Lezione n. 24bis -...

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Gianni Bartoli/Maurizio Orlando – Appunti di Tecnica delle Costruzioni BOZZA SOGGETTA A REVISIONE – 18.01.05

Lezione n. 24bis Il cemento armato Il problema dell’aderenza e la disposizione delle armature Esempio di calcolo di una trave in C.A. La disposizione delle armature

La progettazione delle sezioni critiche in un elemento in c.a. comporta la definizione delle armature nelle sole sezioni maggiormente sollecitate. Il completamento dell’armatura in una struttura in c.a. avviene tenendo conto dell’effetto di confinamento che è necessario fornire al calcestruzzo in modo da consentire un efficace funzionamento della sezione in c.a. Occorre inoltre tenere presenti quelle che saranno le modalità di esecuzione dell’opera (ossia le successive fasi di getto) per determinare correttamente i cosiddetti “tagli” di armatura, ossia la conformazione delle armature e la definizione delle zone di sovrapposizione. Supponendo di operare con un elemento semplicemente inflesso (ad esempio, una trave), una volta progettate le sezioni più sollecitate, il progetto dell’intera trave si effettua controllando che in ogni sezione il momento resistente Msdu sia sempre superiore al momento esterno Mrdu di calcolo:

rdusdu MM ≥ .

Il controllo si ottiene costruendo il diagramma dei momenti resistenti e facendo in modo che esso “copra” il diagramma del momento esterno di calcolo. In altre parole, è possibile ipotizzare delle riduzioni (o comunque delle modifiche) nelle armature metalliche per “seguire” l’andamento dell’effettivo diagramma dei momenti sollecitanti al fine di evitare un eccessivo spreco di armatura metallica. Occorre notare che, teoricamente, sarebbe anche possibile ottimizzare la conformazione della sezione modificandone la geometria, adottando cioè sezioni più grosse dove le sollecitazioni sono maggiori e viceversa operando delle riduzioni nelle dimensioni nelle zone meno sollecitate. Di solito si opera, per facilità di esecuzione, con elementi a sezione costante, quindi l’unica operazione di ottimizzazione possibile è offerta dalla modifica nella disposizione delle armature resistenti. Il calcolo effettuato nella sezione maggiormente sollecitata consente quindi la definizione della ge-ometria dell’elemento, mentre l’andamento dei diagrammi delle caratteristiche di sollecitazione suggerisce la disposizione ottimale delle armature. Si ipotizzano quindi modifiche delle armature nelle zone di inversione delle sollecitazioni flettenti, e riduzioni delle stesse dove i momenti sono inferiori, sempre controllando che in nessuna sezione si fornisca una resistenza alla sezione inferiore rispetto alla sollecitazione. È così possibile operare “tagli” nelle armature (ossia interrompere alcune delle armature perché non necessarie nella zona esaminata) oppure procedere ad “integrazioni” delle armature (ad esempio per coprire zone con momento di segno diverso). Nel caso in cui si proceda ad una riduzione delle armature presenti in una sezione occorrerà prolun-gare le armature che non risultano più necessarie in termini di momento resistente della sezione ol-tre la posizione in cui esse non vengono più utilizzate, di una lunghezza almeno pari a quella che è definita “lunghezza di ancoraggio” (indicativamente, 40φ) che sarà introdotta nel paragrafo succes-sivo. Nel caso in cui (ad esempio nella realizzazione del primo pilastro che spicca dalla fondazione della struttura o nella realizzazione della parte in elevazione di un muro di sostegno) si debba procedere ad una “ripresa di getto”, ossia il getto avvenga in più fasi successive, l’ancoraggio delle armature deve essere predisposto prima del getto della fondazione: può quindi essere opportuno “spezzare” tali armature in due tratti, il primo dei quali predisposto all’interno della fondazione, ed il secondo da disporre preliminarmente al getto dell’opera in elevazione. I due tratti devono essere sovrapposti

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Lezione n. 24bis – pag. XXIVb.2


per un tratto che garantisca la trasmissione dello sforzo di trazione da uno all’altro, secondo una modalità analoga a quella già illustrata per l’ancoraggio delle barre. Di conseguenza si richiederà ancora una lunghezza di sovrapposizione pari a 40φ (aumentata, come si vedrà, a circa 60φ se in zona tesa) per permettere l’insorgere del meccanismo di trasmissione degli sforzi.

La necessità di fornire un opportuno confinamento al calcestruzzo, richiede inoltre la presenza di armature lungo tutto il perimetro della struttura, per cui occorrerà aggiungere armature (seppure in misura ridotta) anche nelle zone compresse. Riguardo al progetto di travi in c.a. è necessario a tal fine premettere due osservazioni: - la presenza di una staffatura (anche se minima) è obbligatoria: quindi la necessità di “sorreggere”

gli spigoli delle staffe comporta la disposizione di almeno quattro barre di armatura (due all’estradosso e due all’intradosso della sezione) che svolgono il ruolo di “reggistaffe”(a); queste barre, che dovrebbero essere costituite da parte dell’armatura prevista nel calcolo, vengono a vol-te aggiunte indipendentemente dalle verifiche della sezione, nelle zone dove si è operato al pro-getto (o alla verifica) con armatura semplice. In generale si preferisce ipotizzare che almeno que-ste armature corrano lungo tutta la trave (e quindi eventualmente si aggiungono le armature ove necessario), in modo da realizzare una “gabbia” di armatura (l’insieme delle armature più le staf-fe) che può essere assemblata a “piè d’opera” esternamente alla zona del getto, e successivamen-te collocata nelle casserature per procedere con il getto.

- in zona sismica (e quindi praticamente su tutto il territorio italiano) è bene conferire una certa duttilità alle sezioni in c.a., caratteristica che si ottiene, tra l’altro, attraverso un buon confina-mento del calcestruzzo compresso; è quindi generalmente previsto che, almeno alle estremità delle travi, si abbia sempre la presenza di un’armatura compressa non inferiore della metà di quella disposta in zona tesa, quindi implicitamente assumendo un rapporto di armatura pari a α=0.5.

Nel paragrafo successivo si introdurrà il concetto di “lunghezza di ancoraggio”, mentre nel paragra-fo ancora seguente si analizzerà il caso del calcolo completo di una trave in c.a., dove verranno evi-denziati tutti gli aspetti legati alla disposizione delle armature longitudinali ed a taglio. La lunghezza di ancoraggio Procediamo alla determinazione della lunghezza di ancoraggio, considerando ad esempio l’estremità sinistra di una trave come schematicamente rappresentato nella figura seguente:

A

L

La

C

Fa

F’a

Supponiamo che, a partire da una distanza L dall’appoggio, si abbia la necessità di utilizzare una barra aggiuntiva di armatura, per cui sarà necessario determinare la distanza La alla quale è possibi-le interrompere tale nuova armatura. La barra superiore sarà soggetta nel tratto compreso tra l’estremo sinistro e la sezione C a una distribuzione di tensioni tangenziali, che per ipotesi si assu-mono costanti sull’intero tratto La; la distribuzione di tensioni tangenziali fa equilibrio alla forza di trazione Fa alla quale è soggetta la barra per effetto del momento flettente nella sezione C.

