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UNIDAD POLITÉCNICA DE INTEGRACIÓN SOCIAL

CURSO DE INGRESO A NIVEL SUPERIOR

MATERIA: MATEMÁTICAS PROFESORES: JLML/AGM

“Derivadas segunda parte”

DERIVADAIncrementos: El incremento de una variable Δ𝑥 es el aumento o disminución que experimenta, desde un valor

𝑥 = 𝑥0 a otro 𝑥 = 𝑥1,Así, pues,Δ𝑥 = 𝑥1 − 𝑥0. Si se da un incremento Δ𝑥 a la variable 𝑥, la función 𝑦 = 𝑓 𝑥se vera incrementada en Δ𝑦 = 𝑓 𝑥0 + Δ𝑥 − 𝑓 𝑥0 a partir del valor 𝑦 = 𝑓 𝑥0 .

El cociente:

Recibe el nombre de cociente promedio de incrementos de la función en el intervalo comprendido

entre 𝑥 = 𝑥0 hasta 𝑥 = 𝑥0 + Δ𝑥.

limΔ𝑥→0

Δ𝑦

Δ𝑥= lim

Δ𝑥→0

𝑓 𝑥 + Δ𝑥

Δ𝑥=𝒇′ 𝒙 =

𝒅𝒇 𝒙

𝒅𝒙=𝒅𝒚

𝒅𝒙

Calculo de una derivada de una función 𝑦 = 𝑓 𝑥 con respecto a 𝑥 se define por el límite:

Δ𝑦

Δ𝑥=𝑖𝑛𝑐𝑟𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑦

𝑖𝑛𝑐𝑟𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑥

EJERCICIOS GUÍA IPN 2020:

“CALCULO DIFERENCIAL” PAGINAS 64-70

30.- Calcular la velocidad promedio de un cuerpo cuyo desplazamiento “s” en términos del tiempo “t” esta

descrito por la función:

𝑠 = 𝑡2 − 3𝑡 + 5Si consideramos 1 < 𝑡 < 5

Solución: Se aplica el concepto de cociente promedio de incrementos, para calcular la velocidad promedio, por lo que:

𝑡0 = 1𝑡𝑓 = 5

Tiempo inicial:

Tiempo final:

Δ𝑡 = 𝑡𝑓 − 𝑡0Incremento:

Δ𝑡 = 5 − 1 = 4

Δ𝑠

Δ𝑡=

𝑡0 + Δ𝑡 2 − 3 𝑡0 + Δ𝑡 + 5 − 𝑡02 − 3 𝑡0 + 5

Δ𝑡

Δ𝑠

Δ𝑡=𝑠 𝑡0 + Δ𝑡 − 𝑠 𝑡0

Δ𝑡Aplicando el cociente promedio:

Sustituyendo la función: 𝑠 = 𝑡2 − 3𝑡 + 5 y aplicando el cociente promedio

Δ𝑠

Δ𝑡=

1 + 4 2 − 3 1 + 4 + 5 − 1 2 − 3 1 + 5

4

Δ𝑠

Δ𝑡=

5 2 − 3 5 + 5 − 1 2 − 3 1 + 5

4=25 − 15 + 5 − 1 − 3 + 5

4=12

4

Δ𝑠

Δ𝑡= 3

Por lo que la

Velocidad promedio es:

DERIVACIÓN DE FUNCIONES ALGEBRAICAS

Formulas de derivación: En las formulas siguientes 𝑢, 𝑣 𝑦 𝑤 son funciones derivables de 𝑥 y sea 𝑐 una constante:

FORMULAS FORMULAS

1)𝑑 𝑐

𝑑𝑥= 0 6)

𝑑 𝑥𝑛

𝑑𝑥= 𝑛𝑥𝑛−1

2)𝑑 𝑥

𝑑𝑥= 1 7)

