Compiti scritti. Storico.La seconda numerazione riguarda i capitoli del manuale.

Istituzioni di Fisica TeoricaDate Varie, precedenti Giugno 1989. Mancano 7-9-10-13

1-11.2) Una particella di massa µ vincolata sul segmento [0, 1] dell’asse x si trova inun autostato dell’energia. Calcolare < x > e ∆x.

2-7.1) La funzione d’onda a t = 0 una particella libera e data da:ψ0(x) = (2πα2)−1/4 e−x2/4α2

, α = 0.5 10−8cm .

Dopo quanto tempo ∆x = 1cm nel caso di un elettrone e di una massa µ = 10−3g ?3-11.3) Costruire due matrici 3×3 tali che nessuna delle due costituisca un set completo

di osservabili, ma che lo sia l’insieme delle due.4-7.2) Sia data l’hamiltoniana e altre tre osservabili di un sistema fisico:

H = E

∣∣∣∣ 0 11 0

∣∣∣∣ A = a

∣∣∣∣−1 11 1

∣∣∣∣ B = b

∣∣∣∣ 1 00 −1

∣∣∣∣ C = c

∣∣∣∣ 1 00 0

∣∣∣∣ .i) Determinare quali delle osservabili sono costanti del moto. ii) Una misura di C al tempot = 0 da per risultato il valore 0. Quale sara al tempo t > 0 il risultato di una misura diA? iii) Determinare almeno tre differenti sistemi completi di osservabili.

5-7.5) Un oscillatore lineare armonico di massa m e frequenza ω e descritto al tempot = 0 dalla funzione d’onda normalizzata:

ψ0(x) =(µω/(16πh)

)1/4e−ξ2/2(

√2ξ −

√3), ξ = x

√µω/h.

Trovare il valor medio della posizione e dell’energia in funzione del tempo.6-11.4) Di un sistema fisico siano dati il vettore di stato al tempo t e l’osservabile A:

A = a

∣∣∣∣∣∣∣0 1 0 01 0 0 00 0 0 −i0 0 i 0

∣∣∣∣∣∣∣ |ψ >=12

∣∣∣∣∣∣∣1111

∣∣∣∣∣∣∣ .Determinare i risultati di una misura di A sullo stato |ψ > e le relative probabilita.

8-11.1) Consideriamo le seguenti affermazioni:i) I polinomi di Laguerre costituiscono un insieme completo in L2[0,∞) sulla misura oppor-tuna. ii) Le autofunzioni dell’atomo di idrogeno relative agli stati legati non costituisconoun insieme completo in L2[0,∞). Sono esse contradditorie? Si, No, Perche .

11-9.1) Considerare una particella nello stato descritto da ψ = N(x + y + 2z)e−αr,con N costante di normalizzazione. Indicare quali sono i possibili risultati di una misuradi Lz e quali le rispettive probabilita.

12-9.2) Sia dato un sistema descritto dall’hamiltoniana H = p2 + a(x2 + y2) + bz2.i) Se eseguo una misura di H e immediatamente dopo una misura di L2 e ancora di H,ritrovo necessariamente lo stesso valore dell’energia? ii) Come sopra nel caso a = b. iii)Nel caso a = b, se eseguo solo la misura di L2 il vettore di stato si trova dopo tale misuranecessariamente in un autostato dell’energia?

COMPITI 1

14-9.3) Al tempo t = 0 la funzione d’onda di una particella ha la forma ψ = Nxye−r,dove r =

√x2 + y2 + z2 e N e una costante di normalizzazione. i) Quali sono i possibili

risultati di una misura del momento angolare L2 e di Lz e quali le loro probabilita? ii) Sela particella si trova in un potenziale centrale, come variano tali probabilita nel tempo?

15-5.2) Sia data l’hamiltoniana di un sistema quantistico:

H =

∣∣∣∣∣∣E1 0 a0 E2 ba∗ b∗ E3

∣∣∣∣∣∣ ,con |a|, |b| << E1, E2, E3. Calcolare autovalori e autofunzioni al primo ordine della teoriadelle perturbazioni.

16-9.4) Sia H = αS1 · S2 + β(S1z + S2z) l’hamiltoniana di un sistema di due spin.Calcolare lo spettro dell’energia quando entrambi gli spin sono uguali a 1/2 e quando unospin e uguale a 1/2 e l’altro a 3/2.

17-9.5) Un sistema costituito da due particelle di spin 1/2 e descritto dalla funzione dispin ψ(1, 2) = χ+(1)χ−(2), dove χ±(i), i = 1, 2 sono autofunzioni della componente lungoz dello spin della particella i. i) Se si esegue una misura si (S1 + S2)2, quali risultati sipossono ottenere e con quali probabilita? ii) Quale e il valor medio della componenentelungo l’asse z dello spin totale del sistema?

18-2.1) Sia data la buca sferica, ovvero una particella tridimensionale soggetta alpotenziale: V (r) = −V0 per r ≤ a, e V (r) = 0 per r > a. Scrivere l’equazione trascendenteche determina gli autovalori dell’energia, in particolare per l = 0 e per l = 1. In questi duecasi, individuare le condizioni che determinano l’esistenza di n stati legati.

1. 26 Giugno 19891-11.5) La costante elastica K di un oscillatore armonico unidimensionale nel suo stato

fondamentale improvvisamente si raddoppia. Immediatamente dopo questo evento, qualee la probabilita che una misura di energia sul nuovo oscillatore lo trovi:i) nello stato fondamentale; ii) nel primo stato eccitato; iii) nel secondo stato eccitato.

2-5.3) Calcolare esplicitamente la separazione del livello 2p dell’atomo di idrogenodovuto all’accoppiamento spin-orbita (al primo ordine) e mostrare che in unitadell’energia imperturbata vale e4/(2hc)2.

3-11.8) Per una particella senza spin in tre dimensioni considerare le osservabili φ,angolo equatoriale, e Mz, terza componente del momento angolare orbitale.Determinare per queste un principio di indeterminazione e verificarlo sugli statium(φ) = 1/

√2π exp(imφ).

4-11.7) Dire se sullo stato ψo(x) =√a/√π exp

[−a2/2 (x − xo)2 + i/h po(x − xo)

]vale la uguaglianza < p2 >= < p >2, essendo p l’operatore momento.

2. 24 Luglio 19891-9.6) Mostrare che la funzione ψ = Nz exp[−α(x2 + y2 + z2)], con N costante di nor-

malizzazione, e autostato di L2 e di Lz . Ricavare le altre autofunzioni di Lz appartenentialla stessa rappresentazione irriducibile dell’algebra Lx, Ly, Lz.

COMPITI 2

2-8.1) Una particella, inizialmente in un autostato dell’energia di una buca quadratainfinita, e soggetta a una perturbazione della forma V0xcos(ωt). Mostrare quali transizionitra autostati um e un sono possibili.

3-8.2) Ricavare le regole di selezione per le transizioni di dipolo elettrico in un oscil-latore armonico monodimensionale.

3. 18 Settembre 19891-2.2) Una particella si muove in un potenziale bidimensionale a simmetria circolare

uguale a zero per r < a e infinito altrove. Il laplaciano in coordinate polari e dato da:∇2 = (1/r) ∂/∂r (r∂/∂r) + 1/r2 ∂2/∂φ2 . i) Ricavare l’equazione per la funzione radialeR(ρ) con ρ = (2µW )1/2r (h = 1). ii) Nel caso di autovalore zero per l’operatore angolare,mostrare che R =

∑∞k=0 ckρ

k con ck = 0 se k e dispari e ck+2 = −ck/(k + 2)2 se k e pari.iii) Dato che il primo zero della funzione R(ρ) si trova a ρ = 2.405, trovare una espressioneper l’energia dello stato fondamentale del sistema.

2-1.1) Una particella si muove in una dimensione soggetta a un potenziale nullo per−a ≤ x ≤ a e infinito altrove. La sua funzione d’onda a un certo istante e data da:ψ = (5a)−1/2cos(πx/2a)+2(5a)−1/2sin(πx/a). Quali sono i possibili risultati di una misuradell’energia e quali le relative probabilita? Quale e la forma della funzione d’onda imme-diatamente dopo una tale misura? Se l’energia e immediatamente rimisurata, quali sonole probabilita relative ai possibili risultati?

3-9.7) Una particella di spin 1/2 , inizialmente in un autostato di Sz con autovaloreh/2 , entra dalla direzione y in un apparato di Stern-Gerlach orientato per misurare ilmomento angolare in una direzione sul piano x− z individuata dall’angolo θ. Calcolare leprobabilita di ottenere i valori ±h/2 .

4-9.8) La funzione d’onda di una particella e della forma ψ = f(r, θ)cosφ. Cosa si puopredire circa il risultato di una misura della componente z del momento angolare di questosistema?

4. 2 Ottobre 19891-5.4) L’atomo idrogenoide e usualmente trattato assumendo il nucleo a carica pun-

tiforme. Nell’ipotesi che la carica nucleare sia invece distribuita su una superficie sferica diraggio δ a0 (raggio di Bohr), calcolare la variazione di energia dello stato fondamantale alprimo ordine della teoria delle perturbazioni. Per l’atomo di idrogeno e per δ = 10−13cm,valutare il risultato in termini di frazione dell’energia imperturbata. (Ricordarsi che ilpotenziale creato da una distribuzione superficiale di cariche e continuo).

2-1.2) Una particella si muove in una dimensione soggetta al potenziale V = ∞ perx < 0 , V = 0 per 0 ≤ x ≤ a , V = V0 > 0 per x > a . Trovare l’equazione trascendentecui deve soddisfare l’energia degli stati legati.

3-9.9) Una particella di spin 1, si trova inizialmente in un autostato di Sz. Valutare ivalori di aspettazione per Sx , Sy , S2

x , S2y in corrispondenza ai diversi autovalori.

5. 23 Ottobre 19891-2.4) Una particella di massa µ puo ruotare in un piano attorno a un punto fisso,

collegata a questo tramite un’asta senza massa di lunghezza λ. Valutare autovalori eautofunzioni del sistema.

COMPITI 3

2-5.8) Una particella in una dimensione e soggetta al potenziale V = V0cos(πx/2a)per |x| ≤ a , V = ∞ per |x| > a , con V0 piccolo. Al primo ordine in V0 trovare lecorrezioni alle energie degli stati legati.

3-10.2) Due particelle di massa µ1 e µ2 si muovono in una dimensione non soggettea forze esterne. Posto x12 = x1 − x2, l’energia potenziale di interazione tra le particelle edata da: V = 0 per |x12| ≤ a , V = ∞ per |x12| > a . Trovare autovalori e autofunzionidi questo sistema nel caso di momento totale P , nella ipotesi che le due particelle sianobosoni indistinguibili o fermioni indistinguibili (µ1 = µ2).

6. 4 Dicembre 19891-5.9) Una particella di massa m puo ruotare in un piano attorno a un punto fisso,

collegata a questo tramite un’asta senza massa di lunghezza λ. i) Valutare autovalorie autofunzioni del sistema. ii) Introdotta una perturbazione V0cos(2φ), con V0 piccolo,calcolare al primo ordine della teoria delle perturbazioni le variazioni ai tre livelli inferioridi energia. Valutare al secondo ordine perturbativo la correzione al livello fondamentale.

2-8.3) E’ dato un oscillatore armonico lineare di frequenza ν. Al tempo t = 0 sitrova nel suo stato fondamentale e, a partire da questo istante, e soggetto alla forza F =F0cos(2πνt) con ν 6= ν. Trovare al tempo t la probabilita di transizione verso uno statoeccitato.

3-7.3) Siano date le matrici A e B relative a due osservabili per un certo sistema, e lamatrice H relativa al suo Hamiltoniano:

A =

∣∣∣∣∣∣0 −i 0i 0 00 0 −1

∣∣∣∣∣∣ B =

∣∣∣∣∣∣1 0 00 1 00 0 −1

∣∣∣∣∣∣ H =

∣∣∣∣∣∣0 0 00 0 W0 W 0

∣∣∣∣∣∣ .i) Verificare che le due grandezze sono compatibili. ii) Supposto di avere eseguito al tempot = 0 una misura delle due grandezze e trovato il valore −1 per la prima e 1 per la seconda,calcolare la funzione d’onda al tempo t > 0.

7. 29 Gennaio 19901-5.10) Le differenze ∆1 e ∆2 tra le energie dei primi due livelli eccitati e l’energia

del livello fondamentale di una molecola di massa m stanno nel rapporto ∆2/∆1 =1.96 . Questo valore e interpretabile entro il 2% schematizzando il moto vibrazionaledella molecola come quello di un oscillatore armonico semplice. Si aggiunga al potenzialearmonico V = k/2 x2 un potenziale anarmonico V ′ = ax3 + bx4 . Trattando V ′ al primoordine perturbativo, si determinino, in funzione di ∆1 e ∆2, le costanti k, a, b , in mododa rendere esatto l’accordo con il valore sperimentale.

2-11.6) Una particella di massa µ e soggetta a un potenziale armonico di costante dirichiamo k. Al tempo t essa si trova nello stato ψ(x) = Ax2exp[−µωx2/2h] , essendo ω lafrequenza angolare dell’oscillatore e A una costante. Calcolare il valore medio dell’energiaa tale istante.

3-5.11) Due particelle identiche di massa µ e spin 1/2 si muovono in una scatola cubicadi lato 2l. Calcolare i primi due autovalori dell’energia. Al primo ordine perturbativo direse e come viene risolta la degenerazione del secondo livello in presenza del potenzialeV = Cδ3(x1 − x2).

COMPITI 4

8. 21 Maggio 19901-10.3) Due fermioni identici di spin 1/2 interagiscono mediante il potenziale armonico:

V = K/2 (x1 − x2)2 + V0σ1 · σ2 , ove x1,x2, σ1, σ2 , indicano gli operatori di posizione edi spin delle due particelle. Determinare autovalori e autofunzioni del sistema.

2-3.1) Sia H = 1/2µ (p2 + µ2ω2x2) l’Hamiltoniano dell’oscillatore lineare armon-ico, e introduciamo l’operatore a = (µω/2h)1/2 x + i/(2µωh)1/2 p e il suo aggiunto a†.L’Hamiltoniano si puo allora scrivere H = hω(N + 1/2) , con N = a†a. Indichiamo con|n > (n = 0, 1, 2, ...) gli autostati ortonormali di N e H per i quali N |n >= n |n > ,H |n >= hω(n+ 1/2) |n >. i) Verificare la regola di commutazione [a, a†] = 1. ii) Verifi-care che a e a† sono degli operatori di distruzione e di creazione con a |n >=

√n |n−1 >

e a† |n >=√n+ 1 |n+ 1 > . iii) Verificare che lo stato (detto stato coerente)

|α >= exp[−1/2 |α|2]∑∞

n=0 αn/√n! |n > , con α costante complessa, e normalizzato ed

e autostato di a con autovalore α. iv) Calcolare < α |β >, osservando che i due autostatinon sono ortogonali. v) Sullo stato |α > calcolare il valore di aspettazione dell’energia egli scarti quadratici medi ∆x e ∆p di posizione e momento, verificando che lo stato |α >e a indeterminazione minima.

9. 2 Luglio 19901-2.8) Una particella di massa m = 10−24gr in una buca a simmetria sferica di pro-

fondita −V0 e raggio a = 1.29 10−13cm, si trova in uno stato legato di momento angolarel = 0 ed energia W = −1 Mev. Calcolare V0 e dire se lo stato legato e l’unico all’internodella buca. [Sviluppare in serie al primo ordine le funzioni circolari, giustificando taleapprossimazione.]

2-1.20-5.12) Per un potenziale di Morse: V (x) = V0 exp[−2(x−x0)/a]−2exp[−(x−x0)/a] relativo a una particella di massa m, si possono studiare le piccole oscillazioni at-torno al punto di equilibrio x0, riducendo il potenziale a quello di un oscillatore armonico diopportuna frequenza. Dire se e per quali stati legati tale approssimazione puo essere validaper un sistema caratterizzato dai seguenti valori: V0 = 10−2ev µ = 10−23gr a =5.10−8cm.

3-9.10) Una particella sulla sfera di Hamiltoniano H = L2/(2I) + aLz, con I e a

costanti numeriche, e caratterizzata dallo stato iniziale: ψ(0) = A sin2θ sinφ , con A

costante di normalizzazione. Dimostrare che al generico istante t lo stato della particellae dato da: ψ(t) = exp[−i3ht/I] A sin2θ sin(φ− at) .

10. 23 Luglio 19901-11.9) L’elettrone di un atomo di idrogeno si trova nel suo stato fondamentale. Cal-

colare la distribuzione di probabilita per il momento.2-7.4) Un pacchetto d’onde associato a particelle neutre dotate di spin 1/2 e momento

magnetico intrinseco µ0, attraversa un campo magnetico H =(0, 0,H(z)

).

i) Scrivere l’equazione di Schroedinger per la:

ψ(t) =∣∣∣∣ψ1(t)ψ2(t)

∣∣∣∣ .ii) Per un dato iniziale del tipo ψ0 = χσ φ(x), con χσ spinore arbitrario, e per〈dH(z)/dz〉 ≈ dH(〈z〉)/dz, dimostrare che il fascio si separa, ovvero che ψ1(t) e ψ2(t)

COMPITI 5

rappresentano due pacchetti d’onde i cui baricentri 〈x〉1 e 〈x〉2 si muovono su traettoriedivergenti.

