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Capitolo 2: Scritti d’esame 107

Universita di Pisa - Corso di Laurea in Ingegneria Elettronica

Scritto d’esame di Analisi Matematica IPisa, 8 Gennaio 1999

1. Studiare il comportamento della serie

∞∑n=1

n

(1

nα− sin

1

n2α−1

)al variare del parametro α > 1/2.

2. Sia

f(x) = log

(1 +

sin3 x

2

).

(a) Determinare la derivata sesta e la derivata settima della funzione f(x) nelpunto x = 0.

(b) Dire se esistono, ed in caso affermativo calcolare, il massimo ed il minimo dif(x) al variare di x in R.

(c) Determinare per quali valori del parametro α ∈ R l’integrale improprio∫ 1

0

dx

[f(x)]α

converge.

3. Calcolare l’integrale ∫x2 + x

(x2 + 4)2dx.

4. Sia f : R → R una funzione continua tale che

4f 2(x)− 4f(x) + 1 > 0

per ogni x ∈ R.

Dimostrare che se f(x0) = 0 per un qualche x0 ∈ R, allora f e limitata superiormentein R.

Scritto d’esame Elettronica 1999 0

108 Prove d’Esame di Analisi Matematica – Versione 2006


Scritto d’esame di Analisi Matematica IPisa, 11 Gennaio 1999

1. Dire se esiste, ed in caso affermativo calcolare

limx→0

cos x + cosh x− 2

sin2 x · ln2(1 + x + x2).

2. (a) Risolvere la disequazionex2 + |x|5 ≤ 2x

e determinare per quali valori di x si ha l’uguaglianza.

(b) Studiare la successione definita per ricorrenza da

an+1 =a2

n + |an|5

2a1 = α

al variare di α ∈ R.

(c) Nel caso particolare α = 1/2, studiare il comportamento della serie∞∑

n=1

an.

3. Consideriamo la funzione f(x) =1

x+ 3 arctan x.

(a) Calcolare estremo superiore ed inferiore di f(x) al variare di x in ]0, +∞[,precisando se si tratta, rispettivamente, di massimo e minimo.

(b) Stessa domanda al variare di x in N \ {0}.(c) Calcolare (se esiste) il limite della successione

an =1

n

∫ n

1

f 2(t) dt.

4. Sia f : [a, b] → R. Dimostrare che se f ammette derivata seconda strettamente po-sitiva in [a, b], allora f assume il valore massimo in uno degli estremi dell’intervallo.

Vale lo stesso risultato se f ′′ e soltanto non-negativa?




Scritto d’esame di Analisi Matematica IPisa, 1 Febbraio 1999


∞∑n=1

n4 + 3α

2αn + n2−α

al variare del parametro α ∈ R.

2. Studiare la funzione

f(x) =x5

x4 − 1

e tracciarne un grafico approssimativo. Determinare in particolare il “dominio”, ilsegno, le zone di crescenza/decrescenza, concavita/convessita, gli eventuali punti dimassimo/minimo locale/globale e di flesso, le equazioni degli eventuali asintoti.

3. Dire se esiste (ed in caso affermativo calcolare) il

limx→0+

1

ln x

∫ 1

x

√et − cosh

√t

t3dt.

4. Sia f : R → R una funzione che ammette derivata prima e seconda continue.

(a) Dimostrare che se f(−1) = f(0) = f(1) = 0, allora f ′ si annulla in almeno duepunti e f ′′ si annulla in almeno un punto.

(b) Quale delle conclusioni del paragrafo (a) continua a valere se si assume chef(−1) = −1, f(0) = 0, f(1) = 1?

(c) Quale delle conclusioni del paragrafo (a) continua a valere se si assume chef(−1) = 1, f(0) = 0, f(1) = 1?




Scritto d’esame di Analisi Matematica IPisa, 15 Febbraio 1999

1. Determinare il numero di soluzioni dell’equazione

ex = λx2

al variare del parametro λ ∈ R.

2. Studiare il comportamento della successione definita per ricorrenza da

an+1 =1999 an√

n, a1 = 14.

Studiare quindi il comportamento della serie

∞∑n=1

2nan.

3. Dire se esiste (ed in caso affermativo calcolare) il

limx→0+

1

x

(1

arctan x+

1

sin x− α

x

),


4. Studiare il comportamento degli integrali impropri∫ +∞

2

1

x4 − 1dx,

∫ +∞

0

1

x4 − 1dx,

e, nel caso in cui convergano, determinarne il valore.




Scritto d’esame di Analisi Matematica IPisa, 31 Maggio 1999

1. Calcolare

limn→+∞

(n−

√n2 + 4

) (n2 sin

1

n− n sin

1

n2

).

