Misure statistiche sulle particellepeople.na.infn.it/~scotti/Area studenti/3. Istituzioni di...

Misure statistiche sulle particelle

“Un elettrone si muove in una regione di spazio…”

In realtà, negli esperimenti reali, abbiamo sempre a che fare con fasci di particelle

A questo scopo, gli elementi An di un insieme A ⊆ Ωsono soggetti a un’operazione di misura di una o più

grandezze fisiche (osservabili).

1.c Misure statistiche sulle particelle

E1

E2E4

E5

E6

A

Ω

E3

La statistica analizza sperimentalmente le proprietà di un insieme di oggetti

Definizione Esempio

Ω = En Popolazione statistica Insieme di tutti gli Italiani

En Unità statistica un Italiano

A = An Campione statistico Un gruppo di ItalianiMisura di x Osservazione o rilevamento Misura dell’altezza

x Variabile aleatoria Altezza

Risultato del campionamento An → xn Tabella con l’altezza

di ciascun soggetto

x

Cn

I risultati del campionamento sono descritti

da un istogramma

a b

bin

a = min An

b = max An

L’intervallo [ a, b ] è diviso in parti uguali. Ciascuna parte è detta bin.

Cn è il numero di misure che cadono nel bin n-mo.

Il numero totale di misure N è dato da

La frequenza statistica del bin n-moè data da

∑=n

nCN


N

Cf nn =

osservaticasiditotaleNumero

favorevolicasidiNumerofn =


Campionamento statistico del

peso di alcuni oggetti.

Effetto del binning.

La scelta del binning è arbitraria

Binning troppo largo: si perdono dettagli sulla distribuzione dei valori

Bining troppo stretto: in ciascun bin cadono pochi valori, o addirittura nessuno

Valore atteso

Gli stimatori statistici danno la migliore possibile valutazione sperimentale dei parametri teorici di una distribuzione

di probabilità.

nn

N

1n

px∑=

=µParametro ( ) n

2

n

N

1n

2 pxx −=σ ∑=N

npn =

( ) n

2

n

N

1n

2fxx

1N

Ns −

+= ∑

=nn

N

1n

fxm ∑=

=Stimatore

statistico N

Cf nn =

n

N

1n

xN

1m ∑

=

= ( )2n

N

1n

2xx

1N

1s −

+= ∑

=

Stimatore con

binning minimo

media varianza campionaria

Binning minimo: partizione per la quale n1fn ∀≤ Fattore correttivo statistico



Le misure statistiche

Esistono due diversi modi di eseguire un campionamento statistico di una grandezza fisica:

1. Si analizza ripetute volte lo stesso sistema fisico, ottenendo una misura per ciascun ciclo ;

2. Si analizzano varie copie dello stesso sistema fisico, ottenendo contemporaneamente tutte le misure.

L’insieme delle copie del sistema è detto “ensamble” (francese).

x1, t1

x2, t2

xN, tN

x1

x2

xN

In Fisica l’analisi statistica di ensamble è molto vantaggiosa perché spesso si è in grado di avere copie

intrinsecamente uguali del sistema (copie di atomi, di molecole, ecc.).

L’assunzione di base della Meccanica Statistica è che esistano molte situazioni in cui i due diversi metodi

portano esattamente lo stesso risultato.

Esempio:la velocità media (temporale) di una molecola di gas è uguale alla velocità media (statistica) delle molecole del gas.


I fasci di particelle

In molte situazioni sperimentali si ha a che fare con un insieme di particelle che si muovono insieme all’interno di

una superficie geometrica ideale, detta tubo di flusso.

Nel caso più semplice il tubo di flusso è un cilindro, ma più in generale non è necessario né che abbia sezione

circolare, né che l’area della sezione sia uniforme.

Similmente, nel caso più semplice le particelle sono distribuite uniformemente e hanno velocità uguali, ma più in

generale questi parametri possono variare e può essere conveniente introdurre la densità media e la velocità

media delle particelle:

N

v

v;V

Nn i

i∑==

r

r

I fasci di particelle sono un esempio di ensamble statistico.

E’ perciò possibile (ed è anche frequente) che si effettuino misure sui fasci per determinare le proprietà statistiche

delle particelle.

I parametri di un fascio di particelle cariche (elettroni, protoni, ioni, ecc.)


