del otro grupo?

ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICECuando dos rectas se cortan, los ángulos opuestos por el vértice son iguales entre sí.

ÁNGULOS ENTRE PARALELAS

Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces:

· los ángulos correspondientes son iguales entre sí,

· los ángulos alternos internos son iguales entre sí, y

· los ángulos alternos externos son iguales entre sí.

2 La figura muestra dos ángulos. Los lados de uno de ellos son paralelos a los lados del otro.

Encuentra un razonamiento que te permita afirmar que los dos ángulos deben ser necesariamente iguales.

(Ayuda. Prolonga los lados hasta que un lado de un ángulo corte a un lado del otro ángulo.)

3 �En el rectángulo ABCD de la figura se ha trazado la diagonal AC. Como muestra la figura, la diagonal forma un ángulo de 25º con el lado AB del rectángulo.

Determina la medida de los ángulos que la diagonal forma con cada uno de los demás lados del rectángulo.

25º

A B

D C



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4 El recuadro muestra la definición de paralelogramo y la figura muestra un ejemplo de paralelogramo.

a. De acuerdo con esta definición, ¿el cuadrado es un paralelogramo? ¿Y el rectángulo? ¿Y el trapecio? ¿Y el triángulo?

b. Demuestra que en todo paralelogramo los ángulos opuestos son iguales.

(Ayuda. Prolonga uno de los lados. Se formará un ángulo fuera del paralelogramo que puede ser útil en la demostración.)

c. Demuestra que en todo paralelogramo los ángulos adyacentes suman 180º.

(Ayuda. También aquí puede ser útil prolongar un lado.)

d. Utiliza esta última relación para demostrar que la suma de los 4 ángulos de un paralelogramo es 360º.

DEFINICIÓN DE PARALELOGRAMO

Un paralelogramo es una figura plana que cumple con las siguientes condiciones:

·es un cuadrilátero, y

·sus dos pares de lados opuestos son paralelos.

5 La figura muestra un trapecio. Los lados AB y CD son paralelos.

a. ¿Cuánto vale la suma ángulo α + ángulo δ?

b. ¿Y la suma ángulo β + ángulo γ?

c. ¿Se cumple también aquí que la suma de los 4 ángulos del trapecio es 360º?A

D

B

C

α β

γ δ

6 En la figura de la derecha, AD es paralelo a BC.

¿Hay ángulos que sean iguales en esta figura? En cada caso, identifica el teorema que te permite establecer esas igualdades.

A

B

C

D



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Guía de Trabajo N°5(TRABAJO INDIVIDUAL)

LA SUMA DE LOS ÁNGULOS INTERIORES DE UN TRIÁNGULO


1 Uno de los teoremas más conocidos en geometría es el que se refiere a la suma de los ángulos interiores de un triángulo.

Como se ha visto en años anteriores, todos los triángulos tienen una característica en común en relación con sus ángulos: la suma de los ángulos interiores es 180º.

Con los teoremas estudiados en las guías anteriores estamos en condiciones de demostrar este teorema en forma general.

Antes de analizar la demostración, conviene hacer una pequeña actividad práctica.

a. Recorta un triángulo de papel. Corta uno de sus ángulos y colócalo junto a otro ángulo del triángulo de modo que coincidan sus vértices, como muestra la figura 1.

b. Corta ahora el tercero de los ángulos y colócalo junto a los otros dos ángulos, cuidando nuevamente que sus vértices coincidan, como muestra la figura 2.

c. ¿Suman 180º los 3 ángulos reunidos? Explica tu respuesta.

d. Los lados libres de los ángulos que moviste forman una línea recta. ¿Esta recta es paralela a alguno de los lados del triángulo?

