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Matemáticas de 4º de ESO Opción B Apéndice: Lenguaje matemático

Unidad 1: Trigonometría básica

Ejercicio 1 Obtén los radianes correspondientes a los siguientes grados:

) 180º 180º180ºrada radπ

π= = ) 61305º 305º 5'32180º 36radb rad radπ π

= = =

) 45º 45º 0 '79180º 4radc rad radπ π

= = =

d ) 200º= 200º ! rad180º

=10!9rad =1'11 rad

Ejercicio 2 Obtén los grados correspondientes a los siguientes radianes:

) 180º 180ºa rad radrad

π ππ

= = ) 1 1 180º 90º 28'65º2 2

b rad radradπ π

= = ≅

) 1801 1 57 '3ºc rad radradπ°

= = c) !4rad = !

4rad 180º

! rad=180º4

= 45º

Ejercicio 3

Determina tú las razones trigonométricas del mismo triángulo, pero referidas al ángulo β :

sen cateto opuesto bhipotenusa c

β = = cos cateto contiguo ahipotenusa c

β = =

tg cateto opuesto bcateto contiguo a

β = =

¿Extraes alguna conclusión? Ambos ángulos son complementarios, ya que ambos suman 90º (se llaman suple-mentarios si suman 180º) y se cumple que:

sen cosβ α= , cos senβ α= , 1tgtg

βα

=

Matemáticas 4º ESO Opción B Apéndice: Lenguaje matemático

Ejercicio 4 Halla las tres razones trigonométricas principales del siguiente triángulo (ángulos α y β ):

3sen 0 '6 cos5

α β= = = ;

4cos 0 '8 sen5

α β= = =

3 4tg 0 '75; tg 1'334 3

α β= = = =

Ejercicio 5 Con ayuda de la calculadora obtén los ángulos pedidos:

) sen 0'5 arcsen0'5 30ºa α α= → = =

) 3 3cos arccos 30º2 2

b β β= → = =

) tg 1 arctg1 45ºc γ γ= → = =

) 2 2sen arcsen 45º2 2

d ω ω= → = =

Ejercicio 6

Calcula los ángulos del triángulo del ejercicio 4: ! = arc tg34= 36'87º ;

! = arc sen 45= 53'13º ; Importante elegir las fracciones generen decimales exactos

Ejercicio 7 Completa la tabla. Utiliza la teclas de memoria de la calculadora para obtener cálculos lo más exactos posibles.

α 19’95º 52º 74º αsen 0’34 0’79 0’96 αcos 0’94 0’62 0’28

αtg 0’36 1’28 3’49 αcosec 2’93 1’27 1’04

αsec 1’06 1’62 3’63

αcotg 2’76 0’78 0’29


Ejercicio 8 Simplifica las siguientes expresiones trigonométricas:

) 1sentg

a xx

⋅ = cossen cotg sen cossenxx x x xx

⋅ = ⋅ =

) 3 2sen sen cosb x x x+ ⋅ = ( )2 2sen sen cos sen 1 senx x x x x+ = ⋅ =

) seccosec tg

xcx x

=⋅

1cos 11 sen

sen cos

xx

x x

=⋅

)2cos

1 senxdx=

−

( )( )2 1 sen 1 sen1 sen 1 sen1 sen 1 sen

x xx xx x

+ −−= = +

− −

(Pista: intenta que el numerador se “parezca” al denominador)

Ejercicio 9 Simplifica al máximo esta expresión:

a) sen! + cos!( )2+ sen! ! cos!( )

2=

= sen2! + 2sen! !cos! + cos2!! "##### $##### + sen2! " 2sen! !cos! + cos2!! "##### $##### =

= sen2! + cos2!1

! "## $## + sen2! + cos2!1

! "## $## = 2

b)cos2! 1+ tg 2!( )

cotg!=cos2! 1+ tg 2!( )

1tg!

=cos2! 1+ tg 2!( )

sen!cos!

c) Comprueba que es correcta la siguiente igualdad: tg! + cotg! = sec! !cosec! ;

Actuamos en el primer miembro: sen!cos!

+1tg!

=sen!cos!

+1

sen!cos!

=sen!cos!

+cos!sen!

=

=sen2 ! + cos2!sen! !cos!

=1

sen! !cos!=

1sen!

!1

cos!= cosec! !sec!


