Captulo 13Ondas1Movimiento oscilatorioEl movimiento armnico simple ocurre cuando la fuerza recupera-dora es proporcional al desplazamiento con respecto del equilibriox:F= kxk se denomina constante de fuerza.En el caso de un pndulo, es igual amg/l.El desplazamiento en el movimiento armnico simple viene dado por:x(t) = Asen(t +) es la frecuencia angular de la oscilacin=_ km se mide en rad/s. El radin (rad) es adimensional.Parmetros del m.a.s.A es la amplitud y la fase inicial del movimiento. Se obtienen a partirde la posicin y la velocidad de la partcula en el instante inicial.En vez de la frecuencia angular, tambin se utiliza la frecuencia :=2El perodo es inversamente proporcional a la frecuencia:T=2=1 se mide en ciclos/segundo o hercios (Hz), y el perodo en segundos.Energa del m.a.s.En el m.a.s. se produce un continuo intercambio de energa potencial acintica, y viceversa, con la energa total permaneciendo constante, iguala:E=12kA2=12mA22=12mv2maxEn el punto de equilibrio, toda la energa es cintica y la velocidad esmxima, vmax.Caractersticas de las ondasLa velocidad de propagacin de las ondas en una cuerda,sujeta a unatensin Tc y con una densidad lineal l, est dada por:v=_TclLa longitud de onda es igual al perodo T multiplicado por la velo-cidad de propagacin de la onda en el medio de transmisin: = TvLa ecuacin de una onda armnica que se desplaza en la direccin y y sepropaga en la x es:y(x, t) = Asen_t 2x_El signo menos indica que se desplaza en el sentido positivo del eje X.Si una onda atraviesa distintos medios, la frecuencia angular permanececonstante.Energa de una ondaLa energa de una onda en una cuerda vale:E=12 A22llLa potencia que transmite la onda es:P=Et=12 A22vlLa potencia transmitida coincide con la generada por la fuente.La magnitud vl se denomina impedancia Z de la cuerda.Ondas estacionariasUna onda en una cuerda con sus dos extremos jos viene descrita por laecuacin:y(x, t) = 2Acos(wt) sen_2x_Si L es la longitud de la cuerda, las posibles longitudes de onda son: = 2 Lnpara n = 1, 2, 3, . . .Las frecuencias correspondientes a las anteriores son las frecuenciaspropias de una cuerda con sus dos extremos jos, y vienen dadas por:=vnLEl modo fundamental corresponde a la frecuencia ms baja y a la longitudde onda ms larga.Los nodos son puntos con interferencia destructiva que no vibran en ab-soluto. n es igual al nmero de nodos internos ms uno.Problema 13.1Un pndulo de 90 cm de longitud se desplaza 2 cm de suposicin de equilibrio y se deja oscilar libremente a partirde t = 0. Encuentra la ecuacin de la trayectoria. Repite elclculo para el caso en que al pndulo se le imprima unavelocidad inicial de 0.05 m/s en vez de desplazrsele.Problema 13.2Tenemos un muelle que se estira 5 cm cuando se le cuelgaun peso de 0.25 kg. Calcula:(a) la constante de fuerza del mismo,(b) la frecuencia que tendra cuando oscilara con la ma-sa anterior,(c) el perodo.Problema 13.3Una partcula de 0.1 kg de masa oscila con una frecuenciade100Hzyunaamplitudde1mm. Hallalavelocidadmxima y la energa del movimiento.Problema 13.4La posicin de una partcula de 0.2 kg de masa viene dadapor:x(t) = 5 cos(4t ) m.Determina:(a) la posicin de la partcula