2 La actividad anterior sugiere una forma de demostrar nuestro teorema.

La figura 3 muestra un triángulo ABC. Se han designado sus ángulos con las letras griegas α, β y γ. Además se ha trazado la recta L que pasa por el vértice A y es paralela al lado BC del triángulo. Se formaron los ángulos δ y ε.

a. Propón un argumento que te permita asegurar que el ángulo δ es igual al ángulo β.

b. Propón un argumento que te permita asegurar que el ángulo ε es igual al ángulo γ.

c. Basándote en estas dos igualdades, propón un argumento que te permita asegurar que la suma de los 3 ángulos del triángulo es necesariamente 180º.

figura 1

figura 2



B

C

AL

γ

β

αδ

ε

figura 3

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3 En la figura 4 tenemos otro triángulo. Esta vez se ha trazado una recta que pasa por el vértice B y es paralela al lado AC.

a. Utilizando esta figura y siguiendo un razonamiento similar al seguido en la actividad anterior, demuestra nuevamente que la suma de los 3 ángulos del triángulo es necesariamente 180º.

b. ¿Será válido el argumento utilizado si el triángulo es un triánglo rectángulo? ¿Y si es un triángulo obtusángulo?

4 Si tienes acceso a un computador conectado a Internet, ingresa en el buscador las palabras “suma”, “ángulos”, “triángulo” y encontrarás numerosas animaciones que muestran cómo varían los ángulos en un triángulo cuando se varía la posición de sus vértices. Y podrás verificar experimentalmente que aunque los tres ángulos varían, su suma se mantienen siempre igual a 180º.

B

C

γ

βα ε

figura 3

L

Aδ



6 a. Propón un argumento que muestre que si un triángulo tiene un ángulo obtuso, entonces los otros dos ángulos deben ser necesariamente agudos.

b. Propón un argumento que muestre que si un triángulo tiene un ángulo recto, entonces los otros dos ángulos deben ser necesariamente agudos.

c. Propón un argumento que muestre que en todo triángulo rectángulo la suma de los dos ángulos agudos debe ser necesariamente 90º.

En el recuadro de la derecha se enuncia el teorema que hemos demostrado.

a. Ángela dibujó un triángulo que tiene un ángulo de 55º y un ángulo de 40º. ¿Puede saber ella cuánto mide el tercer ángulo sin hacer ninguna nueva medición?

b. ¿Sería posible dibujar un triángulo que tenga un ángulo de 25º, un ángulo de 50º y un ángulo de 70º? Explica tu respuesta.

c. De acuerdo con el teorema, ¿cuánto vale el tercer ángulo de un triángulo isósceles que tiene dos ángulos iguales de 75º?

d. Los tres ángulos de todo triángulo equilátero son iguales entre sí. De acuerdo con esto, ¿cuánto mide cada uno de ellos?

5TEOREMA

SUMA DE LOS ÁNGULOS INTERIORES DE UN TRIÁNGULO

En todo triángulo, la suma de sus 3 ángulos interiores es 180º.

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ÁNGULOS EXTERIORES EN TRIÁNGULOS


1 Hasta ahora nos hemos referido a los ángulos interiores de triángulos. También existen interesantes propiedades relacionadas con los ángulos exteriores.

Si en un triángulo prolongamos uno de sus lados, se forma un ángulo que queda fuera del triángulo, como muestra la figura 1. A este ángulo lo llamaremos un ángulo exterior del triángulo.

a. ¿Cuántos ángulos exteriores se pueden formar en cada vértice del triángulo?

b. Nicolás afirma que los ángulos exteriores que se pueden formar en un vértice del triángulo son iguales entre sí. ¿Tiene razón? ¿Qué argumento podrías dar para respaldar tu respuesta?

figura 1

2 a. ¿Qué relación ves tú entre el ángulo exterior δ y el ángulo interior γ adyacente a él?

b. ¿Existe una relación similar entre el ángulo α y el ángulo exterior adyacente a α? ¿Y entre el ángulo β y el ángulo exterior adyacente a β?

3 a. ¿Podrías encontrar argumentos que permitan demostrar que el ángulo exterior δ es igual a la suma de los ángulos interiores que no son adyacente a él, es decir, demostrar que δ = α + β?

(Ayuda 1. Puedes basarte en el teorema relativo a la suma de los ángulos interiores de un triángulo.