(a) La normativa sismica richiede che “almeno due barre di diametro non inferiore a 12 mm devono essere

presenti superiormente ed inferiormente per tutta la lunghezza della trave”

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L

C

Fa

τ

τ

La condizione di equilibrio alla traslazione della barra è pertanto espressa dalla seguente relazione:

4fFL

2

saaφ

⋅π⋅==⋅φ⋅π⋅τ

dove π·φ·La è la superficie laterale del tratto di barra di lunghezza La,

4

2φπ è l’area della sezione trasversale della barra.

La forza di trazione da considerare nell’equazione di equilibrio è quella che si ha nella sezione C, tuttavia in sicurezza si può considerare il valore massimo della forza di trazione che la barra può sopportare, pari a:

4fF

2

ydmax,aφ

⋅π⋅=

dove fyd è la massima tensione che può essere assorbita dell’acciaio. Sostituendo nell’equazione di equilibrio il valore massimo di Fa ed un opportuno valore fbd per le tensioni tangenziali ultime di aderenza si ottiene:

4fLf

2

ydabdφ

⋅π⋅=⋅φ⋅π⋅ ⇒ bd

yd

bd

2

yd

a f4f

f4

fL

⋅

φ⋅=

φ⋅π⋅

φ⋅π⋅

= .

La Normativa fissa il valore delle tensioni tangenziali ultime di aderenza in

- 2ck

cbd mm/NinR32.0f

γ= per barre lisce

- c

ctkbd

f25.2f

γ⋅= per barre ad aderenza migliorata

Per cui, una volta nota la resistenza del calcestruzzo e dell’acciaio, è possibile individuare il valore di La. Considerando un calcestruzzo con Rck 30 ed un acciaio FeB44k, si ottiene, per barre ad ade-renza migliorata:

23/23 2ckctm mm/N61.23027.0R27.0f =⋅=⋅=

2ctmctk mm/N83.161.27.0f7.0f =⋅=⋅=

2

c

ctkbd mm/N57.2

6.183.125.2

f25.2f =⋅=

γ⋅=

2

s

ykyd mm/N374

15.1430f

f ==γ

=

da cui, sostituendo nell’espressione sopra si ottiene:

φ≈φ⋅

=⋅

φ⋅= 36

57.24374

f4f

Lbd

yda .

Il valore appena ricavato viene di solito arrotondato per eccesso a 40 φ.

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La lunghezza La calcolata con la formula vista sopra è sufficiente ad ancorare le barre se l’ancoraggio è realizzato in zona compressa. Viceversa se l’ancoraggio è realizzato in zona tesa, dove le condizioni di aderenza sono peg-giori, nel calcolo di La il valore della tensione tangenziale di aderenza deve es-sere ridotto, fino addirittura al 50 % del suo valore nei casi meno favorevoli.

Nel caso dell’esempio seguente, essendo la barra centrale ancorata in zona tesa, è pertanto oppor-tuno considerare un valore ridotto di fbd, ad esempio del 30 %, che comporta una maggiorazione della lunghezza di ancoraggio della stessa percentuale. Si adotta pertanto per La un valore pari a:

φ=φ⋅⋅= 52403,1La

Supponendo ad esempio di dovere ancorare una barra di 16 mm, l’espressione precedente fornisce: cm85cm2,836,152La ≅=⋅= .

Α Β

L L

85 1φ16

C D

85

In alternativa si può piegare la barra verso la zona compressa, mantenendo la lunghezza di ancorag-gio di 40 φ (= 40⋅1,6 = 64 cm ≅ 65 cm).

Α Β

L L

1φ16

C D

65 65

Esempio di calcolo di una trave in cemento armato utilizzando il meto-do agli stati limite

L

q1k

L/2

gk

A B C

Per la trave in c.a. a sezione rettangolare riportata in figura, dove

gk=2500 kg/m q1k=2000 kg/m (carico variabile per civile abitazione) L=5.00 m b =0.25 m (base della sezione)

effettuare il dimensionamento dell’altezza (unica per le due aste) della sezione e la disposizione del-le armature in modo da soddisfare le verifiche previste agli stati limite ultimi ed agli stati limite di

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esercizio (si consideri una situazione di ambiente poco aggressivo). Materiali: calcestruzzo:Rck 30, acciaio per armature: FeB44k Caratteristiche dei materiali calcestruzzo: Rck 30 tensioni caratteristiche e di progetto a rottura

MPa90.24mm/N90.243083.0R83.0f 2ckck ==⋅=⋅=

MPa56.15mm/N56.15

6.190.24ff 2

c

ckcd ===

γ=

resistenza media a trazione

MPa61.2R27.0f 3 2ckctm =⋅=

acciaio per armature: FeB44k tensione di progetto

MPa374mm/N374

15.1430f

f 2

s

ykyd ===

γ=

00182.0206000

374Ef

s

ydyd ===ε =1.82‰

Valutazione delle sollecitazioni Con un generico carico q, le reazioni vincolari sono pari a

Lq83

L4LLq

23

VA ⋅⋅=⋅

⋅⋅

=

Lq89VLq

23V AB ⋅⋅=−

⋅⋅=

Il momento massimo si ha tra A e B ad una distanza dall’appoggio pari a x0 (ascissa di taglio nullo): quindi

( ) ( ) L83x0xTxqLq

83xT 00 ⋅=⇒=⋅−⋅⋅=

( )2

xqxLq83xM

2⋅−⋅⋅⋅=

( ) 222

0max Lq128

9L83

2qL

83

2qL

83Lq

83xMM ⋅⋅=

⋅⋅=

⋅⋅−

⋅⋅⋅⋅==

Mentre il momento negativo sull’appoggio B vale (trave a sbalzo)

8Lq

2L

2q

2LqM

2222

B⋅

−=

⋅−=⋅−=

Il valore di MB è superiore, in valore assoluto, al valore di Mmax. Zona con momento negativo Ipotizzando una sezione di dimensione 25x50(1) cm, quindi dal peso proprio pari a

m/kg31250.025.02500hbg clstrave =⋅⋅=⋅⋅γ= (1) In assenza di un calcolo più preciso di predimensionamento, del resto spesso non necessario, è possibile

ipotizzare, per una trave su più appoggi e con sbalzi di lunghezza limitata (come ordine di grandezza, per sbalzi con luce non superiore alla metà della luce della campata adiacente), una sezione di altezza intorno ad 1/10 della luce.