en t = 1 s,(b) la velocidad en t = 0,(c) la aceleracin en t = 0,(d) la fuerza recuperadora,(e) la amplitud de la oscilacin,(f) el perodo,(g) la energa del movimiento.Problema 13.5Una partcula de 0.4 kg efecta un movimiento armnicosimple con una frecuencia de 10 Hz y una energa de 80J. Calcula:(a) la amplitud de la oscilacin,(b) la velocidad mxima,(c) la constante de fuerza recuperadora.Problema 13.6La posicin de una partcula de 0.1 kg de masa viene dadaporx=Asen(10t) m. En el instantet=1 s, la velocidadde la partcula es de 12 m/s. Cul es la amplitud de laoscilacin? Y su energa?Problema 13.7Un pjaro de 30 gr de masa se apoya en el extremo de unarama de 20 cm de longitud y 3 mm de radio. El mdulo deYoung de la madera de la rama es de 8 109N/m2. Cules la frecuencia de resonancia del pjaro en la rama?Problema 13.8Calcula la velocidad de propagacin de las ondas en unacuerda de guitarra de 20 g/m sometida a una tensin de50 N.Problema 13.9Si la cuerda de guitarra del ejercio anterior vibra con unafrecuencia de 100 Hz, cul es su longitud de onda?Problema 13.10Una onda viene dada por la ecuacin:y(x, t) = 0.6 sen 2(0.2t 10x) m.Encuentra:(a) su amplitud y frecuncia angular,(b) su longitud de onda,(c) su velocidad de propagacin,(d) la velocidad de un punto cualquiera del medio por elque se transmite la onda.Problema 13.11Escribe la ecuacin de una onda de 2 m de amplitud, 20 mde longitud de onda que se propaga en el sentido negativodel eje Xen un medio con una velocidad de propagacinde 100 m/s. Supn que ent =0 eldesplazamiento delorigen es nulo.Problema 13.12Una onda transversal se propaga en el sentido positivo deleje Yy la oscilacin es en la direccin Z. Su amplitud esde 0.4 m,su frecuencia de 40 Hz y su longitud de ondade 25 m. Encuentra la velocidad de un punto cualquieraen funcin del tiempo, sabiendo que es nula para y= 0 ent = 0.Problema 13.13Una cuerda de 80 cm de longitud y 40 gr/m oscila con unperodo de 0.001 s en un modo con un nico nodo interno.Encuentra la velocidad de las ondas en ella, as como sutensin.Si los puntos medios entre nodos vibran con unaamplitud de 1 cm, halla su velocidad mxima.Problema 13.14La ecuacin de una onda en una cuerda es:y(x, t) = 0.4 sen(50t x) m.Obtn:(a) su perodo y su longitud de onda,(b) la velocidad de propagacin,(c) la velocidad mxima de oscilacin de los puntos dela cuerda,(d) la diferencia de fase, en un mismo instante de tiempo,entre dos puntos separados 3.5 m.Problema 13.15Escribelaecuacindeunaondaenunacuerdaquesepropagaenel sentidonegativodel ejeY yoscilaenladireccin Z con una amplitud de 0.2 m y un perodo de 0.8s, sabiendo que la velocidad de propagacin de las ondasen la cuerda es de 160 m/s.Problema 13.16Escribe la ecuacin del modo fundamental de una cuerdaentrex= 2myx=0, sabiendoquelavelocidaddepropagacin de las ondas en la cuerda es de 150 m/s, queent =0lacuerdaocupa el ejeXyquelaamplitud deoscilacin del punto x = 1 m es de 0.1 m.Problema 13.17Una onda con una amplitud de 0.05 m y una frecuencia de70 Hz se propaga a 35 m/s por una cuerda de 0.1 kg/m.Calcula la longitud de onda y la potencia transmitida por laonda.Problema 13.18Unafuenteoscilaconunaamplitudde0.3myunafre-cuencia