Ejercicio 10

Procedimiento para obtener las razones fundamentales de 30º y 60° (sin calculadora):

Para el ángulo de 30º se tiene:

31 32 2sen30º cos60º ; cos30º sen 60º2 2

3 2 1 32tg 30º :2 2 33 2 3 3

2

l l

l ll

l l lll

= = = = = =

= = = = =


Ejercicio 11 Procedimiento para obtener las razones fundamentales de 45∫ (sin calculadora):

Ejercicio 12 Completa tú las casillas vacías:

ángulo 0º 30º 45º 60º 90º

coseno 4 12=

32

22

1 12 2=

0 02=

tangente 0 04=

1 333

= 2 12=

3 31= ∃


Ejercicio 13 Estudia los signos de la tangente:

¿Qué signos tendrán las otras tres razones trigonométricas? La secante, cosecante y cotangente se definen con operaciones inversas al coseno, seno y tangente, respectivamente, por lo que conservarán el miso signo que estas últimas.

Ejercicio 14 Calcula las restantes razones trigonométricas sabiendo que:

a) cos ! = 45, 270º!! ! 360º; Por la relación fundamental (I):

sen2! + 45!

"#$

%&

2

=1; sen2! + 1625

=1; sen2! =1! 1625; sen! = 9

25= ±35

Como el ángulo está en el IV cuadrante, el seno es negativo, por tanto: sen! = !35

Para hallar la tangente utilizamos la relación fundamental (II): tg ! =

!3545

=!34

b) tg ! = 34, 180º!! ! 270º ; En la relación fundamental (III) despejamos el co-

seno: cos2 ! =

11+ tg 2 !

; cos2 ! = 1

1+ 34

!

"#$

%&

2; cos2 ! = 1

1+ 916

; cos2 ! = 12516

;

cos2 ! = 1625; cos! = 16

25= ±45; Como el ángulo está en el III cuadrante, el co-

seno es negativo, por tanto: cos! = !45; Para hallar el seno utilizamos la relación

fundamental (II): 34=sen!!45

; sen! =3! "4( )4 !5

; sen! = !35


c) sen! = 35, 90º!! !180º Por la relación fundamental (I):

35

!

"#$

%&

2

+ cos2! =1; 925+ cos2! =1; cos2! =1! 9

25; cos! = 16

25= ±45

Como el ángulo está en el II cuadrante, el coseno es negativo, por tanto: cos! = !45


35!45

=!34

Ejercicio 15 Obtén, sin calculadora, el seno y el coseno de los ángulos: 120º , 210º 300ºy

El ángulo auxiliar α es de 60º. Las razones de trigonométricas de 120º son las mismas que las de α con los signos co-

rrespondientes. 3sen120º sen 60º2

= =

1cos120º cos60º2−

= − =

El ángulo auxiliar α es de 30º.

1sen 210º sen30º2−

= − =

3cos210º cos30º2

−= − =

El ángulo auxiliar α es de 60º:

3sen300º sen 60º2

−= − =

1cos300º cos60º2

= = .


Ejercicio 16 a) Expresa en radianes los siguientes ángulos dados en grados:

0 180 270 225 45

0º= 0º ! rad180º

=

= 0rad

180º=180º ! rad180º

=

= ! rad

270º= 270º ! rad180º

=

=3!2rad

225º= 225º ! rad180º

=

=5!4rad

45º= 45º ! rad180º

=

=!4rad

b) Expresa en grados los siguientes ángulos dados en radianes:

34π 5

3π 3

2π 9

10π 4

3π

3! rad4

=

=3! rad4

180º! rad

=

=135º

5! rad3

=

=5! rad3

180º! rad

=

= 300º

3! rad2

=

=3! rad2

180º! rad

=

= 270º

9! rad10

=

=9! rad10

180º! rad

=

=162º

4! rad3

=

=4! rad3

180º! rad

=

= 240º

Ejercicio 17 Obtén el valor de la hipotenusa y los dos ángulos agudos del siguiente triángulo:

Pitágoras: 20b = (terna pitagórica por 4)

tg A= 1216

=34! A= 33'87º

C! = 90º!A!! C! = 56'13º

Ejercicio 18 Dado el siguiente triángulo obtén (sin utilizar Pitágoras) los lados y ángulos que faltan.

Sea x el cateto que falta: 15 27º 7 '64x m tg m= ⋅ =

Sea h la hipotenusa: 15 16 '83cos 27º

mh m= =

Sea β el ángulo que falta: 90º 27º 63ºβ = − =

15 m

27º


Ejercicio 19 Los catetos de un triángulo rectángulo son 3 y 4 m. Halla la altura correspondiente a la hipotenusa:

Una primera dificultad está en averiguar qué dis-tancia es la que se pide. Se halla α considerando el triángulo exterior.

