V@R Não-Linear

1

Value at Risk Não-linear

Análise de Risco (4)R.Vicente

2

Resumo

Portfolios LinearesPortfolios Não-lineares: Aproximação DeltaPortfolios Não-lineares: Aproximação Delta-quadráticaPortfolios Não-lineares: Caso MultivariadoBibliografia

3

Portfolios Lineares

1( ,..., )nx x=x

1( ,..., )t t tnv v=v

tΔ

1

n

i ii

V x v=

Δ = Δ∑

Seja uma carteira consistindo das quantidades

de ativos 1,...,n. Seja os valores de mercado de cada ativo em t. Passado um intervalo de tempo a mudança no valor total da carteira é:

Risco

( ){ }*P V V α αΔ ≤ Δ =

4

Portfolios Lineares

( ) ( ){ }( ) ( )221

1exp2( ,..., )

2 detnn

T

np v vπ

−− Δ −Δ Δ −ΔΔ Δ =

1v v C v v

C

( )22

2

1exp2

( )2

V

V

V Vp V

σ

πσ

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪− Δ −Δ⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭Δ =1

2

n

j jj

jV k jkjk

V x v

x x Cσ=

Δ = Δ

=

∑∑

( ) ( ) ( )*

*V

F V d V p V αΔ

−∞

Δ = Δ Δ =∫

5

Portfolios Não-Lineares:Aproximação Delta

( )1 11

( ,..., , ) ,..., ,n

j jK Kj

V f f t x v f f t=

=∑Aproximação Delta:

( ) ( )

1 1 1

( , ) ( , )

, ,

k

n K nj j

j jkj k j k

t t

v t v tV x t f x

t fδ

δ

= = =

Θ

∂ ∂Δ = Δ + Δ

∂ ∂∑ ∑ ∑f f

f f

6

Portfolios Não-Lineares: Aproximação Delta

( ) ( ){ }( ) ( ) 221

1exp2( ,..., )

2 detKK

T

Kp f fπ

−− Δ −Δ Δ −ΔΔ Δ =

1f f C f f

C

( )22

2

1exp2

( )2

V

V

V Vp V

δ

δ δ

δ σ

πσ

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪− Δ −Δ⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭Δ =1

2

K

j jj

jV k jkjk

V f

C

δ δ

σ δ δ=

Δ = Δ

=

∑∑

( ) ( ) ( )*

*V

F V d V p Vδ

δ δ δ αΔ

−∞

Δ = Δ Δ =∫

7

Portfolios Não-Lineares: Aproximação Linear-Quadrática.

Caso Univariado: Apenas um fator de risco (K=1)

( )1

( , ) ,n

j jj

V f t x v f t=

=∑

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

22

2

2

, , ,12

1, , ,2

i i ii

i i i

v f t v f t v f tv t f f

t f f

f t t f t f f t f

γ

θ δ γ

∂ ∂ ∂Δ = Δ + Δ + Δ

∂ ∂ ∂

= Δ + Δ + Δ

8



( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2

1 1 1

2

1, , ,2

1, , ,2

n n n

i i i i i ii i i

V t x f t f x f t f x f t

t f t f f t f f t

γ θ δ γ

δ γ

= = =

Δ = Δ +Δ + Δ

= Δ Θ +Δ + Δ

∑ ∑ ∑

( )22

2

1exp2

( )2f

f

f f

p fσ

πσ

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪− Δ −Δ⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭Δ =( )

2

2 1f

f fp χσ

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎟⎜ Δ −Δ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎟⎜⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟⎝ ⎠⎜⎝ ⎠

9



Qual é a distribuição da soma de uma normal com uma Qui-quadrado ?

