- para não ocorrer aliasing: a operação de amostragem é ...

40
Controlo Digital 2005/2006 Gabriel Pires 38A Amostragem w | H(w)| ... ... w s 2w s w N - frequência de amostragem: h w s π 2 = - frequência de Nyquist: h w w s N π = = 2 - para não ocorrer aliasing: a operação de amostragem é geralmente precedida por um filtro passa-baixo anti-alias.

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Controlo Digital 2005/2006

Gabriel Pires 38A

Amostragem

w

| H(w)|

......

ws 2wswN

- frequência de amostragem: h

ws

π2=

- frequência de Nyquist: h

ww s

N

π==2

- para não ocorrer aliasing: a operação de amostragem é

geralmente precedida por um filtro passa-baixo anti-alias.

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Controlo Digital 2005/2006

Gabriel Pires 38B

Efeito do período de amostragem na resposta em frequência

Exemplo: )1(

1)(

+=

sssG

Resposta em frequência do equivalente discreto para h=0.2, 1 e 2

seg.

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

Pha

se (

deg)

Mag

nitu

de (

dB)

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

10-1

100

101

102

-270

-225

-180

-135

-90

continuo

h=0.2 h=1

h=2

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Controlo Digital 2005/2006

Gabriel Pires 40A

Especificações de projecto em Matlab:

Localização desejada dos pólos (utilização do comando zgrid em

Matlab)

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.90.80.70.60.50.40.30.2

0.1

π/T

9π/10T

4π/5T

7π/10T

3π/5Tπ/2T

2π/5T

3π/10T

π/5T

π/10T

π/T

9π/10T

4π/5T

7π/10T

3π/5Tπ/2T

2π/5T

3π/10T

π/5T

π/10T

- traça as linhas ξ constante para valores em degraus de 0.1;

- traça as linha para h

Nwn 10

π= para inteiros N de 1 a 10;

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Controlo Digital 2005/2006

Gabriel Pires 40B

Exemplo: especificações de projecto 5.0≥ξ

1≥nw

5.0≥nwξ

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.5

1

1

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Controlo Digital 2005/2006

Gabriel Pires 59A

Escolha do período de amostragem, h

− Períodos muito grandes tornam impossível a reconstrução do

sinal.

− Períodos pequenos aumentam a carga do processador

o Menor tempo para os cálculos

o O tempo de conversão A/D tem de ser menor

o Maior custo do sistema

− O comando de controlo poderá ocorrer em qualquer instante

dentro do período de amostragem, h.

− Melhor opção é escolher o maior período de amostragem que

garanta as especificações.

Limite inferior teórico (teorema da amostragem)

2>b

s

ww

Na prática (garantia de suavidade)

4020 <<b

s

ww

(Franklin)

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Controlo Digital 2005/2006

Gabriel Pires 69A

Método de Tustin

− faz um mapeamento da região estável s exactamente na região

estável z.

− faz um mapeamento do eixo jw do plano s no círculo unitário

− o mapeamento provoca uma distorção de frequência dada por:

2tan

2'

whh

w =

− o mapeamento de Tustin com pré-warping é dado por :

11

.

2tan

'1

1

+−=

zz

hww

s

w1 é a frequência de referência para a qual a distorção é

completamente eliminada (normalmente escolhida a frequência de

corte do sistema)

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Controlo Digital 2005/2006

Gabriel Pires 83A

Sintonização do controlador pelo método directo (em discreto)

Exemplo de aplicação

Pretende-se projectar um controlador PI para controlar o processo

11

)(+

=s

sG .