34

arc tgα = , y se calcula h considerando el ángulo

obtenido y el triángulo cuya hipotenusa es 4 m:

3; 4 2 '44 4hsen h sen arc tg mα ⎛ ⎞= = ⋅ =⎜ ⎟

⎝ ⎠

Ejercicio 20 Calcula la altura de una torre sabiendo que la sombra que proyecta es de 108 metros cuando el Sol está elevado un ángulo de 50º sobre el horizonte. (Solución: 128’71 m)

Como el ángulo es mayor de 45º, la altura de la torre es mayor que su sombra.

50º ; 108 50º 128'71108htg h m tg mm

= = ⋅ =

Ejercicio 21 Comprueba las siguientes identidades notables:

) 1 tg sen cossec

a αα α

α+

= + ; Operamos en la parte de la izquierda sustituyendo la

tangente y la secante; luego, se opera en el numerador y se simplifica:

1+ sen!cos!1

cos!

=

cos! + sen!cos!1

cos!

=

cos! + sen!cos!1

cos!

= cos! + sen! cqd( )

) 22

1 sen1 cotg

b αα=

+; De igual forma, operamos en la parte izquierda:


1

1+ cos2!

sen2!

=I( )

sen2! + cos2!sen2! + cos2!

sen2!

=I( )

sen2! + cos2!sen2! + cos2!

sen2!

=11

sen2!

= sen2! cqd( )

2 2 2 2) cotg cos cotg cosc α α α α− = ⋅ (Hay alguna errata en este ejercicio)

1 cos)cos 1send

senα αα α

−=

+; Optamos por multiplicar “en cruz” y comparar los resulta

dos: 1! sen!( ) 1+ sen!( ) = cos2!; 1! sen2! = cos2! que es una igualdad

demostrada ya que se trata de la relación fundamental (I).

Ejercicio 22 Calcula las restantes razones trigonométricas sabiendo que:

a) cos! = ! 35, 180º"! ! 270º Por la relación fundamental (I):

sen2! + !35

"

#$

%

&'

2

=1; sen2! + 925

=1; sen2! =1! 925; sen! = 16

25= ±45

Como el ángulo está en el III cuadrante, el seno es negativo, por tanto: sen! = !45


!45!35

=43

b) cotg! = !2, 90º"! !180º , obtenemos la razón inversa a la dada para tener

una fundamental (las relaciones fundamentales vistas utilizan las razones directas)

cotg! = !2; 1tg!

= !2; 1!2

= tg!; En la relación fundamental (III) despejamos

el coseno: cos2 ! =

11+ tg 2 !

=1

1+ !12

"

#$

%

&'

2=1

1+ 14

=14+14

=45; por tanto

cos! = 45= ±

2

5; Como el ángulo está en el II cuadrante, el coseno es negativo,


por tanto: cos! = !2

5; Para hallar el seno utilizamos la relación fundamental (II):

!12=sen!!25

; sen! =!1( ) ! "2( )2 ! 5

; sen! = 15=55

c) cosec! = !2, 180º"! ! 270º , obtenemos la razón inversa a la dada para te-ner una fundamental:

cosec! = !2; 1sen!

= !2; !12= sen!; Por la relación fundamental (I):

!12

"

#$

%

&'

2

+ cos2! =1; 14+ cos2! =1; cos2! =1! 1

4; cos! = 3

4= ±

32

Como el ángulo es del II cuadrante, el coseno es negativo, por tanto: cos! = !32

Para hallar la tangente: utilizamos la relación fundamental (II):

tg ! =

!12

! 32

=13=33

Ejercicio 23 Jaime está volando una cometa. Ha soltado 9 m de cuerda y ésta forma 60º con el suelo. ¿A qué altura vuela la cometa? Ejercicio muy sencillo: La altura a la que vuele la cometa, h, será menor de 9 m y mayor de 9/2 m

sen 60º ; 9 sen 60º ;9h h mm

= = ⋅ 9 3 7 '792

h m= ≅


Ejercicio 24 A una distancia de 72m de la torre el ángulo de elevación de la veleta de la torre es de 45 . Si el observador se encuentra a 1’80m sobre el suelo, calcula la altura de la torre.