3-7.6) Siano date le matrici A, B e C relative a tre osservabili per un certo sistema, ela matrice H relativa al suo Hamiltoniano:

A =

∣∣∣∣∣∣0 1 01 0 10 1 0

∣∣∣∣∣∣ B =

∣∣∣∣∣∣1 0 00 0 −10 −1 0

∣∣∣∣∣∣ C =

∣∣∣∣∣∣2 0 00 3 00 0 3

∣∣∣∣∣∣ H =

∣∣∣∣∣∣0 iW1 0

−iW1 0 00 0 W2

∣∣∣∣∣∣ .Osservato al tempo t = 0 il valore massimo di A, calcolare la probabilita di trovare altempo t > 0: i) il valore massimo di B; ii) il valore massimo sia di B che di C.

11. 17 Settembre 19901-10.5) Un atomo di tre elettroni si trova nello stato fondamentale (1s)22s. i) Scrivere

la funzione d’onda dello stato sotto forma di determinante di Slater. ii) Esprimere lecorrezioni all’energia dovute alla repulsione coulombiana tra gli elettroni, al primo ordineperturbativo e tramite le sole funzioni d’onda orbitali φ1oo(ri) e φ200(ri) (i = 1, 2).

2-11.10) Si consideri un pacchetto d’onde nel potenziale V = 1/2 kx2+ax3. Si dimostriche i valori medi 〈x〉 e 〈p〉 non soddisfano le equazioni classiche del moto, se non nel casoarmonico a = 0.

3-5.13) L’Hamiltoniano di un sistema sia:

H =

∣∣∣∣∣∣ε 2ε− i −ε

2ε+ i 0 −i−ε i 0

∣∣∣∣∣∣ .Trovare autovalori e autofunzioni del sistema per ε = 0 e le correzioni da apportare ailivelli energetici, al primo ordine perturbativo in ε.

12. 22 Ottobre 19901-10.6) Due particelle identiche di massa m e spin 1/2 si trovano in una scatola cubica

di lato 2a. i) Determinare lo stato fondamentale e trovare la probabilita di trovare unaparticella in un volume dx attorno al punto x. ii) Se si aggiunge una interazione dellaforma V = Aσ1 ·σ2, determinare come viene modificata l’energia dello stato fondamentale.

2-9.11) Senza fare ricorso alla teoria generale dell’addizione di momenti angolari, de-terminare autostati e autovalori relativi agli operatori Σ2 e Σz, essendo Σ = σ1 + σ2, intermini degli autostati |1/2 ; ±1/2〉i degli operatori σ2

i e σzi(i=1,2).

3-5.14) Si consideri una particella di spin 1/2 sottoposta a un campo magneticoHx = B, Hy = 0, Hz = A, e si supponga B A. Calcolare i livelli energetici al primo esecondo ordine della teoria delle perturbazioni.

13. 11 Febbraio 19911-1.3 Sia data una particella in una buca liscia monodimensionale pari. Supposto che

esistano almeno tre stati legati, disegnare qualitativamente le funzioni d’onda dello statofondamentale, del secondo stato eccitato e di un generico stato del continuo.

2-11.11) Sia data la funzione d’onda di una particella libera in una dimensione:

ψ(x) =1√2πh

√β

π

∫ ∞

−∞dp exp

[− 1

2β2(p− p0)2 +

i

h(px− p2

2µt)

].

COMPITI 6

Calcolare la densita di probabilita che al tempo t, fatta una misura di energia, si trovi unvalore compreso tra W e W + dW .

3-5.5) Siano date l’Hamiltoniano H e l’osservabile A di un certo sistema.

A =

∣∣∣∣∣∣1 i 0−i 0 −i0 i 1

∣∣∣∣∣∣ H =

∣∣∣∣∣∣W −iχ 0iχ −W iχ0 −iχ −3W

∣∣∣∣∣∣ .Al tempo t = 0 una misura di A fornisce come risultato il valore 1. i) Calcolare al tempo tla probabilita di trovare il valore −W in una misura dell’energia. ii) Valutare gli autovaloridi H esattamente e, supposto χ piccolo, con la teoria delle perturbazioni al secondo ordine.Confrontare i risultati.

14. 3 Giugno 19911-6.1) Volendo utilizzare il principio variazionale di Riesz per la valutazione approssi-

mata dello stato fondamentale di una buca infinita con 0 ≤ x ≤ a, dire quali dei duepolinomi seguenti puo essere utilizzato come funzione di prova e perche:ψ2 = x(l − x) ψ3 = x(l − x)(x− a). (Sia l un parametro variazionale.)

2-10.7 ) Tre particelle identiche di massa µ = 10.8 · 10−28gr e spin 1/2 si muovonolibere in una scatola cubica di lato 2l = 2 · 10−8cm. Calcolare le energie necessarie perpassare dallo stato fondamentale al primo eccitato, e da questo al secondo.

3-7.7) E’ data una particella di spin 1/2 e momento magnetico −µ0Σ. Al tempo t = 0una misura della componente dello spin lungo l’asse x da come risultato 1/2. Per t > 0su di essa agisce il campo magnetico B =

(0, 0, B0(1− e−t)

). Trovare i valori medi delle

tre componenti dello spin in funzione del tempo e verificare che questi, nel limite t→∞,sono funzioni periodiche del tempo.

15. 11 Luglio 19911-11.12) Sia H l’hamiltoniano di un sistema, X un’osservabile commutante con H e

Y un’altra osservabile soddisfacente a [H,Y ] = iX. Dimostrare che anche Z = i[X,Y ] ecostante del moto e fornire un esempio concreto dei tre operatori H,X, Y .

2-5.6) Studiare lo spettro di H = a†a + λ(a†2a + a†a2) + a†2a2. con [a, a†] = 1, alsecondo ordine in teoria delle perturbazioni nel parametro λ. Dimostrare inoltre (con uncalcolo esatto) che nel caso λ = 1 lo stato fondamentale e degenere.

3-4.1) Discutere lo spettro di una particella in una “buca quadrata” di semiampiezzab e profondita V0 nel limite in cui V0 → ∞, b → 0 con V0b = c fissato. Ricavare anche lecondizioni al contorno cui soddisfa la funzione d’onda nel solo limite b→ 0.

4-4.2) Dato il potenziale V (x) = −λδ(x), integrare l’intera equazione di Schroedingerottenendo le condizioni cui deve soddisfare la funzione d’onda in x = 0. Dimostrareche queste condizioni definiscono una derivata seconda autoaggiunta. Trovare lo spettroapplicando le condizioni di raccordo ottenute. Ritrovare lo stesso risultato operando latrasformata di Fourier dell’equazione, e quindi la antitrasformata.

16. 29 Luglio 19911-4.3) Si consideri una particella di massa m in una dimensione soggetta al potenziale

V (x) = −λ1δ(x− x0)− λ2δ(x+ x0), con λ1, λ2, x0 costanti positive assegnate.Determinare gli stati legati della particella e in particolare valutare la differenza tra i primidue livelli energetici nel limite x0 →∞ nel caso λ1 6= λ2 e nel caso λ1 = λ2.

COMPITI 7

2-2.3) Si consideri un atomo di idrogeno in due dimensioni immerso in un campomagnetico trasversale B. Adottando coordinate polari nel piano (r, φ) con momenti coni-ugati pr, pφ, determinare i livelli energetici con il metodo di Bohr-Sommerfeld nel limitedi campo debole, trascurando cioe il termine quadratico in B.

17. 9 Settembre 19911-9.12) Per una particella di spin 1/2 si e osservata la proiezione dello spin sull’asse

z e si e trovato il valore 1/2 h. Calcolare: i) la probabilita di trovare lo stesso valoreimmediatamente dopo la prima misura per la proiezione di S sugli assi x, y e sull’asse rdi coseni direttori l,m, n (l2 + m2 + n2 = 1); ii) i valori medi delle proiezioni di S suglistessi assi x, y e r; iii) gli scarti quadratici medi delle proiezioni di S sugli assi x e y . Se laseconda misura viene eseguita dopo un certo intervallo di tempo dalla prima e la particellae libera, dire se sono variate le probabilita e i valori medi sopra considerati.

2-5.15) Si cosideri una particella su un segmento di lunghezza L con condizioni pe-riodiche al contorno. Si determinino le autofunzioni dell’energia e i corrispondenti auto-valori. Introdotta la perturbazione V = V0e

−λx, calcolare al primo ordine perturbativo inV0 le correzioni al primo livello eccitato, nell’ipotesi 1/L λ.

3-4.5) Determinare i coefficienti di trasmissione e di riflessione per una particellamonodimensionale soggetta al potenziale V (x) = λδ(x). Studiare il caso limite W →∞ eW → 0.

18. 28 Ottobre 19911-5.16) Calcolare la correzione ai primi due livelli di energia di un atomo di idrogeno

dovuti a un momento di dipolo elettrico ε del nucleo. Il calcolo sia effettuato al primo ordinein teoria delle perturbazioni. NB: Le funzioni d’onda idrogenoidi normalizzate ψnlm cheinteressano sono le seguenti (r espresso in unita atomiche):ψ100(r) = 2e−r Y 0

0 , ψ200(r) = 1/√

2 e−r/2(1− r/2) Y 00 , ψ21m(r) = 1/(2

√6) re−r/2 Y m

1 .

2-5.17) Sia H0 = p2/2µ + µω2q2/2 l’Hamiltoniano di un oscillatore armonico a ungrado di liberta. Sia V = a†2a2 una perturbazione, essendo a = (p − iµωq)/

√2µhω

l’operatore di annichilazione. i) Trovare la dipendenza funzionale di un generico livello dienergia dell’Hamiltoniano H = H0 + λV , cioe Wn = Φ(µ, h, ω, λ), con semplici consid-erazioni dimensionali. ii) Calcolare la correzione al secondo ordine in teoria delle pertur-bazioni per l’autovalore e per l’autovettore dello stato fondamentale.

19. 30 Ottobre 19911-5.18) Calcolare la correzione al primo ordine perturbativo per il livello n = 2 di un

atomo di idrogeno dovuta a un potenziale: V = ε cos θ/rα, dove ε e α sono costanti realipositive e α ≤ 2. NB: Le funzioni d’onda idrogenoidi normalizzate ψnlm che interessanosono le seguenti (r espresso in unita atomiche):

ψ200(r) = 1/√

2 e−r/2 (1− r/2) Y 00 ψ21m(r) = 1/(2

√6) re−r/2 Y m

1 .

2-5.19) Sia data l’Hamiltoniano di un oscillatore armonico ad un grado di liberta:H0 = p2/2µ + µω2q2/2 . Sia V = λ1q

3 + λ2q4 una perturbazione piccola. Trovare la

dipendenza funzionale di un generico livello di energia dell’Hamiltoniano H = H0 + V ,cioe Wn = Φ(µ, h, ω, λi), con semplici considerazioni dimensionali. Calcolare la correzioneal primo ordine in teoria delle perturbazioni per gli autovalori dell’energia.

COMPITI 8

20. 18 Dicembre 19911-5.20) Calcolare la perturbazione al primo ordine dello stato fondamentale dell’atomo

di idrogeno dovuta alla correzione relativistica −p4/(8µ3c2). (Suggerimento: si tengapresente che p2 = 2µ

(H0 + e2/r

)dove H0 e l’Hamiltoniano imperturbata).

2-10.8) Scrivere la forma piu generale dello stato fondamentale di un atomo di boro(numero atomico 5) nell’approssimazione di elettroni indipendenti, trascurando cioe larepulsione coulombiana tra gli elettroni.

3-11.13) Un sistema di due particelle a spin zero si trova nello stato:Ψ(x1,x2) = N exp−(α/2) x2

1 − (β/2) x22 + γ x1 · x2.

Si calcoli il valore di aspettazione del momento lineare e delle componenti del momentoangolare delle due particelle.

21. 4 Febbraio 19921-6.2) Calcolare il valore approssimato dell’energia dello stato fondamentale di un

oscillatore armonico con il metodo variazionale, utilizzando le funzioni di prova:a) ψ1(x) = A(1 + x2/a2)−1 b) ψ2(x) = B(1 + x2/a2)−2,

essendo a il parametro variazionale. Dire per quali valori dei parametri a e b la funzione diprova: ψ(x) = C(1 + x2/a2)−b2 riproduce meglio l’andamento della autofunzione esattadello stato fondamentale, e valutare l’errore minimo sull’autovalore. [Suggerimento. Per laprima parte utilizzare la formula:

∫∞−∞ dx/(b+ x2)n+1 = −1/n d/db

∫∞−∞ dx/(b+ x2)n .

Per la seconda, ricordare che : e−x = limν→∞(1 + x/ν)−ν .]2-11.14) Scrivere la piu generale funzione d’onda di un elettrone in campo coulombiano

al tempo t = 0, tale che in nessun istante successivo una misura dell’energia dia comerisultato un valore dello spettro discreto.

3-11.15) Determinare la parita intrinseca del π− dalla reazione forte π− + d → 2n,supponendo che questa avvenga dopo formazione dell’atomo mesico π−d in onda S. Ricor-dare che: l’operatore di parita e definito da Pψ(x, σ) = ηAψ(−x, σ), con ηA = ±1 dettaparita intrinseca della particella A; le interazioni forti conservano la parita; il π− ha spinzero; il deutone e il neutrone hanno spin-parita 1+ e 1/2 +, rispettivamente.

22. 22 Febbraio 19921-3.2) Data l’Hamiltoniano: H = hω(a†1a1 + a†2a2) + λ(a†1a2 + a1a

†2), determinare i

suoi livelli energetici e cosa si deve imporre a λ affinche H abbia solo autovalori positivi.2-11.16) Data l’Hamiltoniano H = p2/2µ + µω2q2/2 + λ q4/4 , [q, p] = ih, siano

Wn = Wn(µ, ω, λ, h) i suoi autovalori. Dimostrare la relazione:Wn(µ, ω, λ, h) = h(hλ/µ2)1/3Wn(1, ω[µ2/(hλ)]1/3, 1, 1) . (Suggerimento: effettuare una

semplice trasformazione canonica oppure utilizzare considerazioni dimensionali.)23. 1 giugno 1992

0-7.31) Sia dato un oscillatore armonico forzato, descritto dall’Hamiltoniana:H = H0 +H1(t) = p2/2µ+ 1/2 µω2x2 − x f(t) .

Al tempo t = 0 il sistema si trovi in un autostato |n 〉 dell’Hamiltoniana imperturbataH0 . In rappresentazione di interazione, trovare la probabilita di trovare il sistema in unaltro autovettore |m 〉 di H0 , con m 6= n .

1-8.4) Si consideri un oscillatore armonico inizialmente nel suo stato fondamentaledescritto in opportune unita di misura dall’Hamiltoniano H0 = (p2 + q2)/2 . All’istante

COMPITI 9

t = 0 l’oscillatore e sottoposto a una perturbazione esterna descritta dall’Hamiltonianodi interazione HI = q sin(ωt). i) Si determini quale e la probabilita P (W, t) di misurareun’energia W = n + 1/2 ad un qualsiasi istante t > 0. ii) Al tempo t = T = 2π/ω laperturbazione viene spenta. Dire se la probabilita P (W, t) dipende dal tempo per t > T .

2-2.7) Calcolare lo spettro di energia di un atomo di idrogeno perturbato con unainterazione V = βr−2, con β costante positiva.

3-3.3) Due oscillatori armonici monodimensionali di massa m e frequenza rispettiva-mente ω1 e ω2 sono accoppiati tramite il potenziale V = gx1x2 . Calcolare lo spettro delsistema.

24. 29 Giugno 19921-5.21) L’Hamiltoniano di un sistema quantomeccanico a un grado di liberta e data

da H = p2/2µ+µω2q2/2 +λq4 dove q, p sono gli operatori canonici e µ, ω, λ sono costantireali positive. Dimostrare, attraverso considerazioni dimensionali, che ogni livello discretodi energia e rappresentabile con l’espressione Wn = hωΦn(γ), dove Φn e un’opportunafunzione analitica di γ = (hλ)/(µ2ω3). Assumendo nota la funzione Φn, calcolare i valoridi aspettazione < n|q2|n >,< n|p2|n >,< n|q4|n >, essendo |n > l’autostato dell’energiaappartenente aWn. Determinare Φn(x) al 20 ordine in teoria delle perturbazioni e applicareil risultato al calcolo dei valori d’aspettazione ottenuti in precedenza.

2-4.6) Discutere il problema agli autovalori per una particella di massa m in un gradodi liberta nel potenziale: V = λδ(x) |x| < a, V = +∞ |x| ≥ a, dove δ(x) e ladistribuzione di Dirac e a, λ sono costanti positive. Discutere inoltre il limite λ→∞.

25. 20 Luglio 19921-2.6) Una particella di massa µ e carica elettrica −e e soggetta a un potenziale

V (x, y, z) = 0 ρa <√x2 + y2 < ρb V (x, y, z) = +∞ altrove.

Solo nel cilindro piu interno agisce un campo magnetico uniforme e costante nel tempo diintensita B0 e direzione z. Scrivere l’equazione di Schroedinger in coordinate cilindriche eseparare le variabili. Dimostrare che esiste un valore B tale che perB0 = nB, n = 1, 2, ..., il campo B0 non altera lo spettro della particella.

2-5.22) Studiare in teoria delle perturbazioni lo spettro dell’operatoreH = a†a+ λ|ξ〉〈ξ|, con |ξ〉 vettore normalizzato e a†, a gli ordinari operatori di creazionee distruzione. Considerare in particolare |ξ〉 =

∑∞n=0 ξ

n/n! |n〉 con |n〉 autovettori diH0 = a†a. Cosa invece si puo dire per λ→ −∞?