Especificações de projecto:

- 7.0=ξ

- wn=5 rad/s

- h=0.1 seg

resolução:

- Obter equivalente discreto de G(s) precedido por ZOH

ah

ah

eze

zG−

−−= 1

)(

- Obter PI discreto (por um método de aproximação, por ex. tustin)

11

2)(

−++=

zzh

KiKpzC

- eq. característica desejada (sist. 2ª ordem)

021

2 =++ azaz

com (Tabela A.6):

)cos(.21 hwea d

hwnς−−= hwnea ς2

2

−=

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Controlo Digital 2005/2006

Gabriel Pires 83B

Sistema de controlo em discreto

+-

R(z)C(z)

Y(z)G(z)

E(z)

)().(1)().(

)()(

zGzCzGzC

zRzY

+=

- igualar a eq. característica do sistema 0)().(1 =+ zGzC à eq.

característica desejada 021

2 =++ azaz

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Controlo Digital 2005/2006

Gabriel Pires 167

REGULAÇÃO por realimentação de estados

(A análise é idêntica para sistema contínuo e discreto)

Sistema em Malha Aberta

B �

A

u+

+

x� x

���

=+=

Cxy

BuAxx�

Pólos do sistema são dados pelo determinante de sI-A (|sI-A|)

Sistema em Malha Fechada

Estrutura do regulador: assume R=0

B �

A

u+

+

x� x

-Kou

+B �

A

u+

+

x� x

K

-

R=0

[ ]���

���

−=⇔−=�

� 2

1

21 x

x

KKuKxu

xBKAx )( −=�

Pólos do sistema em MF são dados pelo determinante de

(sI-A+B.K) ou seja |sI-A+BK|

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Controlo Digital 2005/2006

Gabriel Pires 168

COLOCAÇÃO de PÓLOS

- escolha da localização dos pólos em malha fechada

- o projecto do controlador consiste em obter os valores de K de

forma aos pólos em MF ficarem nas posições desejadas

Assumindo que queremos pólos localizados em

ni ppps ,,, 21 �=

A eq. característica corresponde a:

0)())(()( 21 =−−−= npspspssP �

Se igualarmos esta equação à eq. característica do sistema em MF

|sI-A+BK|=0 , obtém-se os valores do controlador K.

Page 11: - para não ocorrer aliasing: a operação de amostragem é ...

Controlo Digital 2005/2006

Gabriel Pires 169

Exemplo de aplicação: Controlo de orientação de um satélite

��

��

=10

1 hφ

��

��

h

h2

2

Especificações de projecto:

- 5.0=ξ

- parte real de s=-1.8 rad/s

Período de amostragem: h=0.1 s

Solução:

Eq. característica desejada:

07.06.12 =+− zz

Eq. característica do sistema em Malha Fechada

02

1)22

( 1

2

21

2

2

2 =+−+−++ Kh

hKKh

hKzz

���

==

5.310

2

1

K

K

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Page 12: - para não ocorrer aliasing: a operação de amostragem é ...

Controlo Digital 2005/2006

Gabriel Pires 170

- A forma de cálculo obtida atrás pode-se tornar fastidiosa

- A álgebra para encontrar os valores de K é especialmente simples

se as matrizes se encontrarem na forma controlável:

���

���

−−−=

010001

321 aaa

cφ ���

���

=Γ001

c [ ]321 bbbC =

A eq. característica correspondente é:

032

2

1

3 =+++ azazaz

Em malha fechada: Kcc Γ−φ

���

���

−−−−−−=Γ−

010001

332211 KaKaKa

Kccφ

A eq. característica correspondente é:

0)()()( 3322

2

11

3 =++++++ KazKazKaz

Se os pólos desejados resultarem na eq. característica:

032

2

1

3 =+++ ααα zzz

Os ganhos do controlador são dados directamente por:

333222111 aKaKaK −=−=−= ααα

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Controlo Digital 2005/2006

Gabriel Pires 171

Para aplicar este método é necessário que as equações de estado se

encontrem na forma controlável, sendo para isso necessário

calcular a matriz de transformação.

Controlabilidade

A questão que se coloca é: será sempre possível encontrar um

equivalente ( )cc Γ,φ de um sistema ( )Γ,φ arbitrário?

- A resposta é quase sempre sim.

- a excepção ocorre qd o sistema tem certos modos não afectados

pelo controlo.