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nella condizione di Stato Limite Ultimo il carico applicato è pari a ( ) m/kg6950m/kg693820005.131225004.1qgq kqkg ≈=⋅++⋅=⋅γ+⋅γ=

di conseguenza il momento in B (che, risultando il più alto in valore assoluto, è da assumersi come valore condizionante il progetto della trave) vale

kNm217Nmm10172.2kgm10172.2800.56950MM 84

2

SLU,Bsdu =⋅=⋅=⋅==

Si può progettare la sezione secondo i seguenti parametri: - s

's AA ⋅α= , con α=0.5,

- rottura bilanciata (x/d=0.259) - b=250 mm (dal testo) Si ha quindi

( ) 352.01

176.0fdbfA

cd

yds =α−

=⋅⋅

⋅=ω

Se si assume l’acciaio compresso snervato (ossia con una deformazione maggiore dell’1.82 ‰), il momento resistente assume il valore

( ) ( )

⋅

α−⋅α

−⋅

α−

⋅α+⋅⋅⋅= '

cdrdu d1

176.0d1

176.0158.0dbfM

[ ]'cdrdu d176.0d334.0dbfM ⋅−⋅⋅⋅⋅= Assumendo d’=40 mm, si ottiene

d04.7d334.0bf

M 2

cd

rdu ⋅−⋅=⋅

Imponendo la condizione limite

sdurdu MM = si ottiene l’eq.ne di secondo grado in d

55832d04.7d334.0 2 =⋅−⋅ da cui si ricava la radice positiva

mm420d = e quindi

mm109420259.0d259.0x =⋅=⋅= Occorre controllare una delle ipotesi di partenza, ossia il fatto che l’armatura compressa sia effetti-vamente snervata. Per l’altezza determinata, si ha che

( ) ( ) ‰22.240109109

5.3dxx5.3 ''

s =−⋅=−⋅=ε

quindi superiore al limite di snervamento. Una volta confermate le ipotesi, si possono scegliere le armature:

2

yd

cds mm1538

37456.15420250352.0

ffdbA =

⋅⋅⋅=

⋅⋅⋅ω=

2s

's mm76915385.0AA =⋅=⋅α=

Si può adottare:

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Zona tesa: 5Ø20 (As=5·314=1570 mm2) Zona compressa: 3Ø20 (A’s=3·314=942 mm2)

E’ evidente che: - il rapporto di armatura non corrisponde esattamente a quello imposto (si ha α=0.60 anziché

0.50); - l’armatura disposta non corrisponde esattamente a quella di calcolo (1570 mm2 contro 1538

mm2). Di conseguenza risulta necessario calcolare Mrdu con queste due nuove armature (lasciando inaltera-ta l’altezza): questo corrisponderà ad ottenere una rottura con asse neutro non coincidente con la posizione di rottura bilanciata. È evidente che il momento resistente dovrebbe ovviamente risultare maggiore di quello ipotizzato, avendo in generale adottato armature maggiori di quelle strettamente necessarie. Calcolo di Mrdu Un’osservazione: avendo disposto un’armatura compressa corrispondente ad un rapporto α mag-giore di quello previsto inizialmente, la rottura della sezione si sposta verso la rottura lato acciaio (si è infatti aumentata, in rapporto, l’armatura compressa, e quindi si è dotata la sezione di una mag-giore resistenza a compressione). Una situazione diversa si sarebbe ottenuta, come si osserverà alla fine del procedimento, se si fosse scelto un rapporto di armatura minore di quello inizialmente pre-visto (ossia α<0.5).

Per le armature introdotte si ha, impostando l’equilibrio alla traslazione ed ipotizzando ancora l’acciaio compresso snervato (α=0.60):

( ) ( ) ydsyd'sscd f1AfAA

dxdbf85.08.0 ⋅α−⋅=⋅−=⋅⋅⋅⋅⋅

( )211.0

42025056.1585.08.03744.01570

dbf85.08.0f1A

dx

cd

yds =⋅⋅⋅⋅

⋅⋅=

⋅⋅⋅⋅

⋅α−⋅=

ossia mm89d211.0x =⋅=

che corrisponderebbe ad una rottura lato acciaio con calcestruzzo ad una deformazione inferiore a quella massima e pari a

( ) ( ) ‰69.28989420

10xxd

10c =⋅

−=⋅

−=ε

e nell’acciaio compresso

( ) ( ) ( ) ( ) ‰48.1408989420

10dxxd

10 ''s =−⋅

−=−⋅

−=ε

Dal momento che l’acciaio compresso non risulta snervato, occorre ripetere il procedimento la-sciando incognita la deformazione nell’acciaio compresso. Si ha quindi

( )( ) ydsyd

''scd fAf

xddx

82.110Axbf85.08.0 ⋅=⋅

−−

⋅+⋅⋅⋅⋅

L’equazione è a questo punto di secondo grado in x e si ottiene

( ) ( ) ( ) ydsyd's

'cd fAxdfAdx50.5xdxbf68.0 ⋅⋅−=⋅⋅−⋅+−⋅⋅⋅⋅

risolvendo si ha mm96x =

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e quindi

229.042096

dx

==

La deformazione (e quindi la tensione) nell’acciaio compresso rispettivamente valgono

( ) ( ) ( ) ( ) ‰73.1409696420

10dxxd

10 ''s =−⋅

−=−⋅

−=ε

MPa35537482.173.1ff yd

el

's'

s =⋅=⋅εε

=

Riprova:

( ) ( ) kN254N10540.256.1585.0968.0250f85.0x8.0bC 5cd =⋅=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=

kN335N10345.3358942fA'C 5's

's =⋅=⋅=⋅=

kN587N10871.53741570fAT 5yds =⋅=⋅=⋅=

e quindi la situazione è sostanzialmente di equilibrio, in quanto ( ) kN2CCT ' =+−

A questo punto è possibile ricavare il valore del momento resistente ( ) ( )'dd'Cx4.0dCMrdu −⋅+⋅−⋅=

( ) ( ) MNm224Nmm10240.24042010345.3964.042010540.2M 855rdu =⋅=−⋅⋅+⋅−⋅⋅=

che risulta maggiore del momento sollecitante. Osservazione: questo modo di procedere è valido soltanto nel caso in cui si ricavi, alla fine del procedimento, una posizione dell’asse neutro per cui l’acciaio teso risulti ancora snervato, altrimenti occorrerebbe operare diversamente. La posizione dell’asse neutro che corrisponde all’acciaio teso al limite ela-stico è uguale a

( )xd:82.1x:5.3 −= ossia

658.082.15.3

5.3dx

=+

=

In generale, dal momento che le armature scelte saranno probabilmente poco diverse da quelle ot-tenute dal calcolo, sarà comunque improbabile che l’acciaio teso risulti al di sotto del limite di snervamento. Quindi, nel caso in cui si ottenesse una profondità dell’asse neutro più alta di quella appena ricavata, potrebbe essere necessario modificare le equazioni di congruenza, in quanto l’acciaio teso non è più alla massima deformazione. E’ da sottolineare che l’equazione di congruenza relativa alla deformazione deve essere impostata dal lato acciaio teso per profondità dell’asse neutro inferiori a quella corrispondente a rottura bilan-ciata (x/d<0.259) oppure dal lato calcestruzzo in caso contrario. A titolo di esempio, se avessimo scelto la seguente armatura:

Zona tesa: 5Ø20 (As=5·314=1570 mm2) Zona compressa: 2Ø20 (A’s=2·314=628 mm2)

e quindi α=0.4, operando come in precedenza si sarebbe ottenuto, ipotizzando inizialmente ancora l’acciaio compresso snervato

