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Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Prof. A. Andreazza

I decadimenti radioattivi

Lezione 3

Radioattività naturale

•  Osservazione di Bequerel della presenza di trasmutazioni di atomi.

•  Osservazione di radiazione con energia dell’ordine del MeV di differente carica e grado di penetrazione.

–  α, nuclei di 4He, m=3726 MeV/c2, Q=+2, p~200 MeV/c –  β, elettroni, m=0.511 MeVc2, Q=-1, p~1 MeV/c –  γ, fotoni, m=0 MeVc2, Q=0, p~1 MeV/c

Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 3 A. Andreazza - a.a. 2016/17 2

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I decadimenti radioattivi (Das-Ferbel cap. 4 e 5.4)

•  I decadimenti radioattivi sono spiegabili in termini di transizioni tra una struttura nucleare meno legata ad una più legata, con rilascio di energia.

•  Studieremo alcune caratteristiche generali di questo processo: –  condizioni perché possa avvenire spontaneamente: Q-valore –  ripartizione dell’energia tra i prodotti di decadimento –  equazioni differenziali che descrivono la radioattività –  condizione di equilibrio secolare per catene di decadimenti

•  Fenomenologia della radioattività naturale


Decadimenti radioattivi


Stabile

β+

β-

β- AZX→AZ+1X

β+ AZX→AZ-1X

α AZX→A-4Z-2X

α

Energia di disintegrazione (Q-value)

•  Consideriamo un nucleo padre P che decade in due frammenti D1 e D2. •  Per la conservazione dell’energia

–  dove TD1 e TD2 sono le energie cinetiche dei prodotti del decadimento.

•  Definiamo energia di disintegrazione Q come la differenze tra le masse del nucleo padre e dei frammenti:

–  Q è l’energia a disposizione come energia cinetica dei frammenti. –  Perché il decadimento sia possibile Q>0

•  Per decadimenti α: •  Per decadimenti β:


β- β+

E.C. (cattura elettronica)

MPc2 =MD1c

2 +TD1 +MD2c2 +TD2

Q =MPc2 −MD1c

2 −MD2c2

Q =M (A,Z )−M (A− 4,Z − 2)−Mα

Q =M (A,Z )c2 −M (A,Z +1)c2 −mec2

Q =M (A,Z )c2 −M (A,Z −1)c2 −mec2

Q =M (A,Z )c2 +mec2 −M (A,Z −1)c2

N.B: masse nucleari

Energia cinetica in decadimenti radioattivi

•  Consideriamo il decadimento di P in quiete –  Per semplicità usiamo un decadimento P→D+α, ma le stesse

considerazioni valgono per i decadimenti β.

–  Esprimendo il comune momento in termini di T:

–  Sfruttando la relazione:

•  Poiché mα≪mD il nucleo si porta una frazione piccola di Q: –  O(10-2) per decadimenti α, O(10-4-10-5) per decadimenti β/γ


pα = pD Tα +TD =Q

mα2 + pα

2 =mα +Tα mα2 + pα

2 =mα2 + 2mαTα +Tα

2 pα2 = 2mαTα +Tα

2

pD2 = 2mDTD +TD

22mDTD +TD

2 = 2mαTα +Tα2

Tα2 −TD

2 = Tα +TD( ) Tα −TD( ) =Q Tα −TD( )

2mDTD +QTD = 2mαTα +QTαTDTα

=2mα +Q2mD +Q

Tα =Q2mD +Q

2(mD +mα +Q)TD =Q

2mα +Q2(mD +mα +Q)

Legge dei decadimenti radioattivi

•  Il tasso di decadimenti in un campione è una proprietà estensiva (proporzionale alla massa):

–  dove N=numero di atomi nel campione –  λ=costante di decadimento:

Probabilità di decadimento per unità di tempo. •  L’andamento del numero di nuclei in campione è esponenziale:

–  La vita media di un atomo è data da: –  Il tempo di dimezzamento: –  Si definisce attività di una sorgente il numero di decadimenti per

unità di tempo: •  unità di misura è il Bequerel: 1 Bq =1 decadimento/s •  storicamente usato il Curie: 1 Ci = 3.7×1010 Bq

originariamente definito come attività di 1 g di 226Ra


−dNdt

= λN

N(t) = N0e−λt

τ =1/ λτ1/2 = τ ln2

Γ=ħλ è un’energia detta larghezza di decadimento

ad uno stato instabile si può associare un’incertezza sull’energia:

ΔEΔt=ħ ΔE=ħ/τ=Γ

Equilibrio nucleare

•  In molti casi ci possiamo trovare di fronte ad un aumento del numero di atomi radioattivi: –  produzione per interazioni nucleare con raggi cosmici

•  Esempio: produzione 14C nei raggi cosmici: n+14N→14C+p –  produzione di radioisotopi ad acceleratori o reattori

•  Esempio: n+130Tl→131Tl→131I+β- •  Tasso di produzione: Φntargetσd

–  decadimenti a catena

•  In tal caso l’evoluzione della popolazione segue una legge del tipo:

–  R = tasso di produzione

•  Presenta una soluzione di equilibrio N=R/λ •  Integrando l’equazione differenziale:


dNdt

= R−λN

N(t) = R / λ + (N0 − R / λ)e−λt

Flusso di particelle sul bersaglio

Equazione secolare


•  Consideriamo il caso di due sostanze radioattive –  la sostanza S1 decade con la legge già vista –  la quantità di sostanza S2

•  aumenta di quanto S1 diminusce •  diminuisce con la propria legge di

decadimento –  La sostanza 3 è stabile e pertanto

•  Per N1 si trova ovviamente la soluzione che avevamo trovato nel caso di una singola sostanza

•  Per N2 scriviamo la soluzione come

•  La condizione iniziale per N2 dà •  Introducendo N2 in (1)

N1 t( ) = N01e−λ1t

A21 + A22 = N02 2( )

N2 t( ) = A21e−λ1t + A22e−λ2t

−λ1A21e−λ1t − λ2A22e−λ2t = λ1N01e−λ1t − λ2A21e−λ1t − λ2A22e−λ2t

dN1dt

= −λ1N1

S1→ S2 → S3dN1dt

= −λ1N1

dN2dt

= λ1N1

"

#$$

%$$

dN1dt

= −λ1N1

dN2dt

= λ1N1 − λ2N2 1( )

"

#$$

%$$

dN1dt

= −λ1N1

dN2dt

= λ1N1 − λ2N2 1( )

dN3dt

= λ2N2

"

#

$$$

%

$$$

Equazione secolare


•  si riduce a

•  Per trovare A22 introduciamo

questo risultato in (2)

•  Pertanto la soluzione per N2 è

−λ1A21 + λ2A21 = λ1N01−λ1A21e−λ1t = λ1N01e−λ1t − λ2A21e−λ1t

A21 =λ1

λ2 − λ1N01

A22 = N02 − A21

N2 t( ) =λ1

λ2 − λ1N01 e−λ1t − e−λ2t( ) + N02e−λ2t

A22 = N02 −λ1

λ2 − λ1N01

−λ1A21e−λ1t − λ2A22e−λ2t = λ1N01e−λ1t − λ2A21e−λ1t − λ2A22e−λ2t

A21 + A22 = N02 2( )

dN3dt

= λ2N2

N3 t( ) = λ2N2 x( )dx0

t∫

Equazione secolare


•  Un altro caso molto interessante si ha quando le costanti di decadimento delle due sostanze sono molto diverse

•  supponiamo λ2 >> λ1 (τ1 >> τ2) –  si giunge “rapidamente” alla condizione –  l’andamento temporale della sostanza 2 diventa

•  Vediamo pertanto che per tempi t ≫ τ2=1/λ2 l’attività della sostanza 2 segue la stessa evoluzione temporale della sostanza 1