de 10 Hz unida al extremo de una cuerda de 0.08kg/m. Si la longitud de onda de las ondas que genera es de1 m, cunto tiempo ha de estar funcionando para trans-mitir una energa de 100000 J?Problema 13.19Una cuerda de 1.5 m de longitud posee una densidad li-neal de 0.03 kg/m y est sometida a una tensin de 500N. Si oscila en su modo fundamental con una amplitud m-xima de 6 cm, cul es su energa?13.1 Unpndulode90cmdelongitudsedesplaza2cmdesuposicindeequilibrio y se deja oscilar libremente a partir det=0. Encuentra la ecuacinde la trayectoria. Repite el clculo para el caso en que al pndulo se le imprimauna velocidad inicial de 0.05 m/s en vez de desplazrsele.La frecuencia angular del pndulo vale:=gl=_9.80.9= 3.3 rad/s.La amplitud del movimiento es 0.02 y empieza con x = A. Por tanto:x = Acos t = 0.02 cos(3.3t) = 0.02 sen_3.3t + 2_m.Cuando imprimimos una velocidad inicial tenemos:x =v sen t =0.053.3sen(3.3t) = 0.015 sen(3.3t) m.13.2 Tenemos un muelle que se estira 5 cm cuando se le cuelga un peso de0.25 kg. Calcula:(a) la constante de fuerza del mismo,(b) la frecuencia que tendra cuando oscilara con la masa anterior,(c) el perodo.(a) La constante de fuerza del muelle viene dada por:k = |F||x|=mgx=0.25 9.80.05= 49 N m.(b) La frecuencia de oscilacin sera:=2=12_ km=12_490.25= 2.23 Hz.(c) El perodo es la inversa de la frecuencia:T=1=12.23= 0.45 s.13.3 Una partcula de 0.1 kg de masa oscila con una frecuencia de 100 Hz yuna amplitud de 1 mm. Halla la velocidad mxima y la energa del movimiento.La velocidad mxima de la partcula es igual a:vmax= A= 2A= 2 0.001 100 = 0.63 m/s.La energa del movimiento vale:E=12 mv2max =12 0.1 0.632= 0.020 J.13.4 La posicin de una partcula de 0.2 kg de masa viene dada por:x(t) = 5 cos(4t ) m.Determina:(a) la posicin de la partcula en t = 1 s,(b) la velocidad en t = 0,(c) la aceleracin en t = 0,(d) la fuerza recuperadora,(e) la amplitud de la oscilacin,(f) el perodo,(g) la energa del movimiento.(a) En t = 1 la partcula est en:x = 5 cos(4 ) = 3.27 m.(b) La velocidad en t = 0 vale:v=dxdt= 5 4sen(4 0 ) = 0.(c) La aceleracin en dicho instante es:a =dvdt= 5 42cos(4 0 ) = 80 m/s2.(d) La fuerza recuperadora es igual a la aceleracin por la masa:F= ma = 0.2 5 42cos(4t ) = 16cos(4t ) N.(e) La amplitud de la oscilacin es A = 5 m.(f) El perodo es inversamente proporcional a la velocidad angular:T=2=24= 1.57 s.(g) El movimiento posee una energa igual a:E=12 mv2max=12 0.2 (5 4)2= 40 J.13.5 Una partcula de 0.4 kg efecta un movimiento armnico simple con unafrecuencia de 10 Hz y una energa de 80 J. Calcula:(a) la amplitud de la oscilacin,(b) la velocidad mxima,(c) la constante de fuerza recuperadora.(a) La amplitud con la que oscila la partcula la obtenemos a partir dela energa:E=12 mA22despejando llegamos aA =_2Em2=_2 800.4 42100=1= 0.32 m.(b) La velocidad mxima viene dada por:vmax = A= 0.32 2 10 = 20 m/s.