- a melhor forma de analisar a não controlabilidade passa pela

representação em que cada estado representa um modo natural do

sistema, ou seja, na forma canónica de Jordan:

)()(

000000000

)1( 2

1

2

1

kukxkx

nn

����

����

Γ

ΓΓ

+

����

����

=+�

λ

λλ

- nenhum elemento de Γ pode ser zero. Se qualquer elemento for

zero, o controlo não influenciará o modo natural, e o estado

associado permanecerá não controlado.

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Controlo Digital 2005/2006

Gabriel Pires 172

O Matlab possui duas funções para calcular o valor de K:

- K=acker(PHI,GAM, pólos desejados))

-(aplicação da fórmula de Ackermann)

- apenas pode ser utilizado para sistemas SISO

- utilizado para ordens inferiores a 10

- pode ser utilizado para raízes repetidas

- K=place(PHI,GAM, pólos desejados))

- aplicação da fórmula de Kautsky

- pode ser utilizado para sistemas MIMO

- utilização para sistemas de ordem superior a 10

- não pode ser utilizado para raízes repetidas

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Controlo Digital 2005/2006

Gabriel Pires 173

Fórmula de Ackermann:

Seja o sistema )()()1( kukxkx Γ+=+ φ

A fórmula de Ackermann é dada por:

[ ][ ] )(10 112 φφφφ PK n −− ΓΓΓΓ= ��

onde

[ ]ΓΓΓΓ= −12 n

cW φφφ �

é a matriz de controlabilidade

IP n

nnn αφαφαφφ ++++= −− �2

2

1

1)(

em que os iα são os coeficientes da eq. característica desejada

01

1 =+++ −n

nn zz αα �

Dedução da fórmula de Ackermann

Seja o sistema )()()1( kukxkx Γ+=+ φ controlável

Cuja matriz de controlabilidade é:

[ ]ΓΓΓΓ= −12 n

cW φφφ �

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Controlo Digital 2005/2006

Gabriel Pires 174

Então, o sistema pode ser transformado na forma canónica

controlável mudando as variáveis de estado através da

transformação de z=Tx :

)(~)(~)1( kukxkz Γ+=+ φ

onde

������

������

−−−−

=

0100

00100001

~

121

�����

� nn aaaa

φ

������

������

0

001

~

A lei de realimentação é dada por:

[ ]zaaazLu 332211

~ −−−=−= ααα

Dá um sistema em MF com o polinómio

n

nn zzzP αα +++= − �1

1)(

A solução do problema original

LxTxLzLu −=−=−= ~~

As matrizes de controlabilidade estão relacionadas através de:

cc TWW =~

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Controlo Digital 2005/2006

Gabriel Pires 175

pelo que 1~ −= ccWWT

[ ] 1

332211

~ −−−−= ccWWaaaL ααα

[ ] )(10 1 φPWL c

−= �

IP n

nnn αφαφαφφ ++++= −− �2

2

1

1)(

Exemplo: Controlo de orientação de um satélite (exemplo

anterior)

Utilize fórmula de Ackermann para obter os ganhos de

realimentação.

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Controlo Digital 2005/2006

Gabriel Pires 176

Controlo Deadbeat

- se a localização dos pólos desejados estiverem na origem, o

Polinómio característico correspondente é: nzzP =)(

e nP φφ =)(

sendo o controlador L dado por: [ ] n

cWL φ110 −= �

- no projecto de um controlador deadbeat, o único parâmetro de

projecto é o período de amostragem

- o tempo de estabelecimento é no máximo nh , em que n é é a

ordem do sistema e h o período de amostragem

- a acção de comando aumenta drástica/ com a diminuição de h

- o controlador deadbeat apenas existe para sistemas discretos

Exemplo do controlo

de orientação de

satélite

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-150

-100

-50

0

50

100

150Comando de controlo, u

deadbeat, h=0.1

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Controlo Digital 2005/2006

Gabriel Pires 177

Entrada de referência (seguidor)

z1

Φ

u+

+

x(k)

K

-

rC

yx(k+1)

)()()1( kukxkx Γ+=+ φ

)()()( kKxkrku −=

Chega-se a:

)()()()1( krkxKkx Γ+Γ−=+ φ

Exemplo do controlo de orientação do satélite

Entrada r(k) em degrau

de amplitude 10

- saída tende para 1

- tem de se incluir

ganho de referencia 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Page 20: - para não ocorrer aliasing: a operação de amostragem é ...