𝑑 𝑢𝑛

𝑑𝑥= 𝑛𝑢𝑛−1

𝑑

𝑑𝑥𝑢

3)𝑑 𝑐𝑢

𝑑𝑥= 𝑐

𝑑 𝑢

𝑑𝑥 8)𝑑

𝑑𝑥

𝑢

𝑣=

𝑣𝑑

𝑑𝑥𝑢 −𝑢

𝑑

𝑑𝑥𝑣

𝑣2

4)𝑑

𝑑𝑥𝑢 + 𝑣 − 𝑤 =

𝑑

𝑑𝑥𝑢 +

𝑑

𝑑𝑥𝑣 −

𝑑

𝑑𝑥𝑤 9)

𝑑

𝑑𝑥

1

𝑥= −

1

𝑥2

5)𝑑

𝑑𝑥𝑢𝑣 = 𝑢

𝑑

𝑑𝑥𝑣 + 𝑣

𝑑

𝑑𝑥𝑢 10)

𝑑

𝑑𝑥

1

𝑢= −

1

𝑢2𝑑

𝑑𝑥𝑢



24.- Determinar la derivada de la función:

𝑓 𝑥 = 𝑥100

𝑑 𝑥𝑛

𝑑𝑥= 𝑛𝑥𝑛−1Aplicando:

𝑑 𝑥100

𝑑𝑥= 100𝑥100−1

𝑦′ = 100𝑥99

25.- Calcular la derivada de la

función:

𝑓 𝑡 =1

𝑡+ 𝑡

6

Sea:

𝑢 𝑡 =1

𝑡+ 𝑡

Derivando aplicando (2) y (9):

𝑑

𝑑𝑡𝑢 𝑡 = −

1

𝑡2+ 1

Aplicando (7):

𝑑

𝑑𝑡𝑓 𝑡 = 6

1

𝑡+ 𝑡

5

1 −1

𝑡2

27.- Calcular la derivada de la función:

𝑓 𝑡 =1

𝑡2+1

𝑡−

1

𝑡Podemos escribir:

𝑓 𝑡 = 𝑡−2 +1

𝑡− 𝑡−

12


𝑓′(𝑡) = −2𝑡−3 −1

𝑡2+1

2𝑡−

32

Aplicando leyes de los exponentes:

𝑓′(𝑡) = −2

𝑡3−

1

𝑡2+1

2

1

𝑡3

𝑓′(𝑡) = −2

𝑡3−

1

𝑡2+

1

2 𝑡3



29.- Especificar el diferencial 𝑑𝑦 para la

función:

𝑦 = 𝑥 − 2𝑥 + 1


𝑦 = 𝑥12 − 2𝑥 + 1

𝑑𝑦

𝑑𝑥=1

2𝑥−

12 − 2

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

1

2 𝑥− 2

𝑑𝑦 =1

2 𝑥− 2 𝑑𝑥

31.- Determinar la derivada de la

función:

𝑦 =𝑥3

1 + 𝑥2

Derivando aplicando (8):

𝑦′ =1 + 𝑥2

𝑑𝑑𝑥

𝑥3 − 𝑥3𝑑𝑑𝑥

1 + 𝑥2

1 + 𝑥2 2

𝑦′ =1 + 𝑥2 3𝑥2 − 𝑥3 2𝑥

1 + 𝑥2 2

𝑦′ =3𝑥2 + 3𝑥4 − 2𝑥4

1 + 𝑥2 2

𝑦′ =𝑥4 + 3𝑥2

1 + 𝑥2 2

32.- Calcular la derivada de la siguiente

función:𝑦 = −4 𝑥 − 𝑥 −2

Aplicando (7):

𝑦′ = 8 𝑥 − 𝑥 −31

2 𝑥− 1

Sea: 𝑢 = 𝑥 − 𝑥

Derivando:𝑑𝑢

𝑑𝑥=

1

2 𝑥− 1

𝑦′ = 81

𝑥 − 𝑥 3

1 − 2 𝑥

2 𝑥

𝑦′ =4 1 − 2 𝑥

𝑥 𝑥 − 𝑥 3




𝑓 𝑥 = 8 𝑥 − 93 𝑥 − 1

Se puede escribir como:

𝑓 𝑥 = 8𝑥12 − 9𝑥

13 − 1

Derivando:

𝑓′ 𝑥 = 81

2𝑥12−1 − 9

1

3𝑥13−1 − 1

𝑓′ 𝑥 = 4𝑥−12 − 3𝑥−

23

0


𝑦 = −7𝑥 + 3

Sea:

u = −7𝑥 + 3

𝑑𝑢

𝑑𝑥= −7

Derivando aplicando (7):

𝑦 = −7𝑥 + 312

𝑦′ =1

2−7𝑥 + 3 −

12 −7

𝑦′ =−7

2 −7𝑥 + 3

DERIVACIÓN DE FUNCIONES TRASCENDENTES

FORMULAS FORMULAS

1) 𝑑

𝑑𝑥𝑠𝑒𝑛 𝑢 = 𝑐𝑜𝑠 𝑢

𝑑𝑢

𝑑𝑥6)

𝑑

𝑑𝑥𝑐𝑠𝑐 𝑢 = −𝑐𝑠𝑐 𝑢 𝑐𝑜𝑡 𝑢

𝑑𝑢

𝑑𝑥

2) 𝑑

𝑑𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑢 = −𝑠𝑒𝑛 𝑢

𝑑𝑢

𝑑𝑥7)

𝑑

𝑑𝑥𝑠𝑒𝑐 𝑢 = 𝑠𝑒𝑐 𝑢 𝑡𝑎𝑛 𝑢

𝑑𝑢

𝑑𝑥

3) 𝑑

𝑑𝑥𝑡𝑎𝑛 𝑢 = 𝑠𝑒𝑐2 𝑢

𝑑𝑢

𝑑𝑥8)

𝑑

𝑑𝑥𝑐𝑜𝑡 𝑢 = −𝑐𝑠𝑐2 𝑢

𝑑𝑢

𝑑𝑥

4) 𝑑

𝑑𝑥𝑎𝑢 = 𝑎𝑢𝑙𝑛 𝑎

𝑑𝑢

𝑑𝑥(𝑎 > 0) 9)

𝑑

𝑑𝑥𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑢 =

1

𝑢𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑒

𝑑𝑢

𝑑𝑥(𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1)

5) 𝑑

𝑑𝑥𝑒𝑢 = 𝑒𝑢

𝑑𝑢

𝑑𝑥10)

𝑑

𝑑𝑥𝑙𝑛 𝑢 =

1

𝑢

𝑑𝑢

𝑑𝑥

Formulas de derivación: En las formulas siguientes 𝑢, 𝑣 funciones derivables de 𝑥:



26.- Determinar la derivada de la

función:

𝑓 𝑥 = 𝑒𝑥3

Aplicando (5):

𝑢 = 𝑥3

𝑑𝑢

𝑑𝑥= 3𝑥2

Derivando:

𝑓′ 𝑥 = 𝑒𝑥33𝑥2

𝑓′ 𝑥 = 3𝑥2𝑒𝑥3

28.- Encontrar la derivada de la función:

𝑓 𝑥 = 𝑙𝑛 𝑎𝑥 + 𝑏

Aplicando (10):

𝑢 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑑𝑢

𝑑𝑥= 𝑎

Derivando:

𝑓′ 𝑥 =1

𝑎𝑥 + 𝑏𝑎

𝑓′ 𝑥 =𝑎

𝑎𝑥 + 𝑏

36.- La expresión_____es la derivada

de:y 𝑥 = 𝑒𝑠𝑒𝑛 𝑥 +𝑐𝑜𝑠 𝑥

Aplicando (1),(2) y (5):

𝑢 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + cos(𝑥)𝑑𝑢

𝑑𝑥= cos 𝑥 − sen(𝑥)

𝑑𝑢

𝑑𝑥= −sen 𝑥 + cos 𝑥

𝑦′ 𝑥 = −sen 𝑥 + cos 𝑥 𝑒𝑠𝑒𝑛 𝑥 +𝑐𝑜𝑠 𝑥



35.- Ordenar las siguientes funciones, de mayor a menor, de acuerdo con el valor de su derivada en el punto x=0:

1. 𝑓 𝑥 = 𝑒𝑥 + 𝑥

2. 𝑔 𝑥 = 𝑥 +1

4

2

3. ℎ 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥)