26. 21 Settembre 19921-7.8) Un elettrone si muove in un campo magnetico uniforme H0 diretto come l’asse

z. Dall’istante t0 = 0 agisce su di esso un altro campo magnetico uniforme H ′ direttocome l’asse x. Supposto lo spin dell’elettrone inizialmente orientato secondo la direzionepositiva dell’asse z, calcolare al tempo t la probabilita di trovare lo spin capovolto.

2-5.23) Una particella si muove in una dimensione soggetta al potenzialeV = V0cos

2(πx/a) 0 < x < a V = +∞ x < 0 , a < x.

Al primo e al secondo ordine perturbativo in V0 trovare le correzioni alle energie degli statilegati. Indicare le condizioni di validita del procedimento.

COMPITI 10

27. 26 Ottobre 19921-9.13) La funzione di spin di un sistema di N particelle a spin s = 1/2 e della forma:

ψ =∣∣∣∣ 10

∣∣∣∣1

∣∣∣∣ 10

∣∣∣∣2

...

∣∣∣∣ 10

∣∣∣∣n

∣∣∣∣ 01

∣∣∣∣n+1

∣∣∣∣ 01

∣∣∣∣n+2

...

∣∣∣∣ 01

∣∣∣∣N

.

Valutare il valor medio del quadrato dello spin totale del sistema.2-2.5) Trovare i livelli energetici dello stato s di una particella nel campo

V (r) = −V0e−r/a. Valutare la condizione di esistenza di almeno uno stato legato. Valutare

il numero di altri stati legati in onda s in funzione di V0. In particolare, per V0 1.(Suggerimento: operare il cambio di variabile ρ = e−r/2a.)

28. 2 Novembre 19921-2.10) Determinare i livelli energetici discreti di una particella bidimensionale nel

potenziale centrale U(ρ) = −α/ρ. Determinare la loro degenerazione e confrontarla conquella del caso Coulombiano.

2-5.24) Valutare al primo ordine perturbativo le correzioni al secondo stato legato(n=2) dell’atomo di idrogeno, dovute a un campo elettrico e un campo magnetico uniformi,costanti e parelleli tra di loro.

3-9.14) Dati N spinori (s = 1/2) diversi tra di loro, calcolare quanti stati linearmenteindipendenti corrispondono all’autovalore M della terza componente dello spin totale.

29. 18 Gennaio 19931-5.25) Una particella senza spin di massa µ si muove in un campo centrale della forma:

U(r) = −U0/(er/a − 1) con α = (µa2V0)/h2 1. Al primo ordine perturbativo in 1/a,calcolare le correzioni ai livelli energetici del potenziale Coulombiano V (r) = −V0a/r.Notare la risoluzione della degenerazione accidentale. Volendo le correzioni al secondoordine in 1/a, a che ordine occorre sviluppare il potenziale? (Suggerimento: sviluppare ilpotenziale in serie di r/a, giustificando il procedimento per i valori assegnati dei parametri.Ricordare inoltre che (ψnlm, rψnlm) = 1/2 [3n2 − l(l + 1)]r0] con r0 raggio di Bohr.)

2-7.9) Una particella di spin 1 (di cui si considerano solo i gradi di liberta di spin)e immersa in un campo magnetico statico diretto come l’asse y, ovvero H = τ Sy. Seall’istante t = 0 una misura di Sx fornisce come risultato h, quale e la probabilita diottenere h in una misura di Sz al tempo t?

30. 1 Marzo 19931-1.5) Si consideri il seguente potenziale (costante a tratti):V (x) = +∞ x < 0,= −V0 0 < x < a,= +V1 a < x < a+ b,= 0 x > a+ b,

dove tutte le costanti V0, V1, a, b sono positive. i) Descrivere qualitativamente lo spettrodell’Hamiltoniano H = p2/2µ + V (x). ii) Attraverso considerazioni semiclassiche (WKB)ottenere una condizione approssimata per l’esistenza di almeno uno stato legato per a =1.0A e µ = 0.511 MeV/c2 (si rammenti che hc ∼ 197MeVfm). iii) Risolvere l’equazionedi Schroedinger agli stati stazionari e ricavare una equazione trascendente cui soddisfanogli autovalori dell’energia. iv) Discutere il caso limite V1 →∞.

31. 8 Giugno 19931-11.17) Sia data l’Hamiltoniano per una particella tridimensionale di massa µ:

H = p2/(2µ) + V (q2), V (q2) = k|q|2β , k > 0, e un operatore autoaggiunto S soddis-facente le regole di commutazione: [S, pk] = ihpk [S, qk] = −ihqk. Ricavare da queste

COMPITI 11

le relazioni: 〈W |p2/(2µ) |W 〉 = β/(β + 1)W, 〈W |V (q2) |W 〉 = 1/(β + 1)W, essendoH |W 〉 = W |W 〉. Ricavare inoltre una espressione esplicita per S.

2-5.26) Si consideri un oscillatore armonico in due gradi di liberta:H0 = p2

1/(2µ1) + p22/(2µ2) + 1/2µ1ω

21q

21 + 1/2µ2ω

22q

22

perturbato con H1 = λq21q22 . Determinare la correzione all’energia dello stato fondamentale

al secondo ordine in λ. Discutere il calcolo perturbativo dei livelli eccitati.32. 19 Luglio 1993

1-7.42) Una particella di spin 1/2 e immersa in un campo magnetico diretto lungo l’assez. A partire dall’istante t = 0 si eseguono a intervalli regolari di tempo τ misure ripetutedello spin nella direzione x. Su N misure oltre la prima, determinare: i) la probabilita delledifferenti configurazioni e come queste si caratterizzano; ii) quali condizioni determinanol’esistenza di configurazioni deterministiche.

2-1.15) Una pallina di massa µ soggetta solo al proprio peso rimbalza sul pavimento inmodo perfettamente elastico. Trascurando le oscillazioni sul piano xy, calcolare l’energiadello stato fondamentale quantistico.

3-6.3) Una pallina di massa m soggetta solo al proprio peso rimbalza sul pavimento inmodo perfettamente elastico. Trascurando le oscillazioni sul piano xy, valutare l’energiadello stato fondamentale con il metodo variazionale, utilizzando come funzioni di prova:ψ1(z) = Aze−αz ψ2(z) = Bze−βz2/2. Confrontare con il valore esatto del problema 32.2).

33. 15 Settembre 19931-10.9) Tre bosoni identici con s = 1 sono descritti dalla funzione d’onda

Ψ = φ(x1)φ(x2)φ(x3)Σ(σ1, σ2, σ3), con φ(x) funzione data. Determinare il numero deglistati indipendenti. Da tale numero e da semplici considerazioni di simmetria, determinarei valori possibili per lo spin totale. Scrivere esplicitamente gli autostati dello spin totale edella sua terza componente in funzione degli autostati dello spin delle singole particelle. Eper tre spinori identici con s = 1/2 ?

2-10.10) Calcolare l’energia dello stato fondamentale dell’atomo di Litio, al primoordine perturbativo nella repulsione Coulombiana, e confrontare con il valore sperimentaleW exp

0 ≈ −203.4ev. (Vedi prob. 11.1 e CalCiPro pgg. 767 e sgg.).3-4.7) Dato il potenziale: V (x) = α[δ(x) + δ(x− a)] α > 0, determinare per quale

valore dell’energia le particelle non si riflettono sulla barriera.34. 21 Ottobre 1993

1-7.10) Una particella di spin 1/2 e momento magnetico µ = ghσ/2 si trova immersain un campo magnetico oscillante nel tempo e di direzione costante B = (0, 0, B sin(ωt)).Se lo stato iniziale della particella e autostato della componente x dello spin, calcolare ladistribuzione di probabilita per tutte le componenti dello spin in funzione del tempo.

2-2.9) Una particella e descritta dall’Hamiltoniano H = c|p| + K/2 |q|2 dove c,Ksono costanti positive. Discutere la dinamica del sistema secondo la meccanica classica.Valutare lo spettro del sistema in meccanica quantistica applicando una conveniente ap-prossimazione. (L’operatore |p| si intende definito dalla funzione

√p · p ).

35. 25 Novembre 19931-11.18) Trovare gli autovalori dell’operatore K = 1/2 (p4+q4) , con p, q operatori

canonici, nel sottospazio generato dai primi 5 autostati dell’oscillatore |n 〉, n = 0, 1, ..4 .

COMPITI 12

2-11.19) Il principio di Heisenberg afferma che una particella confinata in un recipientedi volume finito non puo avere energia cinetica zero. Spiegare perche, e valutare la pressioneesercitata dalla particella nello stato fondamentale.

3-10.11) Calcolare l’energia dello stato fondamentale dell’atomo di Litio, repulsioneCoulombiana inclusa, mediante il metodo variazionale, utilizzando come funzioni di prova:ψZ = φZ

1 (r1)φZ1 (r2)φZ

2 (r3)χ , dove χ e la funzione di spin e φZ1,2(r) sono le due prime auto-

funzioni di un atomo idrogenoide a numero atomico Z inteso quale parametro variazionale.Notare che l’uso di funzioni d’onda non simmetrizzate non implica avere trascurato com-pletamente l’identita delle particelle: il principio di esclusione di Pauli e infatti implicitonella scelta delle funzioni di prova. (Confrontare con i risultati perturbativi del 33.2).

4-10.12) Come il problema precedente, ma con funzioni di prova antisimmetrizzate.36. 10 Gennaio 1994

1-11.20) Dati tre operatori hermitiani N-dimensionali A, B e C, soddisfacenti le regoledi commutazione: [A,C] = [B,C] = 0 [A,B] 6= 0, dire se puo esistere una base nella qualel’operatore C ammette la rappresentazione: Cik = δikk con k = 1, 2, ..., N .

2-2.11) Data una particella tridimensionale soggetta al potenziale centrale:V (x) = −V0 r < a, V (x) = 0 r ≥ a, determinare qualitativamente le condizioni suffici-enti sotto le quali non esistono stati legati di momento angolare l.

3-9.15) Determinare esplicitamente lo stato a spin totale 0, in funzione di due vettoridi stato a spin 1.

37. 28 Febbraio 19941-11.21) Una particella immersa nel potenziale U(x) si trova in uno stato stazionario.

Mostrare che la forza media che si esercita su di essa e nulla, cioe che F = −dU/dx havalore di aspettazione nullo sugli stati stazionari.

2-6.4) Mediante il metodo variazionale ricavare il valore approssimato dell’energiadello stato 2p di una particella in campo coulombiano, utilizzando le funzioni di prova:ψ(r) = a · r exp[−α2r2], con a vettore costante e α parametro variazionale. Confrontarecon il valore esatto e giustificare la scelta delle funzioni di prova.

38. 27 Giugno 19941-11.22) Sia data una particella quantistica in un solo grado di liberta soggetta a un

potenziale V (x) = 0, |x| > a ; = −V0, |x| < a , con V0 e a costanti reali positive. Se laparticella si trova inizialmente nello stato rappresentato da un pacchetto d’onde gaussianoψ(x, t = 0) = A exp[−(x− x0)2/(4 σ)− ik0x] con A, k0, x0 e σ costanti reali positive,valutare la probabilita che in una misura dell’energia all’istante t > 0 si ottenga il valoredello stato fondamentale. [Si approssimino le formule ottenute nel caso in cui x0 a.]La probabilita richiesta dipende dal tempo t > 0 a cui si effettua la misura?

39. 20 Luglio 19941-11.23) Assumendo che H abbia la forma di un Hamiltoniano a spettro discreto per

una particella senza spin H = p2/2µ+V (x), sfruttando il commutatore [[H, eik·x], e−ik·x],calcolare la somma S =

∑m(Wn−Wm)|〈n|eik·x|m〉|2, essendo k un vettore costante, µ una

costante con dimensioni di una massa, Wn gli autovalori di H. Generalizzare il risultatoal caso di N particelle.

COMPITI 13

2-5.7) Valutare le correzioni agli stati 1s e 2p dell’atomo di idrogeno, supponendo lacarica distribuita uniformemente in un volume di raggio rp ≈ 10−13cm . Quale sarebbel’effetto, se al posto dell’elettrone ci fosse un muone µ− di massa 210 volte superiore?

40. 19 Settembre 19941-10.13) Quale puo essere lo spin totale S di due bosoni identici di spin s, in uno stato

a momento orbitale relativo L?2-4.8) Si consideri il problema di una particella quantistica in un solo grado di liberta

soggetta al potenziale: V (x) = ( ∞ , |x| ≥ a ; λδ(x) , |x| < a ) con λ reale positivo.Discutere l’eventuale effetto tunnel da una parte all’altra dell’origine x = 0.

41. 31 Ottobre 19941-2.12) Determinare autovalori e autofunzioni di una particella tridimensionale di

massa µ immersa nel potenziale V (r) = ( 0 , r < a ; ∞ , r ≥ a ). Calcolare il valorenumerico approssimato per i due autovalori piu bassi nel caso di a = 10−8cm.

2-9.16) Dimostrare che la funzione d’onda di due particelle di momento angolare jdella forma: |0, 0 〉

T= 1/

√2j + 1

∑jmj=−j(−)sj |j,mj 〉1 |j,−mj 〉2 , con sj = mj per j

intero e sj = mj + 1/2 per j semintero, ha momento angolare totale zero.42. 26 Gennaio 1995

1-8.5) Discutere il problema quantistico di un oscillatore armonico avente massa m efrequenza ω soggetto a una perturbazione esterna che ne modifica la frequenza in modotale da avere ω(t) = ( ω , t ≤ 0 ; ω+ δω , 0 < t < T ; ω , t ≥ T ). Se l’oscillatore si trovanello stato fondamentale per t < 0, quale sara la probabilita di misurare un’energia pari a(n+ 1/2)hω a un tempo maggiore di T?

2-2.13) Un elettrone e confinato in una regione cilindrica di lunghezza L e raggio dibase ρa. Il campo elettrico interno al cilindro e nullo; e presente invece un campo magneticodi cui si conosce il potenziale A =

(− Fy/(x2 + y2) , Fx/(x2 + y2) , 0

)dove F e una

costante. Si chiede innanzitutto di determinare le dimensioni fisiche della costante F . Sidetermini poi l’Hamiltoniano dell’elettrone e si discuta la natura dello spettro.

3-11.24) Si consideri il problema delle due fenditure. Si sa che gli elettroni passanoattraverso due fenditure distanti 1mm e formano frange di interferenza sullo schermo postoa distanza di 1m. La distanza fra le frange nella regione centrale e di 1.5µ. Qual’e l’ordinedi grandezza dell’energia degli elettroni?

43. 8 Marzo 19951-7.12) Studiare il moto di un pacchetto d’onde gaussiano che evolve secondo l’equa-

zione di Schroedinger in un potenziale a una dimensione: V (x) = 0, x < 0; V0, x > 0, doveV0 e una costante positiva. Il pacchetto e inizialmente localizzato a sinistra dell’origineed ha un momento medio p0 > 0. Descrivere qualitativamente l’evoluzione del pacchetto.Determinare le autofunzioni nei due casi W > V0 e W < V0. Applicare il metodo dellafase stazionaria per studiare analiticamente il moto del pacchetto.

2-11.25) Un rotatore piano di momento di inerzia I e momento di dipolo elettricodE e immerso in un campo elettrico omogeneo E0 diretto lungo il piano del rotatore.Scrivere l’Hamiltoniano del sistema. Determinare in modo approssimato la polarizzabilitapE = ∂〈dE〉/∂E0 del rotatore nello stato fondamentale.

COMPITI 14

44. 19 Giugno 19951-6.5) Calcolare il valore approssimato dell’energia dello stato fondamentale di un

oscillatore armonico bidimensionale, utilizzando il metodo variazionale con le funzioni diprova: ψα(ρ) = C exp(−αρ), ρ =

√x2 + y2, con α parametro variazionale.

2-7.11) Sia data una particella di spin s = 1/2 e momento magnetico µ, immersain un campo magnetico omogeneo stazionario. Determinare l’operatore vettoriale di spins(t) in rappresentazione di Heisenberg, con due procedimenti: i) tramite la trasformazioneunitaria che collega gli operatori delle osservabili in rappresentazione di Heisenberg e diSchroedinger (ricordare la relazione per operatori lineari : exp(A)B exp(−A) = B+[A,B]+12! [A, [A,B]] + 1

3! [A, [A, [A,B]]] + ...); ii) risolvendo le equazioni del moto per gli operatoriin rappresentazione di Heisenberg (risolvere per gli operatori s±).

45. 24 Luglio 19951-1.8) Trovare l’energia e la funzione d’onda dello stato fondamentale di una particella

monodimensionale immersa nel campo: V (x) = −V0e−|x|/a.

Studiare in particolare il caso di una buca con µa2V0/h2 1, sfruttando la relazione:

J ′ν(ξ) ≈ ν/(2Γ(ν + 1))(ξ/2)ν−1 − ν + 2/(2Γ(ν + 2))(ξ/2)ν+1 ξ 1.2-9.17) Sia dato un sistema di due particelle (distinguibili) di spin 1. Senza fare uso

dei coefficienti di Clebsch-Gordan, ricavare le autofunzioni dello spin totale e della suaterza componente in funzione degli autostati di particella singola.

46. 22 Settembre 19951-5.27) Un oscillatore armonico isotropo descritto dall’Hamiltoniano

H0 = hω(a†1a1 + a

†2a2 + a

†3a3

)e perturbato dall’interazione V = ε

(a†1a2 + a1a

†2

).

Calcolare la correzione ai primi tre autovalori dell’energia W (0) = nhω, n = 0, 1, 2, siamediante lo sviluppo perturbativo che in forma chiusa mediante un calcolo esatto.

