2011

PRINCIPAIS MODELOS

CONTÍNUOS

Notação: X

~ U(α , β).

Proprie

dades:

A dureza

de uma peça

de a

ço po

de se

r pensada co

mo se

ndo um

a

variá

vel a

leatória

uniform

e n

o in

terva

lo (5

0,70) u

nidades. Q

ual a

probabilid

ade de que uma peça tenha dureza entre

55 e 60?

≤

≤=

..

,0

,70

50

,20 1

)(

cc x

xf

Solução. X

represen

ta a dureza d

e uma peça

de a

ço, se

ndo qu

e X ~

U(50, 70) e

.25

,0

20 5

20 1

)60

55

(60

55

==

=<

<∫

dx

XP

Porta

nto,

Exemplo

Uma v.a

. contín

ua X te

m distribu

ição exp

onencia

l com parâm

etro

λ > 0

se su

a função de densid

ade é dada por

2. M

odelo exponencia

l

≥

=−

c.c.,

0

,0

,)

(x

ex

fx

λλ

Notação: X

~ Ex(λ).

A função de distrib

uiçã

o acumulada é

dada por

≥−

=−

c.c.,0

0,

1)

(x

ex

Fx

λ

Proprie

dades:

./

1)

(Var

e

/1

)(

E2

λλ

==

XX

x

f(x)

0

0 λ

x

F(x)

0

0 1

2. M

odelo exponencia

l

Observa

ção. Ta

mbém encontra

mos X

~ Ex(α

), em que

Proprie

dade. S

e X ~ Ex(λ), e

ntão P(X > a + b| X

> b) =

P(X > a).

É a única

distribu

ição contínua

com esta

prop

riedade (“ fa

lta de

memória

”).

≥

=−

c.c.,

0

,0

,1

)(

xe

xf

xα

αRelação: α

= 1 / λ.

α: esca

la e λ: ta

xa.

x

f(x)λ3 λ2 λ1

Exemplo gráfico

. Diferentes va

lores d

e λ.

O tem

po de vid

a de um tip

o de fusíve

l segue um

a distrib

uiçã

o

exponencia

l com vid

a m

édia de 10

0 ho

ras. Cada fu

sível te

m

um cu

sto de $10,0 e se

durar m

enos d

e 200 horas há u

m custo

adicio

nal de $8,0.

(a)Qual é a probabilid

ade de um fusíve

l durar m

ais d

e 150 horas?

(b)Determ

inar o

custo

esperado.

Solução. S

e X é o tem

po de vid

a de um

fusível, tem

os E

(X) =

100 horas,

λ = 1 / E

(X) =

0,01 e X ~ Ex(0

,01). O

u se

ja,

.223

,0

)1(

1)

150

(1

)150

()

(5,

1100

150

==

−−

=≤

−=

>−

−e

eX

PX

Pa

≥

−=

−

c.c.,0

,0

,1

)(

100

xe

xF

x

Exemplo

(b) O

custo

C é uma v.a

. discre

ta dada por

<

+

≥=

.200

se,

810

,200

se,

10

)(

X XX

C

O custo

esperado (custo m

édio) é E

(C) =

10 × P

(C = 10) +

18 × P

(C =

18). U

sando a va

riável X

calcu

lamos

,)

200

(1

)200

(1

)200

()

10

(2

−=

−=

<−

=≥

==

eF

XP

XP

CP

e

1)

200

()

200

()

18

(2

−−

==

≤=

=e

FX

PC

P

.9,

16

$)

1(18

10

)(

22

=−

×+

×=

−−

ee

CE

Exemplo

3. M

odelo de W

eibull

Uma variá

vel aleatória

contínu

a X tem distrib

uiçã

o de Weibull

com

parâmetro

s de esca

la α > 0 e form

a β >

0 se

sua fu

nção de

nsidade é

dada por

.0 ,

)(

1

≥

=

−

−

xe

xx

f

xβ

αβ

αα β

Notação: X

~ W

(α, β).

.0 ,

1)

()

(≥

−=

≤=

−

xe

xX

Px

F

xβ

α

Função distrib

uiçã

o acumulada:

Obs. S

e β =

1, X

~ Ex(α

) (slide 5).

Exemplos g

ráfico

s

01

23

45

67

0.0 0.5 1.0 1.5

α=1

x

f(x)

124

01

23

45

67

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

β=2

xf(x)

123

Aplica

ções

Modelo de

Taxa de fa

lhas: e

m ca

so de um

sistema com

posto

(em sé

rie ou

em paralelo) e

m que a falha é devid

a ao problema “m

ais g

rave”.

