Na Rota da DerivadaTaxa Média de Variação e Taxa de

Variação

Pierre de Fermat (1601-1665)

chegou ao conceito de derivada

na resolução de um problema

relacionado com tangentes a

curvas.

O corpo de raio r roda sobre a curva C’ e a curva C

descreve a trajectória do centro do corpo.

O ângulo θ mede a inclinação da recta tangente a curva C’ em P.

 

Isaac Newton (1642-1727)

chegou ao conceito de derivada

na determinação da

velocidade instantânea.

1. Nota HistóricaFermat e Newton, com o objectivo de resolverem dois problemas diferentes, chegaram um

dos mais importantes conceitos da matemática: o conceito de Derivada.

 Fermat colocou a questão:

“Como determinar o declive de uma recta tangente a uma curva?”

A recta a tem com a curva dois pontos comuns e é tangente à curva.

A recta c tem com a curva um só ponto comum e não é tangente à curva.

Como definir então a tangente a uma curva?

Fermat pretendia determinar o declive de uma recta tangente a um ponto qualquer de

uma curva. Para isso, considerou um ponto P de uma curva e uma secante PQ.

 

Concluiu que o declive da recta tangente à curva

podia ser calculado como

o limite do declive da secante PQ

quando o ponto Q, percorrendo a curva,

se aproxima de P (Q1, Q2, Q3,…)

Se P é um ponto fixo e que um ponto se aproxima de P

ocupando as posições sucessivas Q1, Q2, Q3,…, as

secantes terão as posições dadas por PQ1, PQ2, PQ3,…

e os declives dessas rectas secantes ficarão cada vez

mais próximas do declive da recta tangente. .

Newton pretendia determinar a velocidade instantânea, ou seja, a velocidade dada pelo

velocímetro de um automóvel em movimento, conhecendo apenas a relação entre o espaço e o

tempo.

Para determinar a velocidade instantânea no momento a , Newton considerou um intervalo de

tempo em que a era um extremo, por exemplo:

[a , a + h]

Calculou a velocidade média nesse intervalo;

Reduzindo sucessivamente h , calculou de novo

a velocidade média para cada um dos intervalos.

Concluiu então que podia determinar

a velocidade instantânea em a através

do limite da velocidade média no intervalo

[a , a + h] quando h 0

 

Nas situações apresentadas, aparece a referência a um limite:

o declive da recta tangente a uma curva é um limite;

a velocidade instantânea é um limite.

 

** Hoje, a estes limites chamamos derivadas.

2. DERIVADA de uma FUNÇÃO NUM PONTO como DECLIVE DE UMA RECTA

Taxa de variação média. Velocidade média

Imaginemos a situação seguinte:

Ligou-se um computador ao velocímetro de um carro de Fórmula 1 durante um treino.

O gráfico da função f obtido dá-nos a ideia de como variou a velocidade ao longo dos

primeiros 25 segundos do movimento:

 

A taxa de variação média da função f no intervalo [a , b] é dada por:

Fixemo-nos no intervalo [10 , 15] e calculemos a taxa de variação média neste intervalo:

O número 20 também é o declive da recta PQ

 

Este número 20 diz-nos que, em média, dos 10 aos 15 segundos a velocidade aumentou

20 km/h , por segundo. 

Se em média aumentou 20 não quer dizer que em cada segundo tenha aumentado 20 !

205

1001015150250

1015)10(f)15(f

.v.m.t 15,10

12

12

xxyy

m

201015150250

m

ab)a(f)b(f

.v.m.t 15,10

Taxa de variação. Velocidade instantânea

Suponhamos que queríamos saber quanto aumentou exactamente no 10º segundo.

De acordo com Fermat, utilizando material de desenho, desenhamos com o rigor que nos for possível a

recta tangente à curva no ponto P.

Para obtermos a recta tangente à curva no ponto P fixamos o ponto P e, deslocando o ponto Q ao longo

da curva, desenhamos algumas secantes para ajudar a obter, com o rigor que nos for possível, a recta t.