Se trata de un simple triángulo rectángulo, donde sabemos un ángulo agudo, el cateto contiguo y me piden el cateto opuesto (se relacionan mediante la tangente). Para hallar la altura de la torre deberemos sumar al cateto opuesto la altura del obser-vador (1’80m):

tg 45º= x72m

; x = 72m ! tg 45º; x = 72m

Altura de la torre= 72m+1'80m = 73'80m Ejercicio 25 Calcula la longitud de la sombra de la Torre Eiffel (altura: 300 m) cuando la inclinación de los rayos solares es de 14 .

Si el ángulo tan solo es de 14º, sig-nifica que el Sol se encuentra muy bajo, y la sombra, por tanto, será muy grande (si el ángulo fuera de 45º, torre y sombra medirían lo mis-mismo; si el Sol estuviera en justo

encima, la longitud de la sombra sería 0 m) La longitud de la sombra (distancia en el suelo entre el observador y la torre), el ángulo y la altura de la torre están relacionadas por la tangente:

tg14º= 300msombra

; sombra = 300mtg14º

; sombra =1203'23m

Ejercicio 26 Desde un faro colocado a 40m sobre el nivel del mar se ve un barco bajo un ángulo de 55 . ¿A qué distancia del faro se halla el barco?

Suponemos que la distancia pedida es la que hay en-tre el pie del faro y el barco, y no la de arriba del faro al barco.

tg55º= distanciaal barco40m

;

distanciaal barco = 40m ! tg55º; distanciaal barco = 57'13m;


Ejercicio 27 La hipotenusa de un triángulo rectángulo miden 12m y un cateto mide 8m. Halla el otro cateto (utilizando la Trigonometría, no el Teorema de Pitágoras) y el área del triángulo

La hipotenusa, y el cateto que nos dan están relacionados por un coseno del ángulo los une y que desconocemos:

cos! º= 812m

=23; ! = arccos 2

3= 48'19º

(Ponemos al ángulo para que podáis comprobar soluciones, pe-ro, en realidad, el ángulo que usaremos es el almacenado en la calculadora, no 48’19º) Con el ángulo ya conocido, y una tangente, averiguaremos el cateto x:

tg! º= x8m; x = 8m ! tg! = 8'94m . Con esa altura aún en la calculadora, multipli-

caremos por la base (8m) y dividiremos entre 2 para conseguir el área del triángulo:

área = x !82

= 35'78m2

Ejercicio 28 Halla el área del pentágono regular de lado 10m.

El área de un polígono regular se calcula como Área =perímetro!apotema

2 :

(la apotema es la distancia de la mitad del lado al centro del polígono) pero quizá resulte más intuitivo calcular el área de un triángulo y multi-plicarla por el número de triángulos que tenga el polígono; en el caso del pentágono, multiplicaremos el área de un triangulo por cinco.

Podríamos considerar que en el centro del polígono hay un ángulo central de 360º (una

vuelta entera), pero como deben distribuirse entre 5 triángulos, ! =360º5

= 72º

Pero necesitamos un triángulo rectángulo, así que dividimos ese triángulo en dos par-tes iguales, y el ángulo también es la mitad. Debemos averiguar la apotema (cateto

contiguo) de un triángulo cuyo ángulo es 72º2= 36º y cuyo lado opuesto es 5 m (la

mitad del lado).

tg36º= 5ap; ap = 5

tg36º ; Área del triángulo (de ángulo alfa) = 10 !ap2

Áreadel pentágono = 10 !ap2

!5= 25!ap = 25! 5tg36º

=172'05m2


Ejercicio 29 Halla el área del hexágono regular de lado 10m.

Mirar el ejercicio anterior. El ángulo central es: 360º6

= 60º , pero nos

interesa la mitad de ese ángulo, ya que así conseguimos un triángulo rectángulo.

tg30º= 5ap; ap = 5

tg30º=513

= 5 3 ; Área del triángulo (de ángulo 60º) = 10 !ap2

Áreadel hexágono = 10 !ap2

!6 = 30 !5 3 = 259'87m2

Ejercicio 30 Los catetos de un triángulo rectángulo son iguales y miden 10m. Halla la altura sobre la hipotenusa.

Nos fijamos en uno de los triángulos pequeños, como el ángulo es recto, la mitad será 22’5º.

cos22'5º= h10; h =10 !cos22'5º= 9'24m

Ejercicio 31 Calcula los ángulos de un rombo cuyas diagonales miden 12m y 6m. Calcula también el área del rombo y lo que mide el lado.

Nos fijamos en uno de los 4 triángulos de la figura: Los catetos serán de 6 m y 3 m. La mitad del ángulo beta será:

tg !2=63= 2; !