Confiabilid

ade de site

mas:

avaliar con

fiabilid

ade dos sistem

as mesm

o sem co

nhecer a

confiabilid

ade de ca

da co

mponente.

Função de co

nfiabilid

ade: R

(t) = exp( -[t/ α

] β).

4. M

odelo norm

al (o

u gaussia

no)

Uma variá

vel aleatória

contínua X

tem distrib

uiçã

o norm

al com

média µ

e variâ

ncia

σ2 se

sua função densid

ade é dada por

.,

2 1)

(

2

2 1

Rx

ex

f

x

∈=

−−

σµ

σπ

Notação: X

~ N(µ, σ

2).

Distrib

uiçõ

es n

orm

ais

com médias d

iferentes e

variâ

ncia

s iguais.

Distrib

uiçõ

es norm

ais com

médias ig

uais e variâ

ncias

diferentes.

Exemplos

µ1 < µ

2 µ1 = µ

2

σ1 < σ

2

µ1 < µ

2

σ1 < σ

2

Exemplos

Propriedades

(a) E

(X) =

µ, V

ar(X

) = σ

2. (b) m

ediana = moda = µ : a

distrib

uiçã

o é sim

étrica

em re

lação à m

édia.

(c) Como a área to

tal so

b cu

rva é igual a 1, à

esquerda e à direita de µ a área

é igual a 0,5.

(d)

.9973

,0

)3

3(

e

9546

,0

)2

2(

,6896

,0

)(

=+

≤≤

−

=+

≤≤

−

=+

≤≤

−

σµ

σµ

σµ

σµ

σµ

σµ

XP

XP

XP

.2 1

exp

2 1)

(

2

dt

tx

F

x

−

−=∫∞−

σµ

σπ

A função de distrib

uiçã

o acumulada de uma v.a

. X ~ N(µ, σ

2) é

Propriedades

Integral se

m so

lução analítica

. Cálcu

lo de probabilid

ades

com o auxílio

de ta

belas.

Norm

al padrão

ou red

uzida. S

e Z é uma

v.a. norm

al com média 0 e variância

1,

então Z é chamada de uma v.a

. norm

al

padrão

ou

reduzid

a

e

sua

função

densid

ade é

.,

2 1)

(2 2

Rz

ez

fz

∈=

−

π

A função de distrib

uiçã

o acumulada de uma v.a

. Z ~ N(0,1) é

.)

2 1exp(

2 1)

()

(2dt

tz

ZP

z

z

−=

≤=

Φ∫∞−

π

z

f(z)

-4-3

-2-1

01

23

4

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4

Uso da ta

bela norm

al

.59

,4

59

,4

,

)2 1

exp(

2 1)

()

(2

≤≤

−−

=≤

=Φ

∫∞−

zdt

tz

ZP

z

z

π

Tabela. A

reas so

b a cu

rva norm

al padrão ou re

duzid

a para z ≥ 0

.

Z ~ N(0,1): d

istribuiçã

o norm

al padrão.

Valores n

o co

rpo da tabela: P

(0 ≤ Z

≤ z), z com duas d

ecim

ais.

Para obter a

s probabilid

ades a

cumuladas:

Φ(z) =

P(Z ≤ z) =

0,5 + P(0 ≤ Z

≤ z) (valor d

a tabela);

Áreas n

a tabela.

Áreas d

e interesse

.

Uso da ta

bela norm

al

1a co

luna: parte

inteira

de z e

1a d

ecim

al.

A partir d

a 2

a coluna a 2

a decim

al de z:

na 2

a coluna a 2

a decim

al de z é

“0”;

na 3

a coluna a 2

a decim

al de z é

“1”; e

tc.

z0,00

0,010,02

0,030,04

0,050,06

0,070,08

0,090,0

...1,20,39435

...4,5

2a d

ecim

al

Parte

inteira

e 1

a decim

al

Exemplo. P

(Z ≤ -1

,25)? Na tabela encontra

mos P

(0 ≤ Z

≤ 1,25) n

a

interse

ção da lin

ha co

rrespondente a 1,2 co

m a co

luna 0,05:

Resposta

. P(Z ≤ -1

,25) =

0,5 - 0

,39435 = 0,10565.

Se Z ~ N(0,1), ca

lcule

(a) P

(Z < 1,80),

(b) P

(0,80 < Z < 1,40),

(c) P(Z > -0

,57) e

(d) o

valor d

e k ta

l que

P(Z < k) =

0,05.