À medida que o ponto Q se aproxima de P , o declive das sucessivas secantes aproxima-se do

declive da recta tangente t.

Determinemos o declive da recta t utilizando dois dos seus pontos:

A (6 , 0) e P (10 , 150)

Concluímos que o aumento da velocidade no instante t = 10 s foi aproximadamente 37,5

kmh-1 / s

 

Ao número 37,5 chamamos derivada da função no ponto de abcissa x = 10, ou taxa de

variação da função no ponto de abcissa x = 10.

Escreve-se f’ (10) = 37,5

A derivada da função no ponto x = 10 é o declive da recta tangente ao gráfico da

função no ponto de abcissa x = 10

5,374

1506100150

m

Geometricamente, a derivada de uma função no ponto de abcissa x0 é o declive da

recta tangente ao gráfico da função no ponto de abcissa x0

Considere-se a seguinte situação:

Um objecto foi lançado na vertical de um ponto P e daí a alguns instantes caiu de novo

no ponto P. A distância a da bola à origem é dada por:

a(t) = 12t – 3t2 com t em segundos e a em metros

O gráfico que ilustra a situação é o seguinte:

 

 

3. INTERPRETAÇÃO DA DERIVADA de uma FUNÇÃO NUM PONTO

Calcule-se a taxa de variação média, que neste caso é a velocidade média, para os intervalos [0 ,

1] ; [1 , 2] e [2 , 3]:

t.v.m. [0 , 1] =

t.v.m. [1 , 2] =

t.v.m. [2 , 3] =

 

Verificou-se que a velocidade média era positiva nos dois primeiros intervalos e negativa no outro.

Significa isto que a bola mudou de sentido. Ia a subir e passou a descer.

Verificou-se que t.v.m. [0 , 1] > t.v.m. [1, 2] o que significa que existe variação maior no intervalo [0 , 1]

do que no intervalo [1 , 2], ou seja, que a velocidade média é maior no intervalo [0 , 1] do que no

intervalo [1 , 2].

 

s/m9109

01)0(f)1(f

s/m31912

12)1(f)2(f

s/m31129

23)2(f)3(f

Qual será a derivada da função no ponto de abcissa 1 ? Ou seja, qual será a velocidade instantânea no instante

t = 1 ?

Ou seja, qual será a taxa de variação da função no ponto de abcissa 1 ?

Ou seja, qual será a’ (1) ?

Considere-se o intervalo [1 , 1+ h] e h 0

 

t.v.m. [1 ; 1,1] =

 

 

t.v.m. [1 ; 1,01] =

 

t.v.m. [1 ; 1,001] =

 

À medida que h tende para zero, a velocidade média parece tender para 6. Ou seja, a velocidade

instantânea no instante t=1 parece ser 6 m/s , ou seja, f’(1) = 6

 

7,51,0957,9

11,1)1(a)1,1(a

97,501,0

90597,9101,1

)1(a)01,1(a

997,5001,0

9005997,91001,1

)1(a)001,1(a

Um pouco mais de História A noção da derivada surgiu no séc. XVII marcado pela criação do cálculo diferencial ao

qual estão ligados os nomes de dois grandes vultos da Ciência – Newton e Leibniz.

Newton foi estimulado no seu trabalho pela necessidade de encontrar utensílios

Matemáticos que dessem suporte à sua teoria da gravitação universal.

Com efeito, no âmbito das suas investigações sobre mecânica celeste, Newton teve

necessidade de resolver problemas sobre trajectórias de astros, velocidades, tangentes,

máximos e mínimos.

Por sua vez, Leibniz lançou também os fundamentos do Cálculo Infinitesimal (na

mesma época que Newton mas independentemente dele), constituindo o seu trabalho

um avanço decisivo na criação de uma linguagem comum a várias ciências e à

filosofia.

Foi com Newton e Leibniz que a Análise Infinitesimal se tornou um ramo da Matemática,

autónoma em relação à Geometria.

Derivadas sempre na Matemática