Otra posibilidad es trazar por C una paralela al lado AB. Esta paralela divide al ángulo ε en dos partes que están muy relacionadas con los ángulos α y β.)

b. ¿Sucede algo similar con el ángulo exterior que se forma en el vértice A? ¿Y con el ángulo exterior que se forma en el vértice B?

c. El recuadro resume los teoremas que has demostrado relativos a los ángulos exteriores de un triángulo. ¿Estás de acuerdo con estos enunciados?



ánguloexterior

C

BA

�TEOREMAS RELATIVOS A ÁNGULOS EXTERIORES EN TRIÁNGULOS

En todo tr iángulo:· cada ángulo exterior y el ángulo interior adyacente suman 180º.· cada ángulo exterior es igual a la suma de los ángulos interiores no adyacentes a él.

α β

γδ

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5 Si en la actividad anterior no has cometido errores, entonces habrás encontrado un valor muy especial para la suma de los ángulos exteriores del triángulo. Veremos si en otros triángulos se obtiene el mismo valor.

Analicemos el caso del triángulo de la figura 3. Se han prolongado sus lados de modo de formar un ángulo exterior en cada vértice del triángulo.

El ángulo exterior adyacente al ángulo α se ha designado con la letra α’, el ángulo exterior adyacente al ángulo β se ha designado con la letra β’ y el ángulo exterior adyacente al ángulo γ se ha designado con la letra γ’.

En el recuadro se ha empezado a aplicar a cada ángulo exterior uno de los teoremas recién vistos acerca de los ángulos exteriores de un triángulo.

a. Completa las igualdades del recuadro.

b. Completa asimismo la suma de estas igualdades anotando la suma de sus lados derechos.

c. Utiliza este último resultado para mostrar que la suma de los ángulos exteriores del triángulo debe ser necesariamente 360º.

AB

β’

C

γ

β

γ’

α

α’

figura 3

�α’ = β + γ

β’ =

γ’ =

α’ + β’ + γ’ =

6 Podemos llegar a la misma conclusión mediante otro argumento.

Supongamos que en el triángulo de la figura 3 hay una hormiga en el punto medio del lado AB mirando hacia B. La hormiga camina hasta B y allí gira hacia su izquierda en un ángulo igual a β’, de modo que queda mirando hacia C.

Ahora camina hasta C y allí gira hacia su izquierda en un ángulo igual a γ’, de modo que queda mirando hacia A. Luego camina hasta A y allí gira hacia su izquierda en un ángulo igual a α’, de modo que queda mirando hacia B.

a. ¿Qué ángulo describió en total la hormiga en su trayecto?

b. ¿Qué relación ves tú entre esta pequeña historia y la suma de los ángulos exteriores de un triángulo?

4 Claudia ha dibujado un triángulo cuyos ángulos miden 40º, 110º y 30º, como muestra la figura 2.

a. Determina cuánto mide cada uno de los ángulos exteriores de este triángulo.

b. Suma los ángulos exteriores, considerando un ángulo exterior por cada vértice. ¿Te parece especial el resultado obtenido?

A

C

B40º 110º

30º



figura 2

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Basándonos en el teorema relativo a la suma de los ángulos interiores de un triángulo es relativamente fácil determinar la suma de los ángulos interiores de cualquier polígono.

Para comenzar, revisemos algunos ejemplos que ya conocemos.

a. ¿Cuánto vale la suma de los 4 ángulos de un cuadrado? ¿Y de los 4 ángulos de un rectángulo?

b. En la Guía de Trabajo nº 4 demostramos que los ángulos adyacentes en todo paralelogramo suman 180º. De acuerdo con esto, ¿cuánto debe ser la suma α + β en la figura 1? ¿Y la suma δ + γ?

c. Por lo tanto, ¿cuánto vale la suma α + β + γ + δ.en el paralelogramo de la figura 1?

