dq ∫ ∫= = σ σ σ σ -...

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Una barra de plástico de longitud L=2.5 cm está uniformemente cargada con una carga total Q tot =5 nC. Calcule la densidad de carga lineal. DENSIDADES UNIFORMES: m nC m C m C L Q L dl dl Q dl dq tot tot 200 10 200 025 . 0 10 5 9 9 = = = = = = = = λ λ λ λ λ Una superficie circular con radio R=0.5 cm está uniformemente cargada con densidad de carga superficial σ = 50 nC/m 2 . Calcule la carga total Q tot . C m m C R Q S dS dS Q dS dq tot tot 9 2 2 9 2 10 00125 . 0 ) 005 . 0 ( ) / 10 50 ( = = = = = = = π π σ σ σ σ σ Un cubo de lado a=0.5 m tiene una densidad de carga volumétrica uniforme ρ = 5 nC/m 3 . Calcule la carga total Q tot del cubo. C m m C a Q V dV dV Q dV dq tot tot 9 3 3 9 3 10 625 . 0 ) 5 . 0 )( / 10 5 ( = = = = = = = ρ ρ ρ ρ ρ

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Una barra de plástico de longitud L=2.5 cm está uniformemente cargada con una carga total Qtot=5 nC. Calcule la densidad de carga lineal.

DENSIDADES UNIFORMES:

m

nC

m

C

m

C

L

Q

LdldlQdl

dq

tot

tot

20010200025.0

105 99

====

====

−−

∫ ∫

λ

λλλλ

Una superficie circular con radio R=0.5 cm está uniformemente cargada con densidad de carga superficial σ = 50 nC/m2. Calcule la carga total Qtot.

CmmCRQ

SdSdSQdS

dq

tot

tot

92292 1000125.0)005.0()/1050( −− ==⋅=

==== ∫ ∫ππσ

σσσσ

Un cubo de lado a=0.5 m tiene una densidad de carga volumétrica uniforme ρ = 5 nC/m3. Calcule la carga total Qtot del cubo.

CmmCaQ

VdVdVQdV

dq

tot

tot

93393 10625.0)5.0)(/105( −− ===

==== ∫ ∫ρ

ρρρρ

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DENSIDADES NO UNIFORMES:

Una esfera de radio R = 0.8 m está cargada con una densidad de carga volumétrica no uniforme:

krr =)(ρ 0 < r < R k = 10-8 C/m4

Calcule la carga total Qtot de la esfera.

R ∫=⇒= dVrQrdV

dqtot )()( ρρ

drrdV 24π=

∫ ∫∫ ==== drrkrdrrrdVrQ

RR

tot )4)(()4)(()(0

2

0

2 ππρρ

CmmCR

krkdrrk

RR

84484

0

4

0

3 1028.1)8.0)(/10(4

44

44 −− ==

==∫ ππππ

∫ ∫ === 3

0

2

3

44 RdrrdVV

R

ππ

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Calcule la carga total de la esfera en el caso de una densidad de carga no uniforme:

<<<<

=RrRrk

Rrkrr

2//

2/0)(ρ

+=

−+

=+=+

=+===

∫ ∫

∫ ∫∫∫

16

24

824

644

24

444

4

)4()4)(()4)(()(

24224

2/

02/2/

22/

0

43

2/

2

2/

0

2

0

2

RRk

RRk

Rk

rk

rkrdrkdrr

k

drrr

kdrrkrdrrrdVrQ

R

R

R

R

R

R

R

R

RR

tot

πππ

ππππ

πππρρ

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21.45 En un sistema de coordinadas rectangulares se coloca una carga positiva puntual q = 6 10-9 C en el punto x = +0.15 m, y=0, y una carga idéntica en x =-0.150 m, y=0. Halle las componentes x y y, así como la magnitud y la dirección del campo eléctrico en los puntos siguientes:

a) el origen; b) x=0.3 m, y=0; c) x=0.15 m, y = -0.4 m; d) x=0, y=0.2 m.

q1 q2a

b

c

d

+

-

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q1 q2P

E1E2

a) En el origen:

ir

qE

m

C

r

qE

ˆ4

1

)15.0(

106

4

1

4

1

2

1

1

0

1

2

9

0

2

1

1

0

1

πε

πεπε

=

==−

r

r

)ˆ(4

1

)15.0(

106

4

1

4

1

2

2

2

0

2

2

9

0

2

2

2

0

2

ir

qE

m

C

r

qE

−=

==−

πε

πεπεr

r

0=pEr

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b) x=0.3 m y=0

C

C

m

CC�m

m

CC�m

r

q

r

qE

iEEiEiEE

p

p

6.2666)24006.266(

)15.0(

106)/109.8(

)45.0(

106)/109.8(

4

1

4

1

ˆ)(ˆˆ

2

9229

2

9229

2

2

2

0

2

1

1

0

2121

=+

=+=

=+=

+=+=

−−

πεπε

r

r

q1 q2 E1

E2r1=0.45 m

r2=0.15 m

ir

qE

m

C

r

qE

ˆ4

1

)45.0(

106

4

1

4

1

2

1

1

0

1

2

9

0

2

1

1

0

1

πε

πεπε

=

==−

r

r

ir

qE

m

C

r

qE

ˆ4

1

)15.0(

106

4

1

4

1

2

2

2

0

2

2

9

0

2

2

2

0

2

πε

πεπε

=

==−

r

r

hacia la derecha

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c) x=0.15 m y=-0.4 m

q1 q2

E2 E1

E1x

E1y

r2=0.4 m

a=0.3 m

r1=0.5 m

myar 5.022

1 =+=

α

5.0

4.0)sin(

5.0

3.0)cos(

11

====r

y

r

aαα

iC

�i

r

qiEE

C

m

CC�m

r

qEE

xx

x

ˆ6.129ˆ)cos(4

6.1295.0

3.0

)5.0(

106)/109.8()cos(

4

1)cos(

2

1

1

0

11

2

9229

2

1

1

0

11

===

====−

απε

απε

α

rr

rr

jC

�j

r

qjEE

C

m

CC�m

r

qEE

yy

y

ˆ8.172)ˆ)(sin(4

1)ˆ(

8.1725.0

4.0

)5.0(

106)/109.8()sin(

4

1)sin(

2

1

1

0

11

2

9229

2

1

1

0

11

−=−=−=

====−

απε

απε

α

rr

rr

y

jC

�j

r

qE

C

m

C

C

�m

r

qE

ˆ5.337ˆ4

1

5.337)4.0(

106)109.8(

4

1

2

20

2

2

9

2

29

2

2

2

0

2

−=−=

==

==

πε

πε

r

r

hacia abajo

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iC

�EEE xxx

ˆ6.12921 =+=rrr

jC

�j

C

�EEE yyy

ˆ3.510ˆ)8.1725.337(21 −=−−=+=rrr

q1 q2a=0.3 m

r1=0.5 m

C

C

�EEE yxtot 5.526)3.510()6.129( 2222 =−+=+=rrr

o74.75

6.129

3.510)(

−=

−==

ϕ

ϕx

y

E

Etg

Etot

Ex

Eyφ

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q1 q2

E1E2

E1xE2x

E1yE2y

d) x = 0, y=0.2 m

xx EE 21

rr−=

α

x=0.15 m

y=0.2 mr1 r2

mm

yxrr

25.0)2.0()15.0( 22

22

21

=+=

=+==

25.0

15.0)cos(

1

==r

25.0

2.0)sin(

1

==r

jC

�j

m

C

C

�mj

r

qEEE

jEEjEE

r

qE

r

qE

yyy

yyyy

yy

ˆ1367ˆ25.0

2.0

)25.0(

106)109.8(2ˆ)sin(

4

12

ˆˆ

)sin(4

1)sin(

4

1

2

9

2

29

2

1

1

0

21

2211

2

1

2

0

22

1

1

0

1

===+=

==

===

απε

απε

απε

rrr

rrrr

rr

hacia arriba

yP EErr

=

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q1 = - 6 nC q2 = + 6 nC

0.15 m0.15 m

0.2 m

0.3 m

p1

p3

p2

Una carga q1= -6 nC está en

x=-0.15m, y=0 y una carga q2=6 nCestá en x=0.15m, y=0.

Halle el campo eléctrico debido a las dos cargas en los puntos:

P1 x=0, y=0

P2 x=0 m, y=0.2

(P3 x=0.3, y=0)

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q1 = - 6 nCq2 = + 6 nC

0.15 m 0.15 m

E1

E2

iC

�i

r

qE

m

C

r

qEE

Pˆ4800)ˆ(

4

12

)15.0(

106

4

1

4

1

2

1

1

0

2

9

0

2

1

1

0

21

−=−=

===−

πε

πεπεr

rr

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q1 q2

r1 r2

mm

yxrr

25.0)2.0()15.0( 22

22

21

=+=

=+==

E1

E2

E1x

E2x

E1y

E2y

yy EE 21

rr−=

iC

�i

r

qE

m

C

r

qEE

P

xx

ˆ1037)ˆ(4

12

)25.0(

106

4

1

4

1

2

1

1

0

2

9

0

2

1

1

0

21

−=−=

===−

πε

πεπεr

rr

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q1 q2

E2

E1

r2=0.15 m

r1=0.45 mi

C

�i

r

qE

m

C

r

qE

ˆ6.266)ˆ(4

1

)45.0(

106

4

1

4

1

2

1

1

0

1

2

9

0

2

1

1

0

1

−=−=

==−

πε

πεπεr

r

iC

�i

r

qE

m

C

r

qE

ˆ2400ˆ4

1

)15.0(

106

4

1

4

1

2

2

2

0

2

2

9

0

2

2

2

0

2

==

==−

πε

πεπεr

r

iC

�i

C

�Ep

ˆ3.2133ˆ)6.2662400( =−=r