4. 𝑦 𝑥 = 3𝑥 + 1

1. 𝑓′ 𝑥 = 𝑒𝑥 + 1

2. 𝑔′ 𝑥 = 2 𝑥 +1

4

3. ℎ′ 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠(𝑥)

4. 𝑦′ 𝑥 =3

2 3𝑥 + 1

Evaluando en x=0

1. 𝑓′ 0 = 𝑒0 + 1 = 2

2. 𝑔′(0) = 2 0 +1

4=1

2

3. ℎ′ 0 = 𝑐𝑜𝑠 0 = 1

4. 𝑦′(0) =3

2 3 0 + 1=3

2

Derivando:

Ordenando:

1,4,3,2



37.- Obtener la derivada de la siguiente

función:𝑦 = 𝑥3𝑐𝑜𝑠 𝑥

Aplicando derivada de un producto:

𝑢 = 𝑥3

𝑑𝑢

𝑑𝑥= 3𝑥2

𝑣 = cos(𝑥)

𝑑𝑣

𝑑𝑥= −sen(𝑥)

Derivada:

𝑦′ = 𝑥3 −𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 𝑥 3𝑥2

𝑦′ = −𝑥3𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 3𝑥2𝑐𝑜𝑠 𝑥

38.- Obtener la derivada de la siguiente

función:

𝑦 = 9𝑥2+5𝑥−3

Sea:𝑢 = 𝑥2 + 5𝑥 − 3

𝑑𝑢

𝑑𝑥= 2𝑥 + 5

Aplicando (9):

𝑦′ = 9𝑥2+5𝑥−3ln(9) 2𝑥 + 5

𝑦′ = 2𝑥 + 5 9𝑥2+5𝑥−3ln(9)

39.- Obtener la derivada de la

siguiente función:

𝑦 = 𝑒𝑠𝑒𝑛(𝑥)Sea:

𝑢 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑢

𝑑𝑥= cos(𝑥)

Aplicando (5):

𝑦′ = cos(𝑥)𝑒𝑠𝑒𝑛(𝑥)



41.- Determinar la derivada de

la función:

𝑦 = 𝑥2𝑙𝑛 𝑥2Sea:

𝑢 = 𝑥2

𝑑𝑢

𝑑𝑥= 2𝑥

𝑣 = 𝑙𝑛 𝑥2

𝑑𝑣

𝑑𝑥=2

𝑥

𝑦′ = 𝑥22

𝑥+ 𝑙𝑛 𝑥2 2𝑥

𝑦′ = 2𝑥 + 2𝑥𝑙𝑛 𝑥2

Derivando:

Factorizando:

𝑦′ = 2𝑥 1 + 𝑙𝑛 𝑥2

43.- Derivar la función:

cuando x>0

𝑓 𝑥 = 𝑙𝑛2 𝑥

Sea:

𝑓 𝑥 = 𝑙𝑛2 𝑥 = 𝑙𝑛 𝑥 2

𝑢 = 𝑙𝑛 𝑥

𝑑𝑢

𝑑𝑥=

1

𝑥

1

2 𝑥=

1

2𝑥

𝑓 𝑢 = 𝑢 2

Podemos escribir:

Derivando:

𝑓′ 𝑢 = 2𝑢𝑑𝑢

𝑑𝑥Sustituyendo:

𝑓′ 𝑥 = 2𝑙𝑛 𝑥1

2𝑥

𝑓′ 𝑥 = 𝑙𝑛 𝑥12

1

𝑥Aplicando propiedades de los

logaritmos:

𝑙𝑛 𝑎𝑢 = 𝑢𝑙𝑛 𝑎

𝑓′(𝑥) =1

2𝑙𝑛 𝑥

1

𝑥=

1

2𝑥𝑙𝑛 𝑥

𝑓′(𝑥) =𝑙𝑛 𝑥

2𝑥



46.- Derivar la función:

𝑦 𝑥 = 𝑒𝑥𝑙𝑛 𝑥cuando x>0.

