Se ≤ σ a peça não romperá

Aula 03 – Aplicação Mec. Sólidos em Elementos de Máquinas

SEM 0241 – ELEMENTOS DE MÁQUINAS I

3.8 - Tensão equivalente e tensão admissível

Se σeq ≤ σadm a peça não romperá !

Peça

real

Modelo matemático

cálculos YZXZXY

ZYX

,,

,,

0

,, IIIIII

Critério de

resistência Tensão equivalente : σeq

Tensão ideal : σi

Tensão de confronto : σv

A3. 1



3.8.1 Peças submetidas a carregamentos em geral → Estado geral de tensões

Para se aplicar os resultados de um ensaio (tração, compressão, torção) a um

elemento que esteja submetido a um carregamento multiaxial é

necessário se considerar o mecanismo real de falha.

Critérios de Resistência

A3. 2



3.8.2 Falhas

3. 3

Um componente mecânico, associado em conjunto a outros componentes, tem seu comportamento não tão

bem delimitado e podem apresentar falha. São aplicados Critérios de Resistências que se utilizam de conceitos de

segurança para o dimensionamento de componentes.

Resistência de uma peça

mecânica (projeto) Resistência da peça fabricada

material;

tratamento térmico;

processamento.

quantidade do lote;

variações no processo;

acabamento superficial;

esforços na conformação;

combinações com outros

no conjunto. Utiliza-se de dados de corpos de

prova mesmas condições de

carregamento, fabricação,

acabamento.

Falha

quebra;

deformação permanente;

A falha depende da:

tipo de tensão (tração, compressão, cisalhamento);

tipo de carregamento (estático, dinâmico).

A3. 3



Ensaio de tração: se observarmos o círculo de Mohr para tração pura aplicada

lentamente nota se que há também a existência de tensão de cisalhamento,

cujo valor máximo é exatamente a metade da tensão normal.

F

F

1

x 2 3

13

QUAL TENSÃO CAUSOU A FALHA??

Em geral materiais dúcteis submetidos a carregamentos estáticos são limitados pelas

suas tensões de cisalhamento, enquanto que os materiais frágeis pela tensão

normal.

A3. 4



Material Dúctil

Material Frágil

A3. 5



1 2 3

xy

xy

QUAL TENSÃO CAUSOU A FALHA??

Ensaio de torção: se observarmos o círculo de Mohr torção pura aplicada

lentamente nota-se que há também a presença de tensão normal cujo valor

máximo é igual a tensão de cisalhamento.

Em geral materiais dúcteis submetidos a carregamentos estáticos são limitados pelas

suas tensões de cisalhamento, enquanto que os materiais frágeis pela tensão

normal.

A3. 6



a) Descrição alternativa das tensões para um eixo em

torção, b) amostra de pedra arenosa após ensaio de

torção

Fonte: POPOV EP. Introdução à mecânica dos sólidos. Trad. AMORELLI

MOC. Ed. Edgard Blücher, 1978.

c)Torção em materiais de baixa resistência ao

cisalhamento, quebra perpendicular ao eixo.

Acima: Ferro fundido cinzento,

Abaixo: liga de alumínio 2024-T351

Fonte: Dowling NE. Mechanical Behavior of Materials. 3ª ed Ed. Pearson

Prentice Hall.2007. p.156.

A3. 7



a) Estado simples de tensões

Tensão tangencial :

.2..2

cos..

.2cos1..2

cos. 2

senA

Fsen

A

F

A

F

A

F Equações

paramétricas

do círculo

F

Fsen Fcos

F

F

A

F

τ

3.8.3 Estado de tensões – Círculo de Mohr

Tensão normal :

Direção do plano

onde atuam σα e τα

2

I

τ Círculo de Mohr

A3. 8



b) Estado duplo de tensões

Equilíbrio

de

forças

yxxy

).2cos(.).2(.2

).2(.).2cos(.22

sen

sen

YX

XYYX

x

y

y

x

yx

yx

xy

xy

x

y

xy

xy

y

x

dA

dAsin dAcos

Direção do plano onde atua σx

Direção do plano onde atua σy

45 2

Ix

II

2

yx

xy

yx

max

2

2

2

yx

Círculo de Mohr

y

3. 9

A3. 9



Fonte: Budynas, R.G., Nisbett, J.K., Shigley´s Mechanical Engineering Design, McGraw-Hill, 2011



• Tensões

principais

•Tensão tangencial

máxima

•Ângulo dos

planos principais

•Tensões em

um ângulo qualquer

I,II

X Y X Y

2 2

22

maxX Y

2

22

tan( . ).