Controlo Digital 2005/2006

Gabriel Pires 178

Ganho de referência N

z1

Φ

u+

+

x(k)

K

-

rC

yN

x(k+1)

Chega-se a :

)()()()1( kNrkxKkx Γ+Γ−=+ φ

a eq. característica é dada por: 0|| =Γ+− KzI φ

Para anular o erro em regime estacionário verificamos pela

resposta anterior que: N=10

- uma forma de obter N passa pela utilização da F.T. em MF:

NKzICzRzY

zF ΓΓ+Φ−== −1)()()(

)(

e ver qual o valor em regime estacionário para uma entrada em

degrau

)(1

)(1

)(1

)( limlimlimlim111

zFz

zzF

zz

zYz

zky

zzzk →→→∞→=

−−=−=

Igualando o valor em regime estacionário à entrada obtém-se o

ganho N

Page 21: - para não ocorrer aliasing: a operação de amostragem é ...

Controlo Digital 2005/2006

Gabriel Pires 179

Exemplo do controlo de orientação do satélite

��

��

=10

1 hφ

��

��

h

h2

2

C=[1 0] h=0.1

Aplicando directamente NKzICzRzY

zF ΓΓ+Φ−== −1)()()(

)(

Com z=1 (regime estacionário) e assumindo N=1, obtém-se

- o Ganho DC do sistema igual a 0.1 logo, N=10

Outra estrutura possível do seguidor (qd o processo é do tipo 1)

Assumindo por exemplo:

- n=2;

- variável a seguir x1

- controlador [K1 K2]

+Γ Z-1

Φ

u+

+

K2

-C

yK1

x1

-

r

+

x(k)x(k+1)

x2

A equação de estado do seguidor é

)()()()1( 1 krKkxKkx Γ+Γ−=+ φ , ou seja, N=K1

Page 22: - para não ocorrer aliasing: a operação de amostragem é ...

Controlo Digital 2005/2006

Gabriel Pires 180

Estimadores (Observadores)

- o projecto do controlador até agora assumiu que todos os estados

estavam disponíveis para realimentação

- nem todos os estados podem ser medidos (ou por questões físicas

ou económicas), tendo assim de ser recoknstruídos

- Existem 2 tipos básicos de estimadores:

- estimador corrente, )(ˆ kx se baseado nas medidas até

y(k), incluindo o instante k

- estimador predictor, )(kx se baseado nas medidas até

y(k-1)

- teremos assim )(ˆ)( kxKku −= ou )(kxKu −=

Estimador Predictor

Estimador em Malha Aberta

u(k) x(k)C

y(k)Processo

Φ, Γ

Modelo

Φ, Γ C)(kx )(ky

- o erro de estimação é dado por:

xxx −=~

Page 23: - para não ocorrer aliasing: a operação de amostragem é ...

Controlo Digital 2005/2006

Gabriel Pires 181

Substituindo as equações de estado do sistema e do estimador na

expressão anterior obtemos:

)(~)1(~ kxkx φ=+

- em Malha Aberta o erro de estimação nunca irá diminuir para um

sistema instável. Para um sistema estável o erro irá diminuir, mas

apenas porque o sistema e o estimador tendem para zero.

- se realimentarmos a diferença entre a saída medida e a saída

estimada, a divergência do erro será minimizada.