2. Dimostrare che x4 − 1 ≤ x12 per ogni x ∈ R.

Determinare quindi la piu piccola costante λ ∈ R tale che

x4 − 1 ≤ λx12

per ogni x ∈ R.

3. Consideriamo la successione definita per ricorrenza da:

an+1 =an(sin an + 3)√

n, a1 = 1999.

(a) Dimostrare che an ≥ 0 per ogni n ∈ N.

(b) Calcolare il limite di an.

(c) Studiare il comportamento della serie

∞∑n=1

nαan


4. Studiare il comportamento dell’integrale improprio∫ +∞

−∞

sin x√|x|3 + x4

dx.

Nel caso in cui converga, calcolarne il valore.




Scritto d’esame di Analisi Matematica IPisa, 21 Giugno 1999

1. Studiare il comportamento dell’integrale improprio∫ +∞

0

arctan x

x3αdx


2. Calcolare

limn→+∞

n√

n4 + 1− 1n√

n3 + 1− 1.

3. (a) Studiare il comportamento della successione definita per ricorrenza da:

an+1 = a3n − 3a2

n + 3an, a1 = α,

nei due casi particolari α = −3 e α = 1/3.

(b) Dire se esistono (ed in caso affermativo determinare) dei valori di α per cuian → 0.

4. Consideriamo l’equazione

n arctan x =1

x2.

(a) Dimostare che, per ogni n ∈ N, tale equazione ammette un’unica soluzione xn

strettamente positiva.

(b) Dimostrare che la successione xn e monotona e calcolarne il limite.

(c) Studiare la convergenza della serie∞∑

n=1

xn.




Scritto d’esame di Analisi Matematica IPisa, 12 Luglio 1999

1. Calcolare l’estremo superiore e l’estremo inferiore della funzione

f(x) = arctan(x− 50 arctan x)

al variare di x in [0, +∞[, precisando se si tratta, rispettivamente, di massimo eminimo.

2. Determinare per quali valori reali dei parametri α, β, γ, il

limx→0+

eαx + β cos√

x + γ sin2 x

x3

esiste ed e reale.

3. (a) Risolvere la disequazioneln(1 + x2) ≤ x



an+1 = ln(1 + a2n) a1 = 1999.

(c) Studiare il comportamento della serie∞∑

n=1

an.

4. Studiare il comportamento degli integrali impropri∫ 5

0

dx

x√|x− 3|

,

∫ +∞

2

dx

x√|x− 3|

,

e, nel caso in cui convergano, determinarne il valore.




Scritto d’esame di Analisi Matematica IPisa, 6 Settembre 1999


∞∑n=1

(√nα + 1− n2

)al variare del parametro α ∈ R.

2. Consideriamo la funzionef(x) = sin3 x− sin x3.

Calcolare f ′(0), f ′′(0), f ′′′(0), f IV (0), fV (0). Stabilire se nel punto x = 0 la funzionedata ha un massimo relativo, un minimo relativo, oppure un flesso.

3. (a) Determinare la piu piccola costante λ > 0 tale che

4x4 + 3 ≤ λ ex2

per ogni x ∈ R (se serve, utilizzare il fatto che e√

e ∼ 4, 48).

(b) Determinare la piu grande costante µ > 0 tale che

4x4 + 3 ≥ µ ex2

per ogni x ∈ [0, 1].

4. Calcolare il valore degli integrali∫ 2π

−2π

|x sin x| dx,

∫ 2π

−2π

sin x · |x sin x| dx.




Scritto d’esame di Analisi Matematica IPisa, 20 Settembre 1999

1. Sia f(x) = arctan |x4 − 3|.

(a) Determinare estremo inferiore ed estremo superiore di f al variare di x inN = {1, 2, 3, . . .}, precisando se si tratta, rispettivamente, di minimo e massimo.

(b) Determinare per quali valori λ ∈ R l’equazione

f(x) = λ

ammette esattamente tre soluzioni.

2. Consideriamo la funzionef(x) = cos3 x− cos x3.

Calcolare f ′(0), f ′′(0), f ′′′(0), f IV (0), fV (0). Stabilire se nel punto x = 0 la funzionedata ha un massimo relativo, un minimo relativo, oppure un flesso.

3. (a) Risolvere la disequazionex3 − x− 24 ≥ 0



an+1 = 3√

24 + an a1 = 1999.

4. Calcolare il valore degli integrali∫ 2π

−2π

|x cos x| dx,

∫ 2π

−2π

sin x · |x cos x| dx.


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