1

2 �En la actividad anterior hemos verificado que en los cuadrados, en los rectángulos y en todo paralelogramo la suma de los ángulos interiores es 360º. Veamos si esto es válido para cualquier tipo de cuadrilátero?

a. En el cuadrilátero de la figura 2 se ha trazado la diagonal AC. ¿Cuántos triángulos se han formado?

b. Isabel afirma que si se suman los ángulos interiores del triángulo ABC más los ángulos interiores del triángulo ACD se obtiene la suma de los ángulos interiores del cuadrilátero ABCD. ¿Tiene razón? Comenta tu respuesta con tus compañeros y compañeras.

c. ¿Cuánto vale la suma de los 3 ángulos del triángulo ABC? ¿Y la suma de los 3 ángulos del triángulo ACD?

d. De acuerdo con esto, ¿cuánto vale la suma de los 4 ángulos del cuadrilátero ABCD?




ÁNGULOS INTERIORES EN POLÍGONOS


A B

Cγ

βα figura 1

Dδ

A

B

CD

figura 2

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4 a. La figura 4 muestra un pentágono. ¿Cuántas diagonales se pueden trazar desde un vértice cualquiera del pentágono?

b. Si se trazan todas las diagonales que parten desde un mismo vértice, ¿cuántos triángulos se forman?

c. De acuerdo con esto, ¿cuánto debe medir la suma de los 5 ángulos interiores del pentágono? figura 2

δ



a. La figura 3 muestra otro tipo de cuadrilátero. ¿Crees que en este cuadrilátero se cumplirá también que la suma de sus 4 ángulos interiores es 360º? (Ayuda. Traza la diagonal BD)

b. ¿Podrías ahora enunciar un teorema general para la suma de los ángulos interiores de todo cuadrilátero?

c. Utiliza este teorema para mostrar que si un cuadrilátero tiene 3 ángulos rectos, entonces el cuarto ángulo debe ser también necesariamente recto.

3

A

BC

D

figura 3

AB

CD

E

5 �En la figura se ha reproducido el pentágono de la figura 4. Esta vez, en lugar de trazar las 2 diagonales que parten de un vértice, solo se ha trazado una de ellas.

a. ¿Qué figuras se han formado?

b. ¿Cuánto debe valer la suma de los ángulos interiores del cuadrilátero ABCE? ¿Y la suma de los ángulos interiores del triángulo ECD?

c. De acuerdo con esto, ¿cuánto debe medir la suma de los 5 ángulos interiores del pentágono ABCDE?

d. ¿Se obtiene así el mismo resultado que en la actividad 4?

figura 4A

B

CD

E

6 Dibuja un hexágono y determina la suma de sus ángulos interiores.

7 Y terminaremos esta guía con un desafío a tu talento matemático. ¿Podrías encontrar argumentos que muestren que la suma de los ángulos interiores de un polígono de n lados es (n – 2) · 180º?

sencial

Entre los distintos tipos de polígonos conviene destacar los llamados polígonos regulares.

Llamamos polígonos regulares a aquellos polígonos que tienen todos sus lados iguales y también todos sus ángulos iguales.

a. ¿El cuadrado es un polígono regular? ¿Y el rectángulo?

b. El rombo es un cuadrilátero que tiene sus 4 lados iguales. De acuerdo con esto, ¿es el rombo un polígono regular?

c. ¿Hay algún tipo de triángulo que sea un polígono regular?

1

La figura 1 muestra un pentágono.

Realiza las mediciones que sean necesarias para determinar si este pentágono es un polígono regular.

2

La figura 2 muestra un hexágono regular.

a. En una guía anterior vimos cómo calcular la suma de los ángulos interiores de cualquier polígono. Aplica ese procedimiento y determina cuánto es la suma de los ángulos interiores de este hexágono.

b. Utilizando ese valor, calcula ahora la medida de cada uno de los ángulos interiores del hexágono regular.

c. ¿Crees tú que el valor encontrado es válido para cualquier tipo de hexágono? Explica tu respuesta.

3

a. En la actividad anterior calculaste la medida de los ángulos interiores de un hexágono regular. A partir de ese valor, calcula ahora la medida de los ángulos exteriores del hexágono regular.

b. Calcula la suma de los 6 ángulos exteriores del hexágono regular.

c. Compara los ángulos interiores y exteriores del hexágono regular con los ángulos interiores y exteriores del triángulo regular, es decir, del triánglo equilátero.

4


POLÍGONOS REGULARES


figura 1



figura 2

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