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( ) ( ) ydsyd'sscd f1AfAA

dxdbf85.08.0 ⋅α−⋅=⋅−=⋅⋅⋅⋅⋅

( )317.0

42025056.1585.08.03746.01570

dbf85.08.0f1A

dx

cd

yds =⋅⋅⋅⋅

⋅⋅=

⋅⋅⋅⋅

⋅α−⋅=

ossia mm133d317.0x =⋅=

che corrisponderebbe ad una rottura lato calcestruzzo con l’acciaio teso ad una deformazione infe-riore a quella massima e pari a

( ) ( ) ‰55.7133420133

5.3xdx5.3

c =−⋅=−⋅=ε

mentre per l’acciaio compresso

( ) ( ) ‰45.240133133

5.3dxx5.3 ''

s =−⋅=−⋅=ε

confermando l’ipotesi di acciaio compresso snervato; il momento resistente risulta quindi pari a (α=0.4)

( )( )

( )( )

⋅

α−⋅⋅α

−⋅

α−⋅⋅α

+⋅⋅⋅= 'cdrdu d

1d/x68.0d

1d/x68.0158.0dbfM

( )[ ] kNm201Nmm10009.240149.0420149.0158.042025056.15M 8rdu =⋅=⋅−⋅+⋅⋅⋅=

In questo caso, quindi, il momento resistente risulta (anche se di poco) inferiore al momento solle-citante; era del resto abbastanza ovvio aspettarselo visto che è stata disposta un’armatura inferiore rispetto a quella inizialmente prevista. Zona con momento positivo Il massimo momento positivo vale (allo Stato Limite Ultimo)

kNm122Nmm10222.1kgm10222.100.56950128

9MM 842SLUmax,sdu =⋅=⋅=⋅⋅==

Per dimensionare l’armatura a momento positivo si può procedere secondo due diverse vie. - si potrebbe modificare l’armatura, lasciando ovviamente la stessa dimensione geometrica della

trave, in modo da ottenere una situazione a rottura più vicina al valore del momento di progetto: dal momento che l’altezza è comunque fissata, occorre procedere ipotizzando un’armatura e ve-rificarne il comportamento a rottura.

- un’ulteriore possibilità è offerta dalla ricerca di un’armatura che soddisfi contemporaneamente la condizione di equilibrio alla traslazione e di momento resistente maggiore o uguale al momento sollecitante, sempre una volta che l’altezza sia fissata ed ipotizzando un rapporto tra armatura compressa ed armatura tesa.

Primo caso: verifica con una nuova armatura Si potrebbe ipotizzare di proseguire l’armatura inferiore (costituita da 3Ø20) e diminuire l’armatura superiore, ad esempio riducendola a 2Ø20. La situazione è quindi la seguente:

Zona compressa: 2Ø20 (As=2·314=628 mm2) Zona tesa: 3Ø20 (A’s=3·314=942 mm2) d=420 mm d’=40 mm

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E’ ancora probabile che la sezione arriverà ad una rottura lato acciaio teso. Imponendo di conse-guenza l’equilibrio alla traslazione si ottiene (nell'ipotesi di acciaio compresso non ancora sner-vato):

( )( ) ydsyd

''scd fAf

xddx

82.110Axbf85.08.0 ⋅=⋅

−−

⋅+⋅⋅⋅⋅

( ) ( ) ( )xdfAfdxA50.5xdxbf68.0 ydsyd''

scd −⋅⋅=⋅−⋅⋅+−⋅⋅⋅⋅ e risolvendo

mm78x = e quindi

186.042078

dx

==

che conferma l’ipotesi di rottura lato acciaio teso (x/d<0.259). La deformazione e la tensione nell’acciaio compresso valgono rispettivamente

( ) ( ) ( ) ( ) ‰11.1407878420

10dxxd

10 ''s =−⋅

−=−⋅

−=ε

MPa22837482.111.1ff yd

el

's'

s =⋅=⋅εε

=

Riprova:

( ) ( ) kN206N10064.256.1585.0788.0250f85.0x8.0bC 5cd =⋅=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=

kN143N10432.1228628fA'C 5's

's =⋅=⋅=⋅=

kN352N10523.3374942fAT 5yds =⋅=⋅=⋅=

e quindi la situazione è sostanzialmente di equilibrio, in quanto ( ) kN3CCT ' −=+−

Il corrispondente valore del momento resistente è quindi pari a ( ) ( )'dd'Cx4.0dCMrdu −⋅+⋅−⋅=

( ) ( ) kNm134kNmm1344324042010143784.0420206M 5rdu ==−⋅⋅+⋅−⋅=

maggiore del momento sollecitante. Secondo caso: ricerca di una nuova armatura In questo caso, senza ipotizzare a priori nessun tipo di armatura ma fissando soltanto l’altezza della sezione, si può comunque imporre la condizione di equilibrio alla traslazione e di momento uguale al momento sollecitante di progetto. Ipotizzando l’acciaio compresso snervato si ha (dalla condizione di equilibrio)

( ) ( ) ydsyd'sscd fA1fAA

dxdbf85.08.0 ⋅⋅α−=⋅−=⋅⋅⋅⋅⋅

ossia

( ) ydscd fA1dxdbf68.0 ⋅⋅α−=⋅⋅⋅⋅

Il momento resistente è offerto dalla relazione

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( ) ( )'yd'scdrdu ddfAx4.0d

dxdbf68.0M −⋅⋅+⋅−⋅⋅⋅⋅⋅=

sostituendo l’espressione precedente si ottiene (utilizzando la relazione A’s=αAs)

( )'cd2

cdrdu dddxdbf68.0

1dx4.01

dxdbf68.0M −⋅⋅⋅⋅⋅⋅

α−α

+

⋅−⋅⋅⋅⋅⋅=

−⋅

α−α

+⋅−⋅⋅⋅⋅⋅=dd1

1dx4.01

dxdbf68.0M

'2

cdrdu

Uguagliando l’espressione precedente al momento sollecitante, fissando il rapporto di armatura (ad esempio ponendo α=0.5) ed utilizzando i valori geometrici ricavati in precedenza (d=420 mm, d’=40 mm) si ottiene l’equazione di secondo grado in x/d

0dbf68.0

Mdx

dd1

11

dx4.0 2

cd

sdu'2

=⋅⋅⋅

−

⋅

−⋅

α−α

++

⋅−

0262.0dx452.1

dx4.0

2=−

⋅+

⋅−

da cui si ricavano le due radici

=440.3190.0

dx

la radice corretta è ovviamente la prima (nel secondo caso si avrebbe l’asse neutro esterno alla se-zione) e quindi siamo nel caso di rottura lato acciaio teso (x/d<0.259), con corrispondenti deforma-zioni nel calcestruzzo e nell’acciaio compresso pari a

mm80420190.0d190.0x =⋅=⋅=

( ) ( ) ‰36.28080420

10xxd

10c =⋅

−=⋅

−=ε

( ) ( ) ( ) ( ) ‰18.1408080420

10dxxd

10 ''s =−⋅

−=−⋅

−=ε

dal momento che ε’s è inferiore alla deformazione corrispondente allo snervamento dell’acciaio, oc-corre effettuare di nuovo il procedimento imponendo la condizione di acciaio compresso entro il li-mite elastico. Imponendo sempre la rottura lato acciaio teso e lasciando incognita la deformazione nell’acciaio compresso, si perverrebbe alle equazioni di equilibrio seguenti:

( ) ( ) ( )( )

yd'

ydel,s

's'

s''

s f82.1

dxxd

10ffdxxd

10⋅

−⋅

−=⋅

εε

=⇒−⋅−

=ε

equilibrio alla traslazione:

( )( )

ydsyd's

'cd fAfA

82.1dx

xd10

dxdbf85.08.0 ⋅=⋅⋅

−⋅

−+⋅⋅⋅⋅⋅

( ) ( ) ( )xdfAdxfA50.5xddbf68.0 yds'

yd'scd −⋅⋅=−⋅⋅⋅+−⋅⋅⋅⋅

BOZZA



−⋅⋅=

−⋅⋅⋅+

−⋅⋅⋅⋅

dx1fA

dd

dxfA50.5

dx1dbf68.0 yds

'yd

'scd

−⋅α⋅−

−⋅⋅=

−⋅⋅⋅⋅

dd

dx50.5

dx1fA

dx1dbf68.0

'ydscd

( )

⋅α⋅+−

⋅α⋅+

−⋅⋅⋅⋅

=

−⋅α⋅−

−

−⋅⋅⋅⋅

=⋅

dx50.51

dd50.51

dx1dbf68.0

dd

dx50.5

dx1

dx1dbf68.0

fA'

cd

'

cdyds

( )yBA

y1dbf68.0fA cd

yds ⋅−−⋅⋅⋅⋅

=⋅

dove si è posto

dxy

50.51Bdd50.51A

'

=

α⋅+=

⋅α⋅+=

equilibrio alla rotazione:

( ) ( )( ) ( )''

syd'

cdrdu ddAf82.1

dxxd

10x4.0dxbf68.0M −⋅⋅⋅−

⋅−

+⋅−⋅⋅⋅⋅=

( ) ( )( )

yBAy1dbf68.0

dd1d

y1

ddy

50.5y4.01ydbf68.0M cd'

'

2cdrdu ⋅−

−⋅⋅⋅⋅α⋅

−⋅⋅

−

−

⋅+⋅−⋅⋅⋅⋅⋅=

( ) ( )yBA

ddy50.5

y1y4.01ydbf68.0

M

'

2cd

rdu⋅−

−⋅α⋅

⋅−+⋅−⋅=⋅⋅⋅

( ) ( ) ( )

−⋅

−⋅α⋅+⋅−⋅⋅⋅−=µ⋅⋅−⋅

ddy

dd150.5y4.01yyBAyBA47.1

''rdu

dove si è posto

2cd

rdurdu

dbf

M

⋅⋅=µ

Quest’ultima espressione rappresenta un’equazione di terzo grado nell’incognita y=x/d. Risolvendo si ottiene un’unica radice reale compresa tra 0 e 0.259, ossia

136.0dx

=

BOZZA



mm57420136.0d136.0x =⋅=⋅=

( ) ( ) ‰57.15757420

10xxd

10c =⋅

−=⋅

−=ε

( ) ( ) ( ) ( ) ‰47.0405757420

10dxxd

10 ''s =−⋅

−=−⋅

−=ε

di conseguenza

( )

⋅α⋅+−

⋅α⋅+

−⋅⋅⋅⋅

=

dx50.51

dd50.51

dx1dbf68.0

f1A

'

cd

yds

( )2

s mm463136.05.050.51

420405.050.51374

864.042025056.1568.0A =

⋅⋅+−

⋅⋅+⋅

⋅⋅⋅⋅=

2s

's mm2314635.0AA =⋅=⋅α=

Si può controllare la correttezza del risultato verificando l’equilibrio alla traslazione

MPa9737482.147.0ff yd

el,s

's'

s =⋅=⋅εε

=

( ) ( ) kN151N10508.156.1585.0578.0250f85.0x8.0bC 5cd =⋅=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=

kN23N10226.097231fA'C 5's

's =⋅=⋅=⋅=

kN173N10731.1374463fAT 5yds =⋅=⋅=⋅=

per cui l’equilibrio alla traslazione è rispettato, in quanto ( ) kN1CCT ' =+−

L’armatura di progetto potrebbe corrispondere a: Zona compressa: 1Ø20 (As=314 mm2)(b)

Zona tesa: 2Ø20 (As=2·314=628 mm2) Commento: Il secondo modo di procedere, per quanto formalmente corretto, è in generale abbastanza impegna-tivo dal punto di vista del calcolo, e, nonostante conduca ad una scelta ottimizzata di armature per il momento ricercato, non comporta un effettivo miglioramento delle prestazioni della sezione pro-gettata in quanto a controllo della profondità dell’asse neutro. In altre parole, è sostanzialmente inutile, operando ad altezza fissata, cercare di minimizzare a tutti i costi l’armatura disposta nella sezione, in quanto comunque si ottiene una rottura sbilanciata dal lato acciaio teso (se la sezione è più alta di quello che sarebbe strettamente necessario per resistere al momento di progetto) o dal lato calcestruzzo (in caso contrario). In ultima analisi, è preferibile, una volta che è fissato il valore

(b) In realtà sarebbe meglio disporre, nella sezione, un’armatura di area equivalente ma costituita almeno da

due barre di armatura, ad esempio scegliendo 2Ø14 (As=2·154 mm2=308 mm2), in modo da realizzare un valido sostegno per le staffe

BOZZA



dell’altezza, scegliere un’armatura in base ad altri criteri (rispetto dei minimi di normativa, facilità di disposizione delle armature, continuità di alcune barre rispetto alle sezioni più sollecitate) e quindi verificare l’effettivo valore del momento resistente. Si prosegue quindi utilizzando le arma-ture scelte nella prima procedura. Disposizione delle armature

Altezza della sezione: mm4602010220420cØ

2Ødh st =+++=+++=

dove si è indicato con Ø il diametro delle barre, con Øst il diametro (pre-sunto)(2) delle staffe (Øst=10 mm) e con c il valore del ricoprimento di arma-tura (pari al minimo, ossia 20 mm).