Estimador em Malha Fechada

u(k) x(k)C

y(k)Processo

Φ, Γ

Modelo

Φ, Γ C)(kx )(ky

Lp

+

-

Obtém-se : [ ])()()()()1( kxCkyLkukxkx p −+Γ+=+ φ

A equação de erro é: [ ] )(~)1(~ kxCLkx p−=+ φ

Page 24: - para não ocorrer aliasing: a operação de amostragem é ...

Controlo Digital 2005/2006

Gabriel Pires 182

- Se a matriz do sistema for estável, x~ irá convergir para zero para

qualquer estado inicial )0(~x , ou seja, )(~ kx irá convergir para x(k).

- numa implementação real, )(~ kx não será igual a x(k) porque:

- o modelo não é perfeito

- existem perturbações não modeladas

- existem erros e ruído sensorial

- consegue-se manter, no entanto, um erro bastante pequeno para

uma dinâmica de [ ]CLp−φ rápida

- o ganho de realimentação Lp é obtido seguindo a mesma

abordagem utilizada na lei de controlo

Fórmula de Ackermann (adaptada ao estimador)

������

������

������

������

=

− 1

000

)(

1

1

2

��n

ep

C

C

C

C

L

φ

φφ

φα

onde In

nnn

e αφαφαφφα ++++= −− ...)( 2

1

1

1

iα são os coeficientes da eq. característica desejada

01

1 =+++ −n

nn zz αα �

Matlab: >> Lp=acker(PHI’,C’,p)’

Page 25: - para não ocorrer aliasing: a operação de amostragem é ...

Controlo Digital 2005/2006

Gabriel Pires 183

Observabilidade

Matriz de observabilidade

������

������

=

−1

2

nC

C

C

C

W

φ

φφ

Para que o sistema seja observável é necessário que o determinante

de W seja diferente de 0.

Exemplo: Controlo de orientação de um satélite

��

��

=10

1 hφ

��

��

h

h2

2

[ ]01=C h=0.1

a) diga se o sistema é observável

b) Obtenha Lp de forma aos pólos estarem localizados em

jz 4.04.0 ±=

Page 26: - para não ocorrer aliasing: a operação de amostragem é ...

Controlo Digital 2005/2006

Gabriel Pires 184

Estimador Corrente

- vimos atrás que o estimador predictor estima após ter recebido

medidas até y(k-1): [ ])()()()()1( kxCkyLkukxkx p −+Γ+=+ φ

- neste caso a acção de comando não depende do valor mais actual

de comando

- faz sentido construir um estimador x̂ que fornece uma estimativa

baseada na medida actual

Pegando na expressão do estimador predictor e modificando-a

[ ])()()()(ˆ kxCkyLkxkx c −+=

com )1()1(ˆ)( −Γ+−= kukxkx φ

ou seja,

( )[ ])1()1(ˆ)()1()1(ˆ)(ˆ −Γ+−−+−Γ+−= kukxCkyLkukxkx c φφ

- o controlo baseado nesta estimativa não pode ser implementado

exactamente porque é impossível amostrar, realizar cálculos e

obter a saída, sem que não tenha decorrido nenhum tempo.

- o erro de estimação, ou seja a diferença entre a eq. de estado do

processo e a eq. de estado do estimador é

[ ] )(~)1(~ kxCLkx c φφ −=+

Page 27: - para não ocorrer aliasing: a operação de amostragem é ...

Controlo Digital 2005/2006

Gabriel Pires 185

Da mesma forma, os ganhos do regulador são obtidos a partir da

fórmula de Ackermann

������

������

������

������

=

1

000

)(

1

3

2

��n

ec

C

C

C

C

L

φ

φφφ

φα

onde In

nnn

e αφαφαφφα ++++= −− ...)( 2

1

1

1

iα são os coeficientes da eq. característica desejada

01

1 =+++ −n

nn zz αα �

Matlab: >> Lc=acker(PHI’,PHI’C’,p)’

Relação entre os ganhos do estimador predictor e do estimador

corrente pc LL 1−= φ

Escolha do predictor:

- normalmente escolhe-se o estimador corrente, pois responde mais

rapidamente a perturbações e erros de medida

- no est. Corrente existe um tempo de computação que não é tido

em conta

- se os tempos de computação forem grandes deve-se utilizar o

estimador predictor

Page 28: - para não ocorrer aliasing: a operação de amostragem é ...