Sea:

𝑢 = 𝑒𝑥

𝑑𝑢

𝑑𝑥= 𝑒𝑥

𝑣 = 𝑙𝑛 𝑥

𝑑𝑣

𝑑𝑥=1

𝑥

Derivando:

𝑦′ 𝑥 = 𝑒𝑥1

𝑥+ 𝑙𝑛 𝑥 𝑒𝑥

Factorizando:

𝑦′ 𝑥 = 𝑒𝑥 𝑙𝑛 𝑥 +1

𝑥

44.- Ordernar las siguientes funciones, de mayor a menor, de acuerdo con el

valor de su derivada en el punto x=2:

1) 𝑓 𝑥 =−1

𝑥 − 3

2) 𝑔 𝑥 =2

𝑥 + 1

3) ℎ 𝑥 =−3

𝑥

4) 𝑦 𝑥 =4

𝑥 + 2

Derivando:

1) 𝑓′ 𝑥 =1

𝑥 − 3 2

2) 𝑔′ 𝑥 =−2

𝑥 + 1 2

3) ℎ′ 𝑥 =3

𝑥2

4) 𝑦′ 𝑥 =−4

𝑥 + 2 2

Evaluando en x=2

1) 𝑓′(2) =1

2 − 3 2 = 1

2) 𝑔′ 2 =−2

2 + 1 2 = −2

9

3) ℎ′(2) =3

22=3

4

4) 𝑦′ 2 =−4

2 + 2 2 = −1

4

Ordenando: 1,3,2,4

DERIVACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS

FORMULAS FORMULAS

𝟏)𝑑

𝑑𝑥𝑎𝑛𝑔𝑠𝑒𝑛 𝑢 =

1

1 − 𝑢2

𝑑𝑢

𝑑𝑥𝟒)

𝑑

𝑑𝑥𝑎𝑛𝑔𝑐𝑠𝑐 𝑢 = −

1

𝑢 𝑢2 − 1

𝑑𝑢

𝑑𝑥

𝟐)𝑑

𝑑𝑥𝑎𝑛𝑔𝑐𝑜𝑠 𝑢 = −

1

1 − 𝑢2

𝑑𝑢

𝑑𝑥𝟓)

𝑑

𝑑𝑥𝑎𝑛𝑔𝑠𝑒𝑐 𝑢 =

1

𝑢 𝑢2 − 1

𝑑𝑢

𝑑𝑥

𝟑)𝑑

𝑑𝑥𝑎𝑛𝑔𝑡𝑎𝑛 𝑢 =

1

1 + 𝑢2𝑑𝑢

𝑑𝑥𝟔)

𝑑

𝑑𝑥𝑎𝑛𝑔𝑐𝑜𝑡 𝑢 = −

1

1 + 𝑢2𝑑𝑢

𝑑𝑥



42.- Determinar la derivada de:

𝑦 = 𝑎𝑛𝑔𝑡𝑎𝑛1

1 − 𝑥Sea:

𝑢 =1

1 − 𝑥

𝑑𝑢

𝑑𝑥=

1

1 − 𝑥 2

Aplicando (3):

𝑑

𝑑𝑥𝑎𝑛𝑔𝑡𝑎𝑛 𝑢 =

1

1 + 𝑢2𝑑𝑢

𝑑𝑥

𝑑

𝑑𝑥𝑎𝑛𝑔𝑡𝑎𝑛

1

1 − 𝑥=

1

1 +1

1 − 𝑥

2

1

1 − 𝑥 2

Simplificando:

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

1

1 − 𝑥 2 + 11 − 𝑥 2

1

1 − 𝑥 2=

11

1 − 𝑥 2 + 11 − 𝑥 2

1

1 − 𝑥 2

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

1

1 +1

1 − 𝑥

2

1

1 − 𝑥 2

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

1 − 𝑥 2

1 − 𝑥 2 + 1

1

1 − 𝑥 2

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

1

1 − 𝑥 2 + 1

APLICACIONES DE LA DERIVADADerivada de orden superior: Se conoce como

derivada de orden superior a la segunda, tercera, etc.

derivada de la función, si para una función 𝑓 𝑥 existe

su primera derivada.