2-11.26) Dare una stima delle dimensioni dell’atomo a Z elettroni in approssimazionesemi classica.

3-1.4) Per una barriera di potenziale V (x) sono note le ampiezze di riflessione e ditrasmissione ρ(k), τ(k). Discutere l’effetto tunnel nel caso di due barriere V (x) poste adistanza L una dall’altra.

47. 17 Novembre 19951-1.19) Calcolare livelli energetici ed autofunzioni di una particella di massa m in moto

nel potenziale V (x) = V0 (a/x− x/a)2 . Che legame esiste tra lo spettro di questo sistemae quello di un oscillatore armonico bidimensionale isotropo?

2-5.28) Una particella di massa m e carica e e attirata nell’origine da una forza elasticadi intensita kr. Il sistema e immerso in un campo magnetico uniforme e costante dimodulo B diretto lungo l’asse z. a) Introducendo un opportuno potenziale vettore, scriverel’hamiltoniano del sistema. b) Supponendo B molto piccolo, calcolare i primi autovaloridell’energia.

3-9.18) Due particelle di spin j1 e j2 si trovano nello stato jtot = j1 + j2 − 1,mtot = j1 + j2 − 1. Determinare la probabilita di misurare m1 = j1.

4-9.19) Una particella di spin 1/2 si trova nello stato ψ = (sinα, i cosα). Calcolare laprobabilita che la misura dell’osservabile n · s dia il valore +1/2 (-1/2).(n = (sin θ cosφ, sin θ sinφ, cos θ); s = (sx, sy, sz)

).

COMPITI 15

48. 31 Gennaio 19961-10.4) Valutando la repulsione coulombiana al primo ordine perturbativo, calcolare

le energie di legame e i potenziali di ionizzazione degli stati 2 1S e 2 3S dell’atomo di elio.[Utilizzare i valori J1,0,0;2,0,0 = 34/81Zw0 , K1,0,0;2,0,0 = 32/729Zw0 ].

2-4.10) Determinare i livelli energetici di una particella tridimensionale soggetta alpotenziale: U(r) = −αδ(r − a). Facoltativo: trovare la condizione di esistenza di statilegati di momento l. [Utilizzare il wronskiano K

m(x)I ′

m(x)−K ′

m(x)I

m(x) = 1/x ].

49. 19 Marzo 19961-7.13) Sia data una particella monodimensionale immersa nel potenziale V (x) = −αx

(α > 0). Calcolare la dipendenza temporale della indeterminazione ∆p dell’impulso.2-3.4) Sia data una particella monodimensionale di carica q e massa µ soggetta a un

potenziale armonico V (x) = 1/2 Kx2 e a un campo elettrico E diretto nel verso positivodelle x. Determinare autovalori e autovettori dell’Hamiltoniano e i valori medi 〈x〉n, 〈x2〉n,〈p〉n, 〈p2〉n, valutati sugli autovettori.

3-9.20) Due particelle, una di spin 1 e l’altra di spin 1/2 , si trovano in uno statoa spin totale 1/2 e terza componente 1/2 . Valutare le probabilita di misurare i valoripossibili di S2x, di S2y e di S2z.

50. 18 Giugno 19961-4.4) Considerare un oscillatore armonico monodimensionale soggetto a un potenziale

costante in (−a, a) e zero altrove: H = p2/(2µ) + 1/2 µω2x2 + Kθ(|x| < a) . Sidiscuta lo spettro dell’energia nei due limiti: i) a −→ +∞ , K qualunque; ii) a −→ 0con Ka fissato (perturbazione ∝ δ(x) ). Nel primo caso dire rispetto a quale scala dilunghezze si deve intendere il limite. Nel secondo caso fare uso della soluzione generaledell’equazione u′′λ + (λ + 1/2 − 1

4x2)uλ = 0 che per λ diverso da un intero ha la forma

uλ(x) = ADλ(x) + BDλ(−x ), dove Dλ (nota come funzione “parabolica cilindrica”) edefinita da

Dλ(x) = 2λ/2e−x2/4(√

π/[Γ(1/2 (1− λ))] 1F1(−1/2 λ, 1/2 ; 1/2 x2)−−√

2π/[Γ(−1/2 λ)] x 1F1(1/2 (1− λ), 3/2; 1/2 x2))

e tende a zero per x → +∞ mentre diverge per x → −∞ , come si puo verificare dalnoto andamento asintotico della 1F1. (La funzione 1F1(a, b;x) e l’ipergeometrica confluente,

1F1(a, b;x) = 1 + a/b x/1! + . . ., mentre Γ(z) e la funzione di Eulero.) [Nel secondo casosi identifichi la soluzione separatamente per x < 0 e per x > 0 e si sfruttino le proprietadell’ipergeometrica confluente per determinare la discontinuita della derivata in x = 0 .

2-10.1) Sia dato un atomo di elio in cui uno degli elettroni e stato sostituito da unmuone (stessa carica, massa 207 volte superiore). Si trovi un valore approssimato per lospettro dello stato fondamentale trascurando l’interazione e−µ− e si discuta la differenzasostanziale dal caso di due elettroni. Si determini un’approssimazione migliore tenendoconto dell’effetto di schermo che il muone esercita sul nucleo; si spieghi infine per qualemotivo gli stati con numero quantico principale del muone nµ maggiore di uno sono instabiliper ionizzazione.

COMPITI 16

51. 16 Luglio 19961-2.14) Una particella di massa µ e carica e si trova immersa in un campo magnetico

di potenziale vettore A =((ax− by)/(x2 + y2), (ay + bx)/(x2 + y2), 0

). Sulla particella

agisce anche un campo statico di energia potenziale U(x, y, z) = 1/2 µω2(x2 + y2 + z2) +β2/(x2 + y2) . Si determini la Lagrangiana e l’Hamiltoniano della particella secondo lameccanica classica. Si cerchi la forma piu conveniente di entrambe le funzioni attraversoun’appropriata trasformazione di gauge e si dia una stima dello spettro di energia sullabase della quantizzazione alla Bohr-Sommerfeld.

2-5.29) Un oscillatore armonico isotropo in due gradi di liberta e soggetto ad unaperturbazione rappresentata dall’operatore V = λ (a†21 a

22 + a†22 a

21). Posta uguale a uno la

frequenza dell’oscillatore e la costante di Planck h, si determini la correzione dei primilivelli energetici al primo ordine in teoria delle perturbazioni (W ≤ 5).

3-9.21) Un oscillatore armonico isotropo in due gradi di liberta e descritto a t = 0dalla funzione d’onda ψ(x, y) = N exp−α(x−x0)2−β(y−y0)2+ik1x+ik2y. Determinareil valore di aspettazione della componente z del momento angolare al tempo t > 0.

52. 2 Ottobre 19961-5.30) Sia dato un atomo idrogenoide di carica Z, nello stato fondamentale. Valutare

i valori di aspettazione dell’energia cinetica e potenziale. Con la tecnica perturbativa alprimo ordine, valutare la variazione di energia quando la carica del nucleo passa da Z aZ + 1, e confrontare con il dato esatto.

2-9.22) Sia dato un sistema descritto dall’Hamiltoniano H = λ (L+L−)2 e dalla fun-zione d’onda all’istante iniziale ψ(0) = A sin θ sinφ. Determinare l’evoluzione temporaledella funzione d’onda e valutare a quale tempo essa diventa ψ(t) = A sin θ cosφ.

53. 28 Ottobre 19961-11.27) Un oscillatore armonico di carica q si trova nello stato fondamentale. A un

certo istante si accende un campo elettrico uniforme diretto lungo il semiasse positivo dellacoordinata x. Determinare la probabilita di transizione verso gli stati eccitati del nuovosistema. [Utilizzare la forma differenziale dei polinomi di Hermite.]

2-7.14) Una particella a spin 1/2 e momento magnetico µ , e immersa nel campo ma-gnetico: B = B0 z+B1 cosωt x−B1 sinωt y con x, y, z versori, e di essa consideriamosolo i gradi di liberta di spin. Se al tempo t = 0 la particella ha spin sz = +h/2 , qual’ela probabilita di trovarla al tempo t > 0 con sz = −h/2 ? Discutere in particolareil caso |B1/B0| 1 , stabilendo per quale valore di ω0 questa probabilita ha uncomportamento risonante. [Definito ψT (t) = |a(t) b(t)| , porre a(t) = α(t) exp[ iω0 t] eb(t) = β(t) exp[−iω0 t] , con ω0 = µB0/h , e per le nuove incognite cercare una soluzioneesponenziale .]

3-7.15) Come il 53.2), ponendo: a(t) = A(t) exp[ iω/2 t] e b(t) = B(t) exp[−iω/2 t]Cosı facendo, ci si riconduce a un’Hamiltoniana indipendente dal tempo.

4-7.16) Come il 53.2), risolvendo in rappresentazione di interazione.54. 6 Dicembre 1996

1-5.31) Si consideri un sistema quantistico caratterizzato dall’operatore HamiltonianoH = a†1a1 + a†2a2 + λ

(a†21 a

22 + a†22 a

21

). Si trovino gli autovalori di H che per λ piccolo

tendono ai valori imperturbati W = 0, 1, 2, 3.

COMPITI 17

2-9.23) Una particella di massa m senza spin si trova all’istante t = 0 nello statodefinito dalla funzione d’onda ψ(x, y, z) = N z/r d/dr (sin(kr)/kr) , con k = 0.5 A−1

e r =√x2 + y2 + z2. Si determinino i valori di aspettazione per la componente z del

momento angolare < Lz >, per il suo modulo quadrato < L2 > e per l’energia cinetica< p2/2µ >.

3-11.28) La fisica di bassa energia di un sistema quantistico e descritto dalla matrice

H =

∣∣∣∣∣∣∣−W0 0 ε 0

0 −W0 ε εε ε W0 00 ε 0 W0

∣∣∣∣∣∣∣ , con ε reale. Si dimostri attraverso un calcolo esplicito che,

qualunque sia il valore di ε, gli autovalori di H si presentano ancora a coppie di valoriopposti in segno (W1 = −W3, W2 = −W4). Si chiede: questo e vero anche in generale

per una qualunque matrice del tipo H =∣∣∣∣−W01 V

V† W01

∣∣∣∣ , dove 1 e la matrice unita di

dimensione n e la matrice V e arbitraria?55. 7 Febbraio 1997

1-5.32) Considerare un oscillatore armonico isotropo tridimensionale, cui e sovrappostoun potenziale repulsivo V0 ≥ 0 entro un raggio a. L’Hamiltoniano e: H = p2/2µ+ V (x),con V (x) = 1/2 µω2x2, per |x| ≥ a; V (x) = V0 per |x| < a. Si valuti la correzione aiprimi due livelli energetici, al primo ordine in V0 e nel limite di a molto piccolo rispettoalla scala di lunghezza tipica dell’oscillatore.

2-7.17) Un oscillatore armonico monodimensionale con m = ω = h = 1, si trova at = 0 nello stato ψ(x) = exp−β2/2 (x − x0)2 con β2 e x0 costanti reali. Calcolarel’indeterminazione di posizione e momento lineare a un tempo t > 0 qualunque.

56. 13 Giugno 19971-3.5) A un oscillatore armonico monodimensionale e sovrapposto un potenziale lineare

nell’intervallo (−a, a) e costante altrove: H = p2/2µ+ 1/2 µω2x2 +V (x), con V (x) = Fx

per |x| < a; V (x) = Fa per x > a; V (x) = −Fa per x > a (F costante). Si valuti lavariazione degli autovalori dell’energia rispetto allo spettro dell’oscillatore puro, prendendoin esame eventualmente qualche caso limite dei parametri a, F .

2) Vedi prob. 50.2)57. 16 Giugno 1997

1-11.29) La funzione d’onda di una particella immersa in una buca di potenzialedi profondita infinita e larghezza a (0 < x < a), e data da: i) ψ(x) = Ax(x − a) ,ii) ψ(x) = A sin2(πx/a). Calcolare le distribuzioni di probabilita dell’energia, valutandonumericamente i primi due coefficienti non nulli. Valutare inoltre il valor medio dell’energiae il suo scarto quadratico medio. [ Utilizzare le formule:

∑∞k=0(2k + 1)−2 = π2/8 ,∑∞

k=0(2k + 1)−4 = π4/96 .]2-7.18) Lo stato di una particella immersa in una buca di potenziale di profondita

infinita e larghezza a (0 < x < a), e descritta all’istante t = 0 dalla funzione d’onda:ψ(x) = A sin3(πx/a). Determinare la funzione d’onda a un istante t successivo, e valutaredopo quanto tempo la particella ripassa per lo stato iniziale.

COMPITI 18

58. 14 Luglio 19971) Vedi 3.3)2-9.24) Si consideri il sistema composto da due particelle con spin 1/2 h e momento

magnetico dato rispettivamente da µeσe e µpσp. L’hamiltoniano e dato da:H = H0 + (µe σez + µp σpz)B + C σe · σp , dove B rappresenta un campo magneticoesterno costante, C e una costante positiva e H0 rappresenta la parte di hamiltoniano chenon dipende dallo spin. Se si trascura H0, quali sono gli autovalori dell’energia e quali leautofunzioni, limitatamente alla dipendenza dallo spin?

59. 29 Settembre 19971-10.14) Due bosoni identici a spin zero sono descritti dalla funzione d’onda ψ(r1, r2).

Determinare la probabilita di trovare una particella in un intorno infinitesimo del punto r1

e l’altra in un intorno infinitesimo del punto r2. Controllare la coerenza di questo valorecon la condizione di normalizzazione della funzione d’onda. Determinare la probabilita chele due particelle si trovino all’interno dello stesso volume V . Determinare la probabilitache le due particelle si trovino una all’interno e l’altra all’esterno del volume V .

2-5.33) Una particella tridimensionale di massa µ e soggetta al potenziale di Yukawa:U(r) = −γe−r/ρ/r. Valutare al primo ordine perturbativo le correzioni ai livelli energeticidell’atomo di idrogeno. Giustificare l’approssimazione nel caso che i parametri soddisfinola relazione µγρ/h2 1.

60. 28 Novembre 19971-4.9) Una particella tridimensionale di massam interagisce con un potenziale centrale:

V (r) = −α δ(r − a), con a > 0 e α costante reale positiva.Trovare il valore minimo di α per cui esiste uno stato legato.

2-8.6) Una particella tridimensionale di massa m e carica q e soggetta al potenzialearmonico isotropo: V (x) = K/2 (x2 + y2 + z2). All’istante t = −∞ l’oscillatore e nelsuo stato fondamentale e viene perturbato dal campo elettrico: E(t) = A exp−(t/τ)2 z, conA e τ costanti e A 1. Al primo ordine della teoria delle perturbazioni, calcolare laprobabilita che l’oscillatore si trovi in uno stato eccitato a t = +∞.

61. 16 Febbraio 19981-5.34) Una particella e immersa in una buca di potenziale infinita di larghezza a

(0 < x < a). Al primo ordine perturbativo valutare come si modificano i livelli energeticise si aggiunge una perturbazione del tipo: V1(x) = V0/a (a− |2x− a|), oppureV2(x) = V0 per b < x < a− b, eV2(x) = 0 per 0 < x < b e per a− b < x < a.

2-10.15) Siano date due particelle identiche interagenti tramite il potenziale:V (x) = k/2 (r1 − r2)2. Qual’e la degenerazione rispettivamente dello stato fondamentalee del primo stato eccitato nei casi di particelle di spin 0, 1/2 e 1? Dire come cambiala risposta se le particelle fossero invece sottoposte al potenziale: V (x) = k/2 (r 2

1 + r 22 ).

Dire inoltre in entrambi i casi se e come viene risolta la degenerazione con l’introduzionedi un campo magnetico costante lungo l’asse z. Si ricordi che per l’oscillatore armonicotridimensionale i livelli energetici sono dati da Wn,l = [2(n− 1) + l + 3

2 ] hω.62. 27 Marzo 1998

1-9.25) Un sistema di tre particelle di spin 1/2 possiede otto stati di spin linearmenteindipendenti. Determinare quali sono autostati degli operatori di spin totale S2 e Sz.

COMPITI 19

2-5.35) Un rotatore piano di momento di inerzia I e di momento elettrico di dipolo d eimmerso in un campo elettrico omogeneo E, giacente nel piano di rotazione. Mediante uncalcolo perturbativo, determinare le correzioni ai livelli energetici dello stato fondamentale,del primo stato eccitato e di quelli successivi.

63. 15 Giugno 19981-11.30) Un’osservabile fisica α ha due possibili valori non degeneri a1 e a2 cui cor-

rispondono due autovettori normalizzati |a1〉 e |a2〉. Una seconda osservabile β ha dueautovalori non–degeneri b1, b2 con rispettivi autovettori |b1〉 e |b2〉. Valgono le relazioni|a1〉 = c1|b1〉 + c2|b2〉 e |a2〉 = c2|b1〉 − c1|b2〉 dove c1 = 2/

√13 e c2 = 3/

√13 . Dire

se α e β sono compatibili, ovvero se i corrispondenti operatori commutano. Se si misuraα ottenendo il valore a1 e immediatamente dopo si esegue una misura di β seguita daun’ulteriore misura di α, dire qual’e la probabilita di ottenere ancora a1 per quest’ultimamisura.

2-7.19) Sia data l’Hamiltoniano che descrive una particella di massa m soggetta a uncampo di gravita H = p2/2µ + µgz. Sapendo che lo stato della particella e preparato adun certo istante t0 ed e descritto dalla funzione d’ondaψ(x, y, z, t0) = N exp−(x2 + y2 + z2)/4σ + iκz con κ reale positiva, valutare l’indeter-minazione sulla posizione a un tempo t successivo a t0.