L’intensità è l’energia media che attraversa l’unità di superficie nell’unità di tempo

oppure

L’intensità è la potenza media che attraversa l’unità di superficie

∆Σ∆

Σ=

Σ=

mecEt

N

ViP

I

Corrente e tensione del fascio sono parametri macroscopici

Numero di particelle ed energia meccanica di ciascuna

particella sono parametri microscopici

La Fluenza è pari al numero medio di particelle per unità di superficie

Il Flusso è pari al numero medio di particelle per unità di superficie e di tempo

[ ] 12 smt

N −−=Φ⇒∆Σ

∆=Φ

[ ] 2mFN

F −=⇒Σ

=

Σfascio

Mappe di fluenza e distribuzioni di probabilità


La probabilità che una particella incida sulla superficie di area ∆Α è:

( )

totN

AN

possibilicasideiNumero

favorevolicasideiNumerop

∆==∆

( )

totN

AAF

totalenell'areaparticellediNumero

Anell'areaparticellediNumero ∆=

∆

Sperimentalmente si può determinare una frequenza statistica:

La stima sperimentale della distribuzione di probabilità è quindi data da: ( )( )

AN

AFAAp

tot

∆=∆

∆A

ΣQuesta mappa in falsi colori rappresenta la fluenza di

particelle su una superficie Σ.

La mappa della distribuzione di probabilità differisce

totN

1solo per la costante moltiplicativa

Sperimentalmente, si può ottenere una mappa di

fluenza con un rivelatore a pixel.

In questo caso, ∆A è l’area di un pixel e Ntot il numero

totale di particelle incidenti sull’intero rivelatore.

Esempio di confronto tra aspettative teoriche e valutazioni inferenziali

N = “somma dei punteggi nel lancio di 3 dadi”

Confronto tra Distribuzione di Probabilità e Inferenza statistica dopo 50 lanci di 3 dadi

1

1.d Misure statistiche sulle particelle.

Esercizi e complementi.

Esempio di confronto tra aspettative teoriche e valutazioni inferenziali

N = “somma dei punteggi nel lancio di 3 dadi”

2



I fasci di elettroni di bassa energia vengono generalmente prodotti da versioni più o meno sofisticate del cannone

elettronico inventato da Thompson

Caratteristiche misurabili del fascio:

Tensione di fascio V (voltmetro V)

Corrente di fascio i (amperometro A)

Area dello spot Σ



1

Fasci di elettroni e protoni

I fasci di elettroni e protoni di alta energia sono prodotti dagli acceleratori.

Esistono vari tipi di acceleratori, che si differenziano per le proprietà dei fasci che è possibile ottenere.

Acceleratori LINAC

Gli elettroni sono accelerati da una serie di

elementi disposti in linea retta

Anelli di accelerazione

Gli elettroni sono accelerati da una serie di elementi

disposti su una circonferenza. Sono necessari magneti

di deflessione per tenere gli elettroni sull’orbita corretta.

Spesso gli anelli usano un LINAC come primario per

l’iniezione degli elettroni nell’anello.



2


Gli elementi di accelerazione sono detti

“cavità risonanti”.

Nelle cavità è attivato un campo elettrico a radiofrequenza, sincronizzato in modo tale che gli elettroni di

passaggio trovino sempre un campo accelerante.

Per la necessità di sincronizzare il tempo di passaggio degli elettroni alla frequenza di oscillazione del

campo elettrico, tali acceleratori sono detti sincrotroni.

La prima cavità risonante fu realizzata da Lawrence nel

1930. Il ciclotrone di Lawrence era adatto ad accelerare

protoni e ioni; l’energia tipica di un protone è ≈100 MeV.

I ciclotroni continuano a essere usati negli ospedali per

la produzione di fasci a fini terapeutici.



3


Gli acceleratori di altissima energia sono utilizzati per lo studio

della Fisica delle particelle subnucleari.

Per esempio, il LEP del CERN (disattivato dal 2000)

permetteva di accelerare elettroni fino all’energia E ≈ 200 GeV

Gli acceleratori di alta energia sono utilizzati per lo

studio della Fisica della Materia.

Il principale motivo è legato allo sfruttamento della

“Luce di Sincrotrone”, cioè alla radiazione EM emessa

dagli elettroni accelerati. La radiazione di sincrotrone

ha il vantaggio di avere intensità elevatissima; inoltre, è

facile ottenere radiazione monocromatica in un

larghissimo intervallo di frequenze, dall’IR agli X duri.

In foto, il Sincrotrone Elettra (Trieste).



4


In base ai dati del problema si ha:

220

223

m/elettroni105tF

sm/elettroni10e

J

e

i

t

N

×=∆Φ=

==Σ

=∆Σ

∆=Φ

Esercizio

Un fascio di elettroni ( i = 15 mA) è collimato su uno schermo per un tempo ∆t = 5 ms.

L’area dello spot è Σ = 1 mm2 .

Determinare la Fluenza media e il Flusso medio di elettroni sulla superficie.

Intensità, flusso, fluenza



L’intensità del fascio vale:

21218mecmec mWatt42smeV1015EE

t

NI −−− =×=Φ=

∆Σ∆

= .