(c) La constante de fuerza la obtenemos a partir de la frecuencia angu-lar:=_ km=k = m2= 0.4 42100 = 1579 N/m.13.6 Laposicindeunapartculade0.1kgdemasavienedadapor x =Asen(10t)m. Enel instantet =1s, lavelocidaddelapartculaesde 12m/s. Cul es la amplitud de la oscilacin? Y su energa?Primero obtenemos la amplitud de la oscilacin a partir de la velocidadinicial:v= A10 cos(10t) = 10 Acos 10 = 12.Despejando tenemos:A =1210 cos 10= 1.43 m.La energa de la oscilacin es igual a:E=12 mv2max=12 0.1 1.432100 = 10.2 J.13.7 Un pjaro de 30 gr de masa se apoya en el extremo de una rama de 20cm de longitud y 3 mm de radio.El mdulo de Young de la madera de la ramaes de 8 109N/m2. Cul es la frecuencia de resonancia del pjaro en la rama?Primero hemos de determinar el desplazamiento vertical de la rama x enfuncin de su radio de curvatura R:x = R Rcos R_1 1 +12 2_ =12 R l2R2=l22R.Hemos usado la relacin entre el ngulo y el arco R= l. En elasticidadse vio la relacin entre el momento de la fuerzaM=Fl y el radio decurvatura:M= Fl =EIR=2EIl2x = F=2EIl2x.De aqu deducimos la constante de fuerza. Ies el momento de inerciaque para un cilindro vale I= r4/4. La frecuencia de resonancia es:=12_ km=12_2Er4ml34=_8 1093410128 0.03 0.23= 10.4 Hz.13.8 Calcula la velocidad de propagacin de las ondas en una cuerda de gui-tarra de 20 g/m sometida a una tensin de 50 N.La velocidad de propagacin de las ondas en una cuerda es:v=_Tcl=_500.02= 50 m/s.13.9 Si la cuerda de guitarra del ejercio anterior vibra con una frecuencia de100 Hz, cul es su longitud de onda?La longitud de onda de las vibraciones de la cuerda de la guitarra es: =v=50100= 0.5 m.13.10 Una onda viene dada por la ecuacin:y(x, t) = 0.6 sen 2(0.2t 10x) m.Encuentra:(a) su amplitud y frecuncia angular,(b) su longitud de onda,(c) su velocidad de propagacin,(d) la velocidad de un punto cualquiera del medio por el que se transmite laonda.(a) La amplitud es A = 0.6 m y la frecuencia angular = 0.4 rad/s.(b) La longitud de onda vale: =110= 0.1 m.(c) La velocidad de propagacin de la onda vale:v= = 0.1 0.2 = 0.02 m/s.(d) La velocidad de un punto de coordenada x es:vy=dydt= 0.24 cos 2(0.2t 10x) m/s.13.11 Escribe la ecuacin de una onda de 2 m de amplitud, 20 m de longitudde onda que se propaga en el sentido negativo del eje X en un medio con unavelocidad de propagacin de 100 m/s. Supn que ent=0 el desplazamientodel origen es nulo.La velocidad angular de la onda es:= 2v= 210020= 31.4 rad/s.La ecuacin de la onda es:y(x, t) = Asen_t + 2x+ _ = 2 sen_t + 2x+ _m.Como y=0 para t=x=0 deducimos que =0. El signo + delantedel trmino con x se debe a que la onda se propaga en el sentido negativodel eje X.13.12 Unaonda transversalsepropaga enel sentido positivodel ejeY ylaoscilacinesenladireccinZ. Suamplitudesde0.4m, sufrecuenciade40Hzysulongituddeondade25m. Encuentralavelocidaddeunpuntocualquiera en funcin del tiempo, sabiendo que es nula para y= 0 en t = 0.La ecuacin de la onda es:z(y, t) = Asen_t 2y+_.La velocidad correspondientes es:vz=dzdt= A cos_t 2y+ _= 0.4 2 40 cos_80t 225y + _m/s.Como vx= 0 para t = y= 0, tenemos = /2:vz= 32 cos_80t 225y + 2_m/s.13.13 Unacuerdade80cmdelongitudy40gr/moscilaconunperodode0.001 s en un modo con un nico nodo interno. Encuentra la velocidad de lasondas en ella, as como su tensin. Si los puntos medios entre nodos vibrancon una amplitud de 1 cm, halla su velocidad mxima.La longitud de onda es igual a la longitud de la cuerda, =0.8 m, portener un nodo interno. La velocidad de propagacin de las