Controlo Digital 2005/2006

Gabriel Pires 186

Estrutura completa do regulador com estimador

u(k) y(k)

)(kx

K

+ -

Processo

x(k+1)=Φx(k)+ Γu(k) C

Sensorx(k)

Estimador

cLkx ),(

N

u(k)

r(k)

Escolha dos pólos:

- os pólos do controlador devem ser escolhidos de forma a

satisfazer simultaneamente as especificações de projecto e os

limites do actuador

- os pólos do estimador são normalmente escolhidos de forma a

serem 2 a 4 vezes mais rápidos que os pólos do controlador (sendo

a resposta dominada pelos pólos mais lentos)

- pólos mais rápidos do estimador não têm qualquer implicação no

actuador, pois o efeito é apenas sentido no computador. No

entanto, pólos mais rápidos podem tornar a estimação muito

sensível ao ruído.

Page 29: - para não ocorrer aliasing: a operação de amostragem é ...

Controlo Digital 2005/2006

Gabriel Pires 187

Implementação em ambiente Simulink

Estimador predictor Estimador corrente

0 1 2 3 4 5 6-3

-2

-1

0

1

2

3

4

estimaçao estado 1

estimaçao estado 2

0 1 2 3 4 5 6-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Page 30: - para não ocorrer aliasing: a operação de amostragem é ...

Controlo Digital 2005/2006

Gabriel Pires 188

pólos do estimador afastados 8x pólos do estimador afastados 2x

Utilização

de um

derivador

Acção de comando com

utilização de um derivador vs.

estimador corrente

0 1 2 3 4 5 6-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

0 1 2 3 4 5 6-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

0 1 2 3 4 5 6-5

0

5

10Acçao de comando, u

acção de comando com estimador

acção de comando com derivador

Page 31: - para não ocorrer aliasing: a operação de amostragem é ...

Controlo Digital 2005/2006

Gabriel Pires 189

Estimadores de ordem reduzida

- os estimadores discutidos até agora reconstroem todo o vector de

estado

- não é necessário estimar todos os estados, no entanto quando

existe ruído nas medidas, o estimador de ordem plena fornece

suavidade nas medidas

- no caso de um estimador de ordem reduzida divide-se o vector de

estado em duas partes:

- xa – parte directamente medida (y)

- xb – parte a ser estimada

)()()(

)1()1(

kukx

kx

kx

kx

b

a

b

a

bbba

abaa

b

a

��

��

ΓΓ

+��

��

��

��

=�

��

++

φφφφ

[ ] ��

��

=

)()(

0)(kx

kxIky

b

a

As equações de estado que descrevem a dinâmica dos elementos

não medidos é dada por:

�� ��� ��conhecidaentrada

bababbbb kukxkxkx''''

)()()()1( Γ++=+ φφ

a outra equação

)()()()1(""

kxkukxkx bab

conhecidasmedidas

aaaaa φφ =Γ−−+���� ����� ��

Page 32: - para não ocorrer aliasing: a operação de amostragem é ...