La potenza media è:

Esercizio

Un fascio di elettroni di 15 keV e flusso Φ = 1015 elettroni/ m2 s-1 è collimato su uno schermo in uno spot di area

Σ = 1 mm2 .

Determinare la potenza media dissipata.

Watt1042IP 6−×=Σ= .

Intensità, flusso, fluenza



CCD, Mappe di intensità e distribuzioni di probabilità

La CCD di una macchina fotografica è una matrice rettangolare di pixel. Ogni pixel è un trasduttore: la risposta

elettrica è proporzionale alla fluenza di fotoni che riceve.

Esistono tre tipi di pixel: uno sensibile al rosso (R), uno al verde (G) uno al blu (B). Nella riproduzione delle foto su

un monitor, un pixel R determina l’accensione di un led rosso, ecc., con intensità luminosa proporzionale al

segnale elettrico letto.

Questa mappa di intensità è proporzionale a una

mappa di fluenza e, quindi, a una mappa di probabilità:

( ) ( ) ( ) ( )ApNt

EAF

t

EE

tA

ANAI

tot

mecmecmec ∆

=∆

=∆∆

∆=

Ciò è vero perché Emec è l’energia del fotone, e tutti i

fotoni “rossi” hanno la stessa energia.

R G B



Il segnale r(x) è proporzionale al numero ∆N di elettroni che incidono sul tratto ∆x. Infatti:

( ) NrEt

N

xa

1xIr mec ∆∝⇒

∆∆

∆=∝

La distribuzione di probabilità p(x) è stimata dalla frequenza statistica:

Esercizio

Un fascio di elettroni è collimato su una sottile striscia di uno schermo, di

dimensioni a × L.

Lo schermo è dotato di un rivelatore suddiviso in pixel di dimensioni a × ∆x.

Ciascun pixel è sensibile all’intensità locale I(x) del fascio.

La risposta r del rivelatore risulta ben descritta dalla relazione:

Stima della probabilità



2

2

2

x

eAr σ−

=

( ) ( ) 2

2

2

x

exprN

Nxxp σ

−

∝⇒∝∆

=∆

Determinare la probabilità p che un elettrone del fascio incida nella regione x ∈ [-σ , σ]

Imponendo poi la condizione di normalizzazione: ( ) 2

2

2

x

2e

2

1xp σ

−

σπ=

p(x) è una Gaussiana. La condizione richiesta si verifica nel 68% dei casi.

Esercizio

No particelle di un fascio entrano in una regione di spazio in

cui sono presenti n bersagli per unità di volume, ciascuno di

sezione trasversale σ. Se una particella colpisce il

bersaglio, scompare dal fascio.

Introdurre e risolvere l’equazione differenziale che descrive

il numero di proiettili in funzione della profondità di

penetrazione x.

S

Consideriamo uno strato del materiale, di spessore ∆x e area

trasversale S. In questo strato si trovano n S ∆x bersagli.

L’area totale coperta dai bersagli è quindi:

xSnS ∆σ=∆

La probabilità che un proiettile colpisca un bersaglio è pari al

rapporto tra l’area utile e l’area totale:

xnS

Sp ∆σ=

∆=∆

Alla profondità x ci sono N(x) proiettili superstiti. Dopo il tratto ∆x, il numero diminuisce ulteriormente, di una

quantità pari al numero di particelle per la probabilità che una particella colpisca il bersaglio. La variazione

∆N è negativa, sicché si ha:

xnNN ∆σ−=∆1

σ



Vista frontale

Vista laterale

nσ

eNnσeN

eNxd

Nd;eNN

Nnσxd

Nd;∆xNnσN∆

to

xo

xo

xo

=γ

−=γ−

γ−==

−==−

γ−γ−

γ−γ−

Equazione differenziale del sistema dinamico

Funzione di prova e derivata

σ prende il nome di sezione d’urto. Nei processi che

coinvolgono particelle elementari, è un valore non

esattamente riconducibile all’area di una sezione, quanto

piuttosto a un parametro medio caratteristico del processo.2

Esercizio

No particelle di un fascio entrano in una regione di spazio in

cui sono presenti n bersagli per unità di volume, ciascuno di

sezione trasversale σ. Se una particella colpisce il

bersaglio, scompare dal fascio.

Introdurre e risolvere l’equazione differenziale che descrive

il numero di proiettili in funzione della profondità di

penetrazione x.

Passando al limite per ∆x → 0 :

Infine:

xnσo eNN −=

Sostituendo

No

N

xnσ

1

e

oN



Vista laterale

Misure statistiche sulle particellepeople.na.infn.it/~scotti/Area studenti/3. Istituzioni di...

Documents

Transcript of Misure statistiche sulle particellepeople.na.infn.it/~scotti/Area studenti/3. Istituzioni di...