ondas es:v=T=0.80.001= 800 m/s.La tensin de la cuerda viene dada por:v=_Tcl= Tc = lv2= 0.04 8002= 25600 N.La velocidad mxima es la amplitud por la frecuencia angular:vmax = A= 0.01 210.001= 20= 62.8 m/s.13.14 La ecuacin de una onda en una cuerda es:y(x, t) = 0.4 sen(50t x) m.Obtn:(a) su perodo y su longitud de onda,(b) la velocidad de propagacin,(c) la velocidad mxima de oscilacin de los puntos de la cuerda,(d) la diferencia de fase, en un mismo instante de tiempo, entre dos puntosseparados 3.5 m.(a) La longitud de onda es = 2= 6.28 m, y el perodo:= 50 =2T= T=250= 0.126 s.(b) La velocidad de propagacin de las ondas vale:v=T=2250 = 50 m/s.(c) La velocidad mxima de un punto es la amplitud por la frecuenciaangular:vmax = A= 0.4 50 = 20 m/s.(d) La diferencia de fase entre dos puntos separados 3.5 m vale: =2(x2x1) = x2x1 = 3.5 rad.13.15 Escribe la ecuacin de una onda en una cuerda que se propaga en elsentido negativo del eje Yy oscila en la direccin Z con una amplitud de 0.2 my un perodo de 0.8 s, sabiendo que la velocidad de propagacin de las ondasen la cuerda es de 160 m/s.La longitud de onda valdr: = vT= 160 0.8 = 128 m.La ecuacin de la onda es:z(y, t) = Asen_t + 2y_ = 0.2 sen_20.8t + y64_m.No hemos considerado una fase inicial debido a que no hay datos paracalcularla.13.16 Escribe la ecuacin del modo fundamental de una cuerda entre x= 2m y x = 0, sabiendo que la velocidad de propagacin de las ondas en la cuerdaes de 150 m/s,que ent =0 la cuerda ocupa elejeXy que la amplitud deoscilacin del punto x = 1 m es de 0.1 m.En el modo fundamental la longitud de onda es el doble de la longitud dela cuerda = 4 m. La frecuencia angular vale:=2v=2 1504= 75 rad/s.La ecuacin de onda buscada es:y(x, t) = 0.1 cos_t + 2_sen_2x_= 0.1 cos_75t + 2_sen_x2_m.La fase de /2 en el coseno es para que la cuerda coincida con el eje Xen t = 0.13.17 Unaondaconunaamplitudde0.05myunafrecuenciade70Hzsepropaga a 35 m/s por una cuerda de 0.1 kg/m. Calcula la longitud de onda y lapotencia transmitida por la onda.La longitud de onda vale: =v=3570= 0.5 m.La potencia transmitida por la onda es:P=12 lvA22=12 0.1 35 0.05242702= 846 W.13.18 Una fuente oscila con una amplitud de 0.3 m y una frecuencia de 10 Hzunida al extremo de una cuerda de 0.08 kg/m. Si la longitud de onda de lasondas que genera es de 1 m,cunto tiempo ha de estar funcionando paratransmitir una energa de 100000 J?La velocidad de propagacin de las ondas es:v= = 1 10 = 10 m/s.La potencia que transmite la cuerda es:P=12 lvA22=12 0.08 10 0.3242100 = 142 W.El tiempo de funcionamiento necesario para transmitir la energa men-cionada es:t =EP=100000142= 704 s.13.19 Una cuerda de 1.5 m de longitud posee una densidad lineal de 0.03 kg/my est sometida a una tensin de 500 N. Si oscila en su modo fundamental conuna amplitud mxima de 6 cm, cul es su energa?La velocidad de propagacin de las ondas en una cuerda es:v=_Tcl=_ 5000.03= 129 m/s.La energa la obtenemos integrando la expresin de la energa de un os-cilador armnico (la energa de cada punto depende del cuadrado de suamplitud):E =

i12 miA2i2=12 2_L0lA2sen2_2x_dx=12 2lA2_L0sen2_4xL_dx =12 2lA2L_0sen2(u)du=12 2lA2L2=14_2 1293_20.08 0.0621.5 = 7.9 J.