Sezione B: armature: zona compressa (inf.): 3Ø20 (As=3·314=942 mm2) zona tesa (sup.): 5Ø20 (A’s=5·314=1570 mm2)

momento resistente: Mrdu=224 kNm

Sezione max M+: armature: zona compressa (sup.): 2Ø20 (As=2·314=628 mm2) zona tesa (inf.): 3Ø20 (As=3·314=942 mm2)

momento resistente: inferiore: Mrdu=135 kNm superiore: Mrdu= 92 kNm

Si può quindi ipotizzare lungo tutto l’asse della trave un’armatura composta da 3+2Ø20 (3 ferri in-feriori e 2 ferri superiori), e cercare di individuare la zona in cui disporre i restanti 3Ø20 superiori per coprire la massima zona di momento negativo. Costruendo un grafico con i momenti flettenti di progetto ed i momenti resistenti, si può individuare tale zona come quella compresa tra 35 cm prima dell’appoggio e 45 cm dopo di esso. Ricordando che occorre comunque prolungare i ferri almeno 40Ø (quindi nel caso in esame, 80 cm) oltre la zona in cui devono effettivamente resistere a trazione, si decide di disporre l’armatura ag-giuntiva costituita da 3Ø20 da una distanza pari a 120 cm prima dell’appoggio fino ad una distanza di 130 cm oltre l’appoggio. Osservazione: l’armatura disposta rispetta il limite minimo previsto di normativa. La disposizione normativa reci-ta infatti che il minimo di armatura in zona tesa, deve risultare maggiore dello 0.15% dell’area del-la sezione trasversale, quindi

2min mm173460250

10015.0hb%15.0 =⋅⋅=⋅⋅=ρ

Nel caso in esame, la condizione risulta soddisfatta essendo l’armatura minima in zona tesa pari a 3Ø20 (As=3·314=942 mm2), ossia pari ad una percentuale di armatura

%82.00082.0460250

942hb

As ==⋅

=⋅

=ρ

(2) Come si vedrà nel seguito, le staffe effettivamente disposte saranno proprio del diametro 10 mm. Questo

è sostanzialmente ininfluente nel calcolo che si sta effettuando: anche non operando una specifica verifica a taglio, e quindi non conoscendo il diametro effettivo delle staffe, è comunque presumibile che il diame-tro delle staffe sia compreso tra 8 e 12 mm (come accade nella grande maggioranza dei casi di interesse comune) e procedere come indicato, ossia ipotizzando un valore intermedio (10 mm appunto).

BOZZA



0 100 200 300 400 500 600 700 800 150

100

50

0

-50

-100

-150

-200

-250 kNm

cm

2 Ø20+2Ø20

2 Ø20

2 Ø20+5Ø20

Verifica allo stato limite ultimo per azioni taglianti Allo S.L.U., i valori delle sollecitazioni taglianti risultano i seguenti

kN130kg130315695083lq

83V A,sdu ==⋅⋅=⋅⋅=

kN217kg217195695085lq

85V sinB,sdu ==⋅⋅=⋅⋅=

kN174kg173755695084lq

84V Bdx,sdu ==⋅⋅=⋅⋅=

per cui la condizione peggiore si ha alla sinistra dell’appoggio in B. La quantità minima di armatura trasversale (staffe) prevista dalla normativa risulta pari a

m/cm13.325254215.0110.0b

bd15.0110.0A 2

min,st =⋅

⋅+⋅=⋅

⋅+⋅=

in cui le lunghezze che compaiono nell’espressione devono essere indicate in cm. Inoltre il passo non deve superare il minimo tra

⇒=⋅=⋅

≤∆mm333metroalstaffe3mm3364208.0d8.0

minx

Disponendo staffe a due braccia (nb=2) a passo 300 mm (nst=1000/300 staffe/m) si ottiene quindi un’area minima per ogni braccio pari a

3Ø20

3Ø20

3Ø20+2Ø20

BOZZA



22

stb

min,stmin mm47cm47.0

1000300

213.3

nnA

A ==⋅=⋅

=

si possono quindi disporre staffe Ø8 (A=0.50 cm2) a passo 300, per un’area risultante pari a

m/cm33.3300

1000250.0A300/br28Øst1 2st =⋅⋅=⇒

Occorre ricordare che, in prossimità di carichi appesi o appoggi, per un tratto di lunghezza pari all’altezza utile della trave, il passo delle staffe non può superare il limite

mm2402012Ø12x l =⋅=⋅≤∆ dove Øl è il diametro minimo delle barre longitudinali (nel caso in esame: Øl =20 mm). La verifica da effettuare allo S.L.U. è rappresentata dal doppio controllo rispetto alla compressione della biella compressa in calcestruzzo e rispetto all’armatura trasversale d’anima. Nel primo caso occorre verificare che

dbf30.0V wcdsdu ⋅⋅⋅≤ Nel caso in esame si ha

kN490N49014042025056.1530.0dbf30.0V wcdrdu ==⋅⋅⋅=⋅⋅⋅= effettivamente maggiore del valore di progetto (Vsdu=217 kN). La seconda verifica richiede che

wdcdsdu VVV +≤ dove

δ⋅⋅⋅⋅= dbf60.0V wctdcd

( )β+β⋅⋅

⋅⋅= cossins

d90.0fAV ywdswwd

Nel caso in esame si ottiene

MPa14.1mm/N14.16.1

61.27.0f7.0ff 2

c

ctm

c

ctkctd ==

⋅=

γ⋅

=γ

=

kN72N71820142025014.160.0dbf60.0V wctdcd ==⋅⋅⋅⋅=δ⋅⋅⋅⋅= in cui il coefficiente δ è stato posto uguale ad 1 non essendo presente sforzo normale. Per quanto riguarda il termine Vwd si ottiene

( ) ( ) ( )10300

42090.0374502cossins

d90.0fAV ywdswwd +⋅⋅

⋅⋅⋅=β+β⋅⋅

⋅⋅=

kN47N47124Vwd == in cui β (inclinazione delle armature trasversali rispetto all’asse della trave) è stato posto pari a 90°. Complessivamente si ha quindi

kN119kN4772VVV wdcdrdu =+=+= che risulta inferiore al valore di progetto. Occorre quindi aumentare il diametro delle staffe e/o il lo-ro passo. Le staffe possono quindi essere progettate imponendo che

sduwdcd VVV ≥+ o anche (dal momento che il termine Vcd non dipende dalla disposizione di armatura trasversale)

BOZZA



cdsduwd VVV −≥ si ha quindi

( ) cdsduywdsw VVcossins

d90.0fA −≥β+β⋅⋅

⋅⋅

e nel caso β=90°

mm03.142090.0374

71800217200d90.0f

VVs

A

ywd

cdsdusw =⋅⋅

−=

⋅⋅−

≥

quindi si hanno le seguenti combinazioni possibili:

staffa passo minimo disposizione

Ø8 2br. s<97 mm Ø8 2br./95

Ø10 2br. s<153 mm Ø10 2br./150

Ø12 2br. s<219 mm Ø12 2br./210 Si dispongono quindi staffe Ø10 2br./150. Per verifica si può controllare che effettivamente il taglio resistente superi il valore della sollecitazione di progetto

( ) kN149N148910150

42090.0374792s

d90.0fAV ywdswwd ==⋅

⋅⋅⋅=⋅

⋅⋅=

kN221kN14972VVV wdcdrdu =+=+= effettivamente superiore al taglio di progetto. Tale armatura è necessaria soltanto nelle zone di taglio massimo, ossia in prossimità degli appoggi. Ad una certa distanza da essi, il passo potrebbe essere aumentato (ad esempio portandolo a 300 mm), lasciando inalterato il numero dei bracci e il diametro delle staffe. Si può quindi calcolare il taglio resistente offerto da un passo più ampio e valutare in quali zone del-la trave si potrebbe disporre questa nuova armatura. Ripetendo il calcolo con staffe a passo 300 si otterrebbe

