Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Prof. A. Andreazza

I decadimenti γ

Lezione 8

Decadimenti γ (Cenni da cap. 9 del Krane)

•  I decadimenti γ consistono nel passaggio di un nucleo da uno stato eccitato ad uno stato di energia più bassa, accompagnato dall’emissione di un fotone. –  Nel modello a shell: transizioni di un nucleone da un livello all’altro –  Moti collettivi in nuclei con grande A

•  Processo elettromagnetico –  decadimenti α: interazioni forti –  decadimenti β: interazioni deboli –  estensione del fenomeno classico: irraggiamento elettromagnetico dovuto a

cariche in moto accelerato –  probabilità di transizione dalla regola d’oro di Fermi

•  Ci permetterà di illustrare un concetto generale: regole di selezione •  È possibile anche il processo inverso:

–  assorbimento di un fotone –  cinematica del decadimento e assorbimento risonante –  effetto Mossbauer

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Lezioni del dott. Turra

Ripasso

•  Supponiamo di aver risolto un problema di Schrödinger:

•  le autofunzioni: –  spettro continuo spettro discreto: –  in caso di simmetrie, classificabili anche con altri numeri quantici:

•  costituiscono un insieme ortonormale e completo –  –  qualunque funzione può venire espressa come combinazione lineare di

autostati:

–  Il prodotto scalare con un autostato è il coefficiente di tale sviluppo:

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i!∂ψ∂t

= Hψ

k k = p / ! En

n, l,m,P,…

ψ(x) = d3k∫ ck k + cn,l,m n, l,m,…n,l,m…∑

k ψ(x) = ck, n, l,m,…ψ(x) = cn,l,m

k ʹk = δ(k− ʹk ), k ʹn , ʹl , ʹm = 0, n, l,m ʹn , ʹl , ʹm = δn, ʹnδl, ʹlδm, ʹm

Energia Momento angolare e componente z

Parità

Regola d’oro

•  Se aggiungiamo una perturbazione V, gli autostati di H evolvono nel tempo:

–  Il termine V mescola diverse autofunzioni di H

–  Da un trattamento rigoroso, la probabilità per unità di tempo che,

dato uno stato iniziale |n,l,m〉, evolva in uno stato finale |nf,lf,mf〉 è data dalla regola d’oro di Fermi:

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i!∂ψ∂t

= (H +V )ψ i! ∂∂tn, l,m = En,l,m n, l,m +V n, l,m

n, l,mV

cn1,l1,m1 n1, l1,m1 +cn2 ,l2 ,m2 n2, l2,m2 +

cn3,l3,m3 n3, l3,m3 +

cn4,l4,m4 n4, l4,m4 +…

Pi→ f =2π!

nf , l f ,mf V n, l,m 2 ρ Ef( )Spettro discreto: numero di stati finali accessibili

Spettro continuo: dNf/dEf densità di stati finali accessibili

Regole di selezione

•  Lo studio delle probabilità di transizione: in generale permette di determinare delle proprietà dell’interazione V. –  o viceversa, se si fa un’ipotesi sull’interazione V, si possono

determinare le probabilità di transizione da confrontare con osservazioni sperimentali.

•  In particolare l’osservazione empirica dei possibili stati finali in cui uno stato iniziale può evolvere risulta in regole di selezione:

–  o viceversa, data un’interazione V, spesso alcune sue proprietà di simmetria, ci permettono di prevedere quali transizioni sono possibili e quali proibite.

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Pi→ f =2π!

nf , l f ,mf V n, l,m 2 ρ Ef( )

osservazione di Pi→ f ⇔ nf , l f ,mf V n, l,m ≠ 0non osservazione di Pi→ f ⇔ nf , l f ,mf V n, l,m = 0

Dipolo elettrico

•  Per esempio, supponiamo di avere un’interazione proporzionale al momento di dipolo elettrico di un nucleo: –  operatore di dipolo: d=qr –  q=Ze carica del nucleo

•  Gli stati del nucleo sono classificabili in base al loro spin ed alla loro parità (oltre che alla loro energia)

•  Gli stati risultanti dall’applicazione dell’operatore d hanno parità opposta rispetto agli stati iniziali

–  regola di selezione: un’interazione mediata dal dipolo elettrico (es.: V=E⋅d), può solo causare transizioni con cambio di parità.

•  Interazioni proporzionali al dipolo magnetico µ invece mantengono invariata la parità:

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En, J,mJ ,ηP

P d En, J,mJ ,ηP( ) = −d( )ηP En, J,mJ ,ηP = −ηP d En, J,mJ ,ηP( )

P µ En, J,mJ ,ηP( ) = +µ( )ηP En, J,mJ ,ηP =ηP µ En, J,mJ ,ηP( )

Dipolo elettrico

•  Un’altra regola di selezione si ottiene considerando il momento angolare (componente z): –  verifichiamo le regole di commutazione:

–  viene naturale considerare le combinazioni lineari d+ e d-:

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= −i! x ∂∂y− y ∂

∂x⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟qx= xpy − ypx( )qxLzdx = i!dy + dxLz= i!qy+ qx −i!( ) x ∂

∂y− y ∂

∂x⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

= −i! x ∂∂y− y ∂

∂x⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟qy= xpy − ypy( )qyLzdy = i!dx + dyLz= −i!qx + qy −i!( ) x ∂

∂y− y ∂

∂x⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

= −i! x ∂∂y− y ∂

∂x⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟qz= xpy − ypy( )qzLzdz = dzLz= qz −i!( ) x ∂