Controlo Digital 2005/2006

Gabriel Pires 190

Comparando à eq. de estado genérica

)()()1( kukxkx Γ+=+ φ

)()( kCxky =

obtemos as seguintes igualdades:

ab

aaaaa

baba

bb

b

C

kukxkxky

kukxku

xx

φφ

φφφ

←Γ−−+←

Γ+←Γ←←

)()()1()(

)()()(

Substituindo as matrizes na eq. de estado do estimador predictor

Obtém-se : [ ])()()()1(

)()()()1(

kxkukxkxL

kukxkxkx

babaabaar

bababbb

φφφφ

−Γ−−+++Γ++=+

A equação de erro é: [ ] )(~)1(~ kxLkx babrbbb φφ −=+

Da mesma forma, os ganhos do regulador são obtidos a partir da

fórmula de Ackermann,

Lr é seleccionado para ter as raízes de:

)(0 bbeabrbb LzI φαφφ ==+−

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Gabriel Pires 191

������

������

������

������

=

− 1

000

)(

1

2

2

��n

bbab

bbab

bbab

ab

bberL

φφ

φφφφ

φ

φα

onde In

nnn

e αφαφαφφα ++++= −− ...)( 2

1

1

1

iα são os coeficientes da eq. característica desejada

01

1 =+++ −n

nn zz αα �

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Gabriel Pires 192

ATRASOS (modelação na F.T. e em espaço de estados)

- considere-se a F.T. de um sistema contínuo com atraso precedido

por um ZOH. O atraso pode ser proveniente de:

- atraso entre o processo e o actuador (e.g. transporte de

fluidos num processo químico, backlash numa

engrenagem, etc.)

- atraso nos sensores

- atraso na computação e aquisição de sinal

Suponha-se um processo

)()( sHesG sλ−=

λ - atraso em segundos (proveniente do atraso de processo e do

tempo de computação)

asa

sH+

=)(

Consideremos genericamente: mhlh −=λ

h – período de amostragem

l – inteiro

m < 1 real

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Gabriel Pires 193

��

���−=

ssG

Zz

zzG

)(1)(

Para

a=1

h=1

( ) ��

���−

−+=

ssG

Zz

zzz

zzG

)(13679.0

6025.0)(

2

Modelo em espaço de estados

Ver [Nunes – acetatos, pg 142]

Exercício: sesssU

sYsG 01.0

)8(8

)()(

)( −

+==

[Nunes, livro de exercícios, ex. 6.3]

a) obtenha o modelo em espaço de estados (x1=y; x2=dx1)

b) Modelo em espaço de estado discreto equivalente para

h=0.025.

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Gabriel Pires 194

Projecto de controladores para sistemas com atraso

Exemplo: Controlo em velocidade de um sistema cujo modelo em

espaço de estados é dado por:

A=-0.3; B=0.3; C=1; D=0;

h=0.2 seg

a) Obtenha o equivalente discreto no espaço de estados.

b) Obtenha o ganho do controlador de realimentação de estados

(controlador tal que os pólos estejam em z=0.4).

c) Obtenha o equivalente discreto no espaço de estados

assumindo um atraso de 1 amostra.

d) Obtenha o ganho do controlador de realimentação de estados

(coloque o 2º pólo em z=0).

e) Obtenha o ganho do estimador predictor (pólo localizado em

z=0.2). Coloque o 2º pólo em z=0.

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Gabriel Pires 195

Sistema sem atraso

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1resposta (sem atraso)

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Gabriel Pires 196

Sistema com atraso de 1 amostra no actuador

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4resposta (com atraso)

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Gabriel Pires 197

Sistema com atraso de 1 amostra utilizando estimador predictor

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1resposta (com atraso+ estimador pred)

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Gabriel Pires 198

Modelo de espaço de estados para sistemas com atraso nos

sensores

A saída com um atraso é dada por:

)()1(1 kyky d =+ ( dy1 é a versão atrasada de y)

Se tivermos 2 atrasos, então:

)()1( 12 kyky dd =+

Para um sistema: )()()1( kukxkx Γ+=+ φ

)()( kCxky =

O modelo para 2 atrasos é dado por:

)(00

)()(

)(

0100000

)1()1(

)1(

2

1

2

1 ku

ky

ky

kx

C

ky

ky

kx

d

d

d

d

���

���

Γ+���

���

���

���

Φ=

���

���

++

+

[ ]���

���

=)()(

)(100)(

2

1

ky

ky

kx

ky

d

dd