64. 2 Luglio 19981-11.31) L’Hamiltoniano H = −1/2 d2/dx2 + (3x2 − a2)/(x2 + a2)2 ammette l’auto-

funzione φ0 = N(x2 +a2)−1 relativa all’autovalore zero. Dimostrare che non esistono statia energia negativa. (Si puo procedere in vari modi: ad es. dimostrando che H = D†D

per qualche operatore D da determinare, oppure tenendo presente una proprieta degli zeridelle autofunzioni dell’equazione di Schroedinger; mediante un altro procedimento.)

2-11.32) Determinare lo spettro di una particella monodimensionale in un potenzialedi ampiezza 2a e profondita V0: V = −V0 θ(a − |x|) nel limite in cui V0 → ∞, a → 0,con V0a = b fissato . Se la particella si trova inizialmente nello stato rappresentato da unpacchetto d’onde gaussiano: ψ(x, t = 0) = A exp

−(x− x0)2/4σ − ik0x

, con A, k0, x0

e σ costanti reali positive e x0 σ, valutare la probabilita che un misura dell’energiaall’istante t > 0 dia un risultato corrispondente all’energia dello stato fondamentale. Direinoltre se tale probabilita dipende dal tempo t > 0 a cui si effettua la misura dell’energia.

3) Vedi prob. 23.10).65. 23 Luglio 1998

1) Vedi prob. 51.2).2) Vedi prob. 51.3).3-2.15) Una particella di massa µ si muove su un piano sotto l’azione di una forza

avente energia potenziale V (r, ϕ) = 0 per r < a , |ϕ| < π/2 ; = V0/r2 per r < a, |ϕ| > π/2 ;

= ∞ per r > a, con V0, a costanti reali positive. Discutere lo spettro dell’energia dellaparticella, impostando la soluzione dell’equazione di Schroedinger oppure utilizzando laquantizzazione di Bohr.

66. 14 Settembre 19981-1.9) Determinare (implicitamente) autovalori e autofunzioni di una particella sog-

getta al potenziale: V (x) = 1/2 µω2x2 per x > 0 e = −ax per x < 0.

COMPITI 20

2-9.26) Nello spazio di spin le rotazioni di un angolo β attorno all’asse y sono datedall’operatore: Ry(β) = exp[−iβSy]. Trovare la rappresentazione matriciale di tale oper-atore nel caso di s = 1/2 e s = 1.

67. 16 Ottobre 19981-3.6) Risolvere l’oscillatore armonico tridimensionale isotropo in coordinate carte-

siane, cilindriche e sferiche, controllando che le degenerazioni coincidano.2-5.36) Data l’Hamiltoniano: H = p2/2µ+1/2 µω2q2+λp4, valutare al secondo ordine

perturbativo in λ le correzioni agli autovalori dell’oscillatore armonico imperturbato.3-9.27) Dati due momenti angolari uguali l1 = l2 = l, determinare lo stato a momento

angolare totale L = 0 nella rappresentazione prodotto diretto |l,m1〉 |l,m2〉. (Utilizzarel’operatore L+ ).

68. 18 Dicembre 19981-8.7) Un atomo di idrogeno si trova nel suo stato fondamentale. Al tempo t = 0

viene acceso un campo elettrico spazialmente uniforme dato da: E(t) = E0exp−t/τ.Determinare lo stato dell’atomo ad un tempo t τ , valutando esplicitamente il primocoefficiente non diagonale in teoria delle perturbazioni dipendenti dal tempo.

2-3.7) Un oscillatore armonico bidimensionale isotropo e soggetto a una perturbazionerappresentata dall’operatore: V = λ(a†1a2 + a†2a1). Se lo stato del sistema al tempo t = 0e dato da | 1, 0 〉 , calcolare lo stato al tempo t > 0. (Si intende con |m,n 〉 la base degliautostati dell’Hamiltoniano imperturbata.)

69. 12 Febbraio 19991-1.6) Sia data una particella monodimensionale di massa µ immersa nel potenziale:

V (x) = −a/x per x > 0 e V (x) = ∞ per x ≤ 0. Determinare autovalori e autofunzionicon il metodo dello sviluppo in serie.

(Suggerimenti. Posto k =

√−2µW/h,

x0 = h2/(aµ) , b = 1/(kx0) , ξ = 2kx , sviluppare in serie la funzione u(ξ) definita daψ(x) = Ae−ξ/2u(ξ) , con A costante di normalizzazione.

)2-5.38) Un elettrone e confinato in una scatola cubica di lato L orientata con le facce

parallele agli assi x, y, z , e ha energia pari a W = (3h2)/(4µeL2) . Ad un certo istante si

accende un campo elettrico E costante e uniforme, parallelo all’asse z.i) Calcolare al primo ordine perturbativo come si modifica l’autovalore dell’energia.ii) Ripetere il calcolo con la perturbazione H ′ = b Exy .

70. 12 Marzo 19991-8.8) Supponendo che l’Hamiltoniano H0 abbia spettro discreto, determinare la

probabilita di transizione dal livello n al livello k imperturbati, per un sistema perturbatoda: a) accensione istantanea, V (t) = V0 θ(t) , con d/dt θ(t) = δ(t) ( θ(t) gradino diHeaviside), e V0 indipendente dal tempo; b) impulso istantaneo, V (t) = V0δ(t) con V0

indipendente dal tempo. Quali sono le condizioni di applicabilita delle formule ottenutenel caso che a) oppure b) si instaurino in un tempo finito τ ?

2-2.16) Determinare gli stati stazionari di una particella bidimensionale immersa nelpotenziale: V (ρ) = 0 per ρ ≤ a e V (ρ) = ∞ per ρ > a . Valutare esplicitamente i primidue autovalori dell’energia.

COMPITI 21

71. 14 Maggio 19991-7.20) Una particella monodimensionale di massa µ e confinata in 0 ≤ x ≤ a . Al

tempo t = 0 la funzione d’onda e data da: ψ(x; t = 0) =√

8/5a [ 1+cosπx/a ] sinπx/a .a) Valutare la funzione d’onda a un tempo t > 0 . b) Valutare l’energia media del sistemaal tempo t = 0 e al tempo t > 0 . c) Valutare la probabilita che la particella possa esseretrovata nella meta destra della buca ( 0 ≤ x ≤ a/2 ) al tempo t > 0 .

2-7.21) Sia data una particella di spin 1, soggetta all’Hamiltoniano H = Asx +Bsy ,con A e B costanti reali. Calcolare i livelli energetici del sistema. Calcolare il valoredi aspettazione di sz al tempo t , nel caso che all’istante iniziale il sistema sia in unautostato di sz con autovalore h .

3-9.29) Dati due momenti angolari uguali j1 = j2, mostrare che gli autostati delmomento angolare totale J2 e Jz con J = J1 + J2, in termini del prodotto dei singolimomenti angolari, sono combinazioni a simmetria definita nello scambio dei due momenti.

72. 28 Giugno 19991-7.22) Una particella monodimensionale di massa µ si muove in una buca infinita

tra 0 < x < a: V (x) = 0 per 0 < x < a, e = ∞ altrove. All’istante t = 0 la funzioned’onda della particella e data da: ψ0(x) = N

(x(a − x)

)per 0 < x < a, e = 0 altrove.

Esprimere la funzione d’onda ψ(x, t) al tempo t sotto forma di serie, valutando esplici-tamente i coefficienti dello sviluppo.

2-7.23) Come il problema precedente, con la funzione d’onda al tempo zero:ψ0(x) = N

(a/2− |a/2− x|

)per 0 < x < a, e = 0 altrove.

3-5.37) Una particella di massa µ si muove su una circonferenza di raggio ρ ed esoggetta al potenziale: V = c sinφ cosφ , dove φ individua la posizione angolare dellaparticella. Al secondo ordine delle perturbazioni, valutare i primi tre livelli energetici.

73. 19 Luglio 19991-2.17) Un atomo di idrogeno e sottoposto a una perturbazione dovuta a un campo

magnetico statico avente potenziale vettore: A = 1/2 Br20(−y/r2, x/r2, 0

), dove

r =√x2 + y2 + z2 , B una costante che caratterizza l’intensita del campo magnetico e r0

il raggio di Bohr. Trascurando i termini in B2, valutare autovalori e autofunzioni.2-5.39) Dato il potenziale del 73.1), determinare le correzioni perturbative ai livelli

energetici al primo ordine in B, controllando il risultato con lo sviluppo dei valori esatti.Discutere la validita dell’approssimazione.

3-5.40) Risolto esattamente il 73.1) al primo ordine in B, valutare al primo ordineperturbativo (O(B2)) le correzioni dovute al termine in B2.

4-1.10) Una particella si muove in una dimensione sotto l’azione di forze aventi energiapotenziale: V (x) = V1 per |x| < a , −V2 per a < |x| < b , 0 per b < |x| cona, b, V1, V2 costanti positive. Si discutano le proprieta qualitative dello spettro di energia.Si trovi l’equazione che determina lo spettro per gli stati a parita −1, cioe tali che larelativa autofunzione soddisfi ψ(−x) = −ψ(x).

74. 20 Settembre 19991-1.12) Detta |ξ| la parte intera della variabile reale ξ e Φ(ξ) = ξ − |ξ| la sua parte

frazionaria, si consideri l’equazione di Schroedinger in una dimensione, con potenziale:V (x)= ∞ per x < 0 ; = 0 per Φ(x/2L) < 1/2 e x > 0 ; = V0 per Φ(x/2L) ≥ 1/2

COMPITI 22

e x > 0 , con L e V0 costanti positive. Dimostrare che esistono stati legati con energiaW per la particella quantistica in corrispondenza alle soluzioni dell’equazione:k cot(kL) = −χ coth(χL) , dove k =

√2µW/h e χ =

√2µ(V0 −W )/h. [ Suggerimento:

provare a imporre la condizione ψ(2L) = 0; giustificare questa ulteriore condizione sullafunzione d’onda in base alla teoria dei potenziali periodici. Discutere qualitativamente ilproblema degli autovalori dell’energia nel caso in cui le barriere di potenziale V0 siano innumero finito, ossia V (x) = 0 per x > 2NL, per qualche N intero positivo.]

2-9.28) Si consideri una particella in campo centrale, la cui funzione e data da:ψ(r, θ, φ) = Nf(r)(cos θ)n , con n intero e N una opportuna costante di normalizzazione.Dimostrare che nel limite n → ∞ l’indeterminazione sulle componenti x, y del momentoangolare tende all’infinito, mentre la posizione angolare della particella risulta sempremeglio collimata lungo l’asse z. Suggerimento: utilizzare l’espressione degli operatori diinnalzamento e abbassamento: L± = he±iφ

(±∂/∂θ + i cot θ ∂/∂φ

).

75. 29 Ottobre 19991-2.18) Un elettrone si muove al di sopra di un conduttore infinito impenetrabile.

Esso e attratto dalla sua carica immagine, per cui classicamente rimbalza elasticamentesul piano. Scrivere l’equazione di Schroedinger per l’elettrone e valutarne autovalori eautofunzioni, trascurando gli effetti inerziali della carica immagine.

2) Vedi 53.2)76. 13 Dicembre 1999

1-7.24) Al tempo t = 0 , ψ(r, 0) = 1/√

10 (2ψ100 + ψ210 +√

2ψ211 +√

3ψ21−1 ) ,rappresenta la funzione d’onda di un atomo di idrogeno, con gli indici riferiti ai numeriquantici n, l,m . Calcolare: i) il valore di aspettazione dell’energia; ii) la probabilita ditrovare il sistema con l = 1 , m = 1 , in funzione del tempo; iii) la probabilita di trovareal tempo t = 0 l’elettrone a distanza inferiore a 10−10 cm. dal protone (valutazioneapprossimata); iv) l’evoluto temporale ψ(r, t) .

2-5.41) Sia dato il potenziale V (x, y, z) = 1/2 K(x2 + y2 + z2 + λxy

), e una

particella massiva immersa in esso. Nell’ipotesi di λ piccolo, valutare: i) al secondoordine in λ le correzioni all’energia dello stato fondamentale; ii) al primo ordine in λ lecorrezioni all’energia del primo stato eccitato.

77. 1 Febbraio 20001-4.11) Sia data l’equazione di Schroedinger per una particella di massa µ soggetta

al potenziale: V (x) = −λδ(x) + 1/2 λ(δ(x − a) + δ(x + a)

), λ > 0 . Determinare lo

spettro dell’energia e le ampiezze di riflessione e trasmissione.2-7.25) Si studi l’Hamiltoniano: H = a†a + λ(a2 + a†2) , λ reale. i) Determinare

lo spettro di H . ii) Se al tempo t = 0 il sistema si trova nello stato fondamentale diH0 = a†a , determinare lo stato al tempo t > 0 .

78. 29 Febbraio 20001-1.13) Determinare il coefficiente di trasmissione di una barriera di potenziale della

forma: V (x) = 0 per x < 0 , e V (x) = V0(1 − x/a) per x > 0 , con V0 > 0e a > 0 . Discutere in particolare il caso di una barriera poco trasparente, con ξ =(2µa2V0/h

2)1/3 1 , per energie soddisfacenti a ξ |W − V0|/V0 1 .[ Operare la sostituzione: y = (2µV0/(ah2))1/3 ( x− a+ a W/V0 ) ].

COMPITI 23

2-7.26) Un atomo di idrogeno e immerso in un campo magnetico debole B , direttocome l’asse z . Se all’istante t = 0 il sistema si trova nello stato 2p , ed e autostato diLx con autovalore h , determinare il valore di aspettazione di Lx al tempo t > 0 .

79. 31 Marzo 20001-6.6) Con il principio variazionale di Riesz, stimare il primo stato eccitato dell’oscilla-

tore armonico, usando come funzioni di prova una delle due seguenti: ψ1(x) = A x e−α|x| ,ψ2(x) = A x2 e−α|x| , con α parametro variazionale. Giustificare la scelta.

2-7.27) Un fascio di atomi di idrogeno eccitati nello stato 2s attraversa la zonacompresa tra i piatti di un condensatore, ove esiste un debole campo elettrico uniformeE su di una lunghezza L . Gli atomi di idrogeno hanno velocita v lungo l’asse x e ilcampo E e diretto come z . i) Se gli atomi nello stato 2s entrano tra i piatti all’istantet = 0 , determinare la funzione d’onda al tempo t < L/v . ii) Determinare la distribuzionedi probabilita dei vari stati, al tempo t > L/v .

80. 4 Aprile 20001-11.33) Un atomo di Trizio (Z=1, A=3) si trova nel suo stato fondamentale. A un

certo istante nel nucleo avviene un decadimento radioattivo con emissione di un elettronee formazione di un nucleo di Elio. La transizione avviene in un tempo molto breve sullascala dei tempi atomici. Trovare la probabilita che lo ione di Elio He+ si trovi nello statofondamentale, e quella che si trovi in uno stato eccitato 2s o 2p .

2-1.14 Una particella si muove in una dimensione sotto l’azione di forze aventi energiapotenziale: V (x) = V0 per |x| < a , = 0 per a < |x| < b , = +∞ per b < |x| ,con a, b, V0 costanti positive. Si trovi l’equazione che determina lo spettro, tenendo contodella simmetria del potenziale. Assumendo che la funzione d’onda iniziale sia: ψ0(x) =(b−x)(x−a) per a < x < b , e ψ0 = 0 altrove, si discuta qualitativamente l’evoluzionetemporale della funzione d’onda.

81. 27 Giugno 20001-4.12) Una particella monodimensionale di massa µ si muove in un potenziale pe-

riodico della forma: V (x) =∑∞

n=−∞ λ δ(x− na). Trovare la diseguaglianza trascendentecui soddisfa lo spettro a bande. Nel caso (µλa)/h2 = 1, risolvere graficamente lo spettroindicando approssimativamente il primo autovalore dell’energia.

2) Vedi 39.2.)82. 20 Luglio 2000

1-5.42) Sia H0 = a†a l’Hamiltoniano dell’oscillatore armonico. Trovare lo spettrodell’operatorei: H = H0 + λ( a†2 a+ a†a2) in teoria delle perturbazioni all’ordine λ3.(Suggerimento. Applicando l’operatore di parita P che soddisfa alle regole PH0 = H0P ,

Pa = −aP , dimostrare che gli autovalori di H dipendono solo da λ2, e quindi...)2-4.13) Si trovi lo spettro dell’Hamiltoniano H = p2/2µ+ V , con: V = ∞ per x < 0

e V = −λ δ(x− a) per x > 0 , con a, λ > 0 .83. 29 Settembre 2000

1-9.30) Una particella si trova in uno stato descritto dalla funzione d’onda:ψ(x) = A

[cos θ + sin θ(1 + 2 cos θ) sinφ

]g(r) , con

∫∞0| g(r) | 2r2dr = 1 . Quali sono i

possibili risultati di una misura di Lz e di L2 ? Quali sono le probabilita relative? Qualisoni i valori di aspettazione di Lz e di L2 ?

COMPITI 24

2-2.19) Trovare autovalori e autofunzioni di una particella carica senza spin, immersain un campo magnetico uniforme B.

84. 30 Ottobre 20001-5.43) Una distribuzione continua di carica elettrica genera un campo centrale E

che corrisponde a un’energia potenziale: U(x) = K/2 |x|2 . i) Scrivere l’Hamiltonianoquantistica per una particella di carica e e spin h/2 , tenendo conto anche della interazionespin-orbita. ii) Determinare lo spettro di energia. iii) Se la carica e distribuita su un volumefinito (una sfera di raggio R), come si modifica lo spettro?