2= arctg 2; ! = 2 !arctg 2; ! =126'87º

Procedemos igual para el ángulo alfa:

tg!2=36=12; !2= arctg 1

2; ! = 2 !arctg 1

2; ! = 53'13º


Para calcular el área del rombo calculamos el área de una de esos triángulo pequeños y la multiplicaremos por 4:

Áreatriángulo pequeño = 6m !3m2

= 9m2 ; Árearombo = 9m2 !4 = 36m2

El lado es una hipotenusa:cos!2=3l; l = 3

cos !2

= 6'71m

Ejercicio 32 La base de un triángulo isósceles mide 20m y el ángulo opuesto 80 . Calcula los lados y el área del triángulo.

Nos fijamos, de nuevo, en uno de los triángulos pequeños de la figura: ángulo 40º, cateto opuesto: 10 m, el lado x es la hipotenu-sa:

sen40º= 10x; x = 10

sen40º=15'56m

Para calcular el área necesitamos al altura del triángulo: (podría usarse un coseno, pero usaríamos un dato nuestro, mejor hacerlo con la tangente, que usa un dato del problema):

tg 40º= 10h; h = 10

tg 40º=11'92m (no piden h, utilizaré su fórmula)

Área=20m ! 10m

tg 40º2

=100tg 40º

m2 =119'17m2

Ejercicio 33 Halla la medida del ángulo que forman la diagonal de un cubo y la diagonal de una de las caras, si las dos parten de un mismo vértice. (Solución: ! ! 35'26º )

Aparentemente no hay datos numéricos. Hallamos x por el teorema de Pitágoras:

2 2 22 2x l l l l= + = = Y ahora hallamos la tangente de alfa:

1 2tg22 2

ll

α = = =

Finalmente se obtiene el ángulo como la inversa de la tangente: ! ! 35'26º


Ejercicio 34 Calcula la altura de un árbol sabiendo que desde un punto del terreno se observa su copa bajo un ángulo de 30º, y si nos acercamos 10 metros, la observamos bajo un án-gulo de 60º: Hay dos incógnitas, x y h, necesitamos un sistema con dos ecuaciones. Las hipote-nusas no son necesarias, así que nos va-lemos de las tangentes:

( )( )

tg30º 10 tg30º tg30º10 tg30º10tg60º 1tg60ºtg60º

hh xh xxh xh h x

x

⎫= ⎪ = ⋅ + ⋅ ⎫= + ⋅ ⎫⎪+⎬ ⎬ ⎬= ⋅= ⋅ ⎭ ⎭⎪=⎪⎭

Se resuelve el sistema por igualación: 10 tg30º tg30º tg60ºx x⋅ + ⋅ = ⋅ ; Es importante diferenciar que parte va asociada con la incógnita “y” y qué parte son simples números; se agrupan las incógnitas en un miembro (se elige la parte derecha para evitar cambios de signo) y se saca factor co-mún:

( )10 tg30º tg60º tg30º tg60º tg30ºx x x⋅ = ⋅ − ⋅ = − ; 10 tg30ºtg60º tg30º

x ⋅=

−

Como: 1 3tg30º

33= = ; y tg 60º 3= , resulta:

3 10 310 10 33 3 53 3 3 3 2 333 3

x m⋅

= = = =−

−; volvemos a la ecuación (1) para obtener h:

tg 60º 5 3h x m= ⋅ = ⋅ ; 5 3h m=


Ejercicio 35 Halla razonadamente a qué altura vuela el avión de la figura: (no supongas que en el avión hay un ángulo recto)

Similar al ejercicio 19; de nuevo hay dos ecuaciones y dos triángulos de los que extraer dos ecuaciones. Sea x el valor de un de los catetos; el otro cateto será 2000 - x: Por la figura ya podemos suponer que h es menor de 1000 m.

tg45º= hx

tg30º= h2000! x

"

#$$

%$$

h =

tg45º=1!x 1( )

h = 2000! x( ) & tg30º

"

#$$

%$$

x = 2000 & tg30º!x & tg30º

tg30º 2000 tg30º;x x+ ⋅ = ⋅ Sacando factor común: ( )1 tg30º 2000 tg30ºx + = ⋅ ;

( )( )

( )( )

3 2000 32000 2000 3 3 32000 tg30º 2000 33 31 tg30º 3 3 3 33 3 3 3 31

33

x−⋅

= = = = = =+ ⎛ ⎞ + + + −

+⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) ( )6000 3 16000 3 6000 1000 3 1

9 3 6x m

−−= = = −

−; Por (1), 732h m≅

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