2 22

22 2 2

12

,1/2f f f

V t f fw

γ δ δ δγ γ γχ

γσ σ σ

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎟⎜⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜ ⎟⎜Δ − Δ Θ− +Δ +Δ⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜ ⎟⎜⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎜⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎟⎜ ⎟= ≡ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎝ ⎠

∼

( )*( )P w w α α≤ =

10



( )*( )P w w α α≤ =

2* 2 *1 1( ) ( )

2 2 fV t wγ δα γσ αγ

⎛ ⎞⎟⎜Δ = Δ Θ− +⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

11


Caso Univariado: Venda de Call e Venda de Put

12

Portfolios Não-Lineares: Aproximação Linear-Quadrática.Caso Univariado:Venda de Put e Call

13


Caso Univariado: Venda de Put e Call

14

Portfolios Não-Lineares: Aproximação Linear-Quadrática.Caso Univariado: Venda de Put e Call (1 dia)

15


Caso Univariado: Venda de Put e Call (5 dias)

16


Caso Univariado: Venda de Put e Call (10 dias)

17

Portfolios Não-Lineares: Aproximação Linear-Quadrática.Caso Univariado: Venda de Put e Call, Compra de Call com strike maior

18


19


20

Portfolios Não-Lineares: Caso Multivariado

( ),n ff N μΔ Σ∼

212

V VVf f f

γ μ′∂ ∂′Δ ≡ + Δ + Δ Δ

′∂ ∂ ∂f f f

1

K

Vf

Vf

Vf

δ

∂⎛ ⎞⎜ ⎟∂⎜ ⎟∂⎜ ⎟= =

∂ ⎜ ⎟∂⎜ ⎟⎜ ⎟∂⎝ ⎠

2 2

1 1 12

2 2

1

K

K K K

V Vf f f f

Vf f

V Vf f f f

⎛ ⎞∂ ∂⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎜ ⎟∂ ⎜ ⎟Γ = =

′∂ ∂ ⎜ ⎟∂ ∂⎜ ⎟

⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

21

Portfolios Não-Lineares: Caso Multivariado. Variância do Portfolio

=0

Lema de Stein

212

V VVf f f

γ μ′∂ ∂′Δ ≡ + Δ + Δ Δ

′∂ ∂ ∂f f f

[ ] [ ]

1var var21 1var var covar ,4 2

V γ δ

δ δ

⎡ ⎤′ ′⎡ ⎤Δ = Δ + Δ ΓΔ⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤′ ′ ′ ′= Δ + Δ ΓΔ + Δ Δ ΓΔ⎢ ⎥⎣ ⎦

f f f

f f f f f f

22

Portfolios Não-Lineares: Caso Multivariado. Variância do Portfolio. Decomposição de Cholesky

1/ 2−Δ = Σ Δy f

1 1/ 2 1/ 2− − −Σ ≡ Σ Σ

( )0,n nNΔy 1∼

23

Portfolios Não-Lineares: Caso Multivariado. Variância do Portfolio. Decomposição de Cholesky

1/ 2−Δ = Σ Δy f

1/ 2 1/ 21 1 12 2 2

′ ′ ′Δ ΓΔ = Δ Σ ΓΣ Δ = Δ Δf f y y y A y

1/ 2 1/ 2 ′≡ Σ ΓΣ = ΛA C COnde C é uma matriz composta por colunas que são autovetores de A e é uma matriz diagonal com

os autovalores de AΛ

24


Combinação linear de variáveis distribuídas conforme Qui-quadrado.

2

1

1 12 2

1 1 12 2 2

n

j jj

xλ=

′ ′Δ ΓΔ = Δ Δ

′ ′ ′= Δ Λ Δ = Λ = ∑

f f y A y

y C C y x x

25


26


27

Portfolios Não-Lineares: Caso Multivariado. Exemplo: venda de call e compra de put em dois ativos

28


29


30

Bibliografia

• Alexander, C. Market Models 2001

• Britten-Jones, M. e Shaefer S.M., Non-linear Value-at-Risk, European Finance Review 2: 161-187, 1999.

V@R Não-Linear

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