2) Vedi 33.3)85. 4 Dicembre 2000

1-1.7) Discutere sia qualitativamente che quantitativamente lo spettro discreto delpotenziale: V (x) = −V0 e

−|x|/a , con V0 e a costanti reali positive.2-7.29) Un atomo di idrogeno si trova nello stato 2p con mx = h . Al tempo t = 0

si accende un campo magnetico diretto come z . i) Assumendo di poter trascurare glieffetti dello spin dell’elettrone e i termini quadratici nel campo, calcolare la dipendenzatemporale del valore di aspettazione di Mx . ii) Quanto deve essere l’intensita del campomagnetico affinche l’interazione spin-orbita sia effettivamente trascurabile. Esprimere larisposta in gauss.

86. 5 Febbraio 20011-5.44) Un atomo di idrogeno e sottoposto all’azione di un campo esterno E avente

componenti E = αxz/r3 , αyz/r3 , −α(x2 + y2)/r3 con α costante positiva. Deter-minare se esiste un potenziale φ tale che E = grad φ, e individuare le costanti del moto inpresenza del campo esterno. Determinare al secondo ordine in α la correzione allo statofondamentale e al primo ordine quella per il primo livello eccitato, esprimendo formalmenteil risultato in termini degli integrali cn,` =

∫∞0u1,0 un,` dr e dn,` =

∫∞0un,` un,`+1 dr , dove

Rn` = un`/r e la parte radiale delle autofunzioni dell’atomo d’idrogeno. [ Si faccia usodella formula soddisfatta dalle armoniche sferiche:

cosϑ Y m` (ϑ, ϕ) =

√(`+ 1−m)(`+ 1 +m)/(2`+ 1)(2`+ 3) Y m

`+1+

+√

(`−m)(`+m)/(2`− 1)(2`+ 1) Y m`−1 .

2-7.28) Determinare in meccanica classica l’ampiezza finale delle piccole oscillazioni diun sistema, inizialmente a riposo nel punto di equilibrio stabile, dopo l’azione di una forzaesterna che varia secondo la legge: F (t) = 0 : t < 0 , F0t/T : 0 ≤ t ≤ T , F0 : t > T ,con T reale positivo. Discutere il caso in cui T e molto minore del periodo naturale dioscillazione e quello opposto in cui T e molto maggiore del periodo. Nel corrispondenteproblema quantistico, determinare la probabilita che il sistema, inizialmente nello statofondamentale, si trovi nel nuovo stato fondamentale a tempi t > T . Discutere i due casilimite come nella parte (a). (Suggerimento: si utilizzi la descrizione di Heisenberg perl’operatore di annichilazione e si sfrutti l’idea degli stati coerenti; alternativamente si tentiun calcolo approssimato nei due casi limite).

87. 9 Marzo 20011-2.20) Una particella di massa µ si muove libera tra due sfere rigide concentriche

di raggi r = a e r = b. Trovare autovalore e autofunzione normalizzata dello statofondamentale.

COMPITI 25

2-11.34) Un sistema quantomeccanico possiede solo due autostati dell’energia, | 1 〉 e| 2 〉 . Si conoscono altre tre osservabili, oltre l’energia, A , B , e C . Gli stati | 1 〉 e| 2 〉 sono normalizzati e non sono necessariamente autostati di A , B , C . Determinaregli autostati e gli autovalori di A , B , C , determinabili sulla base dei tre seguenti“risultati sperimentali” [attenzione: uno di questi e sbagliato]:a) 〈 1 | A | 1 〉 = 1/2 , 〈 1 | A2 | 1 〉 = 1

4 , b) 〈 1 | B | 1 〉 = 1/2 , 〈 1 | B2 | 1 〉 = 16

c) 〈 1 | C | 1 〉 = 1 , 〈 1 | C2 | 1 〉 = 54 , 〈 1 | C3 | 1 〉 = 7

4 .88. 8 Giugno 2001

1-6.7) Applicare il principio variazionale di Riesz all’oscillatore armonico, usando comefunzioni di prova: ψ(r) = a ·r exp[−αr], con a vettore costante e α parametro variazionale.Dire di quale autostato questa puo essere ritenura una buona approssimazione, e calcolaregli autovalori approssimati.

2-7.30) Un fascio di neutroni viaggia con velocita v dalla regione I, ove e completa-mente polarizzato nella direzione +z , alla regione II dove e acceso un campo magneticoB = B ex . a) Assumendo che una data particella passa dalla regione I alla regione IIal tempo t = 0 , quale e la funzione d’onda di spin di quella particella a t > 0 ? b)Infunzione del tempo, quale e la polarizzazione del fascio nella regione II nelle direzioni +x ,+y e +z ?

89. 20 Luglio 20011) Vedi 80.1)2-11.35) Si consideri una particella di massa µ, soggetta a un potenziale di tipo “buca

infinita” (V (x) = 0 per 0 < x < L e V (x) = +∞ altrove). La funzione d’onda iniziale edata da ψ(x, t = 0) = N (1− cos (2/πx)L) , essendo N una costante di normalizzazione.Si calcoli il valore medio dell’energia della particella a un tempo t qualunque. Qual’e laprobabilita di misurare un’energia pari a quella dello stato fondamentale oppure a quelladel primo stato eccitato? Integrali utili:

∫ π/2

0sinµ−1x dx = 2µ−2 B(µ/2, µ/2) , essendo

B(α, β) = Γ(α)Γ(β)/Γ(α+ β) e Γ(x) e la funzione di Eulero;∫ π

0sin2x sinnx dx = (π sin(nπ/2)/(12B(2 + n/2, 2− n/2))3-3.8) Discutere lo spettro dell’operatore H = a†1a1+2 a†2a2+λ a†21 a2+λ a2

1a†2 e trovare

il valore dei primi livelli di energia in teoria delle perturbazioni.90. 28 Settembre 2001

1-9.31) Due elettroni sono strettamente legati in due siti differenti in un solido epossono pertanto essere trattati come distinguibili. Essi interagiscono con l’Hamiltoniano:H = −β

(σ1xσ2x+σ1yσ2y

), con β costante. a) Quanti livelli di energia possiede il sistema?

Quali sono le loro energie e le degenerazioni? b) Se si aggiunge un campo magnetico Bnella direzione z , quali diventano i nuovi livelli di energia? Disegna il diagramma deilivelli in funzione di B.

2-5.45) Una particella di massa µ si muove in un potenziale di oscillatore armonicoisotropo: V = 1/2 µω2

(x2 + y2 + z2

), cui e aggiunta una piccola perturbazione della

forma: V ′ = κ xyz + (κ2/hω) x2y2z2 , con κ costante, il medesimo in entrambi i termini.Calcolare le correzioni all’energia dello stato fondamentale al secondo ordine in κ.

91. 16 Novembre 20011-5.46) Si consideri l’Hamiltoniano H = p2/2µ+1/2 µω2q2 +V0 cos(q

√µω′/h) dove

COMPITI 26

p e q sono gli operatori canonici, µ, ω, ω′ e V0 sono costanti positive. Si studi lo spettrodi energia nel limite V0 hω utilizzando la teoria delle perturbazioni. Si discuta anche,qualitativamente, il limite ω/ω′ → 0 .

2-9.32) Tre particelle di spin h/2 si trovano in equilibrio ai vertici di un triangoloequilatero. L’interazione tra gli spin determina l’Hamiltoniano nella forma H = J(s1 ·s2 +s2 · s3 + s3 · s1) dove J e’ una costante. Si determini lo spettro di energia e se ne discuta ladegenerazione. Se si accende un campo magnetico esterno uniforme B ortogonale al pianoche contiene le particelle, trovare il valore minimo del campo per il quale esiste un livellodi energia pari a zero (si indichi con µ il momento magnetico associato agli spin).

92. 17 Gennaio 20021-2.23) Nel modello di Yukawa due nucleoni di massa M = 940 Mev/c2 si attraggono

tramite lo scambio di un mesone virtuale di massa µ = 140 Mev/c2 , simulato dalpotenziale non relativistico: V (r) = −g2/d e−r/d con d = h/µc . Mediante il cambiodi variabile x = α e−βr e una scelta opportuna dei parametri α e β , mostrareche l’equazione radiale di Schroedinger con l = 0 si riduce a una equazione di Bessel.Supponendo che questo sistema abbia un solo stato legato di energia 2.2Mev , determinaregraficamente g2/hc tramite le curve di livello accluse. Quale deve essere il valore minimodi g2/hc per avere due stati legati a l = 0 ?

2) Vedi il 68.1).93. 28 Febbraio 2002

1-2.21) Si consideri una particella carica vincolata a muoversi senza attrito su di unasfera di raggio R e immersa in un campo magnetico uniforme e costante B. Si determinil’espressione dell’energia in funzione delle variabili di azione Jϑ e Jϕ e quindi si trovi lospettro di energia della particella secondo le regole di quantizzazione di Bohr-Sommerfeld.Si trascurino termini quadratici nel campo B. Quale e il valore caratteristico del campoper cui l’approssimazione si puo considerare valida?

2-2.22) Si consideri l’Hamiltoniano dell’atomo di idrogeno cui si e aggiunta una per-turbazione inversamente proporzionale a sin2 ϑ: H = p 2/2µ− e2/r + h2β2/(2µ r2 sin2 ϑ).Si determini lo spettro dell’energia in approssimazione semiclassica.

3-3.9) Si discuta il problema agli autovalori per H = a†1a1 + a†2a2 + ε(a†21 a

22 + a†22 a

21

),

essendo a1 e a2 operatori di annichilazione, che soddisfano cioe le regole di commutazionecanoniche [aj , a

†k] = δjk, [aj , ak] = 0 .

4-1.16 Si valuti il flusso |τ(k)|2 di trasmissione di una barriera di potenziale definitada V (x) = 0 per |x| > a e V (x) = λ(x2 − a2)2 per |x| < a, nell’approssimazione diaccoppiamento debole, cioe per |λ| sufficientemente piccolo. Si discuta quale e la scala diriferimento per λ, cioe cosa significa “λ piccolo”.

5-9.33) Si consideri l’energia di accoppiamento di quattro spin s1, s2, s3, s4 postiai vertici di un tetraedro H = −µ

∑i,j si · sj . Calcolare lo spettro dell’energia nel caso

in cui ciascuno spin abbia valore h/2 .94. 27 Marzo 2002

1) Vedi 80.1).2-1.17 Una particella si muove in una dimensione sotto l’azione di forze aventi energia

potenziale: V = +∞ per x < 0, V = V1 per x < a,V = 0 per a < x < b, V = +∞ per

COMPITI 27

b < x, con a, b, V1 costanti positive. Si trovi l’equazione che determina lo spettro di ener-gia. Assumendo che la funzione d’onda iniziale sia: ψ0(x) = (b−x)(x−a) per a < x < b

e ψ0 = 0 altrove, si discuta qualitativamente l’evoluzione temporale della funzione d’onda.Ammettendo di conoscere l’espressione esatta dell’autovalore dello stato fondamentale, sitrovi una formula per la probabilita di trovare la particella nell’intervallo 0 < x < a perlo stato fondamentale.

95. 18 Giugno 20021-7.32) Siano date l’Hamiltoniano H e l’osservabile A di un certo sistema:

A =

∣∣∣∣∣∣1 0 00 0 00 0 −1

∣∣∣∣∣∣ H =µ√2

∣∣∣∣∣∣0 1 01 0 10 1 0

∣∣∣∣∣∣ .Se al tempo t = 0 lo stato del sistema e autostato di A con autovalore 1 , si determini laprobabilita che la misura di A al tempo t > 0 dia ancora il valore A = 1 . Si determinila probabilita dello stesso evento nel caso in cui si sia effettuata la misura dell’energia inun tempo intermedio τ < t .

2-5.47) Sia dato l’Hamiltoniano H = p2/2µ + K (1− cos(αq)) con µ,K, α costantipositive. Si discutano le condizioni sui parametri affinche sia possibile considerare correttal’approssimazione quadratica 1− cos(αq) ≈ α2q2/2 .

3-5.48) Si determini lo spettro dell’Hamiltoniano H = p2/2µ+ 1/2 µω2q2 +Fq+Gq2

in teoria delle perturbazioni, considerando F e G costanti “piccole” con F 2 ≈ hωG.96. 12 Luglio 2002

1-7.33) L’Hamiltoniano di un oscillatore armonico con frequenza variabile nel tempodato da H = ω(t) a†a+µ(t) (a+a†), (ω(0) = 1, µ(0) = 0) . Si consideri lo stato iniziale datoda |ψ(0)〉 = |z〉 essendo |z〉 autostato di a con autovalore z. Si determini al tempo t > 0: i)il valore medio di x = (a+ a†)/

√2, ii) il valore medio dell’energia 〈H(t)〉. (Suggerimento:

si provi ad utilizzare la descrizione di Heisenberg).2-3.10) Si determini lo spettro dell’operatore Hamiltoniano

H = a†1a1 + a†2a2 + a†3a3 + λ(a†1a2 + a†2a3 + a†3a1

)+ λ

(a†2a1 + a†3a2 + a†1a3

)essendo a1, a2, a3 operatori di annichilazione commutanti tra loro (per λ = 0, l’Hamilto-niano rappresenta un oscillatore armonico isotropo tridimensionale). Si puo utilizzare lateoria delle perturbazioni (degeneri), ma esiste una soluzione esatta che si puo determinarecercando nuovi operatori di creazione-annichilazione.

97. 17 Settembre 20021-6.8) Sia data l’Hamiltoniano H = p2/2µ + λx2k , con k > 0 , intero. Applicando

il metodo variazionale con funzioni di prova gaussiane, dare una stima approssimata dellostato fondamentale, autofunzione e autovalore. Con la semplice analisi dimensionale, di-mostrare che per λ→∞ , W0 ≈ λ1/(K+1) .

2-7.34) Una particella di massa µ si trova in una buca infinita di larghezza L.Assumendo che la particella sia nello stato fondamentale e che al tempo t = 0 la bucavenga trasformata in modo infinitamente rapido in una nuova buca di ampiezza 2L ,calcolare: i) la probabilita che la particella si trovi nello stato fondamentale della nuovabuca di potenziale, ii) il valor medio dell’energia all’istante t > 0. Come cambierebberole risposte alle domande i) e ii) nel caso che la transizione L → 2L avvenisse in modo

COMPITI 28

adiabatico, cioe in un tempo molto lungo rispetto alla scala di tempi caratteristici delladinamica del sistema.

98. 17 Ottobre 20021-5.49) In teoria delle perturbazioni, determinare i primi quattro livelli dell’Hamilto-

niana: H = a†1a1 + a†2a2 + λ ( a† 21 a2 + a†2a

21 ) , con λ reale.

2-9.34) Sia data una coppia e− − e+ nello stato |ψ 〉 = 1/√

2 [ | + − 〉 − | − + 〉 ].Calcolare il valore di aspettazione di (n1 · s1)(n2 · s2) , con n1 e n2 versori arbitrari.

3-11.36) Consideriamo un atomo a Z elettroni. Trascurando la repulsione coulom-biana tra di essi, valutare il raggio medio dell’atomo in funzione del numero atomico Z .

99. 28 Febbraio 20031-11.37) Una particella monodimensionale di massa µ e confinata in una scatola di

larghezza 10−10m , e si trova nel suo stato fondamentale con energia pari a 38 eV . Qualeforza esercita sulle pareti della scatola? Quale sara la sua energia nel primo stato eccitato?

2-4.14) Una particella monodimensionale di massa µ e soggetta al potenziale V =−λ δ(x) con 0 < λ , e si trova in uno stato legato. Trovare il valore di x0 tale che laprobabilita di trovare la particella in |x| < x0 sia uguale a 1/2 .

3-7.35) Un elettrone con lo spin diretto lungo l’asse z positivo attraversa un campomagnetico H diretto come l’asse x . Dopo un tempo τ si misura nuovamente il suospin. Quale e la probabilita di trovare lo spin capovolto? Questa probabilita puo essereuguale a 1 ?

100. 28 Marzo 20031-3.11) Una particella tridimensionale di massa µ e carica elettrica q e soggetta a un

potenziale di oscillatore armonico isotropo, V = k/2 r2 . Quali sono i livelli energetici ele loro degenerazioni?

(Vedi il 67.1

)Se si applica un campo elettrico uniforme, quali sono

i nuovi livelli energetici e quali le loro degenerazioni? Se si applica un campo magneticouniforme, quali sono i nuovi livelli energetici e quali le loro degenerazioni?

(Non trascurare

il termine quadratico e utilizzare coordinate cilindriche; vedi il 25.1)

2-4.15) Una particella monodimensionale di massa µ e immersa nel potenziale V =∞ per x < −a , e V = λ δ(x) per −a < x <∞ con a, λ costanti > 0 , e al tempo t = 0si trova completamente confinata nella regione −a < x < 0 , con una funzione d’ondauguale all’autofunzione della buca infinita a energia minima. Determinare le autofunzioninormalizzate dell’Hamiltoniano, proprie e/o improprie. Determinare i coefficienti dellosviluppo del vettore iniziale su queste autofunzioni. Esprimere la funzione d’onda al tempot > 0 , e descrivere qualitativamente il comportamento della particella a tempi grandi.

101. 20 Giugno 20031-3.12) Trovare gli autovalori dell’energia di una particella di massa µ soggetta al

potenziale:

V = A(x2 + y2 + 2αxy

)+B

(z2 + 2βz

)A,B > 0 |α| < 1 β qualsiasi .[

Passare alle nuove variabili: ξ = (x+ y)/√

2 , η = (x− y)/√

2 , z = z .]

