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    Jess C. Sastre 1

    1. Crecimiento de una funcin en un intervalo.

    Definicin: Se llama Tasa de Variacin Media de una funcin = () en un intervalo [, ] al cociente:

    ... [, ] = ()

    Tambin se puede expresar de la siguiente forma:

    ... [, + ] = + ()

    La T.V.M. coincide con la pendiente de la recta que une los puntos , () y (, ()), y que forma un ngulo con el eje :

    ... , = = ()

    =

    2. Crecimiento de una funcin en un punto: DERIVADA.

    El crecimiento de la funcin en un punto se mide mediante la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto. Se llama derivada de en = (siendo la abscisa del punto) y se expresa (), que se lee prima de .

    () = lim!!

    ()

    = lim!!

    + ()

    La derivada de en = (pendiente de la recta tangente) es el lmite de las pendientes de las rectas secantes. Dicho de otra manera, es el lmite de la T.V.M., con 0 (tasa de variacin instantnea).

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    Grficamente sera algo como esto:

    Aqu se recogen distintas derivadas de la misma funcin, en distintos puntos. Como se ve, la derivada de la funcin en un punto es la recta tangente a la misma por ese punto. Ms adelante se estudiar, pero ya podemos observar que dependiendo del signo de la pendiente de la recta tangente, se puede estudiar el crecimiento y decrecimiento de la funcin en un determinado punto.

    3. Derivada de una funcin.

    Se llama funcin derivada de (o simplemente derivada de ) a una funcin que asocia a cada punto valor , la pendiente de la curva () en ese punto. Se calcular:

    = = lim!!

    + ()

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    4. Reglas para obtener las derivadas de algunas funciones importantes.

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    5. Aplicaciones de la derivada de una funcin.

    Clculo de la derivada en un punto. o 1) Se obtiene la expresin general de . o 2) Se sustituye en la expresin () el valor de = , para hallar ().

    Obtencin de tramos en donde la curva crece o decrece. o Si > 0, la funcin es creciente, y si < 0 es decreciente.

    Obtencin de las abscisas de los puntos singulares. o Se llaman punto singulares a los puntos de tangente horizontal, es decir, a los

    puntos en los que la derivada es cero. Pueden ser mximos, mnimos y puntos de inflexin.

    Obtencin de las abscisas en las cuales la derivada tiene un cierto valor. o = . o El caso ms til es hallar los valores de para los cuales cambia de creciente

    a decreciente, o viceversa. ste ser el caso = 0.

    6. Representacin de funciones polinmicas. Se hallan sus dos ramas infinitas: lim!!! () y lim!!! (). Se resuelve la ecuacin = 0, para obtener los puntos singulares. Se unen los puntos obtenidos entre s con las ramas infinitas. Cuidado con

    dibujar ms puntos singulares de los que hay.

    Si se puede, conviene obtener los puntos de corte con los ejes para ganar precisin.

    Ejemplo. Pg 186 y 187 Anaya.

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    7. Representacin de funciones racionales. = ()()

    Asntotas verticales. Estudiando las races del denominador. Asntotas horizontales y oblicuas.

    i. Si (), hay asntota horizontal. ii. Si = + 1, hay asntota oblcua.

    iii. Si + no hay asntota horizontal ni oblicua, pero s ramas infinitas en .

    Puntos singulares (mximos, mnimos y puntos de inflexin). Sus abscisas son las soluciones de ().

    Otros puntos.

    Ejercicios del tema para practicar en clase.

    T.V.M. Pg. 177 1 y 2.

    Crecimiento de una funcin en un punto. Derivada. Pg. 178 1; 179 2.

    Funcin derivada de otra. Pg. 180 1 y 2. Pg. 182.

    Aplicaciones de la funcin derivada. Pg. 184 1.

    Representacin de funciones polinmicas. Pg. 187 1.

    Representacin de funciones racionales. Pg. 189 1.

    Ejercicios final del tema para realizar en casa.

    Pg. 194 198.

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    Ejercicios resueltos

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