22

X Y

X Y, . cos( . )

.sen( . )

I II I II

I II

2 22

22



Fonte: Budynas, R.G., Nisbett, J.K., Shigley´s Mechanical Engineering Design, McGraw-Hill, 2011

Exemplo (Shigley):

x

y

80

50

50

𝜏

𝜎

50

𝜎𝑦 = 0

0

50

(80,50)

(0,-50)

40

50

64,03

104,03 -24,03

Convenção:

- Tensões de cisalhamento “girando” o elemento

no sentido horário: positivo (acima do eixo σ);

- anti-horário: negativo (abaixo do eixo σ);

𝜎𝑥 = 80



Exemplo: refazer para as condições abaixo:

x

y

80

50

50

𝜏

𝜎

20



c) Estado triplo de tensões

I

II

III

I

I

II

II

III

III

III

II

III

III I

IIIIII

3. 14

A3. 14



3.8.4 Círculos de Mohr para casos particulares de solicitações

• Pressão hidrostática biaxial

• Eixo solicitado à flexo-torção

2

2

max

2

2

III,2

; 22

bbb

I III

II

III

A3. 15



Cada critério: σeq diferente

3.8.5 CRITÉRIOS DE RESISTÊNCIA

A3. 16



a) Critério da tensão normal máxima (Rankine): Considera que um elemento

constituído de material frágil falha quando a tensão principal máxima no material

atinge a tensão normal máxima que o material pode suportar em um teste de tração

uniaxial.

A3. 17



b) Máxima tensão tangencial (Tresca): considera que em um material dúctil sob

qualquer estado de tensão (uniaxial, biaxial ou triaxial) a falha ocorre quando a

tensão cisalhante em qualquer plano atinge o valor de σy/2.

A3. 18



KV III

III0III

II I

Kd

Kd

KZ

KZ

I

KZ < |Kd|

II

Dou I ZV K

A3. 19



c) Máxima energia de distorção (von Mises)

Elipse inclinada à 45o com semi-eixos K

K

.

. /

2

2 3

2IIII

2

IIIII

2

III.2

1 V

2

IIIII

2

I . V

Estado triplo

de tensões

Estado duplo

de tensões

K

K

K

K

Tensão

normal

Tensão de

cisalhamento

I

II

15% (dif.)

73% (dif.)

15% (dif.)

Energia de

distorção

A energia total de deformação em uma peça carregada consiste em duas componentes: uma

devido ao carregamento hidrostático que muda seu volume; e outra devido a distorção que

muda sua forma.

A tensão de cisalhamento presente deve-se a parcela da energia de distorção.

A3. 20


SEM 0241 – ELEMENTOS DE MÁQUINAS I A3. 21



COMPARAÇÃO ENTRE CRITÉRIOS

A3. 23



3.8.5.1 Casos estáticos

a) Tensão equivalente

z

y

x

tensões principais

321 ,, 2

13

2

32

2

21.2

1 e

b) Tensão admissível segurança de coef.

ruptura

adm

3.8.5.2 Casos de solicitação dinâmica (fadiga)

a) Tensão equivalente

Critério leva em conta a fadiga do material

fadiga

fadiga

K

KtKfe

H

H

.lim

.lim

2

max

22

max

=

entalhede coef. = s

...

b) Tensão admissível fadigadeteoria adm

Critério + usado p/ aço energia de distorção (Von Mises)

3. 25

A3. 25



3.8.6. Aplicação dos critérios de resistência

• Eixo submetido à flexo-torção

• Círculo de Mohr

Critério de

Resistência

Tensão de

Confronto (σv)

Máx. tensão normal

Máx. tensão tangencial

Máx. energia de distorção

(Von Mises) 22

22

2

2

I

.3

.4

22

eq

eq

eq

2

2

max

2

2

III,

2

22

f

ff

dA

f

f

45 2

xy

yx

max

f

3. 26

A3. 26

Mt Mt

Mf

Mf

dA



3.9 Referências

• Dowling NE. Mechanical Behavior of Materials. 3ª ed Ed. Pearson Prentice Hall.2007.

• Niemann G. Elementos de Máquinas, vol. I, Editora Edgard Blucher, 1991.

• Popov EP. Introdução à mecânica dos sólidos. Trad. Amorelli, M.O.C. Ed. Edgard Blücher, 1978.

• ShigleyJE, Mitchell LD. Projeto de Engenharia Mecânica, 7th ed., Bookman, Porto Alegre 2005.

A3. 27

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