2-5.50) Consideriamo l’oscillatore bidimensionale perturbato:H = 1/2 (p2

x + p2y) + 1/2 (x2 + y2) + 1/2 εxy(x2 + y2) . Al primo ordine perturbativo,

valutare le correzioni ai primi due autovalori dell’oscillatore armonico imperturbato. Dareuna stima del valore di ε per cui l’approssimazione e valida.

COMPITI 29

102. 8 Luglio 20031-7.36) Una particella di massa µ e soggetta al potenziale V = 1/2 µω2x2 , e al

tempo t = 0 e descritta dalla funzione d’onda: ψ(x, 0) = N∑

n

(1/√

2)nψn(x) , essendo

ψn gli autostati normalizzati dell’energia relativi agli autovalori Wn = (n + 1/2 ) hω .Calcolare la costante di normalizzazione N . Trovare il valore d’aspettazione dell’energiaa t = 0 . Trovare una espressione di ψ(x, t) per t > 0 . Mostrare che |ψ(x, t)|2 e unafunzione periodica del tempo, e valutarne il periodo.

2-9.35) Una particella senza spin e rappresentata dalla funzione d’onda:ψ = N(x + y + 2z) e−αr , con r2 = x2 + y2 + z2 , e α reale. Trovare il valoredi aspettazione del momento angolare totale e della sua terza componente. Calcolare laprobabilita di trovare la particella nell’angolo solido dΩ individuato dagli angoli θ e φ .

103. 19 Settembre 20031-6.9) Un elettrone senza spin si muove nel potenziale a simmetria sferica V = kr ,

con k > 0 . Con il metodo variazionale e una funzione di prova esponenziale, trovare unvalore approssimato per l’energia dello stato fondamentale.

2-7.37) Un elettrone si trova con lo spin diretto verso l’asse z negativo. All’istantet = 0 , si accende un campo magnetico B omogeneo e costante, diretto come l’asse x .Determinare al tempo τ > 0 le probabilita relative a due misure dello spin lungo z elungo l’asse x .

104. 17 Ottobre 20031-11.38) Un sistema quantistico finito dimensionale e soggetto all’Hamiltoniano:

H = H0 +W1A+ A† = W0

∑Nn=1 |n 〉〈 n | +W1

∑Nn=1

|n 〉〈 n+ 1 | + |n+ 1 〉〈 n |

con |N + 1 〉 = | 1 〉 . Dimostrare che AA† = A†A = I . Dimostrare che [H0, A] =[H0, A

†] = 0 . Valutare autovalori e autofunzioni dell’Hamiltoniano totale.2-8.9) Una particella si trova in [ 0, a ] nello stato fondamentale di una buca infinita

di larghezza 1 A. Al tempo t = 0 si attiva istantaneamente un potenziale a buca quadrata,centrato in x = a/2 di profondita V0 = −104eV e larghezza 10−12cm , che viene rimossodopo 5x10−18sec . Dopo la rimozione della perturbazione, quale e la probalita di trovareil sistema in ciascuno dei primi tre stati eccitati della buca infinita?

105. 14 Novembre 20031-5.51) Una particella monodimensionale carica e soggetta a un potenziale di oscilla-

tore armonico, ed e immersa in un campo elettrico E uniforme e costante. In teoria delleperturbazioni fino all’ordine E2 valutare le correzioni alle energie degli stati legati.

2-9.36) Una particella e immersa in un potenziale centrale, e ha numeri quantici dimomento angolare orbitale ` = 2 e di spin s = 1 . Trovare i livelli di energia e ledegenerazioni associate a una interazione spin-orbita della forma Hso = β L · S con β

costante reale.106. 16 Gennaio 2004

1-3.13) Una particella monodimensionale di massa µ e soggetta a un potenziale V (x) ,e si trova in un autostato dell’energia ψ(x) =

(β2/π

)1/4 exp [−1/2 β2x2] corrispondenteall’autovalore W = h2β2/2µ . Valutare le seguenti quantita: a) il valor medio dellaposizione, b) il valor medio del momento, c) il potenziale V (x) , d) la probabilita P (p)dpche il momento della particella sia compresa tra p e p+ dp .

COMPITI 30

2-3.14) L’Hamiltoniano di un oscillatore armonico in unita adimensionali (µ = h =ω = 1) e il seguente: H = a†a+ 1/2 con a† =

√1/2 (x− ip) , a =

√1/2 (x+ ip) .

Controllare esplicitamente che la seguente funzione: ψ = (2x3 − 3x) exp[−x2/2] , siauna sua autofunzione non normalizzata, valutandone contemporaneamente l’autovalorerelativo. Tramite gli operatori di creazione e distruzione, trovare l’espressione esplicita deidue autostati, non normalizzati, con gli autovalori piu vicini a quello appena calcolato.

107. 27 Febbraio 2004

1-5.52) Consideriamo l’Hamiltoniano: H = −d2/dx2 + x2 + αx3 . Valutare la primacorrezione perturbativa diversa da zero allo stato fondamentale dell’oscillatore armonico.

2-9.37) Due particelle di spin 1/2 si trovano una nello stato con s(1)z = 1/2 e l’altra

con s(2)x = 1/2 . In una misura di spin totale, quale e la probabilita di trovare il valore

S = 0 ?108. 26 Marzo 2004

1-3.15) Una particella monodimensionale di massa µ e immersa in un potenzialearmonico V = µω2x2/2 . Scrivere la piu generale soluzione dell’equazione di Schrodingerdipendente dal tempo ψ(x, t) , in termini degli autostati dell’oscillatore armonico φn(x) .Usando l’espressione precedente, mostrare che il valore di aspettazione 〈 x 〉 di x , comefunzione del tempo, puo essere scritto come A+ cosωt + A− sinωt , con A± costanti.[Utilizzare la relazione

√µω/h x φn =

√(n+ 1)/2 φn+1 +

√n/2 φn−1 ]

2-9.38) Consideriamo una particella a spin 1/2 . Essendo sy e sz gli operatori dimomento angolare ~s = h/2 ~σ , e A e B due costanti reali, quali sono gli autovalori egli autovettori normalizzati dell’operatore S = Asy + Bsz ? Se il sistema si trova nellostato corrispondente all’autovalore superiore di S , quale e la probabilita che una misuradi sy dia come risultato h/2 ?

109. 20 Aprile 2004

1-11.39) Un oscillatore armonico si trova nello stato fondamentale. Quale e la prob-abilita di trovarlo all’esterno della regione classica? Dare la stima numerica, utilizzando ivalori della funzione d’errore (error function), ricavati dalle tabelle di Abramowitz-Stegun.

2-9.39) Sia data una particella con momento angolare orbitale l e spin 1/2 . Infunzione degli stati prodotto diretto | l,ml ; s,ms 〉 , determinare gli stati di momentoangolare totale | j, jz 〉 con jz = l − 1/2 , utilizzando esplicitamente gli operatori dicreazione e distruzione J± | j, jz 〉 = [ j(j + 1)− jz(jz ± 1) ]1/2 | j, jz ± 1 〉 , ( h = 1 ).

110. 18 Febbraio 2005

1-5.53) Una massa µ e collegata a un perno P da una barra senza massa di lunghezzal . i) Nella prima approssimazione di piccoli angoli, trovare i livelli di energia quantisticadel sistema. ii) Trovare la prima correzione allo stato fondamentale per l’approssimazionesuccessiva.

2-7.38) La funzione ψ(x, 0) = Ae−(αx)2/2[cosβ H0(αx) + sinβ/(2

√2) H2(αx)

], rap-

presenta il vettore di stato al tempo t = 0 una particella immersa in un potenziale dioscillatore armonico V = 1/2 kx2 ; A e β sono costanti reali, α2 =

√mk/h , e i polinomi

di Hermite sono cosı normalizzati:∫∞−∞ dx e−(α)2x2 |Hn(αx)|2 =

√π

α 2nn! . i) Scrivere unaespressione per ψ(x, t) ii) Quali sono i possibili risultati di una misura dell’energia altempo t , e quali sono le relative probabilita? iii) Quanto vale < x > al tempo t ?

COMPITI 31

111. 23 Febbraio 20051-5.56) Una particella di massa µ puo ruotare in un piano attorno a un punto fisso,

collegata a questo tramite un’asta senza massa di lunghezza λ. i) Valutare autovalori eautofunzioni del sistema. ii) Introdotto il potenziale V0cos(2φ), calcolare al primo ordinein V0 della teoria delle perturbazioni le variazioni agli autovalori e alle autofunzioni.

2-7.39) Una particella si muove in una dimensione soggetta a un potenziale nullo per0 ≤ x ≤ a e infinito altrove. La sua funzione d’onda all’istante iniziale e data da:ψ(x, t = 0) =

√8/5a [1 + cos(πx/a)] sin(πx/a) . a) Valutare la funzione d’onda al tempo

t0 > 0 . b) Valutare l’energia media del sistema al tempo t = 0 e al tempo t0 . c)Valutare la probabilita che al tempo t0 la particella si trovi nella meta sinistra della buca,cioe con 0 ≤ x ≤ a/2 .

112. 5 Aprile 20051) Vedi 41.1).2-7.40) Siano date due particelle distinguibili di spin 1

2 . Valutare le probabilita cheuna misura del quadrato dello spin totale ~S = ~S1 + ~S2 dia come risultato 2h2 nei casiin cui gli spin delle due particelle puntano: - entrambi nella direzione +z ; - quello della1 nella direzione +z e quello della 2 nella direzione −z ; - quello della 1 nella direzione+x e quello della 2 nella direzione +z .Le due particelle interagiscono tramite l’Hamiltoniana: H = ω/h ~S1 ·~S2 . All’istante t = 0 ,lo spin della particella 1 punta nella direzione +z e quello della particella 2 nella direzione−z . A un generico istante t > 0 , valutare : - lo stato del sistema; - la probabilita ditrovare z1 = + , cioe la prima particella con lo spin in su; - il valore di aspettazione dellacomponente z dello spin della particella 1.

Complementi di Meccanica Quantistica, Laurea Specialistica

113. 17 Febbraio 20061-6.10) - Mediante il metodo variazionale ricavare il valore approssimato dell’energia

dello stato fondamentale di una particella immersa in un campo coulombiano, utilizzandocome funzioni di prova: ψi(r) = Ae−α2r2

; ψii(r) = A(α−r) per r ≤ α , = 0 per r ≥ α ,

con α parametro variazionale. - Le funzioni di prova sono entrambe accettabili? - Ottenutele due stime variazionali, prescindendo dalla conoscenza del valore esatto, quale dei duevalori rappresenta una migliore approssimazione? - La risposta precedente era prevedibilesulla base della forma delle funzioni di prova?

2-10.16) Due particelle di massa m si trovano in una scatola rettangolare di latia > b > c , nello stato di minima energia compatibile con le condizioni sotto riportate.

Le particelle interagiscono tra di loro tramite il potenziale V = A δ3(r1 − r2) . Al primoordine perturbativo, calcolare l’energia del sistema nelle seguenti condizioni: - Particellenon identiche. - Particelle identiche a spin zero. - Particelle identiche a spin 1/2 , con glispin paralleli..

114. 28 Febbraio 20061-1.18 Per un certo sistema, l’Equazione di Schrodinger in una dimensione ha la forma:

COMPITI 32

(−d2/dx2−2 sech2x) ψ = Wψ, h = 1, µ = 1/2. Provare che: ψ = exp[ikx](tanh x+cost)e soluzione per un particolare valore della costante. Calcolare gli elementi di matrice S

e i coefficienti di riflessione e trasmissione per questo problema. Anche la funzione d’ondaψ = sech x soddisfa tale equazione. Calcolare l’energia del corrispondente stato legato, edare un semplice argomento per ipotizzare che questo sia lo stato fondamentale. Come sipoteva procedere per valutare l’energia dello stato fondamentale nel caso non si conoscessel’autofunzione.

2-5.54) Un oscillatore armonico monodimensionale e soggetto a una piccola pertur-bazione del tipo: V ′ = λ/(x2 + a2) . Calcolare la correzione allo stato fondamentale alprimo ordine perturbativo, nel caso che: i) a <<

√h/µω , ii) a >>

√h/µω .

115. 14 Marzo 2006

1-5.55) Una particella di carica −e e massa µ (un elettrone senza spin) si trovaa distanza x da una superficie di elio liquido e risente del potenziale: V (x) = −K/xper 0 < x e V = ∞ per x ≤ 0 , con K costante positiva. Calcolare l’energia dellostato fondamentale. Nel caso venisse applicato un piccolo campo elettrico in direzione x ,valutare l’effetto Stark al primo ordine perturbativo.

2-1.11 Una particella di massa µ = 0.5 MeV con energia W = 1 eV incide su unabarriera di potenziale di altezza V0 = 2 eV. Quanto deve essere larga la barriera affinche laprobabilita di trasmissione sia pari a 10−3 ?

[Per ottenere una probabilita cosı piccola, la

barriera deve essere molto larga, e si puo considerare una riflessione quasi totale alla primabarriera, seguita da un ordinario fenomeno di riflessione e trasmissione alla seconda.

]116. 23 Giugno 2006

1-5.1) Al primo ordine perturbativo, calcolare l’energia dei primi tre stati di una bucaquadrata infinita di larghezza a , cui sia stato asportato il piccolo triangolo OAB .

2-11.40) Consideriamo un oscillatore lineare armonico e siano ψ0 e ψ1 le autofunzionireali normalizzate relative allo stato fondamentale e al primo stato eccitato. Sia ψ =aψ0 + bψ1 , con a e b reali, la funzione d’onda dell’oscillatore a un certo istante. i)Mostrare che il valor medio di x e in generale diverso da zero. ii) Quali valori di a

rendono massimo 〈 x 〉 , e quali lo rendono minimo?

3-9.40) Un atomo di idrogeno si trova nello stato 2P1/2 . i) Quale e la probabilita chelo spin si trovi in direzione opposta a quella del momento angolare totale? ii) Calcolarela probabilita per unita d’angolo solido P (θ, φ) che l’elettrone si trovi nell’angolo solidoθ, φ , indipendentemente dalla distanza radiale e dallo spin.

117. 16 Marzo 2007

1-8.10) Una particella monodimensionale a carica negativa −e e immersa in una bucadi potenziale infinita con −a/2 < x < a/2 e si trova nel primo autostato dell’energia.All’istante iniziale viene applicato un campo elettrico E diretto nel verso positivo dellex , che viene poi rimosso al tempo τ > 0 . a) Con la teoria delle perturbazioni dipendentidal tempo, valutare le probabilita P2 e P3 che la particella si trovi al tempo t > τ

negli autostati della buca infinita con n = 2 e n = 3 , rispettivamente. b) Dire se ci siattende che queste probabilita dipendono da t . c) Specificare le condizioni sui parametriche giustificano l’approssimazione perturbativa.

2-9.41) Si consideri lo stato | l,m > , autostato degli operatori L2 e Lz con

COMPITI 33

autovalori: L2 | l,m >= l(l + 1)h2 | l,m > , Lz | l,m >= mh | l,m > . Su questi stati,calcolare i valori di aspettazione < Lx > e < L2

x > .3-2.24) Una particella e confinata in una buca di potenziale tridimensionale infinita

di lunghezza a . a) Scrivere l’autofunzione corrispondente allo stato di minima energia.b) Dare un valore approssimato del numero N di stati aventi energia minore di un valoreW fissato, nell’ipotesi di N 1 .

[Sfruttare un’analogia geometrica.

]118. 30 Marzo 2007

1-11.41) Una particella monodimensionale si trova inizialmente nello stato fondamen-tale di una buca quadrata infinita con 0 ≤ x ≤ a . Improvvisamente (!) la parete destradella buca viene spostata in x = 2a . -Calcolare la probabilita che la particella possavenire trovata nello stato fondamentale della buca espansa. -Trovare lo stato della bucaespansa che ha maggior probabilita di essere occupato.Supponiamo invece che la buca originale con 0 ≤ x ≤ a improvvisamente (!) si dissolva.- Se, come prima, la particella si trova nello stato fondamentale, quale sara la distribuzionedi probabilita del momento della particella liberata?

2-10.17) Tre particelle monodimensionali di massa µ sono legate l’una all’altra daforze armoniche, date dal potenziale: V = 1

2 k [ (x1 − x2)2 + (x2 − x3)2 + (x3 − x1)2 ] .-Utilizzando le coordinate del centro di massa: y1 = x1 − x2 , y2 = (x1 + x2)/2 − x3 ,y3 = (x1 + x2 + x3)/3 , risolvere il problema agli autovalori in modo esatto.

3-10.18) Con il risultato precedente, trovare l’energia dello stato fondamentale di trebosoni identici a spin zero, e di tre fermioni identici a spin 1/2 .

119. 29 Giugno 20071-6.11) Una particella tridimensionale si muove nel potenziale: V (r) = −g2/r3/2 .Per

valutare un limite superiore dell’energia dello stato fondamentale, utilizzare il calcolo vari-azionale con una funzione idrogenoide quale funzione di prova.

2-11.42) Sia data la funzione d’onda monodimensionale: ψ(x) = N (x/x0)n e−x/xo ,con A, n, x0 costanti. i) Usando l’equazione di Schrodinger, trovare il potenzialeV (x) e l’energia W per i quali questa funzione d’onda e un’autofunzione, nell’ipotesi cheV (x) → 0 per x→∞ . ii) Illustrare la differenza tra il potenziale trovato e quello radialeefficace per uno stato idrogenoide di momento angolare l .

120. 14 Settembre 20071-9.42) Un iperone Ω− (spin 3/2, parita intrinseca +) puo decadere via interazioni

deboli in un iperone Λ (spin 1/2, parita intrinseca +) e in un mesone K− (spin 0, paritaintrinseca +), cioe Ω− → Λ +K− . i) Supponendo il decadimento a riposo, determinarela forma piu generale della distribuzione angolare del mesone K− relativa alla direzionez lungo la quale la Ω− ha componente massima dello spin, assumendo cioe come statoiniziale |Ω−

j,m >= |Ω−3/2,3/2 > . ii) Quale sarebbe invece la distribuzione se la parita

venisse conservata?2-5.57) Consideriamo un atomo di Elio con 2 elettroni a spin zero. i) Trascurando la

repulsione Coulombiana, scrivere lo stato fondamentale dell’energia e il suo autovalore. ii)Con la teoria delle perturbazioni al primo ordine, valutare la correzione dovuta alla repul-sione tra gli elettroni. ii) Con questo risultato, stimare l’energia di ionizzazione dell’Elio.[ Utilizzare:

∫ ∫d3r1d3r2 exp−a · (r1 + r2) / |r1 − r2| = 20π2/a5 .]

COMPITI 34

121. 28 Settembre 20071-8.11) Una particella tridimensionale carica e confinata in una scatola cubica di lato

2a . Da t = 0 in poi al sistema si applica il campo elettrico uniforme: E = E0e−α t ,

con α > 0 e E0 perpendicolare a una delle facce della scatola. Al primo ordine in E0

valutare la probabilita di transizione dallo stato fondamentale a t = 0 al primo statoeccitato al tempo t = ∞ .

2-5.58) Sia dato un oscillatore harmonico tridimensionale isotropo, di frequenza ω emassa µ , perturbato da un potenziale V = λxy , con λ costante. Al primo ordine, trovarele correzioni all’autovalore del primo stato eccitato imperturbato, e i relativi autostati.

122. 15 Febbraio 20081-11.43) Una particella monodimensionale di massa µ e immersa in un potenziale

V (x) , e la sua funzione d’onda e data da: ψ(x, t) = A x exp[−αx+ iβ/h t] per x > 0 , eψ(x, t) = 0 per x < 0 , con A, α, β costanti positive. a) La particella e legata? Spiegare.b) Trovare il potenziale V (x) e valutare il suo spettro. c) Per lo stato assegnato, valutarela densita di probabilita relativa all’energia W .

2) Vedi 53.2).123. 6 Marzo 2008

1-7.41) Sia dato un oscillatore tridimensionale isotropo: H = p2/2µ+ 1/2 µ Ω2 r2 .

a) Trovare i primi tre livelli dell’energia, W0 , W1 , W2 . b) Se il sistema vieneperturbato con un campo magnetico B uniforme costante, valutare come viene perturbatoil terzo livello W2 . c) Nel caso che a t = 0 venga accesa la “piccola” perturbazioneH ′ = A x cosωt , determinare tra quali stati del punto a) possono avvenire transizioni.d) Con riferimento al punto c), se lo stato iniziale imperturbato e quello fondamentale,valutare la probabilita di transizione verso W1 al tempo t . e) Per valori di ω e Ω moltograndi rispetto alle altre grandezze in gioco, dire per quali valori di queste la probabilita esensibilmente diversa da zero. Valutarla in questo caso, e nel caso che anche t sia grande.

2-9.43) Consideriamo le reazioni: a) π+p→ π+p b) π−p→ π−p c) π−p→ π0n .

Queste reazioni possono avvenire per interazioni forti che conservano lo spin isotopico, epossono formare una risonanza ∆ a spin isotopico I = 3/2 oppure una N∗ a spinisotopico I = 1/2 . Tenendo conto che all’energia di una risonanza si puo trascurare ilcontributo dell’altro canale, valutare il rapporto delle tre sezioni d’urto per i due casi.

124. 26 Settebre 20081-10.19) Due particelle identiche, non interagenti tra di loro, sono immerse in un

potenziale armonico isotropo (vedi 67.1)). Calcolare le degenerazioni dei primi tre livellidell’energia nei seguenti casi: a) le due particelle hanno spin 1/2 ; b) le due particellehanno spin 1 .

2-8.12) Un atomo di idrogeno e immerso in un campo elettrico omogeneo di intensitaE(t) = (E/πe) τ/(t2 + τ2) , con E e τ costanti. Se al tempo t = −∞ l’atomo sitrova nello stato fondamentale, quale e la probabilita di trovarlo nello stato 2p al tempot = ∞ ?

125. 3 Ottobre 20081-10.20) Calcolare le degenerazioni delle due configurazioni elettroniche: a) 2s2p , b)

2p3p . Per ciascuna di queste elencare i valori possibili di L2S+1j , e verificare che il numero

COMPITI 35

degli stati in questa rappresentazione e uguale alle degenerazioni viste prima.2-11.44) Sia dato un oscillatore armonico di massa µ e frequenza ω nello stato

iniziale: ψ(0) =√

1/2s∑N+s

n=N−s |n 〉 . i) Nel caso N s 1 , mostrare che il valoredi aspettazione dell’osservabile x ha comportamento sinusoidale nel tempo con ampiezza√

2hN/µω . ii) Confrontare con il comportamento dell’oscillatore classico di pari energia.126. 27 Febbraio 2009

1-1.21) Un fascio di particelle di massa µ ed energia W e immerso in un potenzialea gradino: V = 0 per x < 0 e V = V0 per x > 0 , con V0 < W , e proviene da sinistra.i) Mostrare che la frazione di particelle riflessa e data da: ρ2 = ( (1− χ)/(1 + χ) )2 conχ = k/k , k2 = 2µW/h2 , k2 = 2µ(W − V0)/h2 . ii) Mostrare che la somma dei flussidelle particelle riflesse e trasmesse e uguale al flusso delle particelle incidenti.

2-10.21) Due particelle monodimensionali di uguale massa µ sono immerse in unpotenziale nullo per 0 < x < 2a e infinito altrove. a) Quali sono i valori dei primi quattrovalori dell’energia? b) Quali sono le degenerazioni di queste energie nel caso che le dueparticelle siano: i) identiche, con spin=1/2, ii) non identiche, entrambe con spin 1/2, iii)identiche, con spin=1.

127. 6 Marzo 20091-2.25) Trovare le condizioni di esistenza di almeno uno stato legato per il potenziale:

V (r) =∞ r < a

−λ/rn r ≥ a , n > 2r2 = x2 + y2 + z2 .

Si tratta di un potenziale realistico, con una parte attrattiva a corto raggio al di fuoridi un core repulsivo rigido. [Operare le sostituzioni: y(r) = rR(r) , ν = 1/(n − 2) ,

β = 2ν√

2µλ/h2 , ρ = β r−1/2ν , y(ρ) = ρ−ν w(ρ) .]2-8.13) Una particella si trova al tempo t → −∞ nello stato fondamentale di una

buca infinita di larghezza a . Su di essa si esercita anche un potenziale variabile neltempo, che puo assumere una delle seguenti forme: a) H1(x, t) = −xV0 exp[−t2/τ2] ;b) H1(x, t) = −xV0 exp[−|t|/τ ] ; c) H1(x, t) = −xV0 /[1 + (t/τ)2] .Al primo ordine delle perturbazioni, calcolare le diverse probabilita di transizione dellaparticella a stati eccitati per t → +∞ . Indicare anche le condizioni di applicabilitadell’approssimazione.

128. 8 Aprile 20091-6.12) Una particella si trova in una buca infinita nell’intervallo 0 < x < a . Assumere

come approssimazione allo stato fondamentale una delle seguenti funzioni:a) ψa(x) = A x(x− a) , b) ψb(x) = B sin2(πx/a) , c) ψc(x) = C (a/2− |x− a/2|) ,e valutare il relativo valore di aspettazione dell’energia. Confrontare con il valore esatto.Sulla base del principio variazionale di Riesz, dire se tutte le funzioni di prova rappresentanouna scelta opportuna, e spiegare perche la prima fornisce un risultato migliore.

2-8.14) Un rotatore piano di momento bipolare d , vedi 2.4), si trova nel suo statofondamentale fintanto che non agisce un debole campo elettrico omogeneo di intensita

E(t) = E(t) n , situato nel piano di rotazione e con: E(t) =

0 t < 0E0 exp[−t/τ ] t > 0.

Al secondo ordine della teoria delle perturbazioni dipendenti dal tempo, per t→∞ val-

COMPITI 36

utare le probabilita di transizione proibite al primo ordine. Paragonare queste probabilitacon quelle permesse al primo ordine. [ V = −d ·E(t) = −d E(t) cosϕ .]

129. 18 Giugno 20091-5.59) Al primo ordine perturbativo, calcolare le correzioni all’energia del primo livello

eccitato di un oscillatore armonico bidimensionale soggetto alla perturbazione V ′ = λ xy .Determinare le funzioni corrette all’ordine zero (λ → 0 ). Confrontare con la soluzioneesatta per λ 6= 0 .

2-1.22 Determinare i coefficienti di trasmissione e riflessione per un potenziale dellaforma: V (x) = V0/(1 + exp[−x/a]) , V0 > 0 , a > 0 .[Operare le sostituzioni di variabile e funzione: ψ(z) = z−ik1a w(z) , z = − exp[−x/a] ,

con k1 =√

2µ(W − V0)/h2 . Risolvere per x→∞ e prolungare la soluzione a x→ −∞ ,con il cambio di variabile z → 1/z . Vedi A-S 15.3.7 .]

Introduzione alla Meccanica Quantistica, Laurea Triennale

130. 23 Febbraio 20101-1.23 Una particella si muove in una dimensione soggetta al potenziale: V = ∞

per x < 0 , V = 0 per 0 ≤ x ≤ a , V = V0 > 0 per x > a . a) Data l’equazionetrascendente cui deve soddisfare l’energia degli stati legati (vedi 4.2)), discutere i valoripossibili dell’energia, e determinare le autofunzioni normalizzate.b) Per una particella proveniente da destra con energia W > V0 , determinare lo sfasamentotra l’onda entrante da destra e quella uscente.

2-5.60) Al primo ordine perturbativo, calcolare le correzioni all’energia del secondolivello eccitato di un oscillatore armonico bidimensionale soggetto alla perturbazione V ′ =λ xy . Determinare le funzioni corrette all’ordine zero (λ → 0 ). Confrontare con lasoluzione esatta per λ 6= 0 . (Vedi 129.1))

131. 5 Marzo 20101-7.43) Determinare la variazione nel tempo della funzione d’onda di un rotatore piano

che all’istante iniziale si trova nello stato: Ψ(ϕ; t = 0) = N sin2(ϕ) . Trovare il periododel rotatore.

2-7.44) Determinare la variazione nel tempo della funzione d’onda di un rotatoretridimensionale che all’istante iniziale si trova nello stato: Ψ(θ, ϕ; t = 0) = N cos2(θ) .Trovare il periodo del rotatore.

3-1.24) Determinare il coefficiente di trasmissione attraverso una barriera di potenziale:V (x) = 0 per x < 0 e x > a , e V (x) = V0 per 0 < x < a . Discutere i casi:i) W V0 . ii) Barriera poco trasparente: (V0−W ) µa2/h2 1 . iii) W → 0 , ovveroW µa2V 2

0 /h2 e W V0 . iv) µa2V 2

0 /h2 1 e µa2W 2/h2 1 .

132. 24 Giugno 20101-6.13) Calcolare il valore approssimato dell’energia dello stato fondamentale di una

particella nel campo V (x) = −λδ(x) , utilizzando a come parametro variazionale nellefunzioni di prova: 1) ψ1(x) = A(1 + x2/a2)−1 2) ψ2(x) = B(1 + x2/a2)−2 .Confrontare con il risultato esatto.

COMPITI 37

2-11.45) La parte angolare della funzione d’onda di una particella tridimensionale edata da: ψ = A exp[2iϕ] . Qual’e la probabilita di trovare il valore l in una misuradel momento angolare totale? Utilizzare le relazioni: (1− ζ2)P ′′l = 2 ζP ′l − l(l + 1)Pl , ePl(1) = (−)lPl(−1) = 1 , dove i Pl(ζ) sono i polinomi ortogonali di Legendre.

133. 9 Luglio 2010

1-5.61) Sia data una buca infinita per 0 < x < a , soggetta anche a V ′(x) =λ δ(x− a/2) . Considerando questo secondo termine come una perturbazione, calcolarne icontributi allo spettro al primo e al secondo ordine. Indicare le condizioni di applicabilitadel risultato ottenuto.

Sfruttare la relazione: [(2k+ 1)2− (2p+ 1)2]−1 = [4(2k+ 1)]−1[(p+ k+ 1)−1− (p− k)−1] .

2-6.14) Data una buca infinita per −a < x < a , trovare il polinomio di grado minimoadatto ad approssimare il primo stato eccitato. Confrontare la corrispondente energiaapprossimata con il risultato esatto.

134. 24 Settembre 2010

1-9.44) Un fascio di particelle con momento angolare l = 1 si muove lungo unadirezione che indicheremo come asse y e attraversa un magnete Stern-Gerlach aventecampo magnetico in una direzione giacente nel piano ortogonale al movimento, e chechiameremo asse x . Il fascio emergente risulta separato in tre componenti, corrispondentia m = −1, 0, 1 , e la componente m = 1 viene fatta passare attraverso un altro Stern-Gerlach con campo magnetico lungo l’asse z. a) In quanti fasci si separa ulteriormenteil fascio con m = 1 , e qual’e il loro numero relativo di atomi? b) Stesse domande perle altre due componenti m = 0, −1 del fascio originario. c) Se consideriamo il fasciouscente con m′ = 1 dal secondo Stern-Gerlach, possiamo affermare che le componenti xe z del suo momemto angolare sono uguali a h ? Giustificare la risposta.

2-11.46) La funzione ψ(x) =√a/√π exp

[−a2/2 (x−x0)2

]descrive lo stato di una

particella monodimensionale. a) Controllare che la funzione sia correttamente normaliz-zata. b) Valutare la probabilita che il momento lineare sia compreso tra p e p+ dp .

c) Valutare per questa il principio di indeterminazione, cioe il valore del prodotto ∆x∆p

tra le radici quadrate degli scarti quadratici di posizione e momento.135. 5 Ottobre 2010

1-5.62) Un atomo mesico di numero atomico Z e costituito da un ordinario atomonel quale un mesone µ ha sostituito uno degli elettroni. Inizialmente il muone e catturatosu un’orbita eccitata simile a quella dell’elettrone espulso, per poi scendere rapidamente ailivelli piu bassi per emissione a cascata di raggi X , o di altri elettroni per effetto Auger.A causa della sua massa elevata, mµ ≈ 206me , il suo raggio di Bohr e molto piu piccolodi quello degli elettroni, ovvero le sue orbite sono molto piu vicine al nucleo di quelle ditutti gli elettroni, e quindi risente in modo accentuato della distribuzione di volume dellacarica nucleare, e molto poco della carica elettronica, per lo piu esterna all’orbita µ .

Dunque, il potenziale di Coulomb effettivo sul muone interno puo essere approssimato da:

V (r) = −Ze2δ(3/2− r2/2δ2

)per r < δ , e V (r) = −Ze2/r per r > δ . Vedi 39.2).

a) Valutare l’energia dei livelli 1s , 2s e 2p dell’atomo mesico al primo ordine delleperturbazioni per δ rµ

0 , dove rµ0 e il raggio di Bohr del mesone.

COMPITI 38

b) Posto che per Z = 5 si trovi W(1)2s −W

(1)2p ≈ 2 · 10−2eV , ricavare una stima di δ .

Ricordare che le prime funzioni d’onda dell’atomo mesico idrogenoide ( Z = 1 ) sono

le seguenti: ψ1s = 2 N3/20 e−ρY00 , ψ2s = 1/

√2 N3/2

0 (1− ρ/2) e−ρ/2 Y00 ,

ψ2p = 1/2√

6 N3/20 ρ e−ρ/2 Y1m , dove N0 = 1/rµ

0 , ρ = r/rµ0 , e le Y le armoniche

sferiche.136. 21 Febbraio 2011

1-1.25) Data una buca quadrata, con V = 0 per |x| > b e V = −V0 per |x| < b ,valutare interamente, a meno della normalizzazione, la funzione d’onda pari dello spettrocontinuo. Mostrare che all’interno della buca le frequenze di oscillazione sono maggiori,mentre i valori massimi sono inferiori.

2-5.63) Un atomo di idrogeno e perturbato da un campo non centrale V ′ = f(r)xycon f(r) non specificata, ma ovunque regolare. Al primo ordine perturbativo, valutarele correzioni del livello con n = 2 e le loro eventuali degenerazioni residue, in funzione diun parametro incognito legato ai valori di aspettazione della funzione f(r) .

137. 28 Febbraio 20111-6.15) Sia dato il potenziale del problema 82.2). Mediante il metodo di Riesz, dare una

stima dei parametri del potenziale per i quali e garantita l’esistenza dello stato legato. Uti-lizzare le seguenti funzioni di prova, con χ parametro variabile: ψ1(x) = A x exp(−χx),ψ2(x) = B x exp(−χx2/2) . Confrontare con il valore esatto trovato nel 82.2). (Notare lediseguaglianze ey/y ≥ e , ey2

/y ≥√

2e .)2-2.26) Un oscillatore bidimensionale isotropo si trova nello stato ψ11(x, y) relativo

all’autovalore dell’energia W2 = 3 hω . Trovare i possibili valori di una misura del momentoangolare M = −ih ∂/∂ϕ , e relative probabilita . (Cfr. 5.1)).

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