Vetores III. Produto Escalar Dados dois vetores u e v não nulos, e escolhido um ponto O qualquer,...

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Produto Escalar

Dados dois vetores u e v não nulos, e escolhido um ponto O qualquer, temos: A=O+u e B=O+v

Chamamos ângulo de u e v a medida do ângulo AÔB determinado pelas semi-retas OA e OB

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Indicamos AÔB=(u,v), onde 0<=(u,v)<=π

Observe que se (u,v) = 0, os vetores u e v têm mesmo sentido e se (u,v) = π , estes vetores têm sentidos contrários

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Produto Escalar

Sejam u e v vetores não nulos. O produto escalar de u por v, indicado

por u . v, é o número real u . v = | u | | v | cos(u,v)

Se um dos vetores for nulo temos u . v = 0

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Exemplo

Considere um quadrado ABCD de lado 2u:

1) AB . BC = | AB| | BC| cos 90º = 0 2) AB . AC = | AB| | AC| cos 45º = 4 3) AB . CD = | AB| | CD | cos180º = -4.

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Sejam u um vetor não nulo e v um vetor qualquer.

O vetor v se exprime de maneira única na forma v=v1+v2, onde v1 é paralelo a u e v2 é ortogonal a u

u v

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Chamamos o vetor v1, de projeção de v na direção de u e indicamos por projuv=v1

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Interpretação Geométrica

Se v é um vetor qualquer e u um vetor unitário, então v1=proju v = (v . u) u

Como v1 // u, temos v1=t u

Basta mostrar que v . u = t

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Interpretação Geométrica

O ângulo θ=(u, v) é agudo Temos t > 0, e daí | v1 | =| t | | u |= t

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Interpretação Geométrica

Por outro lado, o triângulo ABC é retângulo em A

t=|v1|=|v| cosθ =| v | | u | cos θ = v . u

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O ângulo θ’=(u, v) é obtuso temos t < 0, e daí | v1 |= | t | | u |=- t Além disso, o ângulo (u, v) = π-θ

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Considere o triângulo retângulo EFG

t =-|v1|=-|v|cosθ=-|v||u|cosθ=|v||u|cos(π-θ) = v . u

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Medida Algébrica

Se 0≠| u |, temos proju v = projuº v=(v.uº)uº

Chamamos v.uº, a medida algébrica da projeção de v na direção de u e indicamos med alg proju v

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Exemplo

Dados u≠0, |v|=6 e (u,v) = 60º, temos: med alg proju v=v.uº= | v || uº| cos 60º=

6x1x1/2=3

Daí, proju v=3uº

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Exemplo

Dados a ≠ 0 , | b| = 8 e ( a , b) =120º med alg proja b = b . aº = | b | | aº |

cos120º = 8x 1x -1/2 =-4

Daí, proja b = -4aº

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Propriedades

1) v . u = u . v 2) u . v = 0 u é ortogonal a v 3) u . u = |u|2

4) t (v . u) = (t v ). u = v .(t u)

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Propriedades

5) u .( v +w ) = u.v + u.w Nas propriedades, u, v e w são vetores

quaisquer e t é um número real As quatro primeiras propriedades

decorrem diretamente da definição do produto escalar

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Propriedade 5 (prova)

Se um dos vetores for nulo, a verificação é imediata.

Considere, na figura, os vetores u , v e w não nulos e os pontos O, A, B e C

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A = O + v , B = A + w e C = O + u observe que: med alg proju (v +w) = med

alg proju v + med alg proju w ( v+ w ). u° = v . u° + w . u° ( v+ w ).(| u |u° ) = v .(| u |u° ) + w.(| u |u°) Então, ( v +w ) . u = v . u + w . u Pela propriedade 1, temos: u . ( v + w ) = u .

v + u . w

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Expressão Cartesiana

Dada uma base ortonormal { i, j, k} e os vetores u =(x1, y1, z1) e v= (x2 , y2 , z2 )

u . v = (x1i+ y1j+ z1k) . ( x2 i+ y2 j+ z2k)

=(x1x2)i.i+(x1y2)i.j+(x1z2)i.k+(y1x2)j.i+ (y1y2)j.j +(y1z2)j.k+(z1x2)k.i+(z1y2)k.j+(z1z2)k.k

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Como { i , j, k} é uma base ortonormal, seus vetores satisfazem às relações:

i . j = j . k = k . i = 0 e i . i = j . j = k . k =1

u . v = x1x2 + y1y2 + z1z2

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| u |2 = u . u = x12 + y1

2 + z12

| u |=

u v u . v = x1x2 +y1y2 +z1z2= 0

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Exemplo

Dados os vetores u = (1,2,2) e v = (2,0,2), temos

u . v = ? | u |= ? uº = ?

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Exemplo

Dados os vetores u = (1,2,2) e v = (2,0,2), temos

u . v = 2 + 0 + 4 = 6 | u |= uº = u/|u|= 1/3(1,2,2)

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cos(u, v) = ? sendo w = (0,2,-2), w u? med alg proju v = ?

proju v = ?

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cos(u, v) = (u .v)/(| u || v |) = sendo w = (0,2,-2), u w pois u .w =0 med alg proju v = v . uº = 2

proju v = (v . uº)uº = ((2,0,2).(1/3,2/3,2/3)) (1/3,2/3,2/3) = (2/3,4/3,4/3)

2/2