Vetores III. Produto Escalar Dados dois vetores u e v não nulos, e escolhido um ponto O qualquer,...

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  • Vetores III
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  • Produto Escalar Dados dois vetores u e v no nulos, e escolhido um ponto O qualquer, temos: A=O+u e B=O+v Chamamos ngulo de u e v a medida do ngulo AB determinado pelas semi-retas OA e OB
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  • Indicamos AB=(u,v), onde 0
  • Interpretao Geomtrica O ngulo =(u, v) agudo Temos t > 0, e da | v 1 | =| t | | u |= t
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  • Interpretao Geomtrica Por outro lado, o tringulo ABC retngulo em A t=|v 1 |=|v| cos =| v | | u | cos = v. u
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  • O ngulo =(u, v) obtuso temos t < 0, e da | v 1 |= | t | | u |=- t Alm disso, o ngulo (u, v) = -
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  • Considere o tringulo retngulo EFG t =-|v 1 |=-|v|cos=-|v||u|cos=|v||u|cos(-) = v. u
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  • Medida Algbrica Se 0| u |, temos proj u v = proj u v=(v.u)u Chamamos v.u, a medida algbrica da projeo de v na direo de u e indicamos med alg proj u v
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  • Exemplo Dados u0, |v|=6 e (u,v) = 60, temos: med alg proj u v=v.u= | v || u| cos 60= 6x1x1/2=3 Da, proj u v=3u
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  • Exemplo Dados a 0, | b| = 8 e ( a, b) =120 med alg proj a b = b. a = | b | | a | cos120 = 8x 1x -1/2 =-4 Da, proj a b = -4a
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  • Propriedades 1) v. u = u. v 2) u. v = 0 u ortogonal a v 3) u. u = |u| 2 4) t (v. u) = (t v ). u = v.(t u)
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  • Propriedades 5) u.( v +w ) = u.v + u.w Nas propriedades, u, v e w so vetores quaisquer e t um nmero real As quatro primeiras propriedades decorrem diretamente da definio do produto escalar
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  • Propriedade 5 (prova) Se um dos vetores for nulo, a verificao imediata. Considere, na figura, os vetores u, v e w no nulos e os pontos O, A, B e C
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  • A = O + v, B = A + w e C = O + u observe que: med alg proj u (v +w) = med alg proj u v + med alg proj u w ( v+ w ). u = v. u + w. u ( v+ w ).(| u |u ) = v.(| u |u ) + w.(| u |u) Ento, ( v +w ). u = v. u + w. u Pela propriedade 1, temos: u. ( v + w ) = u. v + u. w
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  • Expresso Cartesiana Dada uma base ortonormal { i, j, k} e os vetores u =(x 1, y 1, z 1 ) e v= (x 2, y 2, z 2 ) u. v = (x 1 i+ y 1 j+ z 1 k). ( x 2 i+ y 2 j+ z 2 k) =(x 1 x 2 )i.i+(x 1 y 2 )i.j+(x 1 z 2 )i.k+(y 1 x 2 )j.i+ (y 1 y 2 )j.j +(y 1 z 2 )j.k+(z 1 x 2 )k.i+(z 1 y 2 )k.j+(z 1 z 2 )k.k
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  • Como { i, j, k} uma base ortonormal, seus vetores satisfazem s relaes: i. j = j. k = k. i = 0 e i. i = j. j = k. k =1 u. v = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2
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  • | u | 2 = u. u = x 1 2 + y 1 2 + z 1 2 | u |= u v u. v = x 1 x 2 +y 1 y 2 +z 1 z 2 = 0
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  • Exemplo Dados os vetores u = (1,2,2) e v = (2,0,2), temos u. v = ? | u |= ? u = ?
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  • Exemplo Dados os vetores u = (1,2,2) e v = (2,0,2), temos u. v = 2 + 0 + 4 = 6 | u |= u = u/|u|= 1/3(1,2,2)
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  • cos(u, v) = ? sendo w = (0,2,-2), w u? med alg proj u v = ? proj u v = ?
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  • cos(u, v) = (u.v)/(| u || v |) = sendo w = (0,2,-2), u w pois u.w =0 med alg proj u v = v. u = 2 proj u v = (v. u)u = ((2,0,2).(1/3,2/3,2/3)) (1/3,2/3,2/3) = (2/3,4/3,4/3)