( ) kN75N74456300

42090.0374792s

d90.0fAV ywdswwd ==⋅

⋅⋅⋅=⋅

⋅⋅=

kN147kN7572VVV wdcdrdu =+=+= Dai diagrammi del taglio (oss: 6950 kg/m=69.5 kN/m): taglio da A verso B il valore del taglio di progetto in A (130 kN) è già inferiore al taglio resi-

stente appena ricavato: in corrispondenza dell’appoggio in A non occorrereb-be disporre staffe a passo superiore a 300 mm; va tuttavia ricordato che, in prossimità degli appoggi, il passo non può superare 240 mm, per cui occorre comunque procedere ad una diminuzione del passo.

taglio da B verso A ( ) ( ) rdu1 VxTxqlq85xT =⇒⋅−⋅⋅=

m250.1x3.146x5.692.217 11 =⇒=⋅−

taglio da B verso C ( ) ( ) rdu1 VxTxqlq84xT =⇒⋅−⋅⋅=

m626.0x3.146x5.698.173 11 =⇒=⋅−

BOZZA



Il raffittimento del passo da 300 a 150 mm è quindi effettivamente necessario per una zona intorno all’appoggio B pari a 1.25 m verso sinistra e 0.63 m verso destra. A favore di sicurezza si estende tale zona a 1.35 m verso sinistra e 0.75 m verso destra (in modo da avere un numero di staffe a pas-so più fitto multiplo del passo, 150 mm). Inoltre, alla destra dell’appoggio in A, si dispongono staf-fe a passo 200 mm per i primi 60 cm (basterebbe infittire il passo per una zona pari all’altezza della trave: per facilità di disposizione si estende tale zona alla lunghezza indicata). In prossimità dell’appoggio in A (e in generale in tutte le estremità delle travi) occorre effettuare un’ulteriore verifica: bisogna infatti controllare che l’armatura inferiore sia in grado, allo stato limi-te ultimo, di assorbire uno sforzo di trazione almeno pari al taglio. Nel caso in esame si ha quindi in A (VSdu,A=130 kN), la necessità di disporre un’armatura inferiore minima pari a :

2

yd

A,Sdumin,s mm347

374130000

fV

A ==≥

Tale limite risulta inferiore rispetto all’armatura effettivamente disposta (pari a 3Ø20, As=3·314=942 mm2). Osservazione: occorre comunque verificare che la resistenza di calcolo dell’armatura d’anima risulti non inferio-re alla metà del taglio di calcolo. Nella sezione più sollecitata si ha

kN1092

217kN146Vwd =>=

nelle sezioni in cui si opera la modifica del passo delle staffe si ha

kN732

146kN75Vwd =>=

in tutte le altre zone la verifica è quindi evidentemente soddisfatta. In molti casi può essere più speditivo operare imponendo subito tale condizione, ossia determinan-do il passo ed il diametro delle staffe dalla relazione

2VV sd

wd ≥

e verificare a posteriori le condizioni sul minimo di armatura obbligatorio. Verifica allo stato limite delle tensioni in esercizio Allo SLE si hanno le seguenti azioni di progetto: Combinazione di carico rara:

m/kg481220003122500qgq kkrara =++=+= Combinazione di carico quasi permanente:

m/kg321220002.03122500qgq k2kperm.q =⋅++=⋅ψ+=

in cui si è assunto per ψ2 il valore corrispondente ad un carico variabile per abitazioni(3). Nelle due combinazioni e nella sezione più sollecitata, ossia in B, si ha un momento di progetto (3) Nella verifiche successive si potrebbe anche correggere il valore del peso proprio della trave con il valore

effettivo, derivante dal dimensionamento appena effettuato. Tuttavia l’altezza della trave (46 cm) è tal-mente vicina a quella ipotizzata inizialmente (50 cm), che la differenza in termini di peso proprio è irrile-vante. Si avrebbe infatti

m/kg28846.025.02500hbg clstrave =⋅⋅=⋅⋅γ= contro i 312 kg/m ipotizzati. Si continua quindi, operando a favore di sicurezza, ad ipotizzare un peso proprio pari a tale quantità.

BOZZA



MNm151.0Nmm10504.1kgm10504.1800.54812MM 84

2rara,Brara,sd =⋅=⋅=⋅==

MNm101.0Nmm10004.1kgm10004.1800.53212M 85

2perm.q,sd =⋅=⋅=⋅=

La prima verifica da effettuare è controllare se la sezione, per la combinazione di carico rara, è in regime fessurato o meno, controllando il valore della massima tensione nel calcestruzzo teso in ipo-tesi di sezione interamente reagente. Ricordano le caratteristiche della sezione adottata:

Zona tesa: 5Ø20 (As=5·314=1570 mm2) Zona compressa: 3Ø20 (A’s=3·314=942 mm2) d=420 mm h=460 mm d’=40 mm

si ha

( ) 2ci mm152680157094215460250A =+⋅+⋅⋅=

( )mm218

A

401570420942152

460460250x

ciG =

⋅+⋅⋅+⋅⋅=

dove si è assunto n=15 (coeff. di omogeneizzazione) e si è indicata con xG la posizione del baricen-tro della sezione rispetto al lembo teso. Di conseguenza il momento di inerzia della sezione in regime non fessurato vale

( ) ( )[ ]=−⋅+−⋅⋅+

−⋅⋅+

⋅= 2

G2

G

2

G3

1,ci 40x1570x42094215x2

46046025012

460250J

491,ci mm10367.3J ⋅=

In corrispondenza del momento sollecitante si avrebbe una tensione massima nel calcestruzzo teso pari a

MPa74.921810367.310504.1x

JMf 9

8G

1,ci

sdc =⋅

⋅

⋅=⋅=

che risulta sensibilmente maggiore del limite imposto dalla normativa, pari a fctm (2.61 MPa). Di conseguenza la sezione è in regime fessurato: occorre quindi calcolare la posizione dell’asse neutro baricentrico e del momento di inerzia in tale situazione. La posizione dell’asse neutro (rispetto al lembo compresso della sezione) è offerta dalla soluzione dell’equazione di secondo grado

0dfxf2x 02 =⋅−⋅⋅+

in cui d0 rappresenta la posizione (dal lembo compresso) del baricentro di tutte le armature

ss

ss0 'AA

'd'AdAd++

=

e f è offerto dalla relazione ( )

b'AAnf ss +⋅

=

Si ottiene:

BOZZA



mm2789421570

409424201570d0 =+

⋅+⋅=

( ) mm151250

942157015f =+⋅

=

e quindi

mm176151278211151

fd211fx 0 =

⋅++−⋅=

++−⋅=

Di conseguenza si ottiene

( ) ( )[ ]=−+−⋅+⋅⋅= 2s

2s

3ci 'dx'AxdAnxb

31J

( ) ( )[ ] 49223ci mm10118.240176942176420157015176250

31J ⋅=−⋅+−⋅⋅+⋅⋅=

E’ possibile a questo punto effettuare le verifiche richieste: le limitazioni imposte dalla normativa sono le seguenti (nel caso di ambiente poco aggressivo) Per la combinazione di carico rara:

calcestruzzo: ( ) MPa94.143083.060.0f60.0f ckrara,c =⋅⋅=⋅= acciaio: MPa30143070.0f70.0f ykrara,s =⋅=⋅= Per la combinazione di carico quasi permanente:

calcestruzzo: ( ) MPa21.113083.045.0f45.0f ckperm.q,c =⋅⋅=⋅= Si ottiene: combinazione di carico rara:

( )rara,c9

8

ci

rara,sdc fMPa50.12176

10118.210504.1x

JM

f <=⋅⋅

⋅==

( ) ( ) ( )rara,s9

8

ci

rara,sds fMPa260176420

10118.210504.115xd

JM

nf <=−⋅⋅

⋅⋅=−⋅=

combinazione di carico quasi permanente:

( )perm.q,c9

8

ci

perm.q,sdc fMPa34.8176

10118.210004.1x

JM

f <=⋅⋅

⋅==

La verifica risulta quindi soddisfatta. Osservazione: la combinazione di carico rara corrisponde di fatto alla combinazione che si sarebbe adottata ope-rando secondo il metodo alle tensioni ammissibili. In questo caso però la verifica avrebbe imposto i seguenti limiti (vedi DM 14.2.1992), rispettivamente validi per il calcestruzzo e l’acciaio FeB44k

( )ckckck

c f39.0R33.0MPa75.94

153064

15R6 ⋅≈⋅≈=−

+=−

+=σ

( )yks f59.0MPa255 ⋅≈=σ quindi sensibilmente inferiori. In altre parole, una sezione verificata secondo il metodo delle ten-sioni ammissibili risulta in genere sempre verificata se controllata attraverso il metodo degli Stati Limite.

BOZZA



Verifica a fessurazione Nel caso di ambiente poco aggressivo ed armature poco sensibili alla corrosione, le verifiche da ef-fettuarsi sono le seguenti combinazione di carico quasi permanente: mm2.0wk < combinazione di carico frequente: mm4.0wk < Il momento della fessurazione, corrispondente al raggiungimento della tensione fctm nella fibra di calcestruzzo più sollecitata a trazione vale (in sezione parzializzata)

MNm040.0Nmm10031.461.2218

10367.3fxJ

M 79

ctmG

1,cicr =⋅=⋅

⋅=⋅=

dove si sono utilizzate le due grandezze Jci,1 e xG relative al regime non fessurato. In corrispondenza di tale momento, la tensione nell’acciaio teso vale

( ) ( ) MPa7.6917642010118.210031.415xd

JMn 9

7

ci

crsr =−⋅

⋅

⋅⋅=−⋅⋅=σ

dove, questa volta, si sono utilizzate le due grandezze Jci e x relative al regime fessurato. Nelle due combinazioni di carico si ottiene quindi: Combinazione di carico quasi permanente Il momento di progetto vale

kNm101.0Nmm10004.1M 8perm.q,sd =⋅=

In corrispondenza di tale azione si ha una tensione nell’acciaio teso pari a (in regime fessurato)

( ) ( ) MPa5.17317642010118.210004.115xd

JM

n 9

8

ci

perm.q,sds =−⋅

⋅

⋅⋅=−⋅⋅=σ

Le armature disposte in zona tesa (5Ø20, corrispondenti ad As=5·314=1570 mm2) sono comprese all’interno di una staffa di diametro 10 mm (Øst=10 mm). Di conseguenza si ottiene un ricoprimento di armatura pari a

mm201022040Ø

2Ødc st

' =−−=−−=

ed una distanza relativa tra le armature pari a

mm5.4215

201022022501n

ØØ2c2bsa

st =−

−⋅−⋅−=

−−⋅−⋅−

=

dove si è indicato con na il numero delle barre presenti. L’altezza della zona efficace è pari a mm5.212205.75.4220Ø5.7scdeff =⋅++=⋅++=

e quindi si ha 2

effeff,c mm531255.212250dbA =⋅=⋅= È possibile a questo punto procedere alla quantificazione dei vari termini nelle espressioni che co-stituiscono la verifica in oggetto.

Distanza media tra le fessure

r32rm

Økk10sc2s

ρ⋅⋅+

+⋅=

dove

BOZZA



k2 = 0.4 (barre ad aderenza migliorata)

k3 = 0.125 (asse neutro interno alla sezione)

0296.0531251570

AA

eff,c

sr ===ρ

e quindi

mm3.828.335.480296.020125.04.0

105.42202srm =+=⋅⋅+

+⋅=

Deformazione unitaria media nelle armature

σ⋅≥

σσ

⋅β⋅β−⋅σ

=εs

s2

s

sr21

s

ssm E

4.01E

dove

0.11 =β (barre ad aderenza migliorata)

5.02 =β (azioni ripetute) e quindi

4

2

sm 1074.75.1737.695.00.11

2060005.173 −⋅=

⋅⋅−⋅=ε

dal momento che la grandezza ricavata risulta maggiore del limite

4

s

smin,sm 1037.3

2060005.1734.0

E4.0 −⋅=⋅=

σ⋅≥ε

il valore ricavato può essere utilizzato nella verifica.

Valore caratteristico di ampiezza delle fessure

mm094.01073.63.827.1s7.1w7.1w 4smrmmk =⋅⋅⋅=ε⋅⋅=⋅= −

che risulta sensibilmente inferiore rispetto al limite fissato (0.2 mm). Combinazione di carico frequente Ripercorrendo gli stessi passi effettuati in precedenza, si può ripetere la verifica anche nella combi-nazione frequente. Il carico di progetto vale

m/kg381220005.03122500qgq k1kfreq =⋅++=⋅ψ+=

in cui si è assunto per ψ1 il valore corrispondente ad un carico variabile per abitazioni. Il momento di progetto, nella sezione maggiormente sollecitata, vale

MNm119.0Nmm10191.1kgm10191.1800.53812MM 84

2freq,Bfreq,sd =⋅=⋅=⋅==

In corrispondenza di tale azione si ha una tensione nell’acciaio teso pari a (in regime fessurato)

( ) ( ) MPa8.20517642010118.210191.115xd

JM

n 9

8

ci

freq,sds =−⋅

⋅

⋅⋅=−⋅⋅=σ

BOZZA



Distanza media tra le fessure Il valore della distanza media tra le fessure dipende soltanto dalla disposizione di armatura e dalla forma del diagramma delle tensioni precedente alla fessurazione. Di conseguenza tale valore è lo stesso ricavato in precedenza, ossia

mm3.82srm =

Deformazione unitaria media nelle armature Con lo stesso significato dei simboli del caso precedente, si ha

42

sm 1042.9942.0206000

8.2058.205

7.695.00.11206000

8.205 −⋅=⋅=

⋅⋅−⋅=ε

Valore caratteristico di ampiezza delle fessure

mm132.01042.93.827.1s7.1w7.1w 4smrmmk =⋅⋅⋅=ε⋅⋅=⋅= −

ancora inferiore rispetto al limite fissato (0.4 mm).

Lezione n. 24bis -...

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