•  Per la sostanza 3 otteniamo

N2 t( ) =λ1

λ2 − λ1N01 e−λ1t − e−λ2t( ) + N02e−λ2t

e−λ2t ~ 0

N2 t( ) ≈λ1λ2N01e−λ1t

N3 t( ) = λ2 N2 x( )dx0

t∫ N3 t( ) ≈ N01 1− e−λ1t( )= λ1N01e−λ1x dx0

t∫

Equilibrio secolare

•  Un caso particolarmente rilevante è quello delle catene di decadimento:

•  L’equazione differenziale diventa:

•  Se per tempi si instaura una condizione di equilibrio:

•  Le attività degli anelli della catena sono uguali •  La popolazione è proporzionale alle vite medie


N1→ N2 → N3→ N4 →…

dN1dt

= −λ1N1

dN2

dt= λ1N1 −λ2N2

dN3

dt= λ2N2 −λ3N3

dN4

dt= λ3N3 −λ4N4

λ1 << λ2,λ3,λ4,… τ 2,τ 3,τ 4,…<< t << τ1

λ1N1 = λ2N2 = λ3N3 = λ4N4 =…

wikipedia


•  La radioattività naturale è dovuta a nuclei con vite medie dell’ordine della vita del sistema solare ~4.5×109 yr

•  Catene α+β •  ΔA=4 in decadimenti α, •  risultanti in nuclei ricchi di neutroni che decadono β-

–  A=4n, 232Th, τ1/2=1.39×1010 yr →208Pb –  A=4n+1, 237Np, τ1/2=2.2×106 yr →209Bi –  A=4n+2, 238U, τ1/2=4.5×109 yr →210Pb –  A=4n+3, 235U, τ1/2=7.15×108 yr →207Pb

•  Altri nuclei a lunga vita media: –  40K→40Ca+β-, τ1/2=1.3×109 yr –  87Rb→87Sr+β-, τ1/2=4.7×1010 yr

–  115In→115Sn+β-, τ1/2=4.4×1014 yr –  176Lu→176Hf+β-, τ1/2=3.8×1010 yr –  187Rb→115Re+β-, τ1/2=4.3×1010 yr




wikipedia

4n 4n+2 4n+3

Statistica di conteggio


•  Nel trattamento fin quì fatto abbiamo considerato N(t) una funzione continua –  Dal momento che il numero di nuclei considerati è

usualmente molto elevato l’approssimazione risulta adeguata

–  Per descrivere correttamente le fluttuazioni negli esperimenti di conteggio occorre tenere conto esplicitamente della natura discreta di N

•  Consideriamo N nuclei radioattivi caratterizzati dalla costante di decadimento λ

•  In un intervallo di tempo Δt la probabilità di decadimento di un nucleo particolare è

•  La probabilità che k nuclei qualsiasi decadano è data dalla distribuzione binomiale

p = λΔt

P N,k( ) = kN

!

"#

$

%& pk 1− p( )N−k

N(t)

t

dNdt

= −λN

kN

!

"#

$

%& =

N N −1( )… N − k +1( )k!

Distribuzione binomiale


•  Cerchiamo adesso una formula

approssimata per P(N,k) nel caso –  N ≫ 1 –  p ≪ 1 –  k ~ pN

•  Troviamo un’approssimazione per il coefficiente binomiale

•  dato che p ≪ 1 possiamo scrivere

P N,k( ) = kN

!

"#

$

%& pk 1− p( )N−k

0.20

0.15

0.05

0.10

0.00 0 10 20 30 40 50 60 70

N = 20 p = 0.5N = 100 p = 0.5N = 100 p = 0.3

k

P(N

,k)

P N,k( ) =N!

k! N − k( )!pk 1− p( )N−k

kN

!

"#

$

%& =

N N −1( )… N − k +1( )k volte (N−k)≈N! "#### $####

k! ≈Nk

k!