Si 𝑦 = 𝑓 𝑥

𝑓′(𝑥) = 𝑦′ =𝑑𝑦

𝑑𝑥

𝑓′′ 𝑥 = 𝑦′′ =𝑑2𝑦

𝑑𝑥2

𝑓′′′ 𝑥 = 𝑦′′′ =𝑑3𝑦

𝑑𝑥3

𝑓(4) 𝑥 = 𝑦(4) =𝑑4𝑦

𝑑𝑥4

Segunda derivada

Primera derivada

Tercera derivada

Cuarta derivada

40.- Determinar la cuarta derivada de la función:

𝑓 𝑥 = 𝑥3 + 3𝑥2 − 2𝑥 + 𝜋

Derivando consecutivamente:

𝑓 𝑥 = 𝑥3 + 3𝑥2 − 2𝑥 + 𝜋

𝑓′ 𝑥 = 3𝑥2 + 6𝑥 − 2

𝑓′′ 𝑥 = 6𝑥 + 6

𝑓′′′ 𝑥 = 6

𝑓 4 𝑥 = 0

APLICACIONES DE LA DERIVADAEl punto critico de una función es cualquier valor en donde el

valor de la derivada es cero o donde la función no es derivable. Los

máximos y mínimos locales de una función ocurren en los puntos

críticos,

Una función 𝑓 𝑥 tiene un máximo en un punto 𝑓 𝑥0 cuando es

el mayor de los valores en un intervalo 𝑎, 𝑏 que contenga 𝑥0.

Una función 𝑓 𝑥 tiene un mínimo en un punto 𝑓 𝑥0 cuando es el

menor de los valores en un intervalo 𝑎, 𝑏 que contenga 𝑥0.

Una función 𝑓(𝑥) tiene un punto de inflexión en el punto

𝑓 𝑥0 en donde la curva de la función pasa de cóncava a convexa en

un intervalo 𝑎, 𝑏 que contenga 𝑥0.

Máximo

Mínimo

Punto de Inflexión

𝑓′ 𝑥 = 0

𝑓′ 𝑥 = 0



45.- Determinar los puntos críticos de la

función:

𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 6𝑥2 − 36𝑥 + 7Derivando la función:

𝑓′ 𝑥 = 3𝑥2 − 12𝑥 − 36

Igualando a cero la derivada:

𝑓′(𝑥) = 3𝑥2 − 12𝑥 − 36 = 0

3𝑥2 − 12𝑥 − 36 = 0

Resolviendo:

3 𝑥2 − 4𝑥 − 12 = 0

𝑥2 − 4𝑥 − 12 = 𝑥 − 6 𝑥 + 2

Factorizando:

𝑥 = 6𝑥 = −2

49.- ¿En que puntos la recta tangente

a la gráfica de 𝑓 𝑥 tiene pendiente

cero si 𝑓 𝑥 = 2𝑥3 − 3𝑥2?

Derivando la función:

𝑓′ 𝑥 = 6𝑥2 − 6𝑥

Igualando a cero la derivada:

𝑓′(𝑥) = 6𝑥2 − 6𝑥 = 0

Resolviendo:

6𝑥(𝑥 − 1) = 0

𝑥 = 0𝑥 = 1

47.- El número real_____ es el

valor critico de la función

𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 − cos(𝑥): en el

intervalo 0, 𝜋

Derivando la función:

𝑓′(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + sen 𝑥 = 0

Resolviendo:

sen 𝑥 = −cos(𝑥)

Dividiendo entre cos(𝑥):

𝑠𝑒𝑛(𝑥)

cos(𝑥)= −1 tan(𝑥) = −1

x = angtan(−1) =3𝜋

4

𝑥 =3𝜋

4



48.- ¿En cuales puntos de la gráfica el valor de

la derivada es cero?

50.- La grafica de una función 𝑓(𝑥) en el siguiente

intervalo (𝑎, 𝑏) se muestra a continuación. ¿Cuántos

puntos mínimos locales tiene la función en este

intervalo?

c, f, i, k3

DUDAS

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