Solução. D

a tabela norm

al padrão tem-se

0,1311,

0,28814

-0,41924

(0,80)

-(1,40)

1,40)

ZP(0,80

(b)

0,96407,

46407

,05,

0)

80

,1(

)80

,1(

)(

==

ΦΦ

=<

<

=+

=Φ

=<

ZP

a

71566,

,0

0,21566

5,0

)57

,0

0(5,

0)

57

,0

()

(=

+=

≤≤

+=

−>

ZP

ZP

c

.64

,1

64

,145

,0

)0(

05

,0

)(

)(

−=

⇒=

⇒=

<<

⇒=

<

k

zz

ZP

kZ

Pd

Observa

ção. P

ara todo k >

0,

).0(

P2

)(

P)(

e )

0(P

5,0

)(

P)

(

kZ

kZ

kii

kZ

kZ

i

≤≤

=≤

≤−

≤≤

−=

−≤

Exemplo

No Exce

l:

(a) D

IST.N

ORMP(1,8).

(b) D

IST.N

ORMP(1,4) –

DIST.N

ORMP(0,8).

(c) 1-DIST.N

ORMP(-0

,57).

(d) IN

V.NORMP(0,05).

Transfo

rmação lin

ear d

e uma va

riável norm

al

Tomando a = - µ

/ σ e b = 1 / σ

obtemos a

padroniza

ção

).1,

0(

N~

σµ

−=X

Z

Exemplo. S

e X ~ N(90,100), d

eterm

inar

(a)P(80 < X < 100),

(b)P(|X

- 90| <

30) e

(c)

o va

lor d

e a tal que P(90 - 2

a < X < 90 + 2a) =

0,99.

Se X ~ N(µ, σ

2), então

Y = a + bX ~ N(µ

Y , σY2), se

ndo que µ

Y = a + bµ

e σY2 =

b2 σ

2.

Distrib

uiçã

o norm

al p

adrão

ou re

duzid

a.

.68268

,0

134134

,0

2)

00

,10(

2

)00

,100

,1(

)10

90

100

10 90

80

()

100

80

()

(

=−

×=

≤≤

=

<<

−=

−<

−<

−=

<<

ZP

ZP

XP

XP

aσµ

0,99720.

0,49865

2

)00

,3

0(2

)00

,3

00

,3

(

)10 30

10 90

10 30

()

30

90

30

()

30

|90

(|)

(

=×

=

<<

=<

<−

=

<−

<−

=<

−<

−=

<−

ZP

ZP

XP

XP

XP

b

.05

,14

81

,25

4975

,0)5

0(99

,0)5

0(2

10

2

10 90

10

2)

290

2(

)2

90

290

()

(

=⇒

=⇒

=<

≤⇒

=≤

≤=

<−

<−

=<

−<

−=

+<

<−

aa

aZ

Pa

ZP

aX

aP

aX

aP

aX

aP

c

Exemplo

Propriedade

Se

nX

X,

,1 K sã

o v.a

. independentes ta

is que X

i ~ N( µ, σ

2), para i =

1,...,n, então, a v.a.

∑=

=+

+=

n

i

in

XX

XY

1

1L

é tal que Y

~ N(nµ

, nσ2).

).1,

0(~

)(

/

1N

Xn

n

X

n

nX

Z

ni

i

σµ

σµ

σ

µ−

=−

=−

= ∑=

Padroniza

ção:

Teorema ce

ntra

l do lim

ite

Se X

1 , X2 , ..., X

n é uma amostra

aleatória

de tamanho n de uma

distrib

uiçã

o co

m média µ e desvio

padrão σ (0

< σ < ∞), e

ntão a

distrib

uiçã

o aproxim

ada de

σµ)

(−

=X

nZ

sendo que

amostral.

média

a é

1

1

∑=

=ni

iX

nX

Observa

ções.

(1) Q

uanto maior n

, melhor a

aproxim

ação.

(2) A

distrib

uiçã

o das va

riáveis X

pode se

r discre

ta ou co

ntínua.

(3) A

distrib

uiçã

o aproxim

ada de

é norm

al padrão N(0,1),

).,

(N

é

1

2σ

µn

nn

ii

X∑=

Teorema ce

ntra

l do lim

ite – Distrib

uiçã

o exponencia

l

n =

1

Z

Densidade

-4-2

02

4

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8

n =

10

Z

Densidade

-4-2

02

4

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4

n =

50

Z

Densidade

-2-1

01

2

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4

n =

100

Z

Densidade

-20

2

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4

Teorema ce

ntra

l do lim

ite – Distrib

uiçã

o Bernoulli (p

= 0,45)

n =

1

Z

Densidade

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

0.0 1.0 2.0

n =

10

Z

Densidade

-3-2

-10

12

3

0.0 0.2 0.4

n =

50

Z

Densidade

-3-2

-10

12

3

0.0 0.2 0.4

n =

100

Z

Densidade

-3-2

-10

12

3

0.0 0.2 0.4