1− p( )N−k = e−Np+kp ≈ e−Np≈ e−p( )N−k1− p ≈ e−p

Np ~ k p ≪ 1 kp ≪ Np

Distribuzione di Poisson


•  Mettendo insieme i termini che abbiamo calcolato

•  Se infine definiamo

otteniamo la distribuzione di Poisson •  È la probabilità di osservare k deca-

dimentiquando il numero medio di decadimenti è

•  Consideriamo un nucleo con una costante di decadimento λ

•  Misuriamo con un rivelatore il numero di decadimenti nell’intervallo Δt

P N,k( ) =Nk

k!pke−Np

P n,k( ) =nk

k!e−n

n = pN = NλΔt

P N,k( ) =N!

k! N − k( )!pk 1− p( )N−k

≈Nk

k!≈ e−Np

=Np( )k

k!e−Np

n = pN

n41

1

0

nnn

=

==

Distribuzione temporale


•  La formulazione che abbiamo appena visto è la stessa che si utilizza per descrivere la probabilità di registrare k eventi –  distribuiti casualmente –  con probabilità uniforme –  in un intervallo temporale Δt = t2 – t1

•  Se si hanno N eventi in un intervallo 0 – T abbastanza lungo

•  la probabilità di osservarne k nell’intervallo t1 – t2

•  Distribuzione temporale: –  Probabilità di osservare un intervallo

t tra due decadimenti –  è data dalla probabilità di osservare 0 decadimenti nell’intervallo t1 – t2 –  moltiplicata per la probabilità di decadimento nell’istante dt successivo

0 T

t1 t2

p = t2 − t1T

P n,k( ) =nk

k!e−n

n = λtP n, 0( ) =n 0

0!e−n = e−n

t1 t2 t

λ =NT

P t( )dt = e−n (t) λdt( ) = e−λtλdt

Tasso di decadimento

Probabilità dell’intervallo n = pN = λ(t2 − t1)Eventi attesi

Esempio: datazione con 14C

•  Il 14C viene prodotto da raggi cosmici: n+14N→14C+p –  Si lega con l’ossigeno atmosferico per dare CO2 che viene metabolizzata

dalla vegetazione e dagli animali che se ne nutrono

•  14C→14N+β-, τ1/2=5700 yr –  All’equilibrio 1 g di C ha un’attività 15 decadimenti/minuto (A0=0.25 Bq/g) –  Il 14C esce dall’equilibrio al momento della morte dell’organismo

•  Supponiamo di misurare, in una massa m di C, N decadimenti in un tempo T: come stimiamo l’età del campione e con che incertezza? –  Il valore attuale dell’attività A è dato da: –  La dipenza di A(t) dal tempo è: –  Da cui si ricava: –  Poiché N(t)=A(t)T, l’incertezza aumenta con il tempo e


A(t) = mA0e−λt

t = − 1λln A(t)mA0

= −τ1/2ln2

ln A(t)mA0

A(t) = N / T ± N / T

σ t =ddA

−1λln A(t)mA0

!"#

$%& σ A =

τ1/2ln2

σ AA(t)

=τ1/2ln2

1N

σ tt= −

1A(t)T ln A(t) / mA0( )

=eλt /2

mA0Tλt Variazione troppo piccola

Attività troppo ridotta

ESERCIZI


Esercizio 3.1 (Esercizio 5.4 del Das-Ferbel)

•  Approssimativamente 1 g di C ha un’attività di 0.25 Bq dovuta alla presenza di 14C, isotopo radioattivo con tempo di dimezzamento di 5730 anni: –  stimare quanti atomi di 14C contiene –  se 1 g di C estratto da un reperto egizio

presenta un’attività di 4×10-12 Ci, datare il reperto egizio.

–  Che incertezza si ottiene se la misura di attività dura 1 h?


Esercizio 3.2

•  L’abbondanza naturale di 235U è dello 0.7% di 238U. •  Assumendo che i processi di nucleosintesi producano

approssimativamente le stesse quantità di 235U e 238U, quanto è “vecchio” l’uranio presente sulla terra?

•  Si ricordino i dati delle due catene della radioattività naturale: –  A=4n+2, 238U, τ1/2=4.5×109 yr –  A=4n+3, 235U, τ1/2=7.15×108 yr


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