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14/06/2004 Teilchen & Wellen SS2004 Denninger

Rutherford Streuung

Historisch: Streuung von α-Teilchen an Metallfolien

Ernest Rutherford , 1906

Allgemein: Streuung geladener Teilchen an anderen geladenen Teilchen unter der Wirkung der Coulomb-Kraft.

F1

F2

r12q1 = Z1·e

q2 = Z2·e

2122120

221

1 ˆ14

FF rr

eZZ−=⋅⋅

επ⋅⋅

−=

Zentralkraft, entlang der Verbindungslinie.

α-Teilchen aus radioaktiven Präparaten waren historisch die bevorzugten Projektile.

Z1 = +2e Masse M1 = 4 amu

E1 ≈ 5 MeV


Darf man bei der Rutherford-Streuung nicht-relativistisch rechnen?

Geschwindigkeit der α-Teilchen:sm1055.1MeV52v 7

11 ⋅=

⋅=

Me

051.0v1 =c 0013.019987.0v12

1 −==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛− c

Nicht-relativistische Rechnung ist noch zulässig!

Reichweite von α-Teilchen mit E = 5MeV in Luft: ca. 3.5 cm

Dichte der Luft bei Normalbedingungen:

Unter der Annahme, daß die mittlere Ionisationsenergie für die Luftmoleküle ca. 35 eV beträgt, kann man die Zahl der Stöße N eines α-Teilchen berechnen:

325

23

0 m1069.24.22

1002.6 1

mol

mol1

⋅=⋅

= ln


Mittlere Zahl der Stöße eines α-Teilchen: 51042.1eV35

MeV5⋅==N

3.5 cm

Fläche A

Im Volumen A·3.5cm sind n0·A·3.5cm Luftmoleküle vorhanden.

Die Zahl der „Trefferstöße“ N = 1.42·105.

Der totale Wirkungsquerschnitt für einen Stoß ist also:

219

23

25

5

0m105.1

m105.3m1069.2

1042.1cm5.3 1

−

−⋅=

⋅⋅⋅

⋅=

⋅⋅⋅=σ AnAN

„Ionisationsradius“: σ=π 2ionr rion = 2.2·10-10m


Rutherford Versuch:

Streuung von α-Teilchen an dünnen Metallfolien (z.B. Goldfolien, weil sich Gold sehr dünn ohne Löcher zu Folien verarbeiten läßt).Annahme: Ionisationsquerschnitte sind ähnlich wie bei Luft.

Reichweite in Gold: dGold ≅ ρLuft/ρGold·3.5cm

ρLuft = 1.29kg/m3 ρGold = 19.3·103kg/m3

dGold ≅ 2.3·10-6m = 2.3µm.

D.h. man benötigt sehr dünne Goldfolien.

Schematische Streuanordnung:

Metallfolie

Detektor

Radioaktives Präparat

α-Teilchen


Historisch (1906): Detektor war eine Kombination aus:

Szintillationsschirm

+ Lupe

+ menschliches Auge

+ Gehirn (Zähler)

Wichtigstes Meßergebnis: Überraschend:

Es gibt Streuereignisse bei großen Winkeln ϑ bis 180°.

Die meisten Teilchen werden jedoch unter ganz kleinen Winkeln gestreut.

1/sin4(ϑ/2) divergiert sogar für

ϑ → 0


Die Rutherford‘sche Streuformel kann mit folgenden Annahmen hergeleitet werden:

1. Das Atom hat einen positiv geladenen Kern, Ladung +Z2·e

2. Praktisch die gesamte Masse des Atoms ist in diesem Kern.

3. Der Kern hat einen Radius von ~ 10-14m

4. Auf das α-Teilchen (Projektil) wirkt ausschließlich die Coulomb-Kraft durch das elektrische Feld.

rr

reZE ⋅⋅

πε= 2

2

041

Da die Atomradien ca. 10-10m betragen, ist das Volumen des Kerns Vkern zum Atomvolumen Vatom sehr klein:

123

10

14

atom

kern 10m10m10 −

−

−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛≈

VV

Das Innere des Atoms ist fast vollständig leer!

Neutralität des Atoms nach außen: Um den Kern befinden sich Z2 negative Elementarladungen, Elektronen, mit verschwindend kleiner Masse.


Sehr knappe Herleitung der Rutherford-Streuformel

Stoßparameter p: Abstand der Einfallgeraden in unendlicher Entfernung.

Kraft F immer in Richtung r Drehimpulserhaltung.

Drehimpuls: M· v0 x r = M·v0·r·sin(ϕ)

≈ M·v0·r·p/r = M·v0·p


Aus der Drehimpulserhaltung kann nun ein Zusammenhang zwischen dem Stoßparameter p und dem Streuwinkel ϑ hergeleitet werden.

Eine Herleitung findet man z.B. in Haken/Wolf, Atom- und Quantenphysik, S.44-46 .

Man erhält:

)cot(v4

22

12

00

22 ϑ⋅⋅

πε=

MeZp

0 20 40 60 80 100 120 140 160 1800

2

4

6

8

10

12

cot(S

treuw

inke

l/2)

Streuwinkel

22

220 0

12 14 2 v sin ( /2)Z edp d

Mϑ

πε ϑ= − ⋅

Um die Zahl der „Treffer“ im Bereich p , p +dp zu berechnen, benötigt man die Ableitung:

ϑddp

Damit kann man jetzt den differentiellen Wirkungsquerschnitt berechnen.


dΩ

ϑ

dϑp

dp

Differentieller Wirkungsquerschnitt

Fläche: da = 2πp·dp (Kreisring)Dünne Folie, Dicke D, Fläche A

N : Dichte der Goldatome (pro Volumeneinheit)

„Aktive Fläche“: dA = 2πp·dp·N·D·A


dΩ

ϑdϑ

p

dp

Wahrscheinlichkeit für einen Stoß unter dem Winkel ϑ , ϑ - d ϑ:

heGesamtfläcFlächeAktive2 === dppDN

AdAW π

Das Raumwinkelelement dΩ ist im wesentlichen: ( )2umStreuzentrDetektorAbstandDetektorsdesFläche−


Werden n α-Teilchen pro Zeiteinheit „eingeschossen“:

Ω⋅⋅⋅ϑ

⋅πε

=Ωϑ dND

MeZ

nddn )(

)2/(sin1

)v(4)4(4),(

4220

20

422

Mit Ekin = 1/2Mv02 und Z2 = 2 ( für α-Teilchen) erhält man den Rutherford-WQ:

)(sin

116)(

2

14

2

0

221

ϑ⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅πε⋅⋅

=⋅Ω=Ωσ

kinEeZZ

DNdndn

dd

Charakteristisch: ∝ 1/E2kin

∝ 1/sin4(ϑ/2)

Diese starke Winkelabhängigkeit erfordert Messungen über einen weiten Dynamikbereich!


Wichtigste experimentelle Befunde:

Coulomb-Gesetz ist auch noch für sehr kleine Stoßparameter p (große ϑ nahe 180°) erfüllt.

Rkern < 6·10-15 m

Abweichungen (anomale Rutherford-Streuung) bei

Ekin > 5 MeV und großen Streuwinkeln ϑ .

Kernradius kann bestimmt werden.

Einfluß der Kernkräfte ab R ≅ 10-15 m

Dichte der Kerne: 1015 mal Atomdichte!

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