∂y− y ∂

∂x⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

d± =dx ± idy

2Lzd+ = Lz 1

2dx + idy( ) = 1

2i!dy + dxLz( ) + 1

2i −i!dx + dyLz( ) = !d+ + d+Lz

Lzd− = Lz 12dx − idy( ) = 1

2i!dy + dxLz( )+ 1

2−i( ) −i!dx + dyLz( ) = −!d− + d−Lz

Dipolo elettrico

•  L’applicazione di d ad autostati di Lz, ne cambia l’autovalore:

•  Nel caso di V=E⋅d –  V=Exdx+Eydy+Ezdz: definendo E±=(Ex±iEy)/√2 –  V=E-d++Ezdz+E+d-

–  regola di selezione: Δm=mf-m=0,±1

•  Estendendo il discorso a L2, si può dimostrare che V|En,J,mJ,ηP〉 ha momento angolare compreso tra J+1 e |J-1|

•  d si comporta come un oggetto di momento angolare l=1

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Lz d+ En, J,mJ ,ηP( ) = Lzd+( ) En, J,mJ ,ηP = !d+ + d+Lz( ) En, J,mJ ,ηP = 1+mJ( )!d+ En, J,mJ ,ηP

Lz dz En, J,mJ ,ηP( ) = 0+mJ( )!dz En, J,mJ ,ηP

Lz d− En, J,mJ ,ηP( ) = −1+mJ( )!d− En, J,mJ ,ηP

nf , l f ,mf V n, l,m2= nf , l f ,mf E−d+ +Ezdz +E+d− n, l,m

2

= nf , l f ,mf E−d+ n, l,m + nf , l f ,mf Ezdz n, l,m + nf , l f ,mf E+d− n, l,m2

mJ→mJ+1 mJ→mJ

mJ→mJ-1

mf=m+1 mf=m mf=m-1

Radiazione di dipolo elettrico

•  Il motivo per cui abbiamo scelto d per gli esempi è che il più semplice fenomeno di emissione classico è quello di un dipolo oscillante:

•  La potenza irraggiata è

•  Per trasferirlo alla meccanica quantistica si può procedere intuitivamente: –  l’energia è quantizzata: ad una frequenza ω corrispondono fotoni con E=ħω –  Per stimare una probabilità di transizione da uno stato i ad uno stato f:

•  sostituiamo d con 〈f|d|i〉 •  Il numero di quanti emesso per unità di tempo sarà λ=P/ħω

–  Non è rigoroso, ma permette di avere un’idea degli ordini di grandezza

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de-iωt E = 1

4πε0ω 2

c2r̂×d( )× r̂⎡⎣ ⎤⎦

ei ωr/c−ωt( )

r

B = 14πε0

ω 2

c3r̂×d( ) e

i ωr/c−ωt( )

r

S =ℜ(E)× 1µ0ℜ(B)

ε0µ0 =1/ c2

P = dEdt

=1

12πε0ω 4

c3d2

=1

16π 2ε02µ0

ω 4

c5r̂×d( )2 r̂

cos2 ωr / c−ωt( )r2

Radiazione di dipolo elettrico

•  Esplicitamente: –  irraggiamento classico:

–  in termini di energia dei fotoni:

–  elemento di matrice:

–  costante di decadimento:

•  Ordini di grandezza: – 

–  r0=1.6 fm

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dEdt

=1

12πε0ω 4

c3d2

dEdt

=1

12πε01!!ω( )4

!c( )3d2 =

112πε0

1!

Eγ4

!c( )3d2

dEdt

=1

12πε01!

E 4

!c( )3f d i

2f d+ i

2

f dz i2

f d− i2

⎧

⎨

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪solo una delle componenti

conta, a seconda del Δm

λ =1Eγ

dEdt

=1

12πε01!

Eγ3

!c( )3f d i

2

f d i ≈ e( ) A1/3r0( ) λ ≈1

12πε01!

Eγ3

!c( )3e2A2/3r0

2 =13

e2

4πε0!ccEγ3

!c( )3A2/3r0

2 =13αcr0

Eγ3r03

!c( )3A2/3

=13αcr0

Eγ3r03

!c( )3A2/3 ≈

13α 2×1023s−1( ) Eγ

125 MeV⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

3

A2/3

Carica Raggio

≈ 2.5×1014s−1 Eγ1 MeV⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

3

A2/3

Radiazione di dipolo magnetico

•  L’elemento di matrice di dipolo elettrico ha delle regole di selezione ben precise: –  cambio di parità –  ΔJ=0,±1 (ma non 0→0)

•  Se queste non sono soddisfatte la radiazione può avvenir tramite altri operatori.

•  Dipolo magnetico •  Classicamente una spira percorsa

da corrente alternata irraggia

•  Ripetendo lo stesso ragionamento del dipolo elettrico:

•  Ordini di grandezza –  Confrontando con l’espressione del dipolo

elettrico, la costante di decadimento per una transizione indotta da un dipolo magnetico è minore di un fattore

•  Regole di selezione: –  stessa parità –  ΔJ=0,±1 (ma non 0→0)

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dEdt

=1

12πε0ω 4

c5µ2

λ =1

12πε01!

Eγ3

!c( )31c2

f µ i2

µ / cd

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟2

=µN

ceA1/3r0

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

2

=e!

2mNceA1/3r0

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

2

=1A2/3

!c2mNc